Resolver os exercícios 273, 282, 283 e 284 das páginas 133 e 137.

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
12º Ano de Matemática – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II
TPC 3 do plano de trabalho nº 4
Resolver os exercícios 273, 282, 283 e 284 das páginas 133 e 137.
3
273. Seja f ( x) = x − x + 4 . Pretendemos determinar o conjunto dos valores de k para os quais o
teorema de Bolzano permite concluir que a equação f ( x)
= k tem pelo menos uma solução no
intervalo ] 1,2 [ . Porque a função é polinomial é contínua em IR e a equação f ( x)
= k tem pelo
menos uma solução no intervalo ] 1,2 [ se k for um valor entre os valores de f ( 1 ) e f ( 2 ) . Ora
f ( 1)
= 4 e f ( 2)
= 10 pelo que k ] 4,10[
∈ .
282. A velocidade de um foguetão, desde o arranque até se esgotar o combustível, pode ser dada
em Km por segundo por v ( t) = −3ln( 1− 0,005t ) − 0,01t . A variável t designa o tempo em segundos
após o arranque. Mostremos que o foguetão atingiu a velocidade de 600 m/s entre o minuto e o
minuto e meio depois do arranque.
Pretendemos então aplicar o teorema de Bolzano à função v ( t) = −3ln( 1− 0,005t ) − 0,01t no
intervalo [ 60,90 ] para garantir uma solução à equação v ( t)
= 0,6 .
Dv
= { x ∈IR :1− 0,005t > 0 } = ] −∞ ,200[
no contexto do problema o domínio será [ 0,200 [
v é contínua em [60,90] porque é a diferença de duas funções contínuas
( y1 = −3ln( 1− 0,005t ) e y2
= 0,01t ) . A primeira contínua em ] ,200[
−∞ e a segunda
contínua em IR, a diferença é contínua em ] −∞ ,200[
e portanto também é contínua em
[60,90].
v ( 60) = −3ln( 1− 0,005 × 60)
− 0,01× 60 ≈ 0,47
v ( 90) = −3ln( 1− 0,005 × 90)
− 0,01× 90 ≈ 0,89
Pelo Teorema de Bolzano podemos garantir que a equação v ( t)
= 0,6 tem pelo menos uma
solução o que significa que o foguetão atingiu a velocidade de 600 m/s entre o minuto e o minuto
e meio depois do arranque.
283. O volume de uma esfera é dado em função do raio por:
4
V = π r
3
3
Professora: Rosa Canelas 1
Ano Letivo 2011/2012

Pretendemos usar o Teorema de Bolzano para mostrar que 1,25 cm é um valor aproximado do
raio de uma esfera de volume 8,25 cm 3 com erro inferior a 0,01.
Pretendemos, assim, utilizar o Teorema de Bolzano para demonstrar que a equação v ( r)
= 8,25 ,
no intervalo [ 1,25 − 0,01;1,25 + 0,01] = [ 1,24;1,26 ] tem pelo menos uma solução.
V é contínua em IR por ser polinomial, é então contínua em [ 1,24;1,26 ] .
4
3
4
V 1,25 = π × 1,25 ≈ 8,4
3
3
3
V ( 1,24 ) = π × 1,24 ≈ 8 e ( )
Pelo Teorema de Bolzano podemos garantir que a equação v ( r)
= 8,25 tem pelo menos uma
solução em [ 1,24;1,26 ] o que significa que existe um esfera de volume 8,25 cujo raio mede, com
aproximação às centésimas é 1,25.
284. Vamos utilizar o teorema de Bolzano para provar que a equação 3ln x = x ⇔ 3ln x − x = 0
tem pelo menos uma solução em
2
⎡
⎣
e,e ⎤
⎦
. Vamos então aplicar o Corolário do Teorema de
Bolzano à função y = 3ln x − x no intervalo
⎡
⎤
e,e 2
⎣ ⎦ .
A função é contínua em
⎡
⎤
e,e 2
⎣ ⎦ porque é a diferença entre uma função contínua em IR+ e
uma função contínua em IR. A diferença é contínua em IR +
⎡
⎤
e,e 2
⎣ ⎦ .
y ( e)
3lne e 3 e
= − = − e ( )
= − = − pelo que ( )
y e 3lne e 6 e
2 2 2 2
O Corolário do teorema de Bolzano garante que no intervalo
pelo menos um zero porque ela é contínua em
2
⎤
⎦
e,e ⎡
⎣
e,e 2
⎡
⎣
⎤
⎦ e ( ) ( 2
)
e portanto também o é em
y e 0
y e × y e < 0 .
2
> e ( )
y e < 0 .
a função y = 3ln x − x tem
Se a função tem pelo menos um zero também a equação 3ln x = x ⇔ 3ln x − x = 0 tem uma só
solução.
Professora: Rosa Canelas 2
Ano Letivo 2011/2012