Universidade do Minho LMCC Exame de Matemática Discreta II ...

Universidade do Minho
LMCC
Exame de Matemática Discreta II
(Época de Recurso)
2004/07/22
(Duração: 2h)
1. Seja p uma variável proposicional, sejam ϕ, ψ e σ fórmulas do Cálculo Proposicional e
seja v uma valoração. Indique, justificando, se cada uma das seguintes afirmações é
ou não verdadeira.
(a)
É suficiente que v(ϕ ∨ ψ) = 0 para que v((ϕ → σ) ↔ (ψ → σ)) = 1
(b) Se ϕ → (ψ → σ) é uma tautologia e σ não é tautologia, então ψ não é tautologia.
(c) Se ϕ é uma contradição, então ϕ[ψ/p] é uma contradição.
2. Seja ϕ 1 = ¬p 1 → (¬p 2 ∧ (p 2 ∨ p 3 )) e ϕ 2 = ¬(p 3 ∧ ¬p 1 ).
(a) Apresente formas normais conjuntivas ψ 1 e ψ 2 tais que ψ 1 ⇔ ϕ 1 e ψ 2 ⇔ ϕ 2 .
Justifique.
(b) Mostre que a forma clausal associada a ψ 1 ∧ ψ 2 ∧ ¬p 1 é refutável.
(c) Mostre que ψ 1 , ψ 2 |= p 1 .
3. Sejam ϕ e ψ fórmulas do Cálculo Proposicional.
(a) Construa uma derivação de (¬ϕ ∨ ψ) → (ϕ → ψ).
(b) Dado um conjunto Γ de fórmulas do Cálculo Proposicional, mostre que: se Γ ⊢ ¬ϕ
ou Γ ⊢ ψ, então Γ ⊢ ϕ → ψ.
4. Seja L = ({c, f, g}, {R}, N ) a linguagem em que N (c) = 0, N (f) = 1, N (g) = 2 e
N (R) = 1.
(a) Dê exemplo de um L-termo que tenha exactamente 4 subtermos. Justifique.
(b) Seja E = (N 0 , ) uma L-estrutura em que c = 0, f(n) = 3n, para qualquer n ∈ N 0 ,
e g(m, n) = m 2 + n para quaisquer n, m ∈ N 0 . Seja ainda a a atribuição em E tal
que a(x i ) = 2i, para qualquer i ∈ N 0 . Mostre que, para qualquer L-termo t, t[a] E
é um número par.
(c) Apresente, justificando, uma L-estrutura que valide a fórmula
∀ x0 (R(x 0 ) → R(g(f(x 0 ), c))).
5. Sejam x uma variável e ϕ uma L-formula e sejam Γ e ∆ conjuntos de L-fórmulas.
Mostre que, se Γ |= ∀ x ϕ e ∆, ∃ x ϕ |= ψ, então Γ, ∆ |= ψ.
FIM
(Regras de inferência de DNQ →)

Regras de Inferência de DNQ
ϕ ψ
ϕ ∧ ψ ∧I
ϕ ∧ ψ
ϕ
∧ 1 E
ϕ ∧ ψ
ψ
∧ 2 E
ϕ
ϕ ∨ ψ ∨ 1I
ψ
ϕ ∨ ψ ∨ 2I
ψ ∨ σ
̸ψ
D 1
ϕ
ϕ
̸σ
D 2
ϕ
∨E
̸ϕ
D
ψ
ϕ → ψ → I ψ ψ → ϕ
ϕ
→ E
̸ϕ ̸ψ
D 1 D 2
ψ ϕ
ϕ ↔ ψ ↔ I ϕ ϕ ↔ ψ
ψ
↔ 1 E
ψ
ϕ ↔ ψ
ϕ
↔ 2 E
̸ϕ
D
⊥
¬ϕ ¬I ϕ ¬ϕ
⊥ ¬E
⊥
ϕ (⊥)
̸¬ϕ
D
⊥ϕ
(RAA)
D ϕ
∀ x ϕ
∀I (a)
∀
x ϕ
ϕ[t/x]
∀E (b)
ϕ[t/x]
∃ x ϕ ∃I(b) ∃ x ψ
ϕ
̸ψ
D ϕ
∃E (c)
(a) Para toda a hipótese σ de D que não está cancelada,
x ∉ LIV(σ).
(b) x é substituível por t em ϕ.
(c) x ∉ LIV(ϕ) e x ∉ LIV(σ) para toda a hipótese σ de
D que não está cancelada e é diferente de ψ.