Resolver as actividades 10 e 11 das páginas 43 e 44 e os ...

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II
TPC 1 do plano de trabalho nº 7
Resolver as actividades 10 e 11 das páginas 43 e 44 e os exercícios 57 a 61 das páginas 42
a 44.
Actividade 10
1. No referencial em baixo estão representações gráficas das funções f, g e h definidas em IR +
por: f(x) log2
x
= , g( x) = log3
x e h( x) =
4
log x
f está desenhada a vermelho, g a verde e h a azul.
2. As afirmações seguintes são verdadeiras:
a. log2 x = log3 x = log4
x ⇔ x = 1
b. log2 x < log3 x < log4
x ⇔ x ∈ ] 0,1[
c. log2 x > log3 x > log4
x ⇔ x ∈ ] 1, +∞ [
y
10
0
0 5
-10
x
Actividade 11
1. Estabelecemos a correspondência seguinte entre as expressões
designatórias e os gráficos atendendo a que todos os gráficos se podem
f x
obter a partir do gráfico de ( ) 2
translações e/ou simetrias.
= log x, de domínio IR + , por meio de
Função
( ) = ( + )
g x log x 2
2
Gráfico
Professora: Rosa Canelas 1
2008-2009

( ) = ( − )
h x log x
2
( ) =−
2
r x
log x
( ) =
2
s x
log x
( ) =
2 ( )
m x log x
2.
Função Domínio Contradomínio Zeros Equação da assímptota
( ) =
2 ( + ) D ] 2, [
g x log x 2
( ) ( )
2
= − +∞ D' IR
h x = log − x D= IR − D' IR
( ) 2
r x
=− log x D= IR + D' IR
( ) 2
s x
= log x D= IR + D' IR +
( ) =
2 ( ) D IR\ { 0}
m x log x
= D' IR
= ( )
log x + 2 = 0 ⇔
2
x+ 2= 1⇔ x = −1
= ( )
=
2
=
2
log − x = 0 ⇔
2
− x = 1⇔ x = − 1
− log x = 0 ⇔
log2
x = 0 ⇔ x = 1
log x = 0 ⇔
log2
x = 0 ⇔ x = 1
=
2 ( )
log x = 0 ⇔
x = 1⇔
x = 1∨ x = − 1
x =− 2
x = 0
x = 0
x = 0
x = 0
Professora: Rosa Canelas 2
2008-2009

57.Vamos determinar a de modo que o ponto P pertença ao gráfico de f( x)
= log x, sendo
a
a. P(3,2) será
2
2 loga
3 a 3 a 3
= ⇔ = ⇔ = porque a tem de ser positivo e diferente de 1.
b.
⎛1
⎞
P ⎜ , −1
2
⎟
⎝ ⎠ será ⎛1⎞
−1
1 1 1
− 1= loga
⎜ a a 2
2
⎟⇔ = ⇔ = ⇔ =
⎝ ⎠ 2 a 2
58. Esbocemos o gráfico de f( x)
⎛1
⎞
= ⎜
2 ⎟
⎝ ⎠
−
quadrantes ímpares, vamos desenhar o gráfico de f 1
( x) log ( x)
x
e a partir dele por simetria em relação à bissectriz dos
= .
Estudemos essa função:
• O domínio é IR + e a função é contínua em todo o domínio.
• O contradomínio é IR.
log 1 = 0 e 1 é o único zero da função.
• ( )
1
2
• A função é estritamente decrescente em todo o domínio e é injectiva.
• Quando x →+∞, ( )
log x →−∞ e quando x 0 +
1
2
1
2
→ , log ( )
1
2
x →+∞
• O gráfico intersecta o eixo das abcissas no ponto de abcissa 1 e admite a recta de
equação x = 0 como assímptota vertical. Não tem outras assímptotas nem verticais nem
não verticais.
• O gráfico tem a concavidade voltada para cima e passa nos pontos ( )
• O decrescimento quando x →+∞ é muito lento:
x→+∞
( x)
log1
lim
2
−x
= 0
⎛
1, 0 e 1 ⎞
⎜ ,1
2
⎟
⎝ ⎠ .
59. Seja f a função definida por: f( x) a log2
x
gráfico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 2.
0 = a+ log22⇔ a = −log22⇔ a= − 1
= + com a∈
IR. Determinemos a sabendo que o
x 1
60. Sendo f( x) = ln( x)
e g( x) e +
a. ( )( ) ( )
= , a expressão simplificada de:
x+ 1 x+
1
( ) ( ) ( )
f g x = f g x = f e = ln e = x+
1
1+
lnx lnx
b. ( )( ) ( ( )) ( )
g f x = g f x = g lnx = e = e× e = e⋅x
61. As expressões analíticas de duas funções f e g tais que:
f g x lnx são f(x) lnx
2
a. ( )( ) =
1
=
2 − lnx
2
= e g( x) = x
1
2 x
b. ( f g)( x)
são f ( x ) = e g( x)
−
= lnx
Professora: Rosa Canelas 3
2008-2009