Tarefa 5

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Tarefa intermédia nº 5
1. Observe com atenção a figura onde está a
representação gráfica de uma função
racional.
O gráfico tem duas assímptotas, uma de
8
6
equação x = − 1 e outra com equação y = 3 .
O ponto de coordenadas ( − 2,5 ) pertence
4
ao gráfico.
Defina a função por uma expressão do tipo
( )
f x
ax + b
= .
x + c
2
-5 5
2. Numa piscicultura, existe um tanque que
-2
tem actualmente 300 robalos. Ao serem
introduzidas x trutas no tanque, a proporção
-4
P(x) do número de trutas, relativamente ao número total de peixes que passam a existir no
tanque, é tal que P( x)
x
=
300 + x
.
2.1. A equação P( x)
= 1 é impossível. Interprete esta impossibilidade no contexto da situação
descrita.
2.2. Pretende-se que a percentagem de trutas, relativamente ao número total de peixes, seja
de 25 %. Qual é o número de trutas a introduzir no tanque
2.3. Considere a função P como função real de variável real e estude-a quanto a:
Domínio
Sinal
Contradomínio
Monotonia
Zeros
Assímptotas
Professora: Rosa Canelas 1
Ano Lectivo 2010/2011

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Tarefa intermédia nº 5 – Proposta de resolução
1. Observemos com atenção a figura onde
está a representação gráfica de uma função
racional.
O gráfico tem duas assímptotas, uma de
equação x = − 1 e outra com equação y = 3 .
O ponto de coordenadas ( − 2,5 ) pertence
8
6
4
ao gráfico.
Vamos definir a função por uma expressão
do tipo f ( x)
ax + b
= .
x + c
Das equações das assímptotas tiramos
que: f ( x)
3x + b
=
x + 1
e para calcularmos b
vamos substituir as variáveis pelas
coordenadas do ponto do gráfico:
2
-5 5
-2
-4
( )
3 × − 2 + b
5 = ⇔ − 5 + 6 = b ⇔ b = 1
− 2 + 1
Finalmente concluímos ser f ( x)
3x + 1
=
x + 1
2. Numa piscicultura, existe um tanque que tem actualmente 300 robalos. Ao serem introduzidas
x trutas no tanque, a proporção P(x) do número de trutas, relativamente ao número total de
peixes que passam a existir no tanque, é tal que P( x)
x
=
300 + x
.
2.1. A equação P( x)
= 1 é impossível. Interpretemos esta impossibilidade no contexto da
situação descrita: Para que P fosse 1 era preciso que o número de trutas fosse igual ao
número de trutas mais o número de robalos o que só acontece se o número de robalos for
Professora: Rosa Canelas 2
Ano Lectivo 2010/2011

zero, mas neste caso esse número é 300. Do ponto de vista matemático isto acontece por
ser y = 1 a equação da assímptota horizontal do gráfico da função que modela a situação.
2.2. Pretende-se que a percentagem de trutas, relativamente ao número total de peixes, seja
de 25 %. O número de trutas a introduzir no tanque é dado por:
x 75 + 0,25x − x − 0,75x + 75
0,25 = ⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔ − 0,75x + 75 = 0 ∧ 300 + x ≠ 0 ⇔
300 + x 300 + x 300 + x
x = 100
O número de trutas a introduzir no tanque para que a percentagem de trutas,
relativamente ao número total de peixes, seja de 25 % é 100.
Graficamente podia ser:
O número de trutas a introduzir no tanque para que a percentagem de trutas,
relativamente ao número total de peixes, seja de 25 % é 100.
2.3. Consideremos, agora, a função P como função real de variável real e vamos estudá-la
quanto a:
Domínio D = R \ { −300}
Contradomínio D ′ = R \ { 1}
Zeros x
0 x 0 x 300 x 0
300 + x = ⇔ = ∧ ≠ − ⇔ =
Sinal Positiva quando x ∈ ] −∞, −300[ ∪ ] 0, +∞ [
Negativa quando x ∈ ] − 300,0[
Monotonia Crescente em todos os intervalos do domínio
Assímptotas Vertical de equação x = − 300 e horizontal y = 1
Façamos um esboço do gráfico de P
1 0
-300 -300
1 -300
Da divisão concluímos que
−300
P = 1+ x + 300
Professora: Rosa Canelas 3
Ano Lectivo 2010/2011

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Tarefa intermédia nº 5 – Critérios de classificação
1. 40
Deduzir c da equação da assímptota vertical 10
Deduzir a da equação da assímptota horizontal 10
Deduzir b da equação da equação e das coordenadas do ponto 10
Escrever a expressão pedida 10
2. 60
2.1. 10
2.2. 10
2.3. 40
Domínio 5
Contradomínio 5
Zeros 5
Sinal 10
Monotonia 5
Assímptotas 10
Total 100
Professora: Rosa Canelas 4
Ano Lectivo 2010/2011