O PROCESSO GAUSSIANO

O PROCESSO GAUSSIANO
Métodos Matemáticos IC
(Programa de Pós-graduação)
UFPE

O PROCESSO GAUSSIANO
A
Apresentação
1 - Introdução
2 - Vetores Randômicos Gaussianos
3 - O Processo Randômico Gaussiano
4 - Formas de Onda de Faixa Estreita
5 - O Processo Randômico de Faixa Estreita
6 - O Processo Randômico Gaussiano de Faixa
Estreita

PROCESSOS GAUSSIANOS
Aspectos a Serem Analisados
Ä Efeitos das Transformações Lineares em
Vetores Randômicos Gaussianos
Ä Processo Randômico Gaussiano: Definição e
Propriedades Básicas
Ä Apresentação de um Caso Especial:
Definição e Propriedades de um Processo
Randômico Gaussiano de Faixa Estreita.

1. INTRODUÇÃO
Função Densidade de Probabilidade Gaussiana
O comportamento de uma
variável aleatória é caracterizado
por sua distribuição de
probabilidade.
f x
(x)
Função Densidade de Distribuição de uma
Variável Gaussiana com Média m e Variância σ
Uma variável aleatória é
gaussiana se sua densidade de
probabilidade f X (x) tem a forma:
x
f X
(
x )
=
1
2π
. σ
exp
⎡
⎢ −
⎢⎣
( x − m )
2σ
2
2
⎤
⎥ ,
⎥⎦
-
∞
<
x
<
+
∞

1. INTRODUÇÃO
Função Distribuição de Probabilidade Gaussiana
Por definição:
Função Distribuição de uma Variável Gaussiana com
Média m e Variância σ
F
X
( x )
=
=
P (
x
∫
− ∞
X
f
X
≤ x )
( x ) dx
F x
(x)
Embora uma distribuição de probabilidade constitua uma descrição
completa da variável aleatória X, em geral é interessante procurar
um conjunto de números simples que ressaltem as características
dominantes da variável aleatória. (Os momentos associados a X)
x

1. INTRODUÇÃO

1. INTRODUÇÃO
Determinação dos Momentos
EXEMPLO: Calcular o n-ésimo momento associado à função:
g(x) = X n .
- Solução através de f X (x):
E
(
X
n
)
+∞
∫
− ∞
n
= X f ( x ) dx
X
- Solução através de φ X (x): n − n ( n )
E ( X ) = i φ (0 )
Através da função característica, φ X (x), é possível determinar, de
forma bem mais simples, os momentos de qualquer variável
aleatória.
X

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Seja X um vetor randômico de dimensão n cujas componentes
X 1 , X 2 , ..., X n são variáveis randômicas gaussianas mutuamente
independentes com médias m 1 , m 2 , ..., m n e variâncias σ 12 , σ 22 , ..., σ n2 ,
respectivamente, a densidade de probabilidade para o k-ésimo
componente é dada por:
1 ⎡
f
X
( x )
exp ⎢ −
k
2π
. σ ⎣ 2σ
k
2
( x − m ) ⎤
⎥⎦
k
=
2
k

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Visto que as componentes do vetor X foram definidas como sendo
variáveis randômicas gaussianas mutuamente independentes, a
função de probabilidade conjunta será dada por:
f
X
1
, X
2
,...,
X
n
(x
1
, x
2
,...,
x
n
)
=
=
=
f
n
X
∏
1
k = 1
( x
( 2π
)
1
n
2
) • f
1
2π
. σ
1
⎛
⎜
⎝
n
∏
k
k = 1
X
2
σ
( x
exp
k
2
⎞
⎟
⎠
) • ... • f
⎡
⎢-
⎢⎣
exp
1
2
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢-
⎢⎣
x
k
1
2
X
n
−
σ
n
( x
k
∑
k = 1
m
⎛
⎜
⎝
n
k
)
x
⎞
⎟
⎠
k
2
⎤
⎥
⎥⎦
−
σ
k
m
k
⎞
⎟
⎠
2
⎤
⎥
⎥⎦

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Utilizando a notação matricial para a equação apresentada, x, m e
σ podem ser definidos como:
X
∆
⎡ x1
⎢ x
2
⎢
⎢ ...
⎢⎣
x n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
m
x
∆
E
[ X ]
=
⎡ m
⎢
⎢
m
⎢ ...
⎢
⎣m
1
2
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Γ
∆
⎡σ
⎢
⎢ 0
⎢ ...
⎢
⎢⎣
0
2
1
σ
0
0
2
2
...
...
...
...
...
0
0
...
2
σ n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Matriz das Médias
Matriz das Covariâncias

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Sabendo-se que
n
2
1
1
... σ
σ
σ
σ
•
•
•
=
∏
=
n
k
k
e,
[ ]
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
)
(
...
1
)
(
1
)
(
...
1
0
0
0
...
...
0
0
0
...
1
0
0
...
0
1
...
)
(
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
x
T x
T
m
x
m
x
m
x
m
x
m
x
m
x
m
x
m
x
m
x
m
X
m
X
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
+
+
−
+
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
•
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
•
−
−
−
=
−
Γ
−
−

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana
Pode-se dizer que,
n
∏
k = 1
σ
k
=
Γ
1
2
e
( X
Portanto, matricialmente, a função densidade de probabilidade
conjunta de um vetor randômico X de dimensão n, cujas componentes
são variáveis randômicas gaussianas mutuamente independentes, é
dada por:
f
X
(x)
=
(2π
)
n
1
2
Γ
1
2
T
exp
− m
⎡
⎢-
⎣
T
x
1
2
) Γ
( X
−1
( X − m
T
−
m
T
x
x
) =
) Γ
n
∑
k=
1
−1
⎛ x
⎜
⎝
( X
k
−
− m
σ
k
m
x
k
⎞
⎟
⎠
⎤
) ⎥
⎦
2

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
Desde que os componentes X 1 , X 2 , ... , X n foram assumidos serem
mutuamente independentes, a função característica conjunta é dada
pelo produto das funções características individuais:
φ
X
( V )
= φ
X1,
X2,...,
X n
( v
1
, v
2
,..., v
n
)
= φ
X1
( v
1
) • φX
2
( v
2
) • ...•
φ
Xn
( v
n
)
=
n
∏
k=
1
⎛
exp⎜iv
⎝
k
m
k
−
v
2
k
σ
2
2
k
⎞
⎟
⎠
=
⎛
exp⎜i
⎝
n
∑
k=
1
v
k
m
k
−
n
∑
k=
1
v
2
k
σ
2
2
k
⎞
⎟
⎠

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
Utilizando a notação matricial para a equação apresentada, v, m e
σ podem ser definidos como:
V
∆
⎡ v1
⎢
⎢
v
2
⎢ ...
⎢
⎣v n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
m
x
∆
E
[ X ]
=
⎡ m
⎢
⎢
m
⎢ ...
⎢
⎣m
1
2
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Γ
∆
⎡σ
⎢
⎢ 0
⎢ ...
⎢
⎢⎣
0
2
1
σ
0
0
2
2
...
...
...
...
...
0
0
...
2
σ n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Matriz das Médias
Matriz das Covariâncias

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
2 2 2 2
2 2
[ ]
1
1
2
2

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Função Característica Conjunta
Pode-se dizer que,
m
T
x
V
=
n
∑
k=
1
v
k
m
k
e
T
ΓV
=
n
∑
k=
1
v
k
2 σ k
2
Portanto, matricialmente, a função característica conjunta de um vetor
randômico X de dimensão n, cujas componentes são variáveis
randômicas gaussianas mutuamente independentes, é dada por:
V
φ
( V )
⎛ T 1 T
= exp⎜im
x V − V ΓV
⎝
X
2
⎞
⎟
⎠

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Um vetor randômico gaussiano X de dimensão n, cujas
componentes são variáveis randômicas gaussianas
mutuamente independentes, tem como função densidade
conjunta de probabilidade e função característica
conjunta, respectivamente:
f
X
(x)
=
(2π
)
n
1
2
Γ
1
2
exp
⎡
⎢-
⎣
1
2
( X
T
−
m
T
x
) Γ
−1
( X
−
m
x
⎤
) ⎥
⎦
φ
( V )
⎛ T 1 T
= exp⎜im
x V − V ΓV
⎝
X
2
⎞
⎟
⎠

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear
Seja Y um vetor randômico de dimensão m (m ≤ n) definido como
transformação linear do vetor randômico gaussiano X:
Y
Y
...
Y
1
2
m
=
=
=
g
g
g
11
21
m1
X
X
1
X
1
+
+
1
g
g
12
+ g
22
m2
X
X
2
X
2
+ ...
+ ...
2
+
+
+
...
g
g
+
1n
2n
g
X
X
mn
n
n
X
n
Y =gX
Onde g jk é um número real arbitrário
e g é a matriz transformação:
g
∆
⎡ g
⎢ g
⎢
⎢ ...
⎢⎣
g
m
11
21
1
g
g
...
g
12
22
m 2
...
...
...
...
g
g
...
g
1n
2 n
mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎦

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Característica de Y
A função característica conjunta para o vetor Y é dada por:
φ
Y
1
⎡ ⎛
m
⎢ ⎜
, Y ,..., Y
( u u un
= E
i∑u
n 1,
2,...,
) exp
2
⎢⎣
⎝ j=
1
j
Y
j
⎞⎤
⎟
⎥
⎠⎥⎦
Utilizando a notação matricial:
φ
Y
( u)
=
E
[ ( iu Y )]
T
exp
Sendo Y = gX: u E[ ( iu gX )]
T
φ ( ) = exp
Y
Porém,
[ exp( ixV )]
φ ( V ) = E
Logo,
T
φ ( u)
= ( g u)
X
Y
φ X

Ou seja,
2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Característica de Y
φ
Y
( u)
⎛ T T 1 T T
= exp⎜imx
g u − u gΓg
u
⎝ 2
Porém, φ Y (u) está expressa em função da média (m x ) e das variâncias
(ο x2 ) do vetor X.
É necessário, portanto, analisar os termos m x e gΓg T em função de Y.
⎞
⎟
⎠
Sabe-se que:
m Y
∆
[ Y] = E[ g.X] = g.E[ X] gmx
E =
Então,
m = m
T
Y
T
x
g
T

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
T
mn
m
m
n
n
n
mn
m
m
n
n
T
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
•
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ
σ
σ
•
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
Γ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
2
2
22
21
1
12
11
2
2
2
2
1
2
2
2
22
21
1
12
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
gΓg
Λ =
Fazendo:
Transformação Linear - Função Característica de Y

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Característica de Y
Porém, por definição, a matriz Λ é dada por::
Λ
∆
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
λ
λ
λ
11
21
...
m1
λ
λ
λ
12
22
...
m 2
...
...
...
...
λ
λ
λ
1m
2 m
...
mm
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Onde,
λ
jk
( Y Y )
∆ cov ,
j
k
Portanto, a função característica conjunta para o vetor Y é dada por:
φ
Y
( u)
⎛ T 1 T
= exp⎜imY
u − u Λu
⎝ 2
⎞
⎟
⎠

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Característica de Y
A função característica conjunta de um vetor randômico
Y tem exatamente a mesma forma da função
característica conjunta do vetor randômico X, quando Y
é definido como a transformação linear de X e quando os
componentes de X são variáveis randômicas gaussianas
mutuamente independentes.
φ
( V )
⎛ T 1 T
= exp⎜im
x V − V ΓV
⎝
X
2
⎞
⎟
⎠
φ
Y
( u)
⎛ T 1 T
= exp⎜imY
u − u Λu
⎝ 2
⎞
⎟
⎠

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Característica de Y
φ
A função característica conjunta para quaisquer vetores
randômicos gaussianos têm a mesma forma, sejam suas
componentes variáveis randômicas gaussianas
independentes ou não.
Ou,
Y
1
φ
Y
( u)
⎛ T 1 T
= exp⎜imY
u − u Λu
⎝ 2
⎡
⎢i
⎣
⎞
⎟
⎠
[ ]
m m
1
( )
⎤
Y u - cov Y Y u u ⎥
⎦
m
, Y ,..., Y
(u
1
,u
2
,..., u
n
) = exp ∑ E
j j ∑ ∑
j
,
2 n
j = 1 2 j = 1 k = 1
k
j
k

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Densidade Prob. de Y
Foi visto que:
f
X
(
x)
=
(2π
)
1
Γ
exp
⎡
⎢-
⎣
1
2
( X
−
) Γ
( X
T T −1
n 2 1 2
x
x
m
−
m
⎤
) ⎥
⎦
De forma análoga (fazendo: Y = gX):
f
Y
(y)
=
(2π
)
1
Λ
exp
⎡
⎢-
⎣
1
( Y
2
−
) Λ
( Y
T T −1
n 2 1 2
Y
Y
m
−
m
⎤
) ⎥
⎦

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
Transformação Linear - Função Densidade Prob. de Y
f
x
1
Expandindo,
= ⎡
⎤
⎢ ∑ n
∑
n
1
1
, x ,..., x
(x
Λ x
j
− m
j
xk
− m
jk
k ⎥
n 1,
x
2
,..., x
n
)
exp -
( )( )
2
n 2 1 2
(2π
) Λ
⎣ 2 Λ j = 1 k = 1
⎦
Onde: |Λ| jk é o cofator do elemento λ jk no determinante |Λ| da
matriz de covariâncias.

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
1. Um vetor randômico gaussiano X de dimensão n, cujas
componentes são variáveis randômicas gaussianas mutuamente
independentes, tem como função densidade conjunta de probabilidade
e função característica conjunta, respectivamente (matricialmente):
=
Γ
⎡
⎢
⎣
−
Γ
−
⎤
⎥
⎦
φ
( V )
⎛ T 1 T
= exp⎜im
x V − V ΓV
⎝
X
2
⎞
⎟
⎠

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
CONCLUSÕES
2. A função característica conjunta de um vetor randômico Y tem
exatamente a mesma forma da função característica conjunta do
vetor randômico X, quando Y é definido como a transformação
linear de X e quando os componentes de X são variáveis randômicas
gaussianas mutuamente independentes.
φ
( V )
⎛ T 1 T
= exp⎜im
x V − V ΓV
⎝
X
2
⎞
⎟
⎠
φ
Y
( u)
⎛ T 1 T
= exp⎜imY
u − u Λu
⎝ 2
⎞
⎟
⎠

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS
CONCLUSÕES
3. A função densidade conjunta de probabilidade e a função
característica conjunta para quaisquer vetores randômicos gaussianos
tem, individualmente, a mesma forma, sejam suas componentes
variáveis randômicas gaussianas independentes ou não.
f
Y
(y)
=
(2π
)
1
Λ
exp
⎡
⎢-
⎣
1
( Y
2
−
) Λ
( Y
T T −1
n 2 1 2
Y
Y
m
−
m
⎤
) ⎥
⎦
φ
Y
( u)
⎛ T 1 T
= exp⎜imY
u − u Λu
⎝ 2
⎞
⎟
⎠

Processo Aleatório Gaussiano
• Um processo randômico real
é um
processo gaussiano se para todo conjunto finito de
instantes de tempo

As funções características do vetor aleatório
Y
=
tem a forma da matriz
m y
φ
y
( Y , Y , ..., Y )
( v)
t1
=
Em que é a matriz da média de Y e Λ é a
matriz da covariância de Y .
e
t2
⎛
⎜ i*
m
⎝
T
Y
1
* V − * V
2
tn
T
ΛV
⎞
⎟
⎠

Conseqüências
Processo Gaussiano
• Um processo gaussiano é completamente
determinado (estatisticamente) através da
especificação da média E [ Y ] t e da função
covariância ( t,t' ) do processo.
K y
• Além disso qualquer processo gaussiano que é
estacionário no sentido amplo é também
estacionário no sentido restrito.

Suponha que o processo aleatório Y t
, − ∞ < t < + ∞ é um
processo gaussiano estacionário de sentido amplo.
Então:
para todo t, e
K
{ }
( t, t'
) K ( t - t'
)
y
=
y
para todo t e t’

Processo Gaussiano
Φ
Então segue que
Y
t 1
, Y
t 2
, ... , Y
t n
( v , v , ... , v )
1
2
n
=
e
⎡
⎢i
⎢
⎣
n
∑
E
n n
1
[ Yt i
] v j − ∑ ∑ K y ( t j , tk
)
2
j= 1
j= 1 k = 1
v
j
v
k
⎤
⎥
⎥
⎦
ou
Φ
Y
t1
, Y
t 2
, ...
( v , v , ... , v )
1
2
n
=
e
⎡
⎢i
⎢
⎣
n
∑
m * v
1
−
2
∑ ∑
j
j= 1
j = 1 k = 1
n
n
K
y
( t − t )
j
k
v
j
v
k
⎤
⎥
⎥
⎦

Processo Gaussiano
{ }
Y t
• processo gaussiano randômico estacionário no sentido amplo.
translação dos instantes de tempo t t ,..., pela mesma quantidade
1
, 2
t n
τ
t +τ
, j =1,2,...,
n
• A função característica conjunta das novas variáveis
Y
i
( )

Processo Gaussiano
• A função característica conjunta n dimensional (e portanto
a densidade de probabilidade conjunta n dimensional) não
é alterada pela translação da origem dos tempos.
• Se processo gaussiano é estacionário no sentido amplo,
então ele também é estacionário no sentido restrito;
Estacionaridade no sentido estacionário amplo e no
sentido estacionário restrito são equivalentes no caso do
processo gaussiano!

Digressão:
• Teorema do Limite Central
Para amostras estatisticamente independentes, a
distribuição de probabilidade da amostra tende a uma
gaussiana quando o número de amostras cresce.

Digressão :
• Ruído branco : ruído cuja função de densidade espectral é constante
ao longo do espectro.
potência infinita, pois:
P
+∞
= ∫
− ∞
S
n
( f ) df = ∞
ruído branco numa dada faixa
∆ f
de frequência.
Qualquer que seja a freqüência sempre teremos um sinal que visto em um osciloscópio
tem um comportamento senoidal

•
Abrindo um parênteses :

Abrindo um parênteses :
• em que
x
c
( t) = ∑ x ( t)
n
• fixando t tem-se uma variável aleatória, ou seja, fazendo
t= t* tem-se:
( ) ∞ x = ∑ c
t * xn( t *)
n=1
uma soma de variáveis aleatórias, donde conclui-se através
do Teorema do Limite Central que x ( t)
c
é uma variável
aleatória gaussiana.

• Logo:
( )
observa-se que a frequência foi deslocada de , a
fim de expressarmos
em termos de seno e cosseno, ou seja,

Formas de Onda de faixas estreitas
• Uma função do tempo X(t) é dita ser uma forma de onda de faixa
estreita se a região sobre a qual o espectro de frequência.
X
(
f
)
+∞
∫
−i *2* π * f * t
= x(
t)*
e dt
−∞
diferente de zero está confinado em uma banda estreita de
frequência com
∆f
f o
>> ∆f

A forma de onda de faixa estreita vista em um osciloscópio aparece
mais ou menos como uma onda senoidal com uma função envoltória
variando lentamente e uma função de fase variando vagarosamente.

Formas de Onda de faixas estreitas
Pode-se escrever:
( t) = v( t) * cos[ ω t + ( t)
]
x
o
φ
Onde v(t) é uma função envoltória variando lentamente (sempre não
negativa),
φ(
t)
é uma função de fase variando lentamente, e
é a frequência aparente.

Formas de Onda de faixas estreitas
• Uma representação alternativa
x
c
( t) = v( t) * cos[ ω t + ( t)
]
x
o
φ
( t) *cos( ω t) x ( t) * sen( ω t)
x( t)
= x
−
c
( t) ≡ v( t) * cosφ( t) e x ( t) ≡ v( t) * senφ( t)
( )
x c
t é a componente do cosseno de x( t)
x s ( t)
é chamada a componente do seno de x(
t)
.
o
s
s
o

Formas de Onda de faixas estreitas
• Envoltória e fase de uma forma de onda faixa estreita
x
c
( t) ≡ v( t) * cosφ( t) e x ( t) ≡ v( t) * senφ( t)
s
resultando
v
( ) e φ(
t)
( )
2( )
2
t = x t + x ( t)
c
s
=
tan
−1
⎛
⎜
⎝
x
x
s
c
( t)
⎞
( t) ⎟⎟ ⎠

Formas de Onda de faixa estreita

Decomposição:

Formas de Onda de faixa estreita
• interpretação:
ω
s
( t ) = 2 x ( t ) sen ( ω
o
t )
2
= 2 x
c
( t ) sen ( ω
o
t ) cos ( ω
o
t ) − 2 x
s
( t ) sen ( ω
o
t )
= − x ( t ) + [ x ( t ) sen 2ω
t + x ( t ) cos 2ω
t ]
s
c
o
s
o

Formas de Onda de faixas estreitas
x
• Desde que ambas variam lentamente no tempo,
o produto da saída
( t) e x ( t)
torno da frequência zero (isto é,
torno de freqüências repetidas.
c
ω c
( t)
s
tem uma componente centrada em
x c
( t)
) e uma componente centrada em

Formas de Onda de faixas estreitas
• Freqüência de corte do filtro passa baixa ideal:
escolhida para permitir a separação de duas componentes de saída,
apenas os termos em torno da frequência zero com distorção e
eliminando os termos centrados em torno de 2f o .
Antes, obtemos o resultado de saída do filtro passa baixa ideal :
w
s
= 2x
= 2x
= −x
( t) *sen( wot
)
2
c( t) *sen( wot
) cos( wot
) − 2xs
( t) sen ( wot
)
( t) + [ x ( t) sen( 2w t) + x ( t) cos( 2w t)
]
y
s
s
c
( t) = −x
( t)
s
o
s
y
c
( t) = x ( t)
c
o

Formas de Onda de faixas estreitas
• forma de onda de faixa estreita original em fase e
quadratura.
• Através de um filtro passa baixa
(
que é a saída do sistema original de entrada da forma
de onda.

1°. . Processo Aleatório de
Faixa Estreita
2°. Processo Gaussiano faixa
estreita

Processo Faixa Estreita
Definição: Um sinal no tempo X(t) é dito ter uma
forma de onda banda estreita se a região em cima do
espectro de freqüência (Fig 1) é não nulo e está
limitado a uma faixa de freqüência estreita de
largura ∆f centrada sobre uma freqüência, f o
.
Sendo f 0
>> ∆f

Figura 1

• Estender o estudo de banda estreita para
processos aleatórios.
Suponha, {X t
, -∞< t < +∞ } é um processo aleatório
banda estreita; i.é.,
suponha que {X t
} é estacionário na sua faixa larga
com uma densidade espectral S x
a qual difere de
zero apenas numa estreita banda de freqüência sobre
alguma dada freqüência, chamada de f 0
.

Algumas vezes é conveniente representar um
processo faixa estreita em termos de
1) um módulo de processo
{V t
, -∞ < t < +∞ } e
2) um processo de fase
{φ t
, -∞ < t < +∞ },
usando a relação:
X t
= V t
Cos(w o
t + φ t
) onde w o
= 2πf o
.

Alternativa:
em termos de seus componentes seno e cosseno
{X ct
, - ∞ < t < + ∞ },
{X st
, - ∞ < t < + ∞ }, respectivamente.
usando a relação:
X t
= X ct
Cos w o
t - X st
Sen w o
t.
V
ϕ
2
= +
t ct
X
t=
tan −1
X
X
st
ct
X
st
2

Módulo, fase, componente cosseno e
componente seno são fenômenos de
baixa freqüência; i.é., seus espectros
são todos essencialmente zero em valor
para freqüências maiores em magnitude
que alguma fração pequena f o
.

Funções de correlação concernentes aos componentes
seno e cosseno do processo.
em particular, componente cosseno.
h - resposta ao impulso de um filtro passa baixa
X t
X
2Cosw o
t
Filtro passa
baixa
ideal
X ct

R
c
[ ]
X X ct
( t + τ , t ) ≡ E
c ( t + τ )
∞
⎡
E⎢
2 h u X w τ 2 X w dz
t + τ −u
o
t −z
o
⎣ −∞
−∞
∞
⎤
( ) Cos ( t + −u) du h( z) Cos ( t − z) ⎥
⎦
= ∫
∫
∞
= 4 ∫ h w o
∫ w o X t + τ
− ∞
− ∞
∞
( u ) Cos ( t + τ − u ) du h ( z ) Cos ( t − z ) dz E [ ]
− u
X
t −
z
∞
( u ) Cos ( t + τ − u ) du h( z ) Cos ( t − z ) dz [ τ − u z]
w
= 4 ∫ h
∫
− ∞
Equação 1
∞
+
o o
x
− ∞
w
R

A última igualdade segue da estacionaridade do
processo.
filtro passa baixa => domínio da freqüência.
Expressar a função de auto correlação Rx como a
derivada de Fourier da densidade espectral S x ,
então 1 se torna:

R
c
∞
( t τ , t ) = 4 ∫ h( u ) X Cos w ( t + τ − u )
t + τ −u
o
+ du
−∞
∞
∫
− ∞
∞
∫
− ∞
h
S
( z ) Cos ( t z )
x
X
t
w
− dz
− z
( )
j 2 π f ( r - u + z )
f e
o
df

∞
∫
−∞
=
⎛
⎜
e
⎝
h
∞
∫
−∞
j
R
Expandindo o cosseno em termos da exponencial
complexa:
c
∞
∫
− ∞
( )
( ) ( )
j 2π
f o ( t -z ) − j 2π
f o ( t -z )
t τ , t = h z e + e
+ dz
(
2
) ( )
( )
du ∫ S f e
j2π
fo
τ -u+
z
x
( )
( + ) − ( + )
z e
j π fo
t τ -u
+ e
j2π
fo
t τ -u
S
x
( f )
⎛
df⎜
e
⎝
∫
∞
−∞
∞
∞
j2π
fot
j2π
(f-fo
) z − j2π
fot
j2π
(f+
fo)
z
−∞
−∞
h(
z)
e
dz+
e
∫
−∞
h(
z)
e
∞
∞
π [f t+
( f + fo ) τ ]
j2π
(f + fo
) u
j2π
(f −f
) u
o
∫
− j2π
[fot−(
f − fo
) τ ]
h(
u)
e du + e ∫ h(
u ) e
2 o
−∞
df
⎞
dz⎟
⎠
⎞
du⎟
⎠

As integrais da função peso podem agora ser
escritas em termos da função passa-baixa H:
R
c
( t
∞
∫
j 2π
f ot
*
− j 2π
f ot
*
+ τ , t)
= S
x
( f ) df [ e H ( f − fo
) + e H ( f + fo
)]
−∞
[ e
H
(
f
+
j 2 π [f o t + ( f + f o ) τ ]
− j 2 π [f o t − ( f − f o ) τ
o
f
)
+
e
]
H
(
f
−
f
o
)]
Antes de ir adiante, é usual considerar o gráfico da
freqüência de acordo com a magnitude de vários
termos como mostrado nas figuras a seguir:

Figuras

Quando as condições parênteses são escritas em
evidência, as condições que contêm os fatores:
H*(f-fo)H(f+fo) e H*(f+fo)H(f-fo)
desaparecem por causa do característica de não
superposição de |H(f+fo)| e |H(f-fo)|. Assim:
R
ou
c
R
c
[ ]
j 2 π (f - f ) τ
2
S
x
( f ) df e H ( f − f ) *
o
2 π (f + f
2
o ) τ
H ( f f
o
)
∆
( τ ) = R ( t + τ , t )
∞
o
( t + τ , t ) = ∫
− ∞
+
[ ]
j
e +
c

Observando as figuras anteriores
∫
∫
− ∞
+
∞
−
+
=
0
)
(
2
0
)
(
2
x )
(
)
(
S
)
( df
e
f
S
df
e
f
R
fo
f
j
x
fo
f
j
c
π
τ
π
τ
∫
∫
− ∞
−
−
∞
−
+
=
0
)
(
2
0
)
(
2
x
'
)
(
)
(
S
df
e
f
S
df
e
f
fo
f
j
x
fo
f
j
π
τ
π

Fazendo a mudança de variável f’ = -f, tem-se:
R
c
∞
∫
0
(
j 2 π ( f − fo ) τ − j 2 π ( f − fo ) τ
e
+ e )
( τ ) = S ( f
df
x
)
=
∞
∫
0
x
( 2 π ( f − fo ) )
2 S ( f ) Cos
τ df
que é a função de autocorrelação “cosseno” de um
processo aleatório de banda estreita.

2°. . Processo Gaussiano de banda
estreita
CASO PARTICULAR: processo gaussiano banda estreita.
processo {Xt, -∞< t

Componentes aleatórias, a saber, X ct
X st
.
para variáveis gaussianas não correlacionadas,
independência!.
X ct e X st média zero e variância R x (0), a densidade de
probabilidade é:
f
x
ct
, x
st
( x,
y)
=
2π
1
R
x
(0)
2
2
⎡ x + y
exp⎢−
⎣ 2R
(0)
x
⎤
⎥
⎦

V
Densidade de probabilidade do módulo e fase :
X
2
=
+
t ct
X
st
2
ϕ
t=
tan −1
CONCLUSÃO: o módulo e a fase das variáveis são
estatisticamente independentes com densidade de
probabilidade dada por:
f
v t
f
2
⎧ v ⎡ v ⎤
⎪ exp
⎨
⎢ −
=
⎥,
para
( v ) R
x
(0) ⎣ 2 R
x
(0) ⎦
⎪
⎩ 0 Caso Contrário
⎧ 1
⎫
⎪ , para 0 ≤ φ ≤ 2π
⎪
( φ ) = ⎨
t 2π
⎬
⎪⎩ 0 Caso Contrário ⎪ ⎭
φ
X
X
st
ct
0
≤
v
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭