Teorema Fundamental da Aritmética Todo o número inteiro n maior ...

Primalidade e Factorização 


Teorema Fundamental da Aritmética 

Todo o número inteiro n maior do que 1 escreve-se de forma 

única como produto de números primos, a menos da ordem 

dos factores. 

Teorema de Euclides 

O conjunto dos números primos é infinito.



Distribuição dos números primos 

Proposição 

Considerando os números primos ordenados pela ordem natural em 

N, tem-se que o n-ésimo primo p n satisfaz: 

p n ≤ 2 2n−1 

para todo o n ∈ N. 

Proposição 

Teorema dos Números Primos 

Proposição 

π(x) ≥ log 2 (log 2 (x)) + 1 

π(x) ∼ 

x 

ln x . 

Seja k ∈ N. Existem k inteiros consecutivos que não são primos.




Teorema de Chebyshev 

Existem constantes c 1 e c 2 tais que 

c 1 

para n suficientemente grande. 

n 

ln n < π(xn) < c x 

2 

ln x 

Postulado de Bertrand 

Para todo o inteiro positivo m existe um primo entre m e 2m. 

Mais, tem-se que 

m 

π(2m) − π(m) > 

3ln(2m) 

Teorema - Dirichlet,1837 

Se a e b são primos entre si, então existe uma infinidade de primos 

da forma ak + b.




Lema 

Se 2 m + 1 é primo, então m = 2 n para algum inteiro n ≥ 0. 

Definição 

Os números do tipo F n = 2 2n + 1 designam-se números de Fermat. 

Os números de Fermat que são primos designam-se primos de 

Fermat. 

Lema 

Números de Fermat distintos são primos entre si.




Teorema 

Se m > 1 e a m − 1 é primo, então a = 2 e m é primo. 

Definição 

Os números do tipo M p = 2 p − 1, onde p é primo, designam-se 

números de Mersenne. 

Os números de Mersenne que são primos designam-se primos de 

Mersenne. 

Lema 

Números de Mersenne distintos são primos entre si.



Testes de Primalidade 

Dois métodos deterministas para verificar se um número é 

primo: 

usar um algoritmo de factorização, por exemplo por 

ensaios de divisões sucessivas, para encontrar um factor; 

com base no Teorema de Wilson, testar se 

(n − 1)! ≡ −1 (modn).




Teste de pseudoprimalidade simples 

Um número n é primo se: 

1 para qualquer a tal que m.d.c.(a, n) = 1, n passa o teste de 

pseudoprimalidade de base a, isto é, se 

a n−1 ≡ 1 (mod n); 

2 n não é pseudoprimo. 

Algoritmo - Teste pseudoprimalidade simples 

Entrada: n 

1 Dado um número n efectuar o teste de pseudoprimalidade de 

base 2. 

2 Se n não passa o teste, então n é composto; 

3 senão n é primo.




Teste de pseudoprimalidade forte 

Proposição 

Se p é um primo, então x 2 

soluções: 1 e -1. 

≡ 1 (mod p) tem exactamente duas 

Se a congruência tem mais do que duas soluções, então n não é 

primo. 

Se n é um inteiro ímpar, então n − 1 = 2 r s para r ≥ 1 e s ímpar. 

Considere-se a sucessão de potências: 

a s , a 2s , a 4s , . . . , a n−1 

2 , a n−1 . 

Caso n seja primo esta sequência calculada módulo n é de um dos 

seguintes tipos: 

1, 1, 1, . . . , 1 ou ∗, . . . , ∗, −1, 1, . . . , 1.





Definição 

Seja n um inteiro e r e s tais que n − 1 = 2 r s. Então n passa o teste 

de pseudoprimalidade forte de base a se 

a s ≡ 1 (mod n), ou 

a s2i ≡ −1 (mod n) para algum i tal que 0 ≤ i < r. 

Um tal número n se for composto é dito um pseudoprimo forte de 

base a. 

Proposição 

Se n é um pseudoprimo de base 2, então 2 n − 1 é um pseudoprimo 

forte de base 2. 

Corolário 

Existe uma infinidade de pseudoprimos fortes de base 2.





Algoritmo - Teste de pseudoprimalidades forte (Miller, Rabin) 

Entrada: n. 

1 Dividir n − 1 sucessivamente por 2 e determinar r e s ímpar tais 

que n − 1 = 2 r s. 

2 Escolher a tal que 1 < a < n. 

3 i = 0 e x ≡ a s (mod n). 

4 Se (i = 0 ∧ x = 1) ∨ x = −1 então n passa o teste. 

5 Se i > 0 ∧ x = 1 então n é composto. 

6 Caso contrário, então 

i ← i + 1; 

se i < r, então x ← x 2 mod n, voltar a 4. 

7 n é composto.




Teste de Euler 

Definição 

Seja m > 0 um inteiro ímpar. Suponhamos que m = p 1 · · · p k um 

produto de números primos não necessariamente distintos. Então o 

símbolo de Jacobi de a módulo m é 

( a 

) ( ) ( ) 

a a 

= · · · 

m p 1 p k 

} {{ } 

símbolos de Legendre 


Se m, n > 0 são inteiros ímpares tais que m.d.c.(m, n) = 1. Então, 

( 

1 −1 

) 

m = 1 se e só se m ≡ 1 (mod 4), 

) 

2 = 1 se e só se m ≡ 1, 7 (mod 8), 

( 2 

m 

3 

( m 

n 

) ( n 

m 

) 

= (−1) 

n−1 

2 

m−1 

2 .




Teste de Euler 

Teorema ( Teste de pseudoprimalidade de Euler ou de 

Solovay-Straussen) 

Sejam k, n > 1 e b 1 , . . . , b k inteiros positivos menores do que n 

escolhidos ao acaso e tais que m.d.c.(b i , n) = 1 para qualquer 

índice i. Se para qualquer índice i for válida a relação 

b n−1 

2 

i 

≡ 

( 

bi 

n 

) 

(mod n) 

a probabilidade de n ser composto é menor do que 1 2 k . 

Definição 

Um número composto que passe o teste descrito no enunciado 

acima, para um inteiro positivo b menor do que n e tal que 

m.d.c.(b, n) = 1, diz-se um pseudoprimo de Euler de base b.




Certificado de Lucas-Lehmer 

Teorema ( Lucas-1876, Lehmer-1927) 

Seja n um inteiro e suponhamos que existe a tal que 

a n−1 ≡ 1 (mod n), 

a n−1 

q 

≢ 1 (mod n) para todo o factor primo q de n − 1. 

Então n é primo. 


Seja n um inteiro tal que n − 1 = q e 1 

1 · · · qe k 

k 

a factorização em primos 

de n − 1. Suponhamos que, para i = 1, . . . , k, existe a i tal que 

a n−1 

i 

≡ 1 (mod n), 

n−1 

q 

a i 

i 

≢ 1 (mod n). 

Então n é primo.




Certificado de Lucas-Lehmer 

Teorema (Pocklington-Lehmer) 

Seja n um inteiro tal que n − 1 = FR em que F é um factor de n − 1 

cujos factores primos são conhecidos e R é tal que m.d.c.(F , R) = 1. 

Suponhamos que existe a tal que 

a n−1 ≡ 1 (mod n), 

m.d.c.(a n−1 

q 

− 1, n) = 1 para todos os primos q que dividem F . 

Assim, F | p − 1 para qualquer factor primo p de n e se F > R, então 

n é primo. 

Teorema (Proth) 

Seja n = k2 m + 1 onde k é ímpar tal que k < 2 m . Se existe um inteiro 

a tal que 

a n−1 

2 ≡ −1 (mod n) 

então n é primo.




Teste de Lucas 

Definição 

Sejam a e b dois inteiros tais que D = a 2 − 4b ≠ 0 e considere-se a 

equação x 2 − ax + b = 0. Sejam α e β as raízes da equação. Assim, 

definem-se as sequências 

U k (a, b) = 

V k (a, b) = 

αk −β k 

α−β 

α k + β k 

que se designam sequências de Lucas associadas ao par (a, b). 

Em alternativa, tem-se que: 

U 0 (a, b) = 0, U 1 (a, b) = 1, U k (a, b) = aU k−1 − bU k−2 para k ≥ 2 

V 0 (a, b) = 2, V 1 (a, b) = a, V k (a, b) = aV k−1 − bV k−2 para k ≥ 2





Teorema de Lucas 

Sejam a e b dois ( ) inteiros tais que D = a 2 − 4b ≠ 0. Se p é um primo 

ímpar, p ∤ b e = −1, então p | U p+1 (a, b). 

D 

p 

Corolário (Teste de Lucas) 

Nas condições do Teorema de Lucas se n é um inteiro ímpar, 

n ∤ U n+1 , então n é composto. 

Definição 

Sejam a e b dois inteiros. Um inteiro ímpar composto n( 

diz-se ) um 

pseudoprimo de Lucas relativamente a a e b se p ∤ b, = −1 e 

p | U p+1 (a, b). 

D 

p





1 ◦ método 

Escolher D igual ao primeiro elemento de sequência 

5, -7, 9, -11, 13, . . . 

tal que ( ) 

D 

n = −1. Fazer a = 1 e b = 

a 2 −D 

4 

. 

2 ◦ método 

Escolher D igual ao primeiro elemento de sequência 

5, 9, 13, 17, 21,. . . 

tal que ( D 

n 

) 

= −1. Escolher para a o menor inteiro ímpar maior do 

que √ n e b = a2 −D 

4 

.




Teste de Lucas-Lehmer para primos de Mersenne 

Teorema de Lucas-Lehmer para primos de Mersenne 

Considere-se a sequência de Lucas (V k (2, −2)) k≥0 . Seja n um 

número primo. Então o número de Mersenne M n = 2 n − 1 é primo se 

e só se M n | V Mn+1 . 

2 

L 0 = 4, 

L k+1 = L 2 k 

− 2 para k ≥ 0. 

Teorema de Lucas-Lehmer para primos de Mersenne 

Considere-se a sequência de Lucas-Lehmer (L k ) k≥0 . Seja n um 

número primo. Então o número de Mersenne M n = 2 n − 1 é primo se 

e só se M n | L n−2 .




Teste de Lucas-Lehmer para primos de Mersenne 

Algoritmo Lucas-Lehmer para primos de Mersenne 

Entrada: p um número primo. 

1 L ← 4; 

2 Para i = 1 até p − 2 

L ← (L 2 − 2)mod(2 p − 1); 

3 Se L = 0, então 2 p − 1 é primo, 

senão 2 p − 1 é composto.



Métodos de factorização em números primos 

Já estudamos alguns métodos básicos. 

Algoritmo de construção do crivo 

Entrada: n > 2. 

1 P = (p i ) i = (2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . , n), i = 1. 

2 Se p i > √ n, então terminar. 

3 P ← sequência que resulta de P por se retirar os elementos da 

forma kp i para 2 ≤ K ≤ n p i 

. 

4 i ← i + 1, voltar a 2.. 

Saída: lista ordenada P dos números primos menores ou iguais a n




Método de factorização por ensaios de divisão sucessivos 

Algoritmo de factorização por ensaios de divisão sucessivos 

Entrada: n > 2 e P = (p i ) i uma lista de primos. 

1 f = (), e = 0, i = 1, d = p 1 . 

2 Se d > √ n, então f ← f · ({n, 1}) e terminar. 

3 Se d|n, então 

e ← e + 1, n ← quociente da divisão de n por d, voltar a 3.. 

4 Se e ≠ 0, então f ← f · ({d, e}). 

5 Se n = 1, então terminar. 

6 i ← i + 1. 

7 Se i < |P|, então d ← p i , e = 0, voltar a 2.. 

8 Terminar com mensagem de que f pode não ser a lista 

completa. 

Saída: f lista ordenada dos menores divisores primos e respectivos 

expoentes que ocorrem na factorização de n.




Método de factorização de Fermat 

O método de factorização de Fermat baseia-se na representação de 

um número ímpar composto como sendo a diferença de dois quadrados. 

( ) ( ) 

p + q p − q 

n = p · q ⇔ n = 

2 − 2 ⇔ n = a 2 − b 2 

} 

2 

{{ } 

a 

} 

2 

{{ } 

b 

Como p e q são ímpares então p+q 

2 , p−q 

2 

∈ Z. 

Notar que conhecer p e q é equivalente a conhecer a e b.





Para a partir de um inteiro ímpar n determinar os valores de a e b 

nas condições acima deve proceder-se da seguinte forma: 

1 Escolher para valor inicial de a o menor inteiro tal que 

a 2 − n ≥ 0. 

2 Incrementar sucessivamente o valor de a até que a 2 − n 2 seja 

um quadrado perfeito. 

a + b é o menor factor de n maior ou igual a √ n. 

a − b é o maior factor de n menor ou igual a √ n.





Algoritmo de factorização de Fermat 

Entrada: n > 2 e max. 

1 r ← 0. 

2 Enquanto n mod 2 = 0 fazer 

n ← n 2 , r ← r + 1. 

3 i ← 1, a ← √ n, b2 ← a 2 − n. 

4 Enquanto √ b2 ∉ N 0 e i ≤ max, fazer 

a ← a + 1, b2 ← a 2 − n, i ← i + 1. 

5 p ← a + √ b2, q ← a − √ b2. 

Saída: 2 r , p e q.




Método de factorização p − 1 de Pollard 

Se n é composto então existe um primo p que divide n. Pelo Teorema 

de Fermat sabe-se que 

a p−1 ≡ 1 (mod p) se m.d.c.(a, p) = 1. 

Se p − 1 | m, então a m ≡ 1 (mod p) e p | a m − 1. Como p | n, então 

p | m.d.c.(a m − 1, n). 

Sugestão: Calcular l = m.d.c.(a m − 1, n) = m.d.c.(a m − 1modn, n) e 

caso l ≠ n e l ≠ 1, então l é um factor não trivial de n não necessariamente 

primo. 

A dificuldade na aplicação deste método de factorização reside na 

escolha de m sem conhecer p. 

Duas escolhas naturais: fixar k não muito grande e 

m = k!, 

m = m.m.c.(2, 3, . . . , k). 

O valor de k deve ir sendo incrementado até obter um factor ou até 

um limite pré-fixado.




Método de factorização p − 1 de Pollard 

Algoritmo p − 1 de Pollard 

Entrada: n > 2, a, B , b 

1 m = 1,Q = 1, i ← 1. 

2 Enquanto m ≤ b fazer 

a ← a i mod n, Q ← Q(a − 1) mod n, i ← i + 1, m ← m + 1. 

3 d ← m.d.c.(Q, n). 

4 Se d ≠ 1 e d ≠ n, então d é um factor de n. 

5 Se d = n, então informar sobre i. 

6 Se d = 1 e i < B, então m = 1, Q = 1 e voltar a 2.. 

7 Senão terminar sem sucesso. 

Saída: um factor não trivial d ou uma mensagem.




Método de factorização ρ de Pollard 

Seja f uma função polinomial de coeficientes inteiros. 

A partir da escolha de um valor inicial x 0 define-se a sequência 

x k+1 = f (x k ) mod n 

Para p ≤ √ n um primo divisor de n constrói-se a sequência 

z k = x k mod p 

e os valores da sucessão (z k ) repetem-se mais cedo do que os da 

sucessão (x k ). 

Caso z i = z j com j > i, então x i ≡ x j (modp), ou seja, p | x i − x j . 

Logo p | m.d.c.(x i − x j , n). 

Sugestão: m.d.c.(x i − x j , n) é um factor de n.





Definição 

Seja x 0 , x 1 , . . . , x i , . . . uma sequência dada por 

x k+1 = f (x k ) mod n 

para alguma função polinomial de coeficientes inteiros f e um valor 

inicial x 0 . Então existem índices i e j distintos tais que x i = x j e i < j. 

Sejam i e j os menores índices nessas condições. Então, 

x 0 , x 1 , . . . , x i−1 é o pré-período; 

x i , x i+1 , . . . , x j−1 é a parte periódica; 

T = j − i é o período; 

(x k ) é uma sucessão eventualmente periódica.





Algoritmo de detecção de ciclos de Floyd 

pré-período 

{ }} { 

z 0 . . . z n0 −1 

parte periódica 

{ }} { 

z n0 . . . z k . . . z n0 +T −1 z n0 +T . . . z 2k . . . 

No intervalo [n 0 , n 0 + T − 1] existe um único inteiro múltiplo de T : 

k = rT → z 2k = z k 

ou seja, 

x 2k ≡ x k (modp) 

Objectivo: encontrar i tal que existe p primo que verifica 

p | m.d.c.(x i − x 2i , n).





Algoritmo do método ρ de Pollard 

Entrada: n > 2, x 0 , f , b e B. 

1 i = 0, y = x = x 0 , m = 1 e Q = 1. 

2 Se i > B, então informar o valor de i e terminar. 

3 i = i + 1, x = f (x) mod n, y = f (f (y)) mod n. 

4 Q ← Q(y − x) mod n , m = m + 1. 

5 Se m < b, então voltar a 3. 

6 d = m.d.c.(Q, n). 

7 Se d = 1, então Q = 1, m = 0, voltar a 2. 

8 Se d = n, então informar o valor de i, que d = n e terminar. 

Saída: d factor não trivial de n ou uma mensagem.

Teorema Fundamental da Aritmética Todo o número inteiro n maior ...

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