Resolver os exercícios 23, 24, 25 e 27 das páginas 24,25 e 26.

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema III – Trigonometria e Números Complexos
TPC2 do plano de trabalho nº 11
Resolver os exercícios 23, 24, 25 e 27 das páginas 24,25 e 26.
23. Indicar o contradomínio de cada uma das funções seguintes e uma expressão geral dos
maximizantes.
a. f( x)
= 1+ 2senx. Porque −1≤sen( x) ≤1⇔ −2 ≤2sen( x) ≤2 ⇔ −1≤ 1+ 2sen( x)
≤ 3
podemos concluir que o contradomínio é [ − 1, 3 ] . Para calcular a expressão geral dos
π
1+ 2sen x = 3 ⇔ sen x = 1⇔ x = + 2k π,k∈ .
2
maximizantes resolvemos a equação ( ) ( )
1 ⎛ π ⎞
g x = 1− cos x
2
⎜ −
3
⎟
⎝ ⎠
b. ( )
Porque
⎛ π⎞ 1 1 ⎛ π⎞ 1 1 1 ⎛ π⎞
3
−1≤cos⎜x− 1 cos x 1 cos x
3
⎟≤ ⇔ − ≤ −
2 2
⎜ −
3
⎟≤ ⇔ ≤ − − ≤
2 2 2
⎜
3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
⎡
podemos concluir que o contradomínio é 1 ,
3 ⎤
⎢
2 2
⎥ . Para calcular a expressão geral dos
⎣ ⎦
maximizantes resolvemos a equação
1 ⎛ π⎞ 3 1 ⎛ π⎞
1
1− cos x cos x
2
⎜ −
3
⎟ = ⇔ − − = ⇔
2 2
⎜
3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
⎛ π⎞
π 4π
cos⎜x − 1 x 2k ,k x 2k , k
3
⎟ = − ⇔ − = π+ π ∈ ⇔ = + π ∈.
⎝ ⎠
3 3
2
h x sen x
−1≤sen x ≤1⇔ 0 ≤sen x ≤ 1 podemos concluir que o
2
c. ( ) = Porque ( ) ( )
contradomínio é [ 0,1 ] . Para calcular a expressão geral dos maximizantes resolvemos a
π
π
sen x = 1⇔ sen x = 1∨ sen x = −1⇔ x = + 2kπ∨ x = − + 2k π,k
∈ .
2 2
2
equação ( ) ( ) ( )
π
⇔ x = + k π,k∈ .
2
24. Determinar o número de zeros de cada uma das funções seguintes no intervalo [ −2,2
π π ]
a. f ( x)
= senx Com a ajuda de um círculo trigonométrico podemos concluir que os zeros de
f no intervalo [ −2,2
π π ] são { 2, ,0,,2 }
5 zeros.
− π −π π π e por isso a função f tem no referido intervalo
Professora: Rosa Canelas 1
2008-2009

. g( x) sen( 4x)
= Porque o período da função g é 2
π a função repete-se 8 vezes no
π
intervalo [ −2,2
π π ] tendo dois zeros em cada intervalo de amplitude e porque o
2
intervalo [ −2,2
π ]
⎛x
⎞
h x = sen⎜ 2
⎟
⎝ ⎠
c. ( )
zeros no intervalo [ −2,2
π π ].
π é fechado temos 17 zeros ao todo.
Porque o período de h é 4π e o intervalo é fechado, h tem apenas 3
25. Explicar como se pode obter, a partir do gráfico de y sen( 2x)
definidas por:
a. f( x) = 2− sen( 2x)
Como resulta das representações
começamos por fazer uma simetria em relação ao eixo Ox e em
seguida fazemos uma translação vertical associada ao vector de
coordenadas ( 0,2 )
b. g( x) = 1+ sen( 2x−π ) O gráfico pode ser obtido fazendo uma
translação associada ao vector de coordenadas ( π ,0)
que é o
mesmo que fazer uma simetria do gráfico em relação ao eixo Ox
por ser sen( 2x −π ) =− sen( 2x)
vertical associada ao vector de coordenadas ( 0,1 ) .
c. ( )
, seguido de uma translação
⎛ π ⎞
h x = sen⎜2x+ −1
4
⎟ . O gráfico pode ser obtido fazendo
⎝ ⎠
⎛ π ⎞
uma translação associada ao vector de coordenadas ⎜−
,0
4
⎟
⎝ ⎠ ,
seguido de uma translação vertical associada ao vector de
coordenadas ( 0, − 1)
.
= os gráficos das funções
27. Provar que:
⎛ π ⎞
a. O período da função definida por f( x)
= sen⎜3x−
2
⎟
⎝ ⎠ é 2 π
3
Partindo do facto de o período da função y = senx ser 2π ficamos com:
⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ ⎛ 2π⎞ π⎞
⎛ 2π⎞
f ( x)
= sen⎜3x − sen 3x 2 sen 3 x f x
2
⎟ = ⎜ − + π = ⎜ + − ⎟= +
2
⎟ ⎜
3
⎟
2
⎜
3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠
acordo com a definição de período 1 , ser 2 o período da função.
3π
o que prova, de
1 Uma função f diz-se periódica se existe um número positivo P tal que se x∈ Df
, também x+ P∈ Df
e
f( x+ P)
= f(x)
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2008-2009

⎛x
⎞
g x = 3tg⎜ 2
⎟
⎝ ⎠ é 2π .
Partindo do facto de o período da função y = tgx ser π ficamos com:
b. O período da função definida por ( )
⎛x⎞ ⎛x ⎞ ⎛x+ 2π⎞
g( x) = 3tg⎜ 3tg 3tg g( x 2 )
2
⎟ = ⎜ +π = = + π
2
⎟ ⎜
2
⎟
o que prova, de
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
acordo com a definição de período 1 , ser 2π o período da função.
⎛πx
⎞
h x = cos⎜ 3
⎟
⎝ ⎠ é 6 .
Partindo do facto de o período da função y = cos x ser 2π ficamos com:
c. O período da função definida por ( )
( x 6)
⎛πx⎞ ⎛πx ⎞ ⎛π x+ 6π⎞
⎛π + ⎞
h( x)
= cos⎜ cos 2 cos cos h x 6
3
⎟ = ⎜ + π = = = +
3
⎟ ⎜
3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
( )
o que prova, de
acordo com a definição de período 1 , ser 6 o período da função.
1
Uma função f diz-se periódica se existe um número positivo P tal que se x∈ Df
, também x+ P∈ Df
e
f( x+ P)
= f(x)
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