Apostila - Univap

0 [Type the document title]
Universidade do Vale do Paraíba
Fundamentos da
Física

Ao Aluno
Esta apostila será elaborada ao longo da disciplina de Fundamentos da Física,
ministrada nos curso de Arquitetura e Urbanismo da Univap.
A apostila será uma compilação das notas de aula que estarão fundamentadas
nos livros listados na bibliografia recomendada.
Estas notas de aula não substituirão o uso dos livros textos, mas poderão
auxiliá-lo no entendimento dos conteúdos dessa disciplina. Recomenda-se que o
emprego desses livros seja utilizado para uma melhor compreensão dos conteúdos desse
curso.
São José dos Campos, março de 2013
1

1. Grandezas, unidades e medidas
É de extrema importância em engenharia e ciências físicas que saibamos
obedecer a coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação
deve sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com
maça, por exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma
unidade. Por isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos.
1.1. Coerência Dimensional
Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme:
x = x 0 +v.t (1)
onde x representa a posição de qualquer objeto no eixo x, x 0 representa a posição inicial,
v é a velocidade do móvel e t o tempo.
No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do
móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros, etc.
Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x 0 e v.t. Para que ocorra
a soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma
dimensão, ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada.
Portanto, somente é possível somar grandezas físicas que tenham as mesmas dimensões.
Uma equação física não pode ser verdadeira se não for
dimensionalmente homogênea!
Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação
devem ser iguais às dimensões do outro membro. Seria completamente errada a
expressão:
80 quilogramas = 30 metros + x metros
Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os
seguintes símbolos:

Comprimento
Massa
Tempo
[L]
[M]
[T]
Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos:
x posição = [ L ]
t tempo = [ T ]
v
!"#$%&"
!"#$% = ! !
x = x ! + vt → L = L + L T
T → L = L + L
Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de
unidades.
Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como
grandezas fundamentais.
Grandeza física: é tudo aquilo que pode ser medido.
São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa, temperatura,
velocidade, aceleração, etc.
Esta análise dimensional nos permite obter a dimensão de certas constantes em
equações, como por exemplo, a seguinte equação da lei de Hooke:
F = −k x (2)
onde, no lado esquerdo da equação temos a força F, enquanto que no lado direito temos
uma constante k (constante elástica da mola), que queremos determinar sua dimensão,
multiplicada pela posição x (elongamento da mola). Então, realizando a análise
dimensional:
3

1. F = massa×aceleração
2. aceleração = !"#$%&#'()"
!"#$%×!"#$% = !
! . ! = ! ! ! , logo
3. F = massa×acelaração = M L ! ! !
Aplicando na equação (2) os resultados acima, teremos:
M
L T ! = k L → M L
L
T ! = k
k = M T !
Note que a constante k tem que ter dimensão de massa ([M]) por tempo ao
quadrado, ou seja, g/ s 2 ou kg/s 2 .
Vejamos a seguir alguns exemplos de análise dimensional:
1. Velocidade: v = ∆!
∆!
se ∆S = L
e ∆t = T
v = L T
2. Aceleração: a = ∆!
∆!
a = L T !
3. Força: F = m.a

F = M .
L
T !
4. Trabalho: τ = F. d
τ = M .
L !
T !
5. Potência: P = !
∆!
P = ! . ! !
! !
6. Quantidade de Movimento: Q = m. v
Q = M .
L
T
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão
dimensionalmente incorretas, onde:
v 0 é a velocidade inicial do objeto;
a é a aceleração do corpo;
x 0 é a posição inicial do objeto;
Δx = x−x 0 é o deslocamento;
g é a aceleração da gravidade;
r é o raio de uma circunferência;
v é a velocidade;
t é o tempo;
W é o trabalho realizado.
5

a) x = x 0 +v 0. t+1/2.a.t 2
b) v = v 0 +a.t 2
2
c) v = v 0 + 2.a.Δx
d) t = (v 0 .sen θ) / g
e) a = v / r
f) W = F.Δx.cosθ
2) Nas equações abaixo, determine as dimensões das constantes G, µ, c e d:
a) F= G.(M.m)/r 2
b) f a = µ.N , onde f a é a força de atrito e N é a força normal.
c) F = c.a 3
d) F = d.v , onde v é a velocidade.
1.2. Coerência de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades – SI
“Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e
insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico)
As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a
escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de
medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país,
cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e
imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé,
polegada, etc. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma
região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine
a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em
unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si.
Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano
Francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas

aseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal.
Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à
"Convenção do Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades
básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.
Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições
cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal
foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e
sofisticado, adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de
1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial -
Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional.
As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de
símbolos.
Exemplos:
Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa
nome: metro nome: segundo nome: quilograma
símbolo: m símbolo: s símbolo: kg
Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos:
quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e
"grau Celsius".
O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e
universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de
ponto.
Certo
Errado
segundo s s. ou seg.
metro m m. ou mtr.
kilograma kg kg. ou kgr.
hora h h. ou hr.
O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s".
Certo
Errado
cinco metros 5 m 5 ms
7

dois kilogramas 2 kg 2 kgs
oito horas 8 h 8 hs
Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa
que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o
resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas:
Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo.
Certo
quilômetro por hora
km/h
metro por segundo
m/s
Errado
quilômetro/h
km/hora
metro/s
m/segundo
Grandeza Nome Plural Símbolo
O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil.
Portanto, não pode ser usado sozinho.
Certo
quilograma; kg
Errado
quilo; k
Use o prefixo quilo da maneira correta.
Certo
quilômetro
quilograma
quilolitro
Errado
kilômetro
kilograma
kilolitro

área metro quadrado metros quadrados m²
volume metro cúbico metros cúbicos m³
ângulo plano radiano radianos rad
velocidade metro por segundo metros por segundo m/s
aceleração metro por segundo metros por segundo m/s²
massa específica
quilograma por quilogramas por
metro cúbico metro cúbico
kg/m³
vazão
metro cúbico por metros cúbicos por
segundo
segundo
m³/s
força newton newtons N
pressão pascal pascals Pa
trabalho, energia,
quantidade de calor
joule joules J
potência, fluxo de
energia
watt watts W
O SI é baseado em sete Unidades Padrões Fundamentais:
Grandeza Nome Plural Símbolo
comprimento metro metros m
tempo segundo segundos s
massa quilograma quilogramas kg
corrente elétrica ampère ampères A
temperatura
kelvins
kelvin
termodinâmica
K
quantidade de substância mol mols mol
Intensidade luminosa candela candelas cd
As unidades de outras grandezas como velocidade, força e energia são derivadas
das setes grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas:
9

) 150 hm 2 1 hm = 0,1 km, então 1 hm 2 = (0,1 km) 2
1.3. Conversão de Unidades
Tabela 1. Fatores de conversão de unidades de comprimento.
Unidade km hm dam m dm cm mm
1 kilômetro 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
1 hectômetro 0.1 1 10 100 1000 10000 100000
1 decâmetro 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
1 metro 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000
1 decímetro 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100
1 centímetro 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
1 milímetro 0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
→ Exemplos de conversão de unidades.
Converter as seguintes medidas de áreas para km 2 :
a) 100 m 2 1 m = 0,001 km, então 1 m 2 = (0,001 km) 2
1 m 2 = 0,000001 km 2
Logo: 100 m 2 = 100 x 0,000001 km 2
100 m 2 = 0,0001 km 2
1 hm 2 = 0,01 km 2
Logo: 150 hm 2 = 150 x 0,01 km 2
150 hm 2 = 1,5 km 2

c) 100000 dm 2 1 dm = 0,0001 km, então 1 dm 2 = (0,0001 km) 2
1 dm 2 = 0,00000001 km 2
Logo: 100000 dm 2 = 100000 x 0,00000001 km 2
100000 dm 2 = 0,001 km 2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Converta as seguintes medidas de comprimento para cm:
a) 2,5 m b) 1,3 km
c) 200 dam d) 10500 mm
2) Converta as seguintes medidas de áreas para m 2 :
a) 1 km 2 b) 5 dam 2
c) 2,5 mm 2 d) 3 cm 2
3) Converta as seguintes medidas de volume para m 3
a) 1,85 cm 3 b) 11,5 mm 3
c) 3,2 dam 3 d) 0,1 km 3
1.4. Fatores de Conversão de Tempo
Tabela 2. Fatores de conversão de unidades de tempo.
11

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4) Converta as seguintes medidas de tempo em segundos:
a) 1h 10min b) 1 semana
c) 48h d) 2h 26min
5) Converta:
a) 300 dias em segundos
b) 89000 segundos em dia, hora, minutos e segundos
1.5. Fatores de Conversão de Unidades Derivadas
Tabela 3. Fatores de conversão de unidades de velocidade.
Converter de Para Multiplicar por
metros por segundo (m/s) pés por minuto (ft/min) 196,8
metros por segundo (m/s) milhas por hora (mi/h) 2,2369
metros por segundo (m/s) quilômetros por hora (km/h) 3,60
quilômetros por hora (km/h) metros por segundo (m/s) 0,2778
quilômetros por hora (km/h) milhas por hora (mi/h) 0,6214
Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a
conversão de unidades, conforme segue no exemplo:
Converter de km/h para m/s:
10 km h × 1000m
1km × 1h
60min × 1min
60seg = 10×1000 = 2,77 m s
60×60

Tabela 4. Alguns outros exemplos de conversão de unidades.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6) Converta:
a) 35 km/h em m/s
b) 100 m/s em km/h
c) 600W em HP
d) 35 HP em cv
e) 3,5 cv em J/s
f) 500 mmHg em kgf/cm 2
g) 1000 pol em km
h) 3500 ml em galões
7) Ano-luz é uma quantidade de comprimento igual à distância percorrida pela luz em
um ano. Calcule o fator de conversão entre anos-luz e metros. Determine o valor de um
ano-luz em metros.
13

8) O micrometro (1µ m) é também chamado de mícron. (a) Quantos mícrons tem 1 km
9) A planta de crescimento mais rápido de que se tem notícia é uma Hesperoyucca
whipplei, que cresceu 3,7 m em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta
em metros por segundos e metros por hora
10) A Terra é uma esfera de raio de aproximadamente igual a 6,37 x 10 6 m. Qual é a sua
circunferência em quilômetros
1.5. Notação Científica
Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório exige que se trabalhe com
números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio de números muito
pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade do uso de
números com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar.
A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas:
1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula;
2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove).
3. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10 n onde, a potência n é o
número de casas em que se andou com a vírgula até ficar apenas um número a esquerda
da vírgula.
Exemplos:
3563,2 m = 3,5632×10 3 m
0,000001234 mm = 1,234×10 −6 mm
0,02m × 0,13m = 2,0×10 −2 m × 1,3×10 −1 m = 2,0×1,3×10 −2−1 = 2,6×10 −3 m 2
(6,31×10 −5 m) 3 = (6,31) 3 ×(10 −5 ) 3 m 3 = 251,2396×10 −15 m 3 = 2,512396×10 −13 m 3
A questão de poder arredondar os números acima faz a necessidade de algumas
regras especiais que veremos no tópico seguinte.

Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas
recomendou os seguintes prefixos:
Tabela 6. Prefixos utilizados no SI.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11) Escreva em notação científica as seguintes medidas:
a) 0,00005
b) 300,2
c) 0,00000000198
d) 230120,2
1.7. Critérios de Arredondamento
Quando se tem que trabalhar com várias medidas com diferentes números de
algarismos significativos, é necessário exprimir estas medidas segundo a norma de que
se deve ter apenas um algarismo duvidoso. Então, os critérios (Portaria 36 de
06/07/1965 - INPM - Instituto Nacional de Pesos e Medidas) adotados são:
1. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4,
conservamos o algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.
15

Ex.: 7,34856 → 7,3
2. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescentase
uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.
Ex.: 1,2734 → 1,3
3. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de
zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade se ele for
ímpar desprezando os seguintes.
Ex.: 6,2500 → 6,2
12,350 → 12,4
4. Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de
zero, aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes.
Ex.: 8,2502 → 8,3
8,4503 → 8,5
1.8. Medidas de comprimento, área e volume
Perímetro: é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou seja, a soma de
todos os lados de uma figura geométrica.
Área: pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja de uma
superfície. Área tem unidades, por exemplo, cm 2 , m 2 , in 2 , etc.
Volume: de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem
unidades, por exemplo, cm³, m³, in³, etc.
O litro, unidade popularmente usada para volume, equivale a 0,001 m 3 , ou a um
decímetro cúbico.
Figura 1. Fórmulas de área e volume para alguns sólidos

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule o perímetro e a área da figura abaixo
17

2) Em um folheto de propaganda aparece a seguinte planta de um apartamento. Calcule
a área de cada cômodo e a área total do apartamento
3) A figura abaixo mostra a planta de uma chácara. O proprietário deseja realizar
algumas reformas e benfeitorias.

Veja a lista de tudo que será feito:
1. Cerca ao redor de todo o terreno.
2. Plantação no terreno ao lado da casa.
3. Muro separando os arredores da casa da plantação; muro separando ambos do resto
do sítio.
4. Horta de 600 metros quadrados no terreno no fundo da chácara.
Calcule:
a) quantos metros vai precisar de cerca;
b) quantos metros de comprimento o muro terá;
c) a área destinada à plantação;
d) quanto de terreno irá sobrar para plantar o pomar
5) A cozinha da nossa casa tem duas janelas, cada uma com 1 m de largura por 1,20 m
de altura. Tem também duas portas, cada uma com 70 cm de largura por 2 m de
altura (essas medidas já incluem a moldura da porta). Sabe-se ainda que a
distância do chão da cozinha ao teto é de 2,60 m e o comprimento de cada parede é de 4
m. Pretendemos azulejar as quatro paredes com azulejos retangulares de 15 cm por 20
cm. Quantos azulejos serão necessários
6) Na figura abaixo, vemos uma piscina de 10 m de comprimento por 6 m de
largura. Existe uma parte rasa, com 1,20 m de profundidade, uma descida e uma parte
funda, com 2 m de profundidade. Com as medidas que aparecem no desenho, calcule o
volume da piscina.
19

Solução:
Inicialmente, podemos constatar que essa piscina é um prisma. Por quê Vamos
recordar: todo prisma é formado por duas figuras paralelas e iguais chamadas bases e,
por arestas paralelas e iguais, que ligam essas bases. Observe que a nossa piscina está de
acordo com essa definição. A figura que aparece na frente é uma das bases e qualquer
uma das arestas de comprimento 6 m é a altura, porque elas são perpendiculares às
bases.
As duas bases são paralelas e iguais. A altura é perpendicular às bases. O
volume do prisma é igual à área de uma das bases multiplicada pela altura.
Como, no nosso caso, a altura é igual a 6 m, só nos falta calcular a área de uma das
bases. Para isso, vamos dividi-la em figuras menores, como mostra o desenho abaixo.
A base do nosso prisma foi dividida em três partes: um retângulo (A), um
retângulo ângulo menor (B) e um triângulo retângulo (C). Com as medidas
que estão no desenho, poderemos facilmente calcular as áreas das três partes:
SA = 10 x1,2 = 12 m 2
SB = 3 x0,8 = 2,4 m 2

SC =3 x 0,8 / 2 = 1,2 m 2
A soma das áreas das três partes é 12 + 2,4 + 1,2 = 15,6 m 2 . Essa é a área da base do
nosso prisma. Como o volume é o produto da área da base pela altura (6 m), temos que
o volume da piscina é: 15,6 x 6 = 93,6 m 3
Concluímos, então, que cabem dentro dessa piscina 93,6 m 3 de água, ou seja, 93 600
litros.
21

Aula Prática:
Paquímetro e Micrômetro: Propagação de Incertezas -
Determinação Experimental do Volume de um Objeto
1. INTRODUÇÃO
Será calculado o volume de objetos como esferas, cilindros e cubos metálicos.
Para tal fim, serão usados dois instrumentos para medir dimensões lineares: o
paquímetro e o micrômetro.
2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA
A finalidade desta experiência é familiarizar o aluno com algumas técnicas de
medidas, cuidados experimentais no laboratório, utilizando instrumentos de medida
muito simples como o paquímetro e o micrômetro.
3.TEORIA
A seguir, descreveremos o funcionamento dos instrumentos de medição usados
neste experimento.
3.1. PAQUÍMETRO
O paquímetro é um instrumento de medida de comprimento muito utilizado em
laboratórios e em oficinas mecânicas onde também é conhecido como calibre. Entre
seus principais usos podemos citar medidas de diâmetros de vergalhões, diâmetros
internos, profundidades, etc.
O paquímetro (Fig. 1) consta usualmente de uma haste metálica com duas
esperas fixas (1 e 7), um cursor móvel com esperas (2 e 10), nônio ou vernier (11) e
uma haste (14).

Figura 1. Elementos do paquímetro. 1, 2, 7 e 10: esperas, 3: nônio ou vernier superior
(polegada), 4: trava, 5: corpo móvel, 6: escala superior (graduada em polegadas), 8 e 9:
esperas internas, 11: nônio ou vernier inferior (cm), 12: posicionador do corpo móvel,
13: escala inferior (graduada em centímetros), 14: haste de profundidade.
O corpo do paquímetro contém duas escalas principais graduadas uma em
polegadas e outra em milímetros. O cursor possui duas escalas secundárias em
correspondência às escalas principais. A escala secundária do cursor é parte muito
importante do instrumento, pois permite que se façam leituras de frações da unidade da
escala principal, aumentando deste modo a precisão da medida. As escalas auxiliares
são conhecidas por nônio ou vernier.
O funcionamento do nônio baseia-se no fato de que o seu comprimento
corresponde a um número inteiro de N divisões da escala principal. Seja n o número de
divisões e u o comprimento de cada divisão do nônio. Então se U é o comprimento de
cada divisão da escala principal, resulta:
Figura 2. Escalas do paquímetro.
23

Na figura 2, 10 divisões do nônio correspondem a 9 mm da escala principal.
Assim, cada divisão do nônio corresponde a 9/10 da divisão da escala principal. Desta
forma, ao fazermos medidas, o primeiro traço à esquerda do nônio serve de referência
para se contar os milímetros e o próximo traço no nônio que coincidir com qualquer
traço da escala principal determinará a fração de milímetro.
Figura 3. Leitura de uma medição através do paquímetro.
Na figura 3 pode-se ver a correta leitura de uma medição com o uso do
paquímetro. Define-se como aproximação do nônio a diferença entre o comprimento de
uma divisão da escala principal e o comprimento de uma divisão do nônio:
A = U − u = 1 − ! ! U
Quando a escala auxiliar não é dividida em 10 partes costuma-se denominá-la
vernier. No vernier n divisões da escala auxiliar correspondem a n – 1 divisões da escala
principal. Cada divisão do vernier corresponde a
n − 1
n
= 1 − 1 n
da escala principal. Portanto a divisão do vernier é 1/n menor que a da escala principal.
A quantidade 1/n é a menor leitura do vernier.
Aparelhos como o teodolito, aparelhos ópticos como os espectroscópios,
apresentam escalas circulares, mas o princípio de seus nônios é o mesmo.

APLICAÇÕES
• Medidas de comprimento em geral são feitas com o objeto entre as esperas 7 e 10 (Fig.
1).
• As esperas 1 e 2 servem para medidas internas.
• Medidas de profundidade se fazem entre o extremo do cursor 14 e a base da haste.
• Conversor de polegadas em milímetros e vice-versa.
CUIDADOS GERAIS
• Não deixe o paquímetro cair e principalmente não force nem raspe as extremidades de
medida 7 e 10, 1 e 2, e 14.
• O objeto a ser medido deve ser tocado levemente pelas esperas, sob pena de prejudicar
a medida, e possivelmente danificar o aparelho.
3.2. MICRÔMETRO
O micrômetro (Fig. 4) ou Palmer é um instrumento para medir dimensões de
objetos pequenos e tem aplicação na medida de diâmetros de fios, espessura de chapas,
etc.
O micrômetro consta essencialmente de um parafuso micrométrico. Num dos
extremos do parafuso temos a espera móvel e esta, obviamente, não deverá pressionar
fortemente o objeto medido. Portanto, no outro extremo existe uma catraca que é um
dispositivo protetor e que também permite reprodutibilidade nas pressões aplicadas.
Sobre o tambor temos a manga que possui uma escala circular normalmente
gravada com traços correspondentes a 0,01 mm. Cada volta completa da manga
corresponde ao avanço ou recuo de um passo do parafuso micrométrico. Observe que no
micrômetro fornecido o passo é de 0,5 mm. Se o passo da rosca é de 0,5 mm e o tambor
tem 50 divisões, a resolução será
25

Assim, girando o tambor, cada divisão provocará um deslocamento de 0,01 mm no fuso
(Fig. 5).
Em forma de arco temos uma peça com um dos extremos rosqueado ao tambor e
com o outro extremo constituindo a espera fixa.
Figura 4. Elementos do micrômetro.
Figura 5. Passo do micrômetro.

CUIDADOS GERAIS
• Não permita que o micrômetro caia sobre a mesa e muito menos no chão.
• Gire o parafuso micrométrico usando sempre a catraca para proteger tanto o
instrumento quanto o objeto medido.
• Segure sempre o micrômetro pela peça que tem formato de arco.
• Nunca guarde o micrômetro com as esperas em contato.
LEITURAS
O objeto a ser medido deve ser encostado inicialmente na espera fixa e em
seguida, girando a catraca, aproximando a espera móvel.
Ao fazermos a leitura usamos como referência para a escala horizontal a borda
da manga, e como referência para a escala circular usamos o risco horizontal que existe
no tambor.
4. PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAIS UTILIZADOS
1. Esferas, cilindros e cubo metálicos;
2. Paquímetro e Micrômetro.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Realizar 10 medições, usando o paquímetro e micrômetro, para o diâmetro da esfera,
a altura e o diâmetro do cilindro, e a aresta do cubo;
2. Calcular o valor mais provável para cada uma das medidas (para ambos os
instrumentos);
3. Calcular o volume para cada uma das peças, para ambos os instrumentos.
27

CONCLUSÕES
Através das seguintes questões, monte suas conclusões:
1. De quanto é a diferença entre os volumes obtidos através do paquímetro e
micrômetro
2. Como você explicaria esta diferença encontrada
3. Qual dos instrumentos você utilizaria para outras medidas

2. Vetores
A Física lida com um amplo conjunto de grandezas. Dentro dessa gama enorme
de grandezas existem algumas, cuja caracterização completa requer tão somente um
número seguido de uma unidade de medida. Tais grandezas são chamadas grandezas
escalares. Exemplos dessas grandezas são a massa e a temperatura. Outras grandezas
requerem três atributos para a sua completa especificação como, por exemplo, a posição
de um objeto. Não basta dizer que o objeto está a 200 metros. Se você disser que está a
200 metros existem muitas possíveis localizações desse objeto (para cima, para baixo,
para os lados, por exemplo). Dizer que um objeto está a 200 metros é necessário, porém
não é suficiente. A distância (200 metros) é o que denominamos, em Física, módulo da
grandeza. Para localizar o objeto, é preciso especificar também a direção e o sentido
em que ele se encontra.
2.1. Definição e representação de um vetor
Vetor é um símbolo físico-matemático utilizado para representar o módulo, a
direção e o sentido de uma grandeza física vetorial.
Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por
sida da letra, como v = PO = O − P . O módulo deste vetor é representado pela letra
que representa o vetor, porém sem a seta em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor
entre os sinais matemáticos que representam módulo, | v | .
Para facilitar a nossa compreensão vamos pegar um exemplo simples.
Veja:
Neste exemplo tempos um vetor que possui todas as informações necessárias.
29

• Direção: como vemos, o vetor acima possui a mesma direção da reta r,
horizontal;
• Sentido: Fica notável que o vetor segue de P para O, da esquerda para direita,
neste caso;
• Módulo: O módulo é a intensidade do vetor, como já sabemos. O módulo é,
graficamente representado, pelo tamanho do vetor desenhado, que em nosso
caso é de três unidades de medidas u, ou seja 3u. OBS.: Devemos sempre notar
que se a unidade de medida fosse centímetros, o módulo do vetor seria 3 cm, e
se a unidade de medida fosse metros, o módulo do vetor possuiria 3 metros, etc.
2.2. Soma de vetores
Quando executamos uma operação com vetores, chamados o seu resultado de
resultante R . Dado dois vetores a = A − O e b = B − O , a resultante é obtida
graficamente trançando-se pelas extremidades de cada um deles uma paralela ao outro.
Em que R é o vetor soma. Como a figura formada é um paralelogramo, este método é
denominado método do paralelogramo. A intensidade do vetor é dado por:
R =
a² + b² + 2abcosα
E a partir desta equação basta substituir os valores do paralelogramo acima, para
se obter a equação do método do paralelogramo. Quando temos um caso particular onde
os vetores estão em posições ortogonais entre si, basta aplicar o teorema de Pitágoras.

R =
a² + b²
2.3. Decomposição de vetores
Dado um vetor a, podemos encontrar outros
a ! + a ! = a . Vejamos a figura abaixo
dois vetores a ! e a ! tal que
Nesse caso, como a ! e a ! são vetores perpendiculares entre si, a decomposição é
ortogonal. Veja a figura abaixo:
Na figura acima podemos deslocar o vetor para a extremidade do vetor de modo
que o vetor e seus vetores componentes ortogonais e formem um triângulo retângulo.
31

Com base na relação trigonométrica aplicada a um triângulo retângulo, podemos
determinar o módulo dos componentes horizontal e vertical do vetor em função do
ângulo θ. Dessa forma, do triângulo amarelo acima temos:
R =
a² + b² + 2abcosα
a ! = asenθ
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Um empregado do correio dirige um caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na
Figura abaixo. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante
usando diagramas em escala.
R:. 7,8km; 38° nordeste
2) Uma andarilha começa uma viagem de dois dias caminhando inicialmente 25 km na
direção sudeste a partir de seu carro. Ela pára e monta sua barraca para a noite. No
segundo dia ela caminha 40 km em uma direção 60º ao norte do leste., ponto em que ela
descobre uma torre do guarda-florestal.

a) Determine as componentes dos deslocamentos da andarilha no primeiro e segundo
dias.
b) O vetor deslocamento resultante para a viagem.
R: a) Primeiro dia A x = 17,7 km e A y = -17,7 km; Segundo dia B x = 20 km e B y =
34,6 km; b) R x = 37,7 km e R x = 16,9 km
3) Calcular as componentes horizontal e vertical da força de 200 N aplicada na viga
conforme a figura abaixo.
R:. a) F x = 173,2 N e F y = 100 N
33

3. Força e Leis de Newton
A relação que existe entre uma força e a aceleração produzida por ela foi
descoberta por Isaac Newton (1642 – 1727), e é assunto desta parte da disciplina. O
estudo dessa relação, da forma como foi apresentada por Newton, é chamado de
mecânica newtoniana.
A mecânica newtoniana não pode ser aplicada a todas as situações. São
restrições:
• Movimentos em que as velocidades dos corpos são muito grandes, comparáveis
a velocidade da luz – Uso da teoria da relatividade restrita de Einstein.
• Se as dimensões dos corpos envolvidos são muito pequenas, da ordem das
dimensões atômicas (como os elétrons de um átomo) – Uso da mecânica
quântica.
A mecânica newtoniana é um caso particular destas duas teorias mais
abrangentes, mesmo assim é um caso particular muito importante. Ela pode ser aplicada
ao estudo do movimento dos mais diversos objetos, desde muito pequenos (quase
dimensões atômicas) até objetos muito grandes (galáxias e aglomerados de galáxias).
Força é um empurrão ou um puxão - a idéia que temos de um força é que ela é um
empurrão ou um puxão. Iremos aperfeiçoar essa idéia mais adiante, mas por agora ela é
bastante apropriada.
Uma força representa uma ação sobre um objeto. Forças não existem isoladas dos
objetos que as experimentam.
Uma força requer um agente - algo que atua ou exerce poder, isto é, uma força possui
causa específica e identificável.
Uma força é um vetor - Se você empurra um objeto pode empurrá-lo suave ou
fortemente, para a esquerda ou para a direita, para cima ou para baixo. Para qualificar
um empurrão, você precisa especificar um módulo e uma orientação.

Uma força pode ser de contato - Existem dois tipos básicos de força, dependendo se o
agente toca ou não o objeto. Forças de contato são aquelas exercidas sobre um corpo
através de um ponto de contato com algum ponto do mesmo. O bastão deve tocar
a bola a fim de rebatê-la. Uma corda deve ser amarrada a um objeto para puxá-lo. A
maioria das forças que abordaremos são de contato.
Uma força pode ser de ação à distância - são as forças exercidas sobre um corpo sem
contato físico. A força magnética é um exemplo. Sem dúvida você já viu um imã
colocado acima de um clipe conseguir erguê-lo. Uma caneta solta de sua mão é puxada
para a Terra pela força de ação a distância da gravidade.
Observação: No nosso modelo de partícula, os objetos não podem exercer forças sobre
si mesmos. Uma força sobre o objeto terá um agente externo ou uma causa externa ao
objeto.
Vetor Força
Podemos usar um diagrama simples para visualizar como as forças externas são
exercidas pelos corpos. Uma vez que estamos usando o modelo de partícula, no qual os
objetos são considerados como pontos, o processo de desenhar um vetor força é direto.
Eis como:
1 - Represente o objeto como uma partícula;
2 – Localize a cauda do vetor força sobre a partícula;
3 – Desenhe o vetor força como uma seta com a orientação apropriada e com um
comprimento proporcional à intensidade da força;
4 – Denote o vetor adequadamente.
3.1. Curto catálogo de Forças
Existem muitas forças com as quais trabalharemos repetidas vezes. Aqui introduziremos
algumas delas.
35

FORÇA GRAVITACIONAL - Uma pedra em queda é puxada para baixo pela Terra
através da força de ação à distância da gravidade. A gravidade – o único tipo de força de
ação a distância que encontraremos nesta parte do curso - mantém você sobre uma
cadeira, mantém os planetas em suas órbitas em torno do Sol e determina a forma da
estrutura de larga escala do universo.
O puxão gravitacional de um planeta sobre um corpo em sua superfície ou próximo dela
é chamada de força gravitacional. O agente da força gravitacional é o planeta inteiro,
que puxa o objeto. A gravidade é exercida sobre todos os corpos, estejam eles se
movendo ou parados. O vetor força gravitacional sempre aponta verticalmente para
baixo.
FORÇA ELÁSTICA DE UMA MOLA - As molas exercem uma das forças de
contato mais comuns. Uma mola pode empurrar (quando comprimida) ou puxar
(quando esticada). Embora você possa estar pensando em uma mola como uma espiral
metálica que pode ser esticada ou comprimida, isto é somente um tipo de mola. Existem
outros.
FORÇA DE TENSÃO - Quando um barbante, uma corda ou um arame puxa um
objeto, ele exerce uma força de contato que chamamos de força de tensão, representada
pela letra maiúscula . A orientação da força é a mesma do barbante ou da corda.
Se usássemos um microscópio muito poderoso para olhar o interior de uma
corda, “veríamos” que ela é formada por átomos mantidos juntos por meio de ligações
atômicas. As ligações atômicas não são conexões rígidas entre átomos. Elas se parecem
mais com minúsculas molas mantendo os átomos juntos, como na figura abaixo.
Puxando-se as extremidades de um barbante ou de uma corda, esticam-se ligeiramente
as molas atômicas. A tensão dentro da corda e a força de tensão experimentada por um
objeto em contato com uma das extremidades da corda são, de fato, a força resultante
exercida por bilhões e bilhões de molas microscópicas. Esta visão da tensão em escala
atômica introduz uma nova idéia: a de um modelo atômico microscópio para a
compreensão do comportamento e das propriedades dos objetos macroscópicos.

Trata-se de um modelo porque os átomos e ligações atômicas não são realmente
pequenas bolas e molas. Estamos usando conceitos macroscópicos – bolas e molas -
para entender fenômenos em escala atômica que não podemos ver ou sentir diretamente.
Este é um bom modelo para explicar as propriedades elásticas dos materiais, mas não
seria necessariamente, um bom modelo para explicar outros fenômenos. Com
freqüência usaremos modelos atômicos para obter uma compreensão mais profunda do
que observamos.
FORÇA NORMAL - Se você sentar num colchão de molas, estas serão comprimidas e,
em conseqüência disso, exercerão uma força orientada para cima sobre você. Molas
mais duras sofreriam menor compressão, mas ainda exerceriam forças orientadas para
cima. Pode ser que a compressão das molas extremamente duras seja mensurável apenas
por instrumentos sensíveis. Apesar disso, as molas seriam comprimidas ainda que
ligeiramente e exerceriam uma força orientada para cima sobre você.
Imagine um livro sobre o tampo de uma mesa. A mesa pode não flexionar ou
encurvar-se visivelmente, mas – da mesma forma como você no colchão de molas - o
objeto comprime as molas atômicas da mesa. O tamanho da compressão é muito
pequena, mas não é nulo. Como conseqüência, as molas atômicas comprimidas
empurram o objeto para cima. Dizemos que a mesa exerce uma força para cima, mas é
importante que se compreenda que o empurrão é de fato, realizado pelas molas
atômicas. Analogamente, um objeto em repouso sobre o solo comprime as molas
atômicas que o mantêm íntegro e, conseqüentemente, o solo empurra o objeto para
cima.
37

Podemos ampliar essa idéia. Suponha que você encoste a sua mão sobre uma
parede e a empurre. A parede exercerá uma força sobre a sua mão Quando você
empurra, comprime as molas atômicas da parede e, como conseqüência, elas empurram
a sua mão de volta. Logo, a resposta é sim, a parede realmente exerce uma força sobre
você.
A força exercida pelo tampo da mesa é vertical; a força que a parede exerce é
horizontal. Em todos os casos, a força exercida sobre um objeto que pressiona uma
superfície tem direção perpendicular à superfície. Os matemáticos se referem a uma reta
perpendicular a uma superfície como sendo normal a esta. Assim, definimos como força
normal, a força exercida por uma superfície (agente) contra um objeto que a está
pressionando. O símbolo para força normal será N.
FORÇA DE ATRITO - Certamente você já descobriu que pode deslizar mais sobre
uma camada de gelo do que no asfalto. Você também já sabe que a maioria dos objetos
ficam parados sobre uma mesa, sem deslizar para fora dela, mesmo se a mesa não
estiver perfeitamente nivelada. A força responsável por esse tipo de comportamento é o
atrito. O símbolo para o atrito é a letra minúscula f.
O atrito, como a força normal, é exercido por uma superfície. Mas enquanto a
força normal é perpendicular, a força de atrito é tangente à superfície. Ao nível

microscópico, o atrito surge quando os átomos do objeto e da superfície movem-se uns
em relação aos outros. Quanto mais rugosa for a superfície, mais estes átomos serão
forçados a se aproximar e, como resultado, surgirá uma grande força de atrito.
Devemos distinguir entre dois tipos de atrito:
Atrito Cinético, denotado por f ! , aparece quando um objeto desliza ao longo de uma
superfície. É uma força oposta ao movimento, o que significa que o vetor força de
atrito, f ! , tem sentido oposto ao vetor velocidade.
Atrito estático, denotado por f ! é a força que mantém o objeto grudado sobre uma
superfície e que o impede de se mover. Determinar a orientação de é um pouco mais
complicado do que encontrar a de f ! . O atrito estático aponta no sentido oposto àquele
em o que o objeto se movimentaria se não existisse o atrito, ou seja, ele tem orientação
necessária para impedir a ocorrência do movimento.
3.1. Combinação de Forças
Imagine uma caixa sendo puxada por duas cordas, cada qual exercendo uma força sobre
a caixa. Como a caixa reagirá
Quando várias forças agem sobre um objeto simultaneamente, elas se combinam para
formar uma única força, a força resultante, dada pela soma vetorial de todas as forças:
!
F !"# = F ! = F ! + F ! +. . . +F !
!!!
A força resultante também é chamada de força total.
EXERCÍCIO PROPOSTO
1) Três lutadores profissionais estão lutando pelo mesmo cinturão de campeão. Olhando
de cima, eles aplicam três forças horizontais sobre o cinturão, conforme a figura
39

abaixo. Os módulos das três forças são F 1 = 250N, o F 2 = 50N e o F 3 = 120N. Ache as
componentes x e y da força resultante. Determine o módulo, a direção e o sentido da
força resultante.
a) Três forças atuando sobre um mesmo ponto. b) A força resultante e suas
componentes.
R.: F x = -100 N e F y = 80 N, ϴ = -39° ou ϴ = 141°
3.1. Leis de Newton
Antes de Newton formular sua mecânica, a maioria dos filósofos pensava que
para a manter um corpo em movimento era necessária a ação de uma determinada
influencia ou força. Achavam que quando um corpo estava em repouso, ele estava em
seu “estado natural”. Para que um corpo se movesse com velocidade constante tinha que
ser empurrado ou puxado de alguma forma, caso contrário, pararia “naturalmente”.
Essas idéias pareciam razoáveis!
PRIMEIRA LEI DE NEWTON: Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua
velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não poderá sofrer uma aceleração. Em

outras palavras: se um corpo está em repouso ele permanece em repouso. Se ele está em
movimento, continua com a mesma velocidade (mesmo módulo e mesma orientação).
SEGUNDA LEI DE NEWTON: A força resultante que atua sobre um corpo é igual ao
produto da massa do corpo pela sua aceleração.
Em termos matemáticos:
F = ma
Em unidades do SI, a equação diz que: 1 N= (1 kg)( 1m/s 2 )
Esta equação é simples, mas devemos usá-la com cautela. Primeiro devemos
escolher o corpo ao qual vamos aplicá-la; deve ser a soma vetorial de todas as forças
que atuam sobre o corpo. Somente as forças que atuam nesse corpo devem ser incluídas
na soma vetorial, não as forças que agem sobre outros corpos envolvidos na mesma
situação. Por exemplo, se você disputa uma bola com vários adversários em um jogo de
futebol, a força resultante que age sobre você é a soma vetorial de todos os empurrões e
puxões que você recebe. Ela não inclui um empurrão ou puxão que você dá em outro
jogador.
Como outras equações vetoriais, a equação F = ma é equivalente a três
equações para as componentes , uma para cada eixo de um sistema de coordenadas xyz:
IMPORTANTE
TERCEIRA LEI DE NEWTON: Quando dois corpos interagem, as forças que cada
corpo exerce sobre o outro são sempre iguais em módulo e têm sentidos contrários.
Outra forma de dizer:
A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade, ou, as ações
mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas a partes opostas...
41

Exemplo1: A figura abaixo mostra um livro L apoiado em uma caixa C. O livro e a
caixa interagem: a caixa exerce uma força horizontal
sobre o livro e o livro exerce uma força horizontal sobre a caixa.
A relação escalar: F LC = F CL (módulos iguais)
Vetorialmente: F !" = −F !" (módulos iguais e sentidos opostos).
Podemos chamar as forças entre dois corpos que interagem de par de forças da terceira
lei.
SEMPRE QUE DOIS CORPOS INTERAGEM EM QUALQUER SITUAÇÃO,
UM PAR DE FORÇAS DA TERCEIRA LEI ESTÁ PRESENTE.
Exemplo2: Imagine uma abóbora sobre uma mesa que se encontra apoiada no chão (na
Terra). A abóbora interage com a mesa enquanto a mesa interage com a Terra.
Inicialmente vamos nos concentrar nas forças que agem sobre a abóbora. é a
força normal que a mesa exerce sobre a abóbora e a força é a força gravitacional que a
Terra exerce sobre a abóbora.

Elas formam um par de forças da terceira lei Não, pois são forças que atuam sobre um
mesmo corpo, a abóbora, e não sobre dois corpos que interagem.
Exemplo3: Para encontrar um par da terceira lei precisamos nos concentrar na
interação entre a abóbora e outro corpo.
Assim, de acordo com a terceira lei: F !" = −F !"
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) A figura abaixo mostra um bloco de massa m=15 kg, suspenso por três cordas. Quais
são as trações em cada corda
43

2) Um bloco de massa m=18 kg está preso por uma corda sobre um plano sem atrito e
inclinado de 27 º. (a) Ache a tração na corda e a força normal exercida sobre o bloco
pelo plano . (b) Analise o movimento depois da corda ser cortada.
3) A figura abaixo mostra um bloco de massa m 1 = 10kg sobre uma superfície
horizontal sem atrito. O bloco é puxado por uma corda de massa de desprezível que está
ligada a outro bloco de massa m 2 = 18kg , pendurado nela. A corda passa por uma polia
cuja massa é desprezível e cujo eixo gira com atrito desprezível. Ache a tração na corda
e a aceleração.

4) Considere duas massas desiguais ligadas por uma corda que passa por uma polia
ideal, como na figura abaixo. Suponha m 2 = 14kg e m 1 = 10kg . Encontre a tração nas
cordas e a aceleração das massas.
5) A luminária de 100 N é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em
A. Determinar as forçasAB e AC . Suponha que Ɵ = 60º
Exercícios s :
força
45

6) As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar as
forças ABe AC.
7) A figura abaixo, mostra três caixotes com massas m 1 = 45kg, m 2 =22 kg e m 3 = 33 kg
apoiados sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma força horizontal de
intensidade 50 N empurra os caixotes para a direita. Determine:
a) Qual a aceleração adquirida pelos caixotes
b) Ache a força exercida por m 2 em m 3 e por m 1 em m 2
3.2. Força de Atrito
Quando um corpo está sobre uma superfície ou através de um meio viscoso
como o ar ou a água, há resistência ao movimento, pois o corpo interage com sua
vizinhança. Chamamos essa resistência de força de atrito. As forças de atrito são
importantes em nossas vidas diárias. Elas nos permitem caminhar, correr e são
necessárias para o movimento de veículos sobre rodas. O atrito causa desgaste e
deformação e muito esforço técnico é feito para reduzi-lo.

Queremos saber como expressar as forças de atrito em termos das propriedades
do corpo e do seu meio.
Imagine que você empurra uma lata pela superfície de concreto, como na figura
abaixo. Essa é uma superfície real, não uma superfície idealizada sem atrito em um
modelo de simplificação.
Fig. 3.1 (a) A força de atrito estático f ! entre uma lata de lixo e o piso de concreto é oposta à força
aplicada F. O módulo da força de atrito estático é igual ao módulo da força aplicada. (b) Quando o
módulo da força aplicada ultrapassa o módulo da força de atrito cinético f ! , a lata acelera para a direita.
(c) Um gráfico do módulo da força de atrito contra o módulo da força aplicada. Em nosso modelo, a
força de atrito cinético é independente da força de atrito da força aplicada e da velocidade relativa das
superfícies. Observe que f !,!á# > f ! .
Se aplicamos uma força horizontal externa F sobre a lata, agindo para a direita,
a lata permanece estacionária se F for pequena. A força que se opõe a F e que impede
a lata de se mover age para a esquerda e é chamada força de atrito estático f ! .
Enquanto a lata não está em movimento, f s= F . Assim, se F aumenta, f ! também
47

aumenta. Da mesma forma, se F diminui, f ! também diminui. As experiências mostram
que a força de atrito surge da natureza de duas superfícies; devido às suas asperezas, o
contato só é feito em alguns pontos.
Se aumentamos o módulo de F, como na Figura 3.1 (b), a lata pode finalmente
começar a deslizar. Quando a lata está quase começando a deslizar, f s tem um valor
máximo. Quando F ultrapassa f s, máx , a lata se move e acelera para a direita. Quando a
lata está em movimento, a força de atrito é menor que f s, máx. Chamamos a força de atrito
para um corpo em movimento força de atrito cinético f ! .
Experimentalmente descobre-se que, com uma boa aproximação, quando um
corpo está sobre uma superfície, tanto f s, máx quanto f k são proporcionais à força normal
exercida pela superfície sobre o corpo – assim adotamos um modelo de simplificação no
qual se supõe essa aproximação como exata. As suposições são resumidas:
• O módulo da força de atrito estático entre duas superfícies quaisquer que estão
em contato pode ter os valores
f ! ≤ μ ! n
em que a constante adimensional μ ! é chamada coeficiente de atrito estático e n
é o módulo da força normal. A igualdade na equação anterior vale quando as
superfícies estão quase começando a deslizar, isto é, quando f ! = f !,!á# ≡ μ ! n .
Essa situação é chamada movimento iminente. A desigualdade vale quando a
componente da força aplicada paralela às superfícies é menor que esse valor.
• O módulo da força de atrito cinético agindo entre duas superfícies é dado por
f ! = μ ! n
em que μ ! é o coeficiente de atrito cinético.
• Os valores de μ ! e μ ! dependem da natureza das superfícies, mas μ ! é
geralmente menor que μ ! .
• A direção da força de atrito sobre um corpo é oposta ao movimento real (atrito
cinético) ou ao movimento iminente (atrito estático) do corpo em relação à
superfície com a qual está em contato.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Você está tentando mover um engradado de 500 N sobre um piso plano. Para iniciar
o movimento, você precisa aplicar uma força horizontal e módulo igual a 230 N. Depois
da ‘quebra de vínculo’ e de iniciado o movimento, você precisa aplicar uma força
horizontal de módulo igual a 200N para manter o movimento com velocidade
constante. Qual é o coeficiente de atrito estático e o coeficiente de atrito cinético
2) No exemplo anterior, suponha que você tente mover o engradado amarrando uma
corda em torno dele e puxando a corda para cima com um ângulo de 30° com a
horizontal. Qual é a força que você deve fazer para manter o movimento com
49

velocidade constante O esforço que você faz é maior ou menor do que quando aplica
uma força horizontal Suponha p = 500N e μ ! = 0,40.
3) O bloco B na figura abaixo pesa 712N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco
B e a mesa é 0,25. Encontre o peso máximo do bloco A para o qual o sistema
permanecerá em equilíbrio.

3. Temperatura, calor e transmissão de calor
A termodinâmica – a ciência da energia no contexto mais amplo – surgiu lado a
lado com a revolução industrial em decorrência do estudo sistemático sobre a
conversão de energia térmica em movimento e trabalho mecânico. Daí o nome termo +
dinâmica. De fato, a análise de motores e geradores de vários tipos permanece sendo o
foco da termodinâmica para a engenharia. Porém, como ciência, a termodinâmica agora
se estende a todas as formas de conversão de energia, incluindo as que envolvem os
organismos vivos. Por exemplo:
• Motores convertem energia dos combustíveis em energia mecânica de pistões,
engrenagens e rodas de movimento;
• Células de combustível convertem energia química em energia elétrica;
• Células fotovoltaicas convertem energia eletromagnética da luz em energia
elétrica;
• Organismos convertem energia química dos alimentos em uma variedade de
outras formas de energia, incluindo energia cinética, energia sonora e energia
térmica.
3.2. Temperatura e equilíbrio térmico
O conceito central da termodinâmica é a temperatura. Estamos tão
familiarizados com essa palavra que temos a tendência de sermos excessivamente
confiantes. Começaremos com a idéia do senso comum de que a temperatura seja uma
medida de quão "quente" ou "frio" está um sistema. Essa "sensação de temperatura"
nem sempre é confiável. Por exemplo, em um dia frio de inverno, um corrimão de ferro
parece estar mais frio ao toque do que uma estaca de uma cerca de madeira, apesar de
ambos estarem a mesma temperatura. Por quê Esse erro na nossa percepção ocorre
porque o ferro remove energia dos nossos dedos mais rapidamente do que a madeira.
Portanto, vamos entender o conceito de temperatura mais profundamente. Suponha
que tivéssemos dois corpos, com temperaturas diferentes, um em contato com o outro e
51

isolados de influências externas. Você poderia perceber que o corpo mais quente iria se
esfriando, enquanto o mais frio iria se aquecendo. Depois de um certo tempo, você
perceberia, usando o seu tato, que os corpos atingiram uma mesma temperatura. A partir
desse momento, as temperaturas dos corpos não sofrerão alterações, isto é, eles
atingirão uma situação final, denominada estado de equilíbrio térmico.
LEI ZERO DA TERMODINÂMICA - Se cada um dos sistemas A e B está
em equilíbrio térmico com um terceiro sistema C, então A e B estão em
equilíbrio térmico entre si.
Em linguagem menos formal, a mensagem da lei zero é: "Todo corpo possui
uma propriedade chamada temperatura". A lei zero surgiu no século XX, na década
de 1930, muito depois da primeira e segunda leis da termodinâmica terem sido
propostas. Por ela servir de base para o conceito de temperatura, a qual é fundamental
para a primeira e segunda leis, recebeu um número de ordem menor para designá-la.
A lei zero surgiu no século XX, na década de 1930, muito depois da primeira e
segunda leis da termodinâmica terem sido propostas. Por ela servir de base para o
conceito de temperatura, a qual é fundamental para a primeira e segunda leis, recebeu
um número de ordem menor para designá-la.
3.2. Escalas de Temperatura
A temperatura é uma das sete grandezas básicas do S.I. e está relacionada à
energia térmica de um sistema. Para que a temperatura possa ser considerada uma
grandeza física, é necessário que saibamos medi-la, para que se tenha um conceito
quantitativo desta grandeza. Esta medida é feita com termômetros.
3.2.1 Escala Kelvin
A escala universalmente adotada em física é a escala kelvin, na qual o zero da
escala representa o limite mais baixo que a temperatura pode atingir, ou o zero absoluto
da temperatura.

A escala Kelvin é calibrada no chamado ponto tríplice da água, na qual o gelo,
água líquida e vapor d'água coexistem em equilíbrio térmico e vale exatamente:
T ! = 273,16 K
3.2.1 Escala Celsius
O grau Celsius ( ◦ C) designa a unidade de temperatura, assim denominada em
homenagem ao astrônomo sueco Anders Celsius (1701–1744), que foi o primeiro a
propô-la em 1742. Esta é utilizada em quase todos os países do mundo para as medidas
do dia a dia e comerciais.
Originalmente, esta escala era baseada em dois pontos de calibração:
• o ponto de congelamento da água corresponde – 0 ◦ C
• o ponto de ebulição da água - 100 ◦ C
Enquanto que os valores de congelação e evaporação da água estão
aproximadamente corretos, a definição original não é apropriada como um padrão
formal: ela depende da definição de pressão atmosférica padrão, que por sua vez
depende da própria definição de temperatura. A definição oficial atual de grau Celsius
define 0,01 °C como o ponto triplo da água, e 1 grau Celsius como sendo 1/273,16 da
diferença de temperatura entre o ponto triplo da água e o zero absoluto. Esta definição
garante que 1 grau Celsius apresenta a mesma variação de temperatura que 1 kelvin.
A temperatura na escala Celsius T c em termos da escala Kelvin é dada pela
equação:
T ! = T − 273,15 °C
3.2.1 Escala Fahrenheit
A escala Fahrenheit também foi originalmente baseada em dois pontos fixos:
• o ponto de congelamento da água corresponde - 32°F
53

• o ponto de ebulição da água - 212 °F
A Fig. 3.1 mostra as relações entre as essas três escalas de temperatura.
Fig. 3.1: Escalas de Temperatura
Transformando °F para °C:
Transformando °F para K:
T ! − 0
100 − 0 = T ! − 32
212 − 32
T !
100 = T ! − 32
180
T ! = 5 9 T ! − 32
T − 273
373 − 273 = T ! − 32
212 − 32

T − 273
100
= T ! − 32
180
T − 273 = 5 9 T ! − 32
T = 5 9 T ! − 32 + 273
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) A que temperatura as escalas Fahrenheit e Celsius coincidem R.: -40
2) A que temperatura as escalas Fahrenheit e Kelvin coincidem R: 574,25
3) A resistência de uma certa bobina de fio de platina aumenta um fator de 1,392 entre
o ponto tríplice da água e o ponto de ebulição da água na pressão atmosférica. Qual
a temperatura medida por este termômetro para o ponto de ebulição normal da
água R.: 380,2K
4) Você deve se preocupar se o seu médico lhe disser que a sua temperatura é de 310
K Explique sua resposta. R.: 36,85 °C
5) A que temperatura a leitura da escala Fahrenheit é igual a:
a) duas vezes a da escala Celsius R.: 320 °F
b) metade da escala Celsius R: -12 °F
6) Em 1964, a temperatura no vilarejo siberiano de Oymyakon atingiu -71 °C. Que
temperatura é esta na escala Fahrenheit e Kelvin R.: 202,15 K; -95,8 °F
55

3.3. Dilatação Térmica
Praticamente todas as substâncias, sejam sólidas, líquidas ou gasosas, dilatam-se
com o aumento da temperatura e contraem-se quando sua temperatura é diminuída e o
efeito da variação de temperatura, especialmente a dilatação, tem muitas implicações na
vida diária. A dilatação térmica de um sólido sugere um aumento da separação média
entre os átomos do sólido. Você já deve ter notado um espaçamento nos blocos de
concreto das ruas e avenidas, bem como nos trilhos do trem ou em algumas pontes. Esse
espaçamento é necessário justamente por causa da dilatação que os materiais sofrem.
Também em casa, aplicamos o efeito do aumento da temperatura, por exemplo,
para abrirmos tampas de vidros de conserva, aquecendo-os de alguma forma. O
controle da temperatura feito através de termostatos com lâminas bimetálicas, utilizadas
no ferro elétrico e em termopares que são os dispositivos que constam em automóveis e
outros tipos de termômetros, ocorre com base na dilatação de certos materiais.
Fig 3.2. Trilhos ferroviários deformados por causa de uma expansão térmica.
3.3.1 Dilatação Linear
Se a temperatura de uma haste metálica de comprimento L 0 for elevada de uma
quantidade ΔT, verifica-se que o seu comprimento aumenta uma quantidade

∆L = L ! α∆T
onde α é uma constante chamada de coeficiente de expansão linear de um dado
material.
Exemplo 1. De quanto se dilata um trilho de ferro de 10 m de comprimento, quando
aquecido de 0°C a 30 °C Dado: α Ferro = 12x10 -6 (°C) -1 . R.: 3,6 mm
3.3.2 Dilatação Superficial e Volumétrica
Como as dimensões lineares de um corpo mudam com a temperatura, a área da
superfície e o volume também mudam. A alteração no volume é proporcional ao volume
inicial V 0 e à mudança de em temperatura de acordo com a relação
∆V = V ! β∆T
onde β é o coeficiente de dilatação volumétrica. Para encontrar a relação entre α e β,
suponha que o coeficiente de expansão linear do sólido seja o mesmo em todas as
direções, isto é, que o material seja isotrópico. Desta maneira β = 3α.
Da mesma forma, a variação na área é dada por
∆A = A ! 2α∆T
3.3.3 Comportamento incomum da água
Líquidos geralmente aumentam em volume com o aumento de temperatura e têm
coeficientes médios de expansão de volume dez vezes maiores do que dos sólidos. A
água fria é uma exceção à regra, como você pode ver a partir da curva de densidade
versus temperatura, mostrada na Fig. 3.3. Conforme a temperatura aumenta de °C a
4°C, a água se contrai e, então, sua densidade aumenta. Acima de 4°C, a água se
expande com o aumento de temperatura e, então, sua densidade diminui. Portanto, a
densidade da água atinge um valor máximo de 1 g/cm 3 a 4°C. Podemos usar esse
comportamento incomum de expansão térmica da água para explicar por que uma lagoa
começa a congelar na superfície em vez de no fundo. Quando a temperatura do ar cai
de, por exemplo, 7°C para 6°C, á agua da superfície também esfria e,
57

consequentemente, diminui em volume. A água da superfície é mais densa que abaixo
da superfície, que não esfriou e diminui em volume. Como resultado, a água da
superfície afunda, e a mais quente do fundo se move para a superfície. Quando a
temperatura do ar está entre 4°C e 0°C, no entanto, a água da superfície se expande à
medida que esfria, ficando menos densa que a abaixo da superfície. O processo de
mistura para, e eventualmente a água da superfície congela. À medida que a água
congela, o gelo permanece na superfície, porque é menos denso que a água. O gelo
continua a se acumular na superfície, enquanto a água perto do fundo permanece a 4°C.
Se não fosse esse o caso, peixes e outras formas de vida marinha não sobreviveriam.
Fig 3.3. Variação na densidade da água à pressão atmosférica com a temperatura
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Uma régua métrica está para ter a sua marcação gravada e deseja-se que os
intervalos de milímetros apresentem uma exatidão de 5x10 -5 a uma determinada
temperatura. Qual é a variação máxima da temperatura que pode ocorrer durante a
gravação Dado: α Fe =11 x10 -6 / °C; R: 4,55 °C

2) Uma barra feita com uma liga de alumínio mede 10 cm a 20 °C e 10,015 cm no ponto
de ebulição da água. (a) Qual o seu comprimento no ponto de congelamento da água
(b) Qual é a sua temperatura, se o seu comprimento é de 10,009 cm R: (a)
9,99625cm; (b) 68°C
3) Um furo circular em uma placa de alumínio possui um diâmetro de 2,725 cm a 12 °C.
Qual o diâmetro do furo quando a temperatura da placa é aumentada até 140 °C Dado:
α Al =23x10 -6 /°C R: 2,733cm
4) Um cubo de latão tem aresta de 30 cm. Qual o aumento de sua área superficial, se a
temperatura subir de 20 para 75 °C Dado: α latao = 19x10 -6 / °C -1 . R: 11, 29 cm 2
3.4. Calor
Calor (Q) é a energia que flui entre um sistema e a sua vizinhança devido a uma
diferença de temperatura entre eles. Calor não é uma propriedade dos sistemas
termodinâmicos, e por tal não é correto afirmar que um corpo possui mais calor que
outro, e tão pouco é correto afirmar que um corpo "possui" calor. O conceito de calor
utilizado pela população, em senso comum, de forma não científica, geralmente é
apegado à ideia do calórico. Assim, costuma-se ouvir casos como: ``que calor!", ``que
frio!" e outros. Percebemos que isso é errado uma vez que o termo "calor" é a transição
de energia de um corpo mais quente para um corpo mais frio. Podemos transferir
energia entre um sistema e o seu ambiente na forma de Trabalho W por meio de uma
força atuando sobre um sistema. Calor e trabalho, diferentemente da temperatura, da
pressão e do volume, não são propriedades intrínsecas de um sistema. Eles possuem
significado apenas quando descrevem a transferência do ambiente para o sistema. O
calor é positivo quando energia se transfere do seu ambiente para uma energia térmica
do sistema (dizemos que o calor é absorvido). O calor é negativo quando se transfere
energia de uma energia térmica do sistema para o seu ambiente (dizemos que o calor é
liberado ou perdido). Essa transferência de energia é mostrada na figura 3.4.
59

Antes dos cientistas se darem conta de que o calor é energia transferida, o calor
era medido em termos da sua capacidade de aumentar a temperatura da água. Assim, a
caloria (cal) foi definida como a quantidade de calor que elevaria a temperatura de 1 g
de água de 14,5 °C para 15,5 °C .
Em 1948, a comunidade científica decidiu que já que o calor é energia
transferida, a unidade SI para o calor deveria ser a que usamos para energia, ou seja, o
joule (J).
As relações entre as várias unidades de calor são:
1 cal = 3,969 10 -3 Btu =4,186 J
Fig 3.4. Se a temperatura de um sistema exceder a do seu ambiente como em (a), o
sistema perde Calor (Q) para o ambiente até que se estabeleça um equilíbrio térmico (b).
(c) Se a temperatura do sistema estiver abaixo da temperatura do ambiente, o sistema
absorve calor até se estabelecer o equilíbrio térmico.

3.4.1 Absorção de calor
Capacidade Calorífica
Quando certa quantidade de calor é transmitida para um corpo, na maioria dos
casos sua temperatura aumenta. A propriedade física que define a quantidade de calor
Q necessária para aquecer determinado material ΔT é chamada capacidade térmica,
sendo definida matematicamente como:
C = ! ∆!
ou Q = C∆T
Desse modo poderemos calcular a capacidade térmica de 1 litro de água, de 2
litros de água, 1 litro de azeite, etc. A capacidade térmica caracteriza o corpo, e não a
substância que o constitui. Dois corpos de massas e de substâncias diferentes podem
possuir a mesma capacidade térmica. Dois corpos de massas diferentes e de mesma
substância possuem capacidades térmicas diferentes. A grandeza que caracteriza uma
substância é o calor específico.
Calor Específico
É definido como sendo a quantidade de calor Q necessária para elevar em 1ºC a
massa de 1g de determinado material, ou seja:
é cal/(g.°C).
c =
Q
m∆T
Q = mc∆T
A unidade no SI é J/(kg.K). Uma outra unidade mais usual para calor específico
61

Calor de Transformação
Como foi mencionado, uma substância altera a sua temperatura quando ela troca
calor com a sua vizinhança. No entanto, um corpo pode absorver certa quantidade de
calor e manter sua temperatura constante. Por exemplo, uma pedra de gelo a 0 °C é
retirada do congelador e colocada dentro de um copo na temperatura ambiente de 30 °C.
Esse material irá absorver calor da sua vizinhança e transformar-se em água a uma
temperatura de 0°C. No exemplo acima não houve mudança de temperatura, mas houve
mudança de estado físico, do estado sólido para o líquido. A propriedade física que
define a quantidade de calor (Q) necessária para uma mudança de fase de uma massa
m de determinada substância é chamada calor latente, e é definida como
L = Q m
Q = Lm
A unidade do calor latente é cal/g. Calor latente de fusão L f é o termo usado
quando a mudança de fase é do sólido para o líquido (fundir significa ``combinar por
derretimento"), e o calor latente de vaporização L v é o termo usado quando a mudança
de fase é do líquido para o gasoso ( o líquido ``vaporiza"). O calor latente de várias
substâncias varia consideravelmente.
Calor sensível
Provoca apenas variação na temperatura do corpo, sem que aconteça mudança no seu
estado de agregação, ou seja, se o corpo é sólido continua sólido e o mesmo acontece
com os estados líquidos e gasosos.
Também chamado de calor específico, o calor sensível, determinado pela letra c
(minúscula), é avaliado da seguinte forma: cal/g°C. Essa relação informa a quantidade
de calor que um grama de substância deve receber ou ceder para que nela aconteça a
variação de um grau de temperatura. Essa é uma unidade prática, ou seja, a que é mais
utilizada no dia a dia. Contudo, no Sistema Internacional de Unidades (SI) o calor
específico pode ser dado de duas formas: J/kgK ou em J/kg°C.

A - Calor sensível
B - Calor latente de fusão
C - Calor sensível
D - Calor latente de vaporização
E - Calor sensível
Fig 3.5. Gráfico da variação da temperatura da água em função do tempo. Sem escalas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Em um episódio de gripe, um homem de 80 kg tem 39°C de febre (cerca de 2 °C
acima da temperatura normal de 37 °C). Considerando que o corpo humano é
constituído essencialmente de água, qual seria o calor necessário para produzir essa
variação de temperatura Dado: c =1,00 cal/g °C R: 160 kcal.
2) Calcule a energia necessária para elevar a temperatura de 0,500 kg de água por 3
°C. R: 1500 cal
3) Qual o calor específico da água no S.I. R: 4190 J/kg K
4) A temperatura de uma peça de metal de 0,0500 kg é elevada para 200,0 °C e então é
colocada em um béquer isolado contendo 0,400 kg de água inicialmente a 20 °C. Se a
temperatura final de equilíbrio do sistema combinado for 22,4 °C, descubra o calor
específico do metal. Despreze as trocas de calor com o béquer. R: 0,108 cal/ g °C
Q agua + Qmetal = 0
5) Qual a energia total transferida para a água no exercício anterior R: 960 cal
6) Um estudante faz uma refeição que contém 2000 kcal de energia. Ele deseja realizar
uma quantidade equivalente de trabalho na academia levantando o objeto de 50,0 kg.
63

Quantas vezes ele deve levantar o objeto para gastar esta quantidade de energia
Considere que ele levanta o peso a uma distância de 2,00 m cada vez.
W = P h= mgh
7) Que quantidade de calor deve ser absorvida por uma massa de gelo m=720 g a -10°C
para levá-la ao estado líquido a 15 °C
3.5. Mecanismos de transferência de calor
A transferência de calor de um ponto a outro de um meio se dá através de três
processos diferentes: convecção, radiação e condução.
Fig. 3.6. Exemplos dos mecanismos de transferência de calor.
A convecção ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o
calor é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de
convecção. Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por
conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substituído por um fluido
mais frio, o que gera naturalmente correntes de convecção. O borbulhar da água
fervente em uma panela é o resultado de correntes de convecção. A radiação transfere
calor de um ponto a outro através da radiação eletromagnética. A radiação térmica é
emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo pode aquecê-lo,
convertendo-se em calor. O aquecimento solar é uma forma de aproveitamento da
radiação solar para a produção de calor. Um ferro em brasa emite radiação térmica e

aquece a região que o rodeia. A condução de calor só pode acontecer através de um
meio material, sem que haja movimento do próprio meio. Ocorre tanto em fluidos
quanto em meios sólidos sob o efeito de diferenças de temperatura.
Condução
Considere um bloco cujo material tem espessura Δx e um corte transversal de
área A com as faces opostas a temperaturas diferentes T 1 e T 2 , onde T 2 > T 1 .
T2
A
Fluxo de energia
T2>T1
T1
!x
O bloco permite que a energia seja transferida da região de alta temperatura para
a de baixa temperatura por meio da condução térmica. A taxa de transferência de
energia pelo calor (P)
P = Q ∆T
é proporcional à área do corte transversal do bloco e à diferença de temperatura e
inversamente proporcional à espessura do bloco:
P = Q ∆T
∝ A
∆T
∆x
Como cada material tem uma condutividade térmica específica, introduzimos a
constante k na equação, assim:
65

P = κ Α ∆T
∆x
Watts .
Radiação
Radiação térmica é a radiação eletromagnética emitida por um corpo em
qualquer temperatura. A radiação é uma forma de transmissão de calor pela qual um
segundo corpo pode absorver as ondas que se propagam pelo espaço em forma de
energia eletromagnética aumentando sua temperatura. A taxa de emissão de energia de
um corpo por meio da radiação térmica a partir de sua superfície é proporcional à quarta
potência de sua temperatura superficial absoluta. Este princípio é conhecido como a Lei
de Stefan e é expressa por:
P = σA eT !
sendo:
P é a potência irradiada pelo corpo (W);
σ é a constante de Stefan-Boltzmann e vale 5,66961×10 -8 W/(m 2 K 4 );
A é a área da superfície do corpo (m 2 );
e é a emissividade;
T a temperatura da superfície do corpo (K).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Uma janela cuja área é de 2,0m 2 é envidraçada com vidro de espessura de 4,0mm. A
janela está na parede de uma casa e a temperatura externa é 10 ℃. A temperatura no
interior da casa é 25 ℃. Quanta energia é transferida através da janela pelo calor em 1h
Dados: k vidro =0,8W/(m℃)

2) O filamento de tungstênio de uma lâmpada de 100W irradia 2W de luz (os demais
98W são carregados para fora por convecção e condução). O filamento tem área
superficial de 0,250mm 2 e a emissividade de 0,950. Descubra a temperatura do
filamento.
3) Uma barra de ouro está em contato térmico com uma barra de prata de mesmo
comprimento e área. Uma extremidade da barra composta é mantida a 80℃ e a
extremidade oposta está a 30 ℃. Quando a transferência de energia atinge o estado
estacionário, qual a temperatura da junção Dados: k Au =314W/(m ℃ ) e k Ag =
427W/(m℃)
67