4 Método dos quadrados mínimos

Da mesma forma que no caso discreto, temos funções ortogonais com relação ao
produto escalar, como mostrará o exemplo abaixo.
Exemplo 4.7.3:
Os polinômios de Legendre, definidos por
(k)
1 d
P 0 (x) ≡ 2 k
1, P k (x) =
[(x − 1)] , k = 1, 2, ...
k (k)
2 k! dx
b
são ortogonais em [–1, 1], com relação ao produto escalar p , q = ∫ p(x)q(x)dx .
a
Fica como exercício a verificação de que os três primeiros polinômios de Legendre
P0(x) ≡ 1, P1(x) = x e P2(x) = 1 (3x
2 − 1)
são ortogonais entre si.
2
Uma observação interessante é que, em geral, polinômios ortogonais satisfazem
uma fórmula de recorrência de 3 termos, ou seja, dados P 0 (x) e P 1 (x), conseguimos
construir P k (x), k = 2, 3, ...
No caso dos polinômios de Legendre, a fórmula de recorrência é
⎛ 2j + 1⎞
⎛ j ⎞
P j + 1 (x) = ⎜ ⎟xP
j(x)
− ⎜ ⎟Pj−1
(x)
, j = 1, 2, ...
⎝ j + 1 ⎠ ⎝ j + 1⎠
Exemplo 4.7.4:
Vamos aproximar f(x) = 4x 3
intervalo [a, b] = [0, 1].
por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no
ϕ(x) = α 1 g 1 (x) + α 2 g 2 (x) = α 1 + α 2 x, α 1 , α 2 ∈ R
(g 1 (x) ≡ 1 g 2 (x) = x).
Pelo que vimos, (α 1 , α 2 ) é a única solução de Aα = b onde
A =
⎡a11
⎢
⎣a21
a12
⎤
a
⎥
22 ⎦
α =
⎡α1
⎤
⎢ ⎥
⎣α2
⎦
b =
⎡b1
⎤
⎢ ⎥ , sendo
⎣b2
⎦
a 11 =
a 12 =
b
1
2
1 = 1
∫ g (x)dx ∫1dx
=
a
b
0
1 2
1
x 1
1 a 21
2 2
0
0
∫ g (x)g2
(x)dx = ∫ xdx = = =
a
103