Exercıcios Resolvidos de Teoria Eletromagnética Conte´udo

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:10Exercícios Resolvidos de Teoria EletromagnéticaJason Alfredo Carlson GallasProfessor Titular de Física TeóricaDoutor em Física pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, AlemanhaInstituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul91501-970 Porto Alegre, BRASILMatéria para a SEGUNDA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro“Fundamentos de Física”, Halliday, Resnick e Walker.Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallasConteúdo27 Capacitância 227.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.2 Problemas e Exercícios . . . . . . . . . 327.2.1 Capacitância . . . . . . . . . . 327.2.2 Cálculo da capacitância . . . . . 427.2.3 Capacitores em paralelo e em série 527.2.4 Armazenamento de energianum campo elétrico . . . . . . . 827.2.5 Capacitor com um dielétrico . . 1027.2.6 Os dielétricos e a lei de Gauss . 11Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar parajgallas @ if.ufrgs.br(lista2.tex)http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 1 de 12

¢££¤LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:1027 Capacitância27.1 QuestõesQ 27-3.Uma folha de alumínio de espessura desprezível é colocadaentre as placas de um capacitor, como mostraa Fig. 27-18. Que efeito ela produzirá sobre a capacitânciase (a) a folha estiver eletricamente isolada e (b)a folha estiver ligada à placa superior?¡(a) Como a folha é metálica, aparecerão cargas induzidasem ambos lados dela, transformando assim ocapacitor original em uma associação em série de doiscapacitores cuja distância entre as placas é a metade dadistância original “d”:c/folha £¥¦¨§© !" $#¥¦¨§©Esta capacitância coincide com a capacitância original.Logo, não existe alteração da capacitância pelaintrodução da folha metálica a meia distância.(b) O efeito é reduzir a distância , entre as placas, pelametade. Ou seja, duplicar a capacitância original.Q 27-6.Considere um capacitor de placas paralelas, com placasquadradas de área e separação , no vácuo. Qual éo efeito qualitativo sobre sua capacitância, de cada umadas seguinte operações: (a) Reduzir . (b) Introduziruma placa de cobre entre as placas, sem tocá-las. (c) Duplicara área de ambas as placas. (d) Duplicar a área deapenas uma das placas. (e) Deslizar as placas paralelamenteuma à outra, de modo que a área de superposiçãoseja, digamos, % &!' do seu valor original. (f) Duplicar adiferença de potencial entre as placas. (g) Inclinar umadas placas de modo que a separação permaneça numadas extremidades, mas passe a na outra.(a) A capacitância aumenta. Para verificar isto, use a¡relação £)( * +.¢(b) A capacitância aumenta. Para verificar estaafirmação, note que a nova capacitância dada pelarelação , onde é a distância entre ¢ .-/10324 £,(as placas e é a espessura da placa introduzida. O efeitoé pequeno quando for muito menor que . Tudo 2 2se passa como se a nova distância entre as placas fosse.(c) A capacitância dobra.-¨50624(d) A carga sobre a placa maior se distribuirá numa áreamaior. Portanto, a densidade de carga sobre a placa7 maior é 7 , onde é a densidade de carga sobre a placamenor. O campo elétrico deixará de ser uniforme e,como as linhas de força ficam afastadas, concluímos queo campo elétrico torna-se menor e a diferença de potencialtambém diminui.":£98 Como , concluímos quea capacitˆancia aumenta. Contudo este efeito é muitopequeno.¢(e) Como a área torna-se igual , sendo a área inicial,concluímos que a capacitância se reduz aproximadamentea do valor inicial (a capacitância não se %"&;'reduz %"&;' exatamente a do valor inicial devido ao efeitode borda).(f) O valor de ¢ permanece inalterado. A carga tambémdobra.(g) A capacitância aumenta. Pense numa associação emparalelo de capacitores, sendo que para cada capacitora distância entre as placas vai diminuindo de até !" .Ao diminuir a distância entre as placas, a capacitânciade cada capacitor vai aumentando. Donde se concluique a capacitância total é bastante maior do que a capacitânciado capacitor de placas paralelas.Q 27-14.Um objeto dielétrico experimenta uma força líquidaquando é submetido a um campo elétrico não-uniforme.Por que não há uma força líquida quando o campo é uniforme?¡Num campo elétrico uniforme a polarização tambémé uniforme, de modo que o dielétrico funciona como sefosse um corpo carregado apenas na sua superfície externa.A carga total é nula, ou seja, as cargas superficiaissão iguais e contrárias. Portanto, a força total que agesobre o dielétrico é igual a zero.Q 27-17.http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 2 de 12

¢ED¢H¤¤FE¤¤:¡£Qdo£R£SD¤&¤&¤¤¤£RS¤¤E¤&¤&¤£LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:10Um capacitor de placas paralelas é carregado por meiode uma bateria que, logo a seguir, é retirada. Umalâmina dielétrica é, então, introduzida entre as placasdo capacitor. Descreva qualitativamente o que acontececom a carga, a capacitância, a diferença de potencial, ocampo elétrico, a energia armazenada e com a lâmina.¡A carga 8 nas placas permanece inalterada quando abateria é removida (Lei da Conservação da Carga).Sendo ¢ o valor da capacitância antes de se introduziro dielétrico, o novo valor da capacitância será dado por¢ . Se , então a capacitância irá aumentar.£=

¢¡££%¤&v¡¤¥¤&v&a ¤r¤m£¡¡¡v44&¤£¤¡v£¡‡ ¤%¤¡‡¡¤%¡¡¢££¥¤¤&as j%c¢j¤&Z¤sj¤&Z¤s£~j0¤#£~£0Z£Zj~¤Z¤0&¡LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:10¡Os capacitores ¢ ¥ e ¢ estão em paralelo, formandoum capacitor equivalente ¢ ¥ que, por sua vez, está emsérie com ¢ x . Portanto, a capacitância equivalente totalé dada poreq £¥ j¢¥ ¢¢ x¤&-%- ¤j r&¤mv #F#(b) A carga no capacitor equivalente é8|£¢£¢q¤ :¤ C#Como os capacitores estão em série, este valor é omódulo da carga que está sobre cada uma das placasmC. (c)&"& £ & # rdos dois capacitores. Ou seja, 8 ¥ £C8 £ & # rayx¢ x £& % ra{xE 27-17.Na Fig. 27-25, determine a capacitância equivalente daF eF.combinação. Suponha ¥ £¢ ¢ £9r xF, ¢ £ %¡Os capacitores ¢ ¥ e ¢ estão em série. Portanto¥ ¢ ¥ ¦ £ F#£ ¥O capacitor equivalente total é dado pela ligação em paralelo¥ de e x :¢ ¢&veP 27-26.: ¥ £: £¥¢ 8£ ¥¢ 8£ m j# r &j r& a& aa{x¤ & Voltsc& Volts#A Fig. 27-28 mostra dois capacitores em série, cujaseção central, de comprimento , pode ser deslocadaverticalmente. Mostre que a capacitância equivalentedessa combinação em série é independente da posiçãoda seção central e é dada por& # r¢ ¢q¤ rp£¤ "k # v"vF# E 27-18.Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 27-26tem uma capacitância de % F. Uma diferença de potencialde &Y& V é estabelecida quando a chave é fechada.Quantos coulombs de carga passam então através doramperímetro ?, onde é o ca-,¢£¢q¤Volts. Portanto, a carga&Y&Basta usar¢P¢¤ :86£¡a fórmulapacitor equivalente da ligação £§vem paralelo, ¢£¢q¤onde F, e £¨r: ¢ £total medida éP 27-19.8i£9v j%pjs j r&Y& £Cv% mC#Uma capacitância ¥ £ F é ligada em série comuma capacitância ¢ ¢ £,r F e uma diferença de potencialde &Y& V é aplicada através do par. (a) Calculea capacitância equivalente. (b) Qual é a carga em cadacapacitor? (c) Qual a diferença de potencial através decada¡capacitor?(a) A capacitância equivalente é¡Chamando-se de a distância entre as placas da partesuperior da figura, obtemos as seguintes expressõespara as capacitâncias individuais de cada um dos doiscapacitores:¢ ¥ £*Ligando-os em série obtemos¢£¢q¤¢ £06 #¥©y« £ ¦ § ©Ža a #¦ § ©©{ª Desta expressão vemos que a capacitância equivalentenão depende de , ou seja, não depende da posição daseção reta central.P 27-28.Na Fig. 27-29, ¥ ¤ ¡£os capacitoressão ambos carregados a um ¢ potencial : £F e £¬v F¢V mas &"&com polaridades opostas, como é mostrado. As chaves¥ e t são, então fechadas. (a) Qual é a diferença detpotencial entre os ~ pontos e ? (b) Qual é a carga¢sobre? (c) Qual é a carga sobre ¢ ?¥¡(a) Após as chaves serem fechadas as diferenças depotencial são as mesmas e os dois capacitores estão em, ­ one éparalelo. A ddp de ~ até é : Ž £,­¢ ¢¤r m £rm ¤ ¤ F#http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 6 de 12 ¢£¢q¤

-vj££&¤¢ ¥ : Ž £¢ : Ž £¢¤-£j¤&as¤-&jjajs&¤&¤¤&as¤¤&as44£¢ ¤&¤¤aj¢ x&¤&¤&¤¤&££££¢eq ¢ ¥¢¢¥ ¢- ¢ ¥¥ ¢ ¢ x : ¢¥ ¢ ¢ ¢ ¥ ¢ x ¢ x 4: c-~4LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:10a carga líquida na combinação e ¢£¢q¤ é a capacitânciaequivalente.A capacitância equivalente é¢q¤ ¢ ¥ ¢ ¢ £9r j s F#A carga total na combinação é a carga líquida sobre cadapar de placa conectadas. A carga sobre o capacitoré¤8 ¥ £¥ : ¢¤ -e a carga sobre o capacitor é8 £¢ :v j¤&"& V 4 4e-£de modo que a carga líquida sobre a0 ¤ 4 ay®combinaçãoāé®C C. Portanto, a diferença£de potencial pedida é4- ¤&"& V 4 £Cv jŽ :r j & as F £ %"& V#£(b) A carga no capacitor é agora¤ay®Cā ®ay®CCceq. A diferença de po-do capacitor 8 ¢equivalente étencial através do capacitor 8 ¥ ¢ ¥ é , 8 ¥ onde é a cargaem ¤ . ¥A diferença de potencia através da combinação dos capacitorese ¢ tem que ser a mesma diferença de potencialatravés do capacitor , de modo que¤ v ¥ 8 8 ¢-eq¥ £Quando fechamos a chave pela segunda vez, parteda carga originalmente no capacitor flui para # acombinação de ¤ e . 8 Sendo é a carga original, v alei da conservação da carga nos fornece¥ 8 £98 ¢£ ¥ : c48 onde é a diferença de potencial original através docapacitor .Da Eqs. (b) tiramos que¤: ¢ ¥ : 08 ¥ 8 £que, quando substituida na Eq. (a), forneceeq¢ ¥ : 0¥¢ 8£ ¥que, finalmente, nos 8 ¥ fornece :8 ¥¢ a ¦¥ : C#(c) A carga no capacitor é agora8 ¥ £- ¤8 ¥ £% &£ %uj¥¥ : ¢©y«©y°© « ’ © ° ¢ ay®# %uj8 £v jP 27-29.Quando a chave t , na Fig. 27-30, é girada para a esquerda,as placas do capacitor C, adquirem uma diferença depotencial : . Os capacitores ¢ ¥ e ¢ estão inicialmentedescarregados. A chave é, agora, girada para a direita.Quais são as cargas finais 8 ¥ , 8 e 8 sobre os capacitorescorrespondentes?¡As cargas nos capacitores e v são as mesmas, demodo que eles podem ser substituidos por um capacitorequivalente dado por¥ ¢ ¢ ¢ ¥ ¢ x As cargas nos capacitores e v são x ¢£ ¥ : 08 ¥8 £C8: 0¢ ¥ - ¢ ¢ x 4: ¥ ¢¥ ¢ ¢ ¥ ¢ x ¢ ¢ ¢ x ¢ x # ¢¡Segunda solução: Considere a figura abaixo:4-4e-C#%"&¢ ¢ x #eq £ ¤¤x £ ¢¢ ¢ ¢ x #Portanto¢£ ¢ x .- ¢ ¢ x 4# eq A carga no capacitorequivalente é a mesma que em qualquer um dos capacitoresda combinação. A diferença de potencial através¢As cargas iniciais estão indicadas à esquerda de cada capacitor.As cargas finais estão indicadas à direita de cahttp://www.if.ufrgs.br/jgallas Página 7 de 12

¤00¢ ¥ ¢ 0¢ ¥ ¢ x ¢ ¢ xH¢££–£4£Rj–&a ¤4£¤¤x8¤4&as¤R†ºŽ#-¡LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:10da capacitor. Inicialmente, podemos escrever a seguinterelação:Watt L segundo, simplesmen-Lembrando que £ Jte precisamos multiplicar ¤ ¤ &obter que - kW h L £wv # m j & ¤W ´ Q 4e- v m &Y& s/h 4 para&"µ J. Portanto¢ ¥ : #De acordo com a Lei da Conservação da Carga, ao conectarmosos capacitores ¢ e ¢ x , a carga total 0 8 nocondutor, ± indicado na figura da solução deste problema,deve permanecer constante. Logo,85£H £ :# m j- ¤ v&Y&"&4&Yµ£“k F#E 27-37..-Donde se conclui que8|£8 ¥ 8 x £8 ¥ 0Aplicando a Lei da Conservação da Carga no²condutorindicado na figura de solução deste problema, encontramos:& £8 x¢ ¥ : Aplicando a Lei da Conservação da Carga para o condutor³ , indicado na figura do problema, não conduza nenhuma equação nova. Sabemos que o campo eletrostáticoé conservativo. Então, as somas de diferençade potencial ao longo da malha fechada deve ser nula(Lei das Malhas). Portanto,8 8 x . Donde se conclui que 8 £w8 x .Dois capacitores, de capacitância F e r F, são ligadosem paralelo através de uma diferença de potencialde ¡ V. Calcular a energia total armazenada nos capacitores.v &Y&¡A energia total é a soma das energias armazenadas emcada capacitor. Com eles estão conectados em paralelo,a diferença de potencial : a que estão submetidos é amesma. A energia total é, portanto,¤¤¢ ¥ - ˜¢ 4:5s r jv &Y&4 xk J#£ & #¢ 8 8 x¢ x 8 ¥¢0¥As relações (1), (2) e (3) formam um sistema de trêsequações e três incógnitas 8 ¥ , 8 e 8 x . A solução destesistema fornece a resposta¢ ¥ ¢ ¢ ¥ ¢ x¢ ¥ : cP 27-47.Um capacitor cilíndrico tem raio interno ~ e raio externo (como indicado na Fig. 27-6, pág. 95). Mostre que metadeda energia potencial elétrica armazenada está dentrode um cilindro cujo raio é& £8 ¥ £– £= ~ #8 £C8 x £¢ ¥ ¢ ¢ x ¢¥ ¢ x ¢¢ ¢ x¢ ¥ : #27.2.4 Armazenamento de energia num campoelétrico¡A energia acumulada num campo elétrico que ocupaum volume · é obtida integrando-se, sobre todo o volume· , a densidade de energia ¸y¹ do campo elétrico.Portanto,E 27-34.Que capacitância é necessária para armazenar uma energiade ¤ & kW L h sob uma diferença de potencial de ¤ &"&Y&V?Como sabemos que a energia armazenada num capa-¡: , a ‘dificuldade’ do problema consisteapenas em determinar quantos Joules correspondem¢acitor £ ékW h.H L &onde £ z – – é o elemento de volume da gaussianacilíndrica de raio ;: considerada (ver Fig. 27-6).–Usando a Eq. 27-12, encontramos que o campo elétrico¸ ¹· £entre as placas de um capacitor cilíndrico de comprimentocontendo uma 8 carga e de – raio é dado por·VcE H -E -z –http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 8 de 12

–4£S–44E££££S88º RŽ4££R»ºŽE8…8 8–4S£RS£8£8REE££Ã-#¤ R8 Ã#8ELISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:10Substituindo-se este valor na equação para - – , acima,encontramos a seguinte relação para a energia acumuladano campo elétrico dentro do volume compreendidoHentre o cilindro de ~ raio e o cilindro de – raio :do capacitor. O módulo S da força infinitesimal devidaao campo D elétricoporexistente no capacitor é dada8 ˜ zA Eq. 27-7 nos diz que módulo do campo D elétricoexistente no capacitor é SE 8 # H -z ––{––Portanto8 # r z ˜ – ‚Šƒ ~#A energia potencial máxima H½¼ é obtida para – ” :¤ r z SE 8|£ #85£H½¼ ” H -˜ ‚ƒ ~z #rPara obter o valor – de pedido precisamos simplesmentedeterminar o valor – de para o qualH - Hœ¼ "tenhamos. Substituindo-se nesta equação os va-e acima, encontramos sem nenhumadificuldade queHœ¼lores de H - –P 27-50.Usando o resultado do Problema 27-49, mostre que aforça por unidade de área (a tensão eletrostática) atuandosobre cada placa é dada porE . (Na realidade,este resultado é geral, valendo para condutores dequalquer formato, com um campo elétrico na sua superfície.¾¡De acordo com o problema 27-49, a força em cadaP 27-49.Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelasse atraem mutuamente com uma força dada porplaca do capacitor é dada £¿8 porelétrico entre as placas S .-£Á8 4é E, 8 ondeé a carga sobre a placa e é a área da placa. O campo, de modo quee8i£ * E– £= ~ # -À 4 E £ ¥ E Obtenha o resultado calculando o trabalho necessário, …com a 8 carga permanecendo constante. #para aumentar a separação das placas de … para …u¡O trabalho feito num campo elétrico é definido porAssim sendo, a força por unidade de área éS£ ¥ E £ Q£ 8 S!:Portanto, por comparação destas fórmulas, obtemos a.Para um capacitor de placas paralelas sabemos que aE … # £98magnitude da força é £ lmagnitude do campo é dada por S £ 7 onde . PortantoEP 27-51 .Uma carga 8 é colocada lentamente na superfície de umabolha de sabão, de raio à . Devido à repulsão mútuaexistente entre as cargas superficiais, o raio aumenta ligeiramentepara à . Por causa da expansão, a pressão doar dentro da bolha cai · Ä · para onde é a pressãoatmosférica, Ä é o volume inicial e · é o volume final.·Mostre que7 £w87 £98 8 £ £C8 #£98Modo alternativo, não 8 supondo constante: Considereuma carga infinitesimal 8 sobre uma das placas 4#x(Sugestão: Considere forças que atuam sobre uma pequenaárea da bolha carregada. Forças decorrentes de (i)pressão do gás; (ii) a pressão atmosférica; (iii) a tensãoeletrostática. Ver o Problema 50.)z Ä Ãx£0£9vhttp://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 9 de 12

8Substituindo-se Ä Æzãv8£¤8 ··E¤z£˜®®®®¤z r¤ Ä Ã¤xxÃ-88 v0 Ä £ &.c8zÃÃÃ-âH¢¢£-¤¢‚ŠƒÇm£¤¤&~ Za4s#¡LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, às 16:10Conforme o Problema 27-50, a força eletrostática que¡atua numa pequena áreaé S ¢ £ E d . O.- 4, ondedé a carga na bolha. Portanto8campo elétrico na superfície é E £Å8S ¢ d 8 à ® £ z md zr z à à ® capontando para fora. A força do gás dentro é o produtoda pressão dentro pela área, ou seja,d £ Ä27.2.5 Capacitor com um dielétricoE 27-53.Dado um capacitor k # r de pF, cheio de ar, pedimosconvertê-lo num capacitor que k # rarmazene J comuma diferença de potencial máxima m % de V. Qual dosdielétricos listados na Tabela 27-2 poderia ser usado parapreencher a lacuna de ar do capacitor?xx z ÃSÇÆd capontando para fora. A força do ar fora é S Ž £ Ä d ,apontando para dentro.Como a superfície da bolha esta em equilíbrio, a somadas três forças deve anular-se: S ¢ SÇÆ 0 S Ž £ & . EstaCom o dielétrico dentro, a capacitância é dada por¡, onde ¢ representa a capacitância antes do¢dielétrico ser inserido. A energia armazenada é dada por£É