Baricentro

Unisanta – Tópicos de Mecânica - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______
Beer e Johnston, 1995
CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE.
Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir
essa placa em i pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas
x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc.
Sobre cada elemento age a ação da gravidade, obtemos assim as forças peso
P1, P2 e Pi, respectivamente.
Essas forças estão orientadas em direção ao centro da terra; porém, para todas
finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é uma única força
na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos
elementares.
Fz P = P1+P2+...Pi
ou seja:
Fz P = dp
Momento Axial no eixo Y: My = x.P = xi.Pi
Momento Axial no eixo X: Mx = y.P = yi.Pi
Para obtermos as coordenadas do ponto G (baricentro), onde a força P
deve ser aplicada, temos:
My = xg.P = x1.P1 + x2.P2 + xi.Pi
Mx = yg.P = y1.P1 + y2.P2 + yi.Pi
Logo G, tem as coordenadas xg e yg, que são obtidas da forma:
G = (xg ; yg )
xg = xdp/dp
yg = ydp/dp
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Baricentro - Centro De Gravidade de Figuras Planas:
(Murat, S.D.)
Y
O
Analogamente podemos usar o mesmo raciocínio para superfícies planas.
Trocando a força aplicada pela área, temos:
xgi
ygi
A
dx
dy
dA=dx.dy
X
Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.)
Baricentro ou centro de gravidade = G.
Eixos baricêntricos = XG e YG.
Momentos Estáticos = Msx e Msy.
Pontos do baricentro = xg e yg.
Área da Figura Plana = A
Admitindo a figura plana (acima) posicionada em relação a um par de eixos de referência (X
e Y), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas (x ; y), como sendo o único ponto da
figura plana, que obedece simultaneamente a duas condições:
xg = M sy /A
yg = M sx /A
Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana:
M sy = xg.A
M sx = yg.A
Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos
estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área
total da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes.
yg = yg 1 .A 1 + yg 2 .A 2 + yg i .A i + /A 1 + A 2 + A i
xg = xg 1 .A 1 + xg 2 .A 2 + xg i .A i + /A 1 + A 2 + A i
Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo de G = (xg ; yg), será:
yg = M sx (i)/A(i)
xg = M sy (i)/A(i)
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Demonstração, pela definição, do Cálculo do Baricentro:
Para um Triângulo:
Seja o triângulo retângulo, representado na figura ao lado
Calcularemos sua área e momento estático, bem como,
seu baricentro.
Y
a
dx
A variação da figura em relação aos eixos
serão:
0 < X < b - b.y/a
dy
Cálculo da Área:
0 < Y < a
b
X
Área = dx.dy = dx. dy = (b - b.y/a)dy = b.dy - b.y.dy/a = b.y (0 a) - b.y 2 /2.a (0 a)
Área = b.a - b.a/2 =
Área = b.a/2
Da definição de Momento Estático temos: Msy = ( A) x.d A Msx= ( A) y.d A
Logo, os pontos de baricentro serão: G = (xg , yg).
xg = Msy/A = (2/b.a)x.dx.dy = (2/b.a)x.dx.dy = (2/b.a) (b-b.y/a) 2 /2.dy
xg = (2/b.a) (b 2 -2.b 2 .y/a +(b.y/2) 2 )/2.dy = (b 2 .a - b 2 .a + b 2 .a/3)/b.a = b 2 .a/3.b.a =
xg = b/3
yg = Msx/A = (2/b.a)y.dy.dx = (2/b.a)dx.y.dy = (2/b.a)(b.y - b.y 2 /a).dy
yg = (2/b.a).[(b.y 2 /2) - (b.y 3 /3.a)]0a = (2/b.a).[(b.a 2 /2) - (b.a 3 /3.a)] =
yg = (2.b.a 2 /2.b.a) - (b.a 2 .2/3.b.a) = a - 2.a/3
yg = a/3
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BARICENTROS DE ALGUMAS FIGURAS BÁSICAS
Retângulo
Figuras Áreas Baricentros
A = B.H
G = (B/2 ; H/2)
Triângulo Retângulo
A = (B.H)/2
G = (B/3 ; H/3)
Quarto de Círculo
A = (.R 2 )/4
G = (4.R/3. ; 4.R/3.)
Semi Círculo
A = (.R 2 )/2
G = (0 ; 4.R/3.)
Círculo
A = .R 2 G = (0 ; 0)
(Miranda,2000)
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Determinar o Baricentro das seguintes Figuras Compostas: (Almeida, 1993).
Exemplo 14: (Resolvido)
Baricentro:
Área da figura composta = 28,27 +(13,5).2 =
55,27 cm 2 ou 55,27 x 10 -4 m 2 .
G da figura composta:
xg = 28,27.(-8/) + (13,5).(3).2/ 55,27 = 0,16
cm ou 0,16 x 10 -2 m
yg = 28,27.(8/) + 13,5.(4) + 13,5.(2)/ 55,27
= 2,77 x 10 -2 m ou 2,77 cm
Preliminares:
Separar a figura principal (composta) em
figuras planas simples.
Calcular as áreas e posição dos baricentros
de cada figuras em relação aos eixos de
referência X e Y da figura principal.
Quarto de Círculo:
Área = .R 2 /4 = 28,27 x 10 -4 m 2
ou 28,27 cm 2
xg = -4.R/3. = -8/
yg = 4.R/3. = 8/
Triângulo Superior:
Área = B.H/2 = 9.3/2 = 13,5 cm 2
xg = B/3 = 3 x 10 -2 m ou 3 cm
yg = (H/3) + 3 = (3/3) + 3 = 4 cm.
Triângulo Inferior:
Área = 13,5 cm2 ou 13,5 x 10 -4 m 2
xg = 3 cm
yg = 2.H/3 = 2.3/3 = 2 cm 0u 2 x 10 -2 m
Exercício 13: (Resolver em Aula)
Preliminares:
Baricentro:
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Exercícios Propostos: (Para estudo).
Calcular, para as figuras planas compostas abaixo, o baricentro posicionando os eixos nas
figuras:
Exercício 14:
Resposta: G = (-0,69; 1,37) x 10 -2 m
Exercício 15:
Resposta: G = (1,5; -1,91) cm
Exercício 16:
Resposta: G = (-0,137; -1,137) cm
Exercício 17:
Resposta: G = (1,53; 1,24) x 10 -2 m
Exercício 14:: Exercício 15: (Almeida, 1993)
Exercício 16:
Exercício 17: (Murat, S.D.)
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