Baricentro
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Unisanta – Tópicos de Mecânica - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______<br />
Beer e Johnston, 1995<br />
CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE.<br />
Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir<br />
essa placa em i pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas<br />
x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc.<br />
Sobre cada elemento age a ação da gravidade, obtemos assim as forças peso<br />
P1, P2 e Pi, respectivamente.<br />
Essas forças estão orientadas em direção ao centro da terra; porém, para todas<br />
finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é uma única força<br />
na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos<br />
elementares.<br />
Fz P = P1+P2+...Pi<br />
ou seja:<br />
Fz P = dp<br />
Momento Axial no eixo Y: My = x.P = xi.Pi<br />
Momento Axial no eixo X: Mx = y.P = yi.Pi<br />
Para obtermos as coordenadas do ponto G (baricentro), onde a força P<br />
deve ser aplicada, temos:<br />
My = xg.P = x1.P1 + x2.P2 + xi.Pi<br />
Mx = yg.P = y1.P1 + y2.P2 + yi.Pi<br />
Logo G, tem as coordenadas xg e yg, que são obtidas da forma:<br />
G = (xg ; yg )<br />
xg = xdp/dp<br />
yg = ydp/dp<br />
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<strong>Baricentro</strong> - Centro De Gravidade de Figuras Planas:<br />
(Murat, S.D.)<br />
Y<br />
O<br />
Analogamente podemos usar o mesmo raciocínio para superfícies planas.<br />
Trocando a força aplicada pela área, temos:<br />
xgi<br />
ygi<br />
A<br />
dx<br />
dy<br />
dA=dx.dy<br />
X<br />
Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.)<br />
<strong>Baricentro</strong> ou centro de gravidade = G.<br />
Eixos baricêntricos = XG e YG.<br />
Momentos Estáticos = Msx e Msy.<br />
Pontos do baricentro = xg e yg.<br />
Área da Figura Plana = A<br />
Admitindo a figura plana (acima) posicionada em relação a um par de eixos de referência (X<br />
e Y), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas (x ; y), como sendo o único ponto da<br />
figura plana, que obedece simultaneamente a duas condições:<br />
xg = M sy /A<br />
yg = M sx /A<br />
Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana:<br />
M sy = xg.A<br />
M sx = yg.A<br />
Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos<br />
estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área<br />
total da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes.<br />
yg = yg 1 .A 1 + yg 2 .A 2 + yg i .A i + /A 1 + A 2 + A i<br />
xg = xg 1 .A 1 + xg 2 .A 2 + xg i .A i + /A 1 + A 2 + A i<br />
Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo de G = (xg ; yg), será:<br />
yg = M sx (i)/A(i)<br />
xg = M sy (i)/A(i)<br />
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Demonstração, pela definição, do Cálculo do <strong>Baricentro</strong>:<br />
Para um Triângulo:<br />
Seja o triângulo retângulo, representado na figura ao lado<br />
Calcularemos sua área e momento estático, bem como,<br />
seu baricentro.<br />
Y<br />
a<br />
dx<br />
A variação da figura em relação aos eixos<br />
serão:<br />
0 < X < b - b.y/a<br />
dy<br />
Cálculo da Área:<br />
0 < Y < a<br />
b<br />
X<br />
Área = dx.dy = dx. dy = (b - b.y/a)dy = b.dy - b.y.dy/a = b.y (0 a) - b.y 2 /2.a (0 a)<br />
Área = b.a - b.a/2 =<br />
Área = b.a/2<br />
Da definição de Momento Estático temos: Msy = ( A) x.d A Msx= ( A) y.d A<br />
Logo, os pontos de baricentro serão: G = (xg , yg).<br />
xg = Msy/A = (2/b.a)x.dx.dy = (2/b.a)x.dx.dy = (2/b.a) (b-b.y/a) 2 /2.dy<br />
xg = (2/b.a) (b 2 -2.b 2 .y/a +(b.y/2) 2 )/2.dy = (b 2 .a - b 2 .a + b 2 .a/3)/b.a = b 2 .a/3.b.a =<br />
xg = b/3<br />
yg = Msx/A = (2/b.a)y.dy.dx = (2/b.a)dx.y.dy = (2/b.a)(b.y - b.y 2 /a).dy<br />
yg = (2/b.a).[(b.y 2 /2) - (b.y 3 /3.a)]0a = (2/b.a).[(b.a 2 /2) - (b.a 3 /3.a)] =<br />
yg = (2.b.a 2 /2.b.a) - (b.a 2 .2/3.b.a) = a - 2.a/3<br />
yg = a/3<br />
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BARICENTROS DE ALGUMAS FIGURAS BÁSICAS<br />
Retângulo<br />
Figuras Áreas <strong>Baricentro</strong>s<br />
A = B.H<br />
G = (B/2 ; H/2)<br />
Triângulo Retângulo<br />
A = (B.H)/2<br />
G = (B/3 ; H/3)<br />
Quarto de Círculo<br />
A = (.R 2 )/4<br />
G = (4.R/3. ; 4.R/3.)<br />
Semi Círculo<br />
A = (.R 2 )/2<br />
G = (0 ; 4.R/3.)<br />
Círculo<br />
A = .R 2 G = (0 ; 0)<br />
(Miranda,2000)<br />
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Determinar o <strong>Baricentro</strong> das seguintes Figuras Compostas: (Almeida, 1993).<br />
Exemplo 14: (Resolvido)<br />
<strong>Baricentro</strong>:<br />
Área da figura composta = 28,27 +(13,5).2 =<br />
55,27 cm 2 ou 55,27 x 10 -4 m 2 .<br />
G da figura composta:<br />
xg = 28,27.(-8/) + (13,5).(3).2/ 55,27 = 0,16<br />
cm ou 0,16 x 10 -2 m<br />
yg = 28,27.(8/) + 13,5.(4) + 13,5.(2)/ 55,27<br />
= 2,77 x 10 -2 m ou 2,77 cm<br />
Preliminares:<br />
Separar a figura principal (composta) em<br />
figuras planas simples.<br />
Calcular as áreas e posição dos baricentros<br />
de cada figuras em relação aos eixos de<br />
referência X e Y da figura principal.<br />
Quarto de Círculo:<br />
Área = .R 2 /4 = 28,27 x 10 -4 m 2<br />
ou 28,27 cm 2<br />
xg = -4.R/3. = -8/<br />
yg = 4.R/3. = 8/<br />
Triângulo Superior:<br />
Área = B.H/2 = 9.3/2 = 13,5 cm 2<br />
xg = B/3 = 3 x 10 -2 m ou 3 cm<br />
yg = (H/3) + 3 = (3/3) + 3 = 4 cm.<br />
Triângulo Inferior:<br />
Área = 13,5 cm2 ou 13,5 x 10 -4 m 2<br />
xg = 3 cm<br />
yg = 2.H/3 = 2.3/3 = 2 cm 0u 2 x 10 -2 m<br />
Exercício 13: (Resolver em Aula)<br />
Preliminares:<br />
<strong>Baricentro</strong>:<br />
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Exercícios Propostos: (Para estudo).<br />
Calcular, para as figuras planas compostas abaixo, o baricentro posicionando os eixos nas<br />
figuras:<br />
Exercício 14:<br />
Resposta: G = (-0,69; 1,37) x 10 -2 m<br />
Exercício 15:<br />
Resposta: G = (1,5; -1,91) cm<br />
Exercício 16:<br />
Resposta: G = (-0,137; -1,137) cm<br />
Exercício 17:<br />
Resposta: G = (1,53; 1,24) x 10 -2 m<br />
Exercício 14:: Exercício 15: (Almeida, 1993)<br />
Exercício 16:<br />
Exercício 17: (Murat, S.D.)<br />
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