PROAC / COSEAC - Gabarito Prova de Matemática - UFF

PROAC / COSEAC - Gabarito
Prova de Matemática
1 a Questão: (2,0 pontos)
Alice deseja dividir igualmente determinada importância entre seus sobrinhos.
No dia da distribuição faltaram dois sobrinhos e desse modo os presentes puderam
ganhar
3
2
a mais, cada um.
Qual é o número de sobrinhos de Alice?
Cálculos e resposta:
Q
x
y
quantia total
n o de sobrinhos
quantia a ser recebida por cada um se todos estiverem presentes
⎧
⎪y
=
⎨
⎪y
+
⎪⎩
Q
x
2
y =
3
Q
x − 2
Q
x − 2
Q
=
x
+
2Q
3x
( ÷ Q)
⇒
1
x − 2
1
=
x
2
+
3x
1
x − 2
5
=
3x
⇔
3x = 5x − 10
⇔
2x = 10
⇔
x = 5
Resp: Alice tem 5 sobrinhos

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2 a Questão: (2,0 pontos)
Considere um vetor v, ortogonal aos vetores u = (2, 0, 1) e w = ( 1, 2, 0),
simultaneamente.
Sabe-se que v forma um ângulo agudo com o vetor j = (0, 1, 0) e que
v = 21 .
Determine o vetor v.
Cálculos e resposta:
Seja v = (x, y, z).
Como v ⊥ u e v ⊥ w , v // ( u x w )
i
j
k
u x w =
2
0
1
= ( −2,1,
4)
1
2
0
v // ( u x w ) ⇒ (x, y, z) = k ( - 2, 1, 4)
Por outro lado,
v
=
2
k (4 + 1 + 16)
=
21
⇒
2
k .21 = 21
⇒
k = ± 1
Logo, v = ± (-2, 1, 4)
Mas v . j > 0 ⇒ v = (-2, 1, 4)
Resp: (-2, 1, 4)

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3 a Questão: (2,0 pontos)
Ao dividir o polinômio N(x) = x 1000 – 1 pelo polinômio D(x) = x 2 – 2
encontramos o quociente Q(x) e o resto R(x).
Determine:
a) R(x)
b) O valor de Q(1)
Cálculos e resposta:
x 1000 – 1
– x 1000 + 2 x 998
x 2 – 2
x 998 + 2x 996 + 4x 994 + .... + 2 498 x 2 + 2 499
2x 998 – 1
–2x 998 + 4x 996
4x 996 – 1
:
:
2 498 x 4 – 1
– 2 498 x 4 – 2 499 x 2
2 499 x 2 – 1
–2 499 x 2 + 2 500
2 500 – 1
R(x) = 2 500 – 1 e Q(x) = x 998 + 2x 996 + 4x 994 + ... + 2 498 x 2 + 2 499
500
Q(1) = 1 + 2 + 2 + ... + 2 498 + 2 499 1.(2 − 1) 500
= = 2 − 1
1
Resp: a) R(x) = 2 500 – 1
c) Q(1) = 2 500 – 1

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4 a Questão: (2,0 pontos)
Sejam g e f funções reais de variável real definidas por
⎧2x
+ 1,
⎪
g(x) = 4x – 3 e f (x) = ⎨
2
⎪⎩ x + 2,
se
se
x
x
≤ 1
> 1
Pede-se:
a) o valor de f (-2)
b) a expressão de g(x 2 – 1)
c) a expressão de g(x 2 ) –1
d) a expressão de f (x) – 3
e) a expressão de (f o g) (x)
Cálculos e resposta:
a) − 2 = 2 > 1.
Logo,
f(–2) = (–2) 2 + 2 = 6
b) g(x 2 – 1) = 4 (x 2 – 1) – 3 = 4x 2 – 7
c) g (x 2 ) – 1 = (4x 2 – 3) – 1 = 4x 2 – 4
d)
⎧(2x
+ 1) − 3,
⎪
f(x) − 3 = ⎨
⎪ 2
⎩(x
+ 2) − 3,
se
se
x
x
≤ 1
> 1
f(x) – 3
⎧
⎪
2x − 2,
= ⎨ 2
⎪⎩ x − 1,
se
se
x
x
≤ 1
> 1

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Cálculos e respostas:
e) ( f og)( x)
⎪⎧
2(4 x − 3) + 1, se 4x
− 3
= ⎨
2
⎪⎩ (4x
− 3) + 2, se 4x
− 3
≤ 1
> 1
( fog)( x)
⎪⎧
8x − 5, se 4x − 3 ≤ 1
= ⎨ 2
⎪⎩ 16x − 24x + 11, se 4x
e 4x − 3 ≥ −1
− 3 > 1 ou 4x − 3 < −1
( fog)( x)
⎧ 2
16x − 24x
⎪
= ⎨8x
− 5,
⎪ 2
⎩16x
− 24x
+ 11,
+ 11,
se
se
se
x < 1 2
1 2 ≤ x
x > 1
≤ 1
Resp: a) f(-2) = 6
b) g(x 2 – 1) = 4x 2 - 7
c) g(x 2 ) – 1= 4x 2 - 4
d) f(x) – 3
⎧
⎪
2x − 2,
= ⎨ 2
⎪⎩ x − 1,
se
se
x
x
≤ 1
> 1
e) ( fog)( x)
⎧ 2
16x − 24x
⎪
= ⎨8x
− 5,
⎪ 2
⎩16x
− 24x
+ 11,
+ 11,
se
se
se
x < 1 2
1 2 ≤ x
x > 1
≤ 1

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5 a Questão: (2,0 pontos)
A figura mostra uma circunferência de raio r, tangente aos eixos x e y nos
pontos A e B, respectivamente. M é um ponto da circunferência, C é um ponto do
eixo x e D é um ponto do eixo y.
C
A
x
Sabendo que MC = 1 cm e MD = 2 cm, determine o valor de r.
Cálculos e resposta:
Equação da circunferência de centro (r,r) e raio r.
(x – r) 2 + (y – r ) 2 = r 2
(2, 1) é um ponto da circunferência logo
(2 – r) 2 + (1 – r) 2 = r 2
4 – 4r + r 2 + 1 – 2r + r 2 =r 2
r 2 – 6r + 5 = 0
r = 1 ou r = 5
Pela figura o raio é 5 cm
Resp: 5 cm