MAT0222 -´Algebra Linear II - feferraz.net

MAT0222 - Álgebra Linear II
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
29 de abril de 2003
Exercício 4
Seja V = P 2 (R) e sejam φ 1 , φ 2 , φ 3 ∈ V ∗ definidos por:
φ 1 (p(t)) =
∫ 1
0
p(t)dt, φ 2 (p(t)) = p ′ (1) e φ 3 (p(t)) = p(0).
Encontre a base {p 1 (t), p 2 (t), p 3 (t)} de V cuja base dual é {φ 1 , φ 2 , φ 3 }.
Sejam p 1 (t) = a + bt + ct 2 , p 2 (t) = d + et + ft 2 e p 3 (t) = g + ht + it 2 .
Nos concentremos por hora em p 1 (t). Pela definição de base dual, temos:
φ 1 (p 1 (t)) = 1, φ 2 (p 1 (t)) = 0 e φ 3 (p 1 (t)) = 0. O que aplicando as definições
das funcionais linares, nos dá:
φ 1 (p 1 (t)) =
∫ 1
] 1
a + bt + ct 2 dt =
[at + bt2
0
2 + ct3 = a + b 3
0
2 + c 3 = 1
φ 2 (p 1 (t)) = p ′ 1(1) = b + 2tc| t=1 = b + 2c = 0
φ 3 (p 1 (t)) = p 1 (0) = a = 0
Daí, temos:
⎧
⎨
⎩
a + b 2 + c 3
= 1
b + 2c = 0
a = 0
⇒ a = 0, b = 3, c = − 3 2
Portanto p 1 (t) = 3t − 3t2
2 .
Extendendo o raciocínio análogo para p 2 (t):
φ 1 (p 2 (t)) =
∫ 1
] 1
d + et + ft 2 dt =
[dt + et2
0
2 + ft3 = d + e 3
0
2 + f 3 = 0
φ 2 (p 2 (t)) = p ′ 2(1) = e + 2tf| t=1 = e + 2f = 1
φ 3 (p 2 (t)) = p 2 (0) = d = 0
Daí, temos:
1

⎧
⎨
⎩
d + e 2 + f 3
= 0
e + 2f = 1
d = 0
⇒ d = 0, e = − 1 2 , f = 3 4
Portanto p 2 (t) = − t 2 + 3t2
4 . Por fim, fazemos o mesmo para p 3(t):
φ 1 (p 3 (t)) =
∫ 1
] 1
g + ht + it 2 dt =
[gt + ht2
0
2 + it3 = g + h 3
0
2 + i 3 = 0
φ 2 (p 3 (t)) = p ′ 3 (1) = h + 2ti| t=1 = h + 2i = 0
φ 3 (p 3 (t)) = p 3 (0) = g = 1
Daí, temos:
⎧
⎨
⎩
g + h 2 + i 3
= 0
h + 2i = 0
g = 1
⇒ g = 1, h = −3, i = 3 2
Portanto p 3 (t) = 1 − 3t + 3t2
2
e a base de V procurada é:
{3t − 3t2
2 , − t }
2 + 3t2 3t2
, 1 − 3t +
4 2
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