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MAE0212 - Noções de Probabilidade e EstatísticaII - Turma 41Fernando Henrique Ferraz Pereira da RosaVagner Aparecido Pedro Junior17 de agosto de 2002Lista 1 1in Noções de Probabilidade e Estatística (Marcos N. Magalhães et al, 4 a .edição), Capítulo 6, seção 6.3, página 203.33. Estudos metereológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal,em períodos de seca numa certa região, pode ser considerada como seguindoa distribuição Normal de média 30 mm e variância 16 mm 2 .1. Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas10% de probabilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor?2. Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dospossívels valores de precipitação pluviométrica.3. Admitindo esse modelo correto para os próximos 50 meses, em quantosdeles esperaríamos uma precipitação pluviométrica superior a 34 mm?1. Seja X a variável aleatória: precipitação pluviométrica mensal.X ∼ N(µ = 30; σ = 4)Queremos um α tal que: P (X < α) = 0.1. Fazendo a transformação paraa normal reduzida:Z = X − µ ( X − 30⇒ P < α − 30 ) (= P Z < α − 30 )= 0.1σ4 44Transformando essa probabilidade em termos de valores que possamosconsultar na Tabela I (P (0 ≤ Z ≤ z c ) = p):(P Z < α − 30 )( ( )) α − 30= 0.1 ⇒ 0.5 − P 0 < Z < −= 0.144( ( )) α − 30⇒ P 0 < Z < −= 0.44Da Tabela:( ) α − 30−41 Powered by LATEX 2ε= 0.4 ⇒ α − 304= −1.285 ⇒ α = 24.861

2. Queremos achar um intervalo [µ − β, µ + β] tal que P (µ − β < X 34). Sendo Z = X−µσ :( X − 30P (X > 34) = P >4)34 − 30= P (Z > 1)4= 0.5 − P (0 < Z < 1) = 0.1587Seja Y a varíavel aleatória: número de meses com precipitação pluviométriasuperior a 34 mm.Y ∼ Bin(n = 50; p = 0.1587)E(Y ) = np = 50.0.1587 = 7.935 ≈ 8 meses34. Utilizando um gerador de números aleatórios, obtenha uma amostrade 100 observações de uma distribuição Binomial, com parâmetros n =10, 30, 50, 100 e p = 0.5; 0.7 e 0.9. Para cada combinação de n e p construa umhistograma. Baseando-se na forma dos histogramas construídos, o que pode serdito a respeito da aproximação para a distribuição Normal?• Para n = 10, tivemos resultados razoáveis para p próximo de 0.5, masmuito ruim com p = 0.9.• Com n = 30 para p = 0.5 teriamos uma aproximação razóavel e ruim paraos outros dois valores.• Já com n = 50 a aproximação continua boa para p = 0.5 mas meio fracapara os outros dois valores.• Por fim com n grande (n = 100) a aproximação normal parece razoávelpara os três possíveis valores de p.Esses resultados confirmam a recomendação de usar a Normal para aproximara distribuição binomial somente quando tivermos n qualquer mas p próximode 0.5, ou para quaisquer valores de p quando n for suficientemente grande(n ≥ 100 ie.).2

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