MAT0222-´Algebra Linear II - feferraz.net

MAT0222- Álgebra Linear II
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
25 de março de 2003
Exercício 1
Sejam U um K-espaço vetorial e T : U → U uma transformação linear tal
que T ◦ T = T . Seja W = {x ∈ U : T (x) = x} e V = {x ∈ U : T (x) = 0}. Prove
que:
a. U = W ⊕ V
Para mostrar que U = W ⊕ V temos que satisfazer duas coisas:
I. W ∩ V = {0}.
II. ∀u ∈ U, ∃ w ∈ W, v ∈ V : u = w + v.
I. Suponha u ∈ W ∩ V . Então u ∈ W e u ∈ V . Logo:
Então u = 0 e W ∩ V = {0}.
u ∈ W ⇒ T (u) = u
u ∈ V ⇒ T (u) = 0
II. Seja u ∈ U. Tomemos a seguinte igualdade, válida naturalmente
para qualquer u:
u = u − T (u) + T (u)
b. T (U) = W
Tomando v = u − T (u) e w = T (u) temos que:
T (v) = T (u − T (T (u))) ⇒ T (v) = T (u) − T (u) = 0 ⇒ v ∈ V.
T (w) = T (T (u)) = T (u) ⇒ w ∈ W.
Logo todo u em U pode ser expresso como soma de um vetor de W
e um de V , e portanto temos que U é soma direta de V e W .
Seja u ∈ U, temos do item anterior que:
u = v + w
Com v ∈ V e w ∈ W . Aplicando T dos dois lados:
T (u) = T (v + w) = T (v) + T (w) = 0 + T (w) = T (w)
Como u e w são genéricos, T (U) = T (W ) e está provada a identidade.
c. T (V ) = {0}
Seja v ∈ V , por definição temos que T (v) = 0 e então T (V ) = 0.
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