Prova Resolvida de Matemática da UFSM/2011 - Processo Seletivo 3

Prova Resolvida de Matemática – UFSM/2011 – PS3
31) Resposta (B)
Luminárias defeituosos antigas → 6% dos 60% = 0,06 . 0,6 = 0,036 = 3,6%
Luminárias defeituosos novas → 2% dos 40% = 0,02 . 0,4 = 0,008 = 0,8%
Porcentagem total de defeito = 3,6% + 0,8% = 4,4%
42) Resposta (C)
Representando a circunferência iluminada pela luminária e a reta tangente a ela no
plano cartesiano temos:
O raio da circunferência é encontrado pela distancia do ponto C(-5;10) à reta
tangente.Assim devemos achar a equação da reta que passa pelos pontos P(30, 5) e
Q(-30, -15). Assim:
Agora podemos calcular o raio utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta
abaixo:
onde d é a distância do ponto C(x c , y c ) até a reta Ax + By + C = 0 que é o raio da
circunferência dada.
Logo,

Foi pedido o comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y que é
a corda AB do desenho acima. Precisamos inicialmente determinar a equação da
circunferência, com centro (-5, 10) e raio
A equação reduzida da
circunferência dada por (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 , onde a e b são as coordenadas do
centro.
Como os pontos A e B estão no eixo y para ambos temos x = 0. Para encontrar os
dois pontos A e B, basta substituir x = 0 na equação da circunferência, assim:
(0 + 5) 2 + (y - 10) 2 = 250 → 25 + y 2 - 20y + 100 - 250 = 0 → y 2 - 20y - 125 = 0
Resolvendo a equação, achamos y 1 = -5 e y 2 = 25, logo A (0;-5) e B (0,25) e AB = 25
– (-5) = 30
Obs.: A banca utilizou a unidade de medida metro nas respostas, porém, em nenhum
momento foi citado no enunciado da questão a unidade.
43) Resposta (A)
A luminária L 1 pertence à bissetriz do 1º quadrante, formando ângulo de 45° com
argumento (θ 1 = 45° = π/4 ).
Pelo texto da questão, os módulos dos complexos L 1, L 2 e L 3 iguais entre si valem 20
metros (ρ = 20).
Na figura, vemos que o triângulo L 1 L 2 L 3 é eqüilátero, pois a distância entre cada par de
luminárias é a mesma. Logo, o ângulo central do triângulo é 120° (360°/3).
49) Resposta (D)
Devemos substituir na expressão original R 1 por R 1 + x, R 2 por R 2 + x e R 3 por R 3 + x

Agora igualando R com R(x):
1x³ + (R 1 + R 2 + R 3 )x² + (R 1 R 2 + R 1 R 3 +R 2 R 3 )x + (R 1 R 2 R 3) = a 3 x³ + a 2 x² + a 1 x +a 0
e 3x² + (2R 1 + 2R 2 + 2R 3 )x + (R 1 R 2 + R 1 R 3 +R 2 R 3 )= b 2 x² + b 1 x + b 0
Logo temos que
a 3 = 1 e b 2 = 3 o que torna a 1ª afirmativa falsa , pois a 3 ≠ b 2 .
Ainda temos que
a 1 = R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3
b 0 = R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3
Entao, a 1 = b 0 e a 2ª afirmativa correta.
Para finalizar
R 1 + R 2 + R 3 = a 2
2R 1 + 2R 2 + 2R 3 = b 1 → b 1 = 2(R 1 + R 2 + R 3 )
Substituindo uma equação em outra, temos:
b 1 = 2a 2 → a 2 = b 1 /2. Assim a 3ª afirmação está correta.