Unidade VII - Teoria Cinética dos Gases

Mas o valor médio de1 22vxpara N moléculas é22vx ( v1x ... vNx) . Então,N2 Nmv x FLSe uma molécula tem componentes da velocidadeteorema de Pitágoras,2 2 2 2v v v v , e os valores médios estão relacionados porv2 vx2x vy2y vz2zComo o movimento é aleatório,2 2 1vx= vy= v 2 z= v 23A força total sobre a parede é,2N mvF = ( )3 LA pressão sobre a parede év , v , v , então peloxyzp =F F2 N 1 , p ( )( mv2 )eq. VII. 2A3 V 22LIsto é utilizado para definir a constante de Boltzmann, kB 1,38 10onde R = N Ak B. A lei do gás ideal e a eq. VII. 2 nos leva a23J/K,T1 2 ( mv2 )eq. VII. 33k2BEste resultado nos diz que a temperatura absoluta de um gás é proporcionalà energia cinética molecular.2 2 1vx= vy= v 2 z= v 2 , assim 31 2xm2v =1 2 1 2 1 1m vy= m vz= ( m2 1v ) =2 2 3 2 2T k BEsta última equação ilustra o chamado teorema da equipartição daenergia que nos diz que cada grau de liberdade de um gás contribui com1uma quantidade de energia k BT para energia interna total. Um grau de2liberdade é um movimento independente que pode contribuir para energiatotal do sistema. Por exemplo, o grau de liberdade de uma molécula estáassociado com a rotação e vibração da molécula A energia interna total de nmols de um gás monoatômico com 3 graus de liberdade é1 2 3 3E NkBT( mv ) NkBT nRTeq. VII. 42 2 2A eq. VII. 3 pode ser resolvida para encontrarmos a raiz quadrada davelocidade quadrada média molecular,67

2v 3k BT / m 3RT/ Meq. VII. 5OndeR N AkBe M NAm= massa molar em gramas e m = massa deuma molécula.Note que essa raiz quadrada da velocidade quadrada média é umavelocidade média, e que algumas moléculas se movem com mais ou menosvelocidade.Nessa discussão supomos as moléculas como partículas pontuais. Seformos mais realistas podemos supor as moléculas como esferas de diâmetrod e assim possível calcular ao livre caminho médio entre as colisões dasmoléculas.Isto é, a distância média percorrida entre duas colisõessucessivas. Usando uma abordagem estatística nos leva a1RT eq. VII. 6222dN / V 2dN pA5. A Distribuição de Maxwell-BoltzmannAs moléculas em um gás se propagam em uma ampla faixa develocidades. Usando-se métodos da mecânica estatística podemos chegar aonúmero de partículas dN em um gás com velocidade entre v e v + dv, dN =Nf(v)dv, ondem22 2 mv/ 2kBTf ( v) 4 ( ) v eeq. VII. 72kB3f(v) é a função de distribuição de Maxwell-Boltzmann, N é o número departículas do gás de massa m. A fig. VII. 2 mostra a função de distribuiçãopara três temperaturas.Note que a unidade de f(v) é s/m. A velocidade maisprovável é aquela que corresponde ao pico dadistribuição, onde df/dv = 0. O resultado éfig. VII.2. Função de distribuição paratemperaturas, T1> T2> T 3.média,vmp2kBT2RT eq. VII. 8m MOnde M = N Am é a massa molar. Através dadistribuição podemos calcular também a velocidadev vf ( v)dv 08kBTm8RTMeq. VII. 968

A velocidade quadrada média é dada por,v2 v023kTf ( v)dv mB3RTMeq. VII.106. Calor Específico de um GásO calor específico molar de um gás é a quantidade de calornecessária para aumentar a temperatura de um mol por 1 o C. Considere 1mol de um gás ideal monoatômico a volume constante. A energia interna dogás é dada, para n = 1, E = 3/2 R T. Teremos o calor específico, C , avolume constante, n T E,n = 1; E/ T 3R/ 2.Então, aC vC vvolume constante para este gás monoatômico,3C v2 Req. VII.11vCaso o gás não seja monoatômico e tem f graus de liberdade, cadagrau de liberdade contribui com ½ R T para a energia interna e assim C v=fR/2.O gás se expande quando calor é adicionado a um recipiente que ocontém e o volume não é mantido constante. Imagine um gás contido em umcilindro, dentro tem um pistão com um peso em cima, como mostra a fig.VII. 3. O pistão mantém uma pressão constante sobre o gás. Como o gásexpande, ele puxa o pistão para cima e realiza um trabalho sobre ele. Se aárea da base do pistão é levantada uma distância dx, o trabalho realizadopelo gás é dW = Fdx = PAdx = FdV, onde o volume cresce dV = Adx e P =F/A. Usando conservação de energia,dQ = dE + dW = dE + pdVDaí podemos escreverdQ/dT = dE/dT + dW/dT = dE/dT + pdV/dT.O calor específico molar é então, C dQ/dT. Da lei dos gases ideaisdE/dT = 3R/2. Logo, para um gás monoatômico,pfig. VII. 3. Cilindro comum pistão interno e um pesoem cima do pistão.C p5 3 R R R eq. VII.122 2Para um caso geral, isto é, para um gás ideal qualquer,R C p C v eq. VII.135 7Para um gás diatômico teremos C v R e C p R .2 269

7. Processos AdiabáticosUm processo adiabático em um gás é aquele em que nenhum calor étrocado para fora ou para dentro do recipiente que contém este gás. Esteprocesso pode ser obtido mudando o volume rapidamente ou por manter orecipiente bem fechado de forma que somente uma quantidade muitopequena de calor pode ser trocada.Se o volume do gás cresce por dV, o trabalho realizado pelo gássobre um pistão imaginário é dW = pdV. O calor absorvido é zero e assim amudança de energia do gás é dE = -dW = -pdV, onde dE pode ser expressadV dpem termos de mudança de temperatura. Daí encontramos ,V pondeR C Cv p e da equação anterior encontramos uma equação queC Crelaciona p com VvvpV const.eq. VII.14e1TV const.(adiabática)eq. VII.15Podemos estudar os gráficos de p versus V para o caso adiabático sem fluxode calor, isto é, Q = 0 e pV const . Para o caso isotérmico pV = nRT =const.Exercícios ResolvidosExemplo VII. 1Um compressor de ar usado para fazer pinturas em automóveis tem um tanque decapacidade 0.40 m 3 que contem ar a uma temperatura de 27 0 C a 6 atm. Quantosmols de ar têm no tanque?Solução:5pV 61,01310 0,4n 97, 5molesRT 8,31 300Exemplo VII. 2Um pequeno vaso de de volume V contém um gás ideal a 300 K e 5 atm. Esse vasoé conectado a um vaso de volume 6V que contém o mesmo gás a uma pressão de 1atm e 600 K. A temperatura de cada vaso é mantida constante.Qual será a pressãofinal em cada vaso, após a mistura?Solução:p1V1p2Vn1 e n2RT RT12270

No finalppV' 11 p 2 p e n1 eRT1note que 6V 1 V2, logo, p = 5,3 atm.pV' 2n2 e assimRT2n' '1n2 n1 n2 ,Exemplo VII. 3226 10 moléculas de um gás ideal são armazenados em um tanque de 0,5 atm a37 0 C. Determine a pressão em pascal e a temperatura em Kelvin, o volume dotanque e a pressão quando a temperatura aumenta para 152 0 C.Solução:nRT N RT33V 5,110m , então,p N ppT11Ap2nR p1 0,69atm.T V2Exemplo VII. 4O melhor vácuo que se atinge no laboratório é cerca de51018Pa a umatemperatura de 293 K. Quantas moléculas possui por centímetro cúbico dessevácuo?Solução:nRT N RT N NAp333V 1240m 1,2 10/ cm .p N p V TRAExemplo VII. 5O gás hélio com massa molar 4 g a 330 K tem raiz quadrada da velocidade quadradamédia molecular é 1350 m/s. Qual a raiz quadrada da velocidade quadrada médiamolecular do oxigênio com massa molar 32 g a essa temperatura?Solução:3RT/ mOA relação entre as velocidades do oxigênio e hélio é: 0, 353RT/ mAssim, raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular do oxigênio é igual a0,35 da do hélio, isto é, 0,35 1350 m/s = 472,5 m/s.HeExemplo VII. 6Gás argônio tem um diâmetro de aproximadamente3,1 1010m e é usado em umrecipiente de laboratório, mantido a uma temperatura de 300 K. Qual a pressão quedevemos empregar para evacuar o gás de forma que o livre caminho médio seja de1cm.Solução:1RT15 , p 310atm222dN / V 2dN pExemplo VII. 7Uma sala está bem isolada e possui 120 m 3 de ar. O ar da sala está a umatemperatura de 21 0 C. Quanto de calor devemos adicionar ao ar de forma que atemperatura aumente de 1 0 C.71A

Solução:Q nCvT, onde:pV 5n , C v RRT 25, logo Q 2,0610JExemplo VII. 8Dois mols de ar,Cv= 5R/2, a uma temperatura de 300 K, estão contidos em umpistão pesado dentro de um cilindro de volume 6 L. Se o 5,2 kJ de calor éadicionado ao ar, qual será o volume resultante de ar?Solução:Q nC pT , onde C C R 1pv Q 7nR(T2 T1) T2 389K2T2pV2 nRT 2e pV1 nRT1, teremos V2 V1 7, 8LTExemplo VII. 9Durante a compressão de uma máquina de combustão interna, a pressão mudaadiabaticamente de 1 para 18 atm. Supondo que o gás é ideal e tem 1, 4 , porqual fator a temperatura muda? Qual o fator de mudança do volume?Solução:1/ p21V1 p2V2 V2 , 13p1p0 V1 Usando que pV nRT,encontramos uma relação entre as temperaturas.T 2,T .231Exercícios Propostos1Exercício VII. 1Um motorista começa uma viagem em uma manhã fria quando a temperatura é de4 0 C. Em um posto, ele checa a pressão no pneu de 32 psi + 15 psi (1 atm), onde 15psi é a pressão atmosférica. Depois de rodar o dia todo, a temperatura do pneu subiupara 50 0 C. Supondo que o volume é constante, qual a pressão que o ar do pneu temaumentado?Resposta: 54,8 psiExercício VII. 2A temperatura e pressão padrão de um um gás é definida como 0 0 C ou 273 K e 1atm ou 1,013 10 5 Pa. Qual o volume que um mol de gás ideal ocupa?Resposta: 22,4 L.Exercício VII. 3Quantas moléculas tem em 1 cm 3 de hélio a uma tempertura de 300 K?Resposta: 2,410 1972

Exercício VII. 4Qual a raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular de uma molécula denitrogênio no ar a uma temperatura de 300 K? A massa atômica do nitrogênio é 14.Resposta: 517 m/sExercício VII. 5Estime o livre caminho médio de uma molécula de ar a 273 K e uma pressão de 1atm, supondo que ela é uma esfera de diâmetro 410 10m. Estime também o tempomédio entre as colisões para uma molécula de nitrogênio sob essas condições. (use avelocidade do exercício VII.4)Resposta: 5,2 10 8t = 10 10s mExercício VII. 64 mols de argônio estão contidos em um cilindro a uma temperatura de 300 K.Quanto de calor deve ser adicionado para aumentar a temperatura a 600 K a volumeconstante? E a pressão constante?Resposta: 1,5 10 4 J e 2,5 10 4 J.Exercício VII. 7O gás hélio a uma temperatura de 400 K e 1 atm é comprimido adiabaticamente de20 para 4 L. Qual a temperatura final e pressão?Resposta: 1170 K e 14,6 atm73