Ondas em meios elásticos

3. Quotation,3.1 The contract shall be for the full quantity as described above.3.2 Corrections, if any, shall be made by crossing out, initialing, dating and rewriting.3.3 All duties and other levies payable by the supplier under the contract shall beincluded in the total price.3.4 Applicable taxes shall be quoted separately for all items. Please note thatthe Excise exemption & Customs concession is applicable to Jadavpur University.3.5 The prices quoted by the bidder shall be fixed for the duration of the contractand shall not be subject to adjustment on any account.3.6 If you require any “waybill” for transportation of goods to Kolkata, you haveto apply in advance separately with a copy of Invoice enclosing a copy of order;where Entry Tax will be paid by us for procuring way bill.3.7 The Prices should be quoted in Indian Rupees only.4. Each bidder shall submit only one quotation.5. Validity of quotation: Quotation shall remain valid for a period not less than 45 daysafter the last date of quotation submission.6. Evaluation of Quotations,The Purchaser will evaluate and compare the quotations determined to be substantiallyresponsive i.e. which6.1 are properly signed ; and6.2 Confirm to the terms and conditions, and specifications.6.3 Tender Specific authorization from OEM or from the OEM authorizeddistributor should be submitted by the bidder.7. The Quotations would be evaluated for all items together.• Quotations will be compared on the basis of quoted price for goods at its final destination.• Past performance & experience may be furnished to consider the credential of thebidder8. Award of contract:The Purchaser will award the contract to the bidder whose quotation has beendetermined to be substantially responsive and who has offered the lowest evaluatedquotation price.

Prof. Romero Tavares da SilvaNuma corda esticada temos a propagação de ondastransversais. Nas ondas transversais, o meio no qual a ondase propaga oscila na direção perpendicular à direção de propagaçãoda onda. Se isolarmos para observação um elementode corda, ele oscilará para cima e para baixo enquanto a ondase propagará horizontalmente.Por outro lado, se considerarmos uma mola, teremos apropagação de ondas longitudinais. Nas ondas longitudinais, omeio no qual a onda se propaga oscila na direção de propagaçãoda onda.Um exemplotípico de onda longitudinalé mostradoao lado, onde pulsosperiódicos estãosendo comunicadosà uma molaOndas progressivasVamos considerar um pulsoem forma de corcova sepropagando em uma corda. Noinstante t = 0 , o pulso tem oformato da esquerda e numinstante t posterior o pulsomanteve o mesmo formato,mas se moveu para a direita.x(0)x(t)x'(t)A função que descreve o formato da corda em t = 0 é dada por:y(x,0) = f(x)Num instante posterior t , a função que descreverá a forma da corda é dada por:y(x,t) = f(x')Se o pulso na corda move-se com velocidade com velocidade v , depois de um tempot , todos os pontos da corcova mover-se-ão de uma distância v t .Se estivermos observando um dado ponto específico da corcova, por exemplo ondeela tem metade do valor máximo. Em t = 0 esse ponto está distante de x da coordenadado ponto de máxima altura, mas num tempo t posterior ele estará distante x' do máximo,que se moveu de v t com toda a corcova. A relação entre essas grandezas é talque:x = x' + v t ⇒ x' = x - v tCap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 3

Prof. Romero Tavares da SilvaDesse modo teremos que para uma onda progressiva que se move no sentido positivodo eixo x ,y( x , y ) = f( x - v t )Uma onda progressiva, independente da sua forma, depende de x e t como mostradona equação anterior.Por outro lado, se tivéssemos uma onda progressiva viajando para a esquerda (querdizer na direção negativa do eixo x ), ela teria uma dependência funcional em x e t daforma:y( x , y ) = g( x + v t )Se tivéssemos ondas progressivas viajando nos dois sentidos, elas seriam representadasfuncionalmente por:y( x , y ) = f( x - v t ) + g( x + v t )Comprimento de onda e frequênciaSe estivermos observando apropagação de uma onda harmônicaem uma corda, denominamoscomprimento de onda λdistância entre dois pontos equivalentesconsecutivos. Na figuraao lado consideramos o comprimentode onda como a distânciaentre dois máximos consecutivos.λSe estivermos observandoum pequeno pedaço da cordaenquanto uma onda harmônicase propaga, notaremos que esseelemento de corda irá se moverpara cima e para baixo.1,0TSe medirmos cada posiçãodesse pedaço de corda à medidaque o tempo evolui, ao desenharo gráfico das posições desse pedaçoversus o tempo encontraremosuma curva do tipo mostradoà esquerda.0,50,0Y-0,50,0 0,5 1,0 1,5 2,0Denominamos período T o-1,0tempo entre dois pontos equivalentesconsecutivos. Na figura aotlado consideramos o período como a distância entre dois máximos consecutivos.Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 4

Prof. Romero Tavares da SilvaVelocidade de propagação de uma ondaUm caso particular muito importantede onda progressiva tema forma de uma senóide:1,00,5y(x,t) = y M sen(kx - wt)No instante t = 0 a funçãotem a forma da curva de traçocontínuo e para um tempo posterior∆t a função tem a forma dacurva tracejada.Chamamos a grandeza k denúmero de onda (ou vetor de onda) e o definimos como:2πk =λChamamos w de frequência angular e a definimos como:Y0,00,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00-0 ,5-1 ,0Xw2π=TChamamos de fase ϕ(x,t) o argumento da senóide, ou seja:ϕ(x,t) = kx - wtUm ponto de fase constante ocupa uma certa posição relativa na onda. Se marcarmosum certo ponto de máximo e passarmos a acompanhá-lo, iremos verificar que mesmocom a onda se movimentado á medida que o tempo evolui, a fase daquele máximo semantém constante.Assim, se quisermos calcular a velocidade com que uma onda se propaga devemosacompanhar um dado ponto dela, ou seja um ponto de fase constante:ϕ(x,t) = kx - wt = constantedxdx w λk − w = 0 ⇒ v = = = ∴ λ = vTdtdt k TCap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 5

Prof. Romero Tavares da SilvaPara uma análise global da propagação da onda na corda é interessante que saibamosqual o valor médio da potência comunicada por um elemento ao seu vizinho, eesse resultado é o fluxo de energia na corda por unidade de tempo.Considerando que:1τ2[ cos( kx − wt] = ∫ dt [ cos( kx − wt)]τ02=12onde usamos que τ é o período da função, e desse modo:onde usamos que T = µ v 2 e w = k v .1P = P µ22 2( x t) = v w y,MO Princípio da SuperposiçãoQuando estamos ouvindo uma orquestra chegam simultaneamenteaos nossos ouvidos os sons de todos osinstrumentos que estão sendo tocados num dado instante.Isto significa que uma o mais ondas sonoras podem sepropagar ao mesmo tempo numa dada região do espaço.O efeito global que percebemos será a soma dos efeitosque cada uma das ondas produziria se estivesse se propagandoisoladamente.Chamamos de princípio da superposição ao efeitoglobal ser a soma dos efeitos isolados, como se depreendeda figura ao lado que represente a interação entre duasondas progressivas em uma corda.Num dado instante as ondas viajam uma na direçãoda outra, produzem um efeito cumulativo ao se encontrar,e depois disso se afastam com o formato original.Interferência - ondas no mesmo sentidoVamos considerar o efeito da interação entre duas ondas que viajam no mesmosentido. Para simplificar a análise, sem perder muito em generalidade, vamos considerarque essas ondas tenham mesma frequência, mesmo comprimento de onda, mesma amplitude,mas tenham uma defasagem. A primeira onda tem constante de fase nula e a segundaonda tem constante de fase ϕ . Elas têm a forma:y 1 (x,t) = y M sen(kx - wt)y 2 (x,t) = y M sen(kx - wt + ϕ)Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 8

Vamos usar a identidade trigonométrica:Prof. Romero Tavares da Silva⎛ α + β ⎞ ⎛α−senα+ sen β = 2sen⎜⎟ cos⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 2A onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja:β ⎞⎟⎠logo:⎡y(x,t)= ⎢2y⎣y(x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t)M⎛ ϕ ⎞⎤⎛ ϕ ⎞cos⎜⎟⎥sen⎜kx − wt + ⎟⎝ 2 ⎠⎦⎝ 2 ⎠A onda resultante tem uma amplitude modificada de acordo com o valor da diferençade fase entre as ondas formadoras. Alguns casos simples podem ser analisados facilmente:a. ϕ = 0y(x,t) = 2 y M sen(kx - wt)Esse é um exemplo de uma interferência construtiva, as ondas se somam de modo aalcançar a maior amplitude possível.b. ϕ = πy(x,t) = 0Esse é um exemplo de uma interferência destrutiva, as ondas interagem e o resultadoé a anulação de uma pela outra.Interferência - ondas em sentido contrárioVamos analisar o resultado da interação entre duas ondas que se propagam emsentidos contráriosy 1 (x,t) = y M sen(kx - wt)y 2 (x,t) = y M sen(kx + wt)Para simplificar a análise, sem perder muito em generalidade, vamos considerarque essas ondas tenham mesma frequência, mesmo comprimento de onda, mesma amplitude,e mesma constante de fase.Novamente vamos usar a identidade trigonométrica:⎛ α + β ⎞ ⎛α−senα+ sen β = 2sen⎜⎟ cos⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 2Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 9β ⎞⎟⎠

Prof. Romero Tavares da SilvaA onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja:logo:y(x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t)y(x,t) = [ 2 y M sen(kx) ] cos(wt)Esta não é uma onda progressiva, porque não depende de x e t na forma (kx -wt)mas no entanto a corda oscila para cima e para baixo.Existem alguns pontos na corda onde a amplitude é máxima, e eles são localizadosquando kx assumem valores múltiplos ímpares de π/2 . Ou seja:kxπ 3π5ππ ⎛ 1 ⎞= ; ; ⇒ kx =⎜ ⎟ n2 2 22 ⎝ 2 ⎠( 2n+ 1) = n + π ; = 0;1;2;3; "A partir do resultado anterior podemos encontrar os valores de x para os quais aamplitude é máxima. Esse pontos são chamados antinodos. Temos que k = 2π/λ , logox N⎛ 1 ⎞ λ= ⎜n+ ⎟ ; n⎝ 2 ⎠ 2= 0;1;2;3;"Por outro lado existem pontos onde a amplitude de oscilação é sempre nula, ouseja: a corda não se move. Esses pontos são localizados quando kx assume valoresmúltiplos de π .kx= 0 ; π;2π;3π;" ⇒ kx = nπ; n = 0;1;2;3 ;"A partir do resultado anterior podemos encontrar os valore de x para os quais aamplitude é nula. Esse pontos são chamados nós. Temos que k = 2π/λ , logox Nλ= n ; n = 0;1;2;3;"2Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 10

Prof. Romero Tavares da SilvaReflexão de ondas na extremidade de uma cordaUma corda pode ter a suaextremidade presa a um pontofixo ou a uma presilha móvel.Uma onda quando incide naextremidade de uma corda serárefletida de um modo quandotem-se a extremidade fixa e demodo diverso quando a extremidadeé móvel.As duas situações podemser vistas nas figuras vizinhas, euma dedução desses resultadospode ser encontrada no Vol 2 doCurso de Física Básica de HMoysés Nussenzveig .Ondas estacionárias e ressonânciaQuando uma presa por ambasas extremidades é posta paravibrar em certa frequência as ondasse propagam nos dois sentidosformando um padrão de interferência,como já foi analisadoanteriormente.Para algumas frequênciasespecíficas a corda entra em ressonância,e acontecem as ondasestacionáriasNa primeira figura à direitatemos uma onda estacionáriacom três nós intermediários. O nóé um ponto onde a corda não semovimenta. Obviamente, as extremidadessão dois nós. Numaonda estacionária, essa situaçãodefine o primeiro padrão de oscilação,ou seja:L = λ /2Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 11

É um padrão de oscilaçãoonde a onda estacionária temmeio comprimento de onda.Num segundo padrão deoscilação temos um nó intermediárioe desse modo:L = λÉ um padrão de oscilaçãoonde a onda estacionária tem umcomprimento de onda.Num terceiro padrão de oscilaçãotemos dois nós intermediárioe desse modo:L = λÉ um padrão de oscilaçãoonde a onda estacionária temtrês meios comprimentos deonda.L = 3 λ /2Prof. Romero Tavares da SilvaPodemos generalizar dizendo que a condição para existir um padrão de oscilaçãopara uma onda estacionária é que:λL = n ⇒ λN22L=nJá mostramos anteriormente que:v vλ = v T = ⇒ f =fλMas para uma corda presa pelas extremidades, apenas algumas frequências específicaspodem desenvolver uma onda estacionária, portanto:fN=n2Lv⇒fN=n2LTµEssas frequências específicas são chamadas frequências de ressonância, e comopode-se notar elas são múltiplas de uma certa frequência mais baixa (n=1) . Chama-se afrequência mais baixa (n=1) de fundamental ou primeiro harmônico. O segundo harmônicocorresponde a (n=2) . Chama-se série harmônica o conjunto dos possíveis modosde oscilação, enquanto n é chamado de número harmônico.Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 12

Prof. Romero Tavares da SilvaSolução de alguns problemasCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição05 Mostre que y(x,t) = y M sen(k x - w t) pode ser reescrito nas seguintes formas alternativas:a) y(x,t) = y M sen[k (x - v t)]kx − wt⎛= k⎜x −⎝wk⎞t ⎟ = k⎠( x − vt)b) y(x,t) = y M sen[2π (x / λ - f t)]kx − wt=2πx − 2πftλ⎛ x ⎞= 2π⎜ − f t ⎟⎝ λ ⎠c) y(x,t) = y M sen[w (x / v - t) ]kx − wtd) y(x,t) = y M sen[2π [x / λ - t / T)]=wvx − wt⎛= w⎜⎝xv⎞− t ⎟⎠kx − wt=2π2πx − tλ T⎛ x= 2π⎜ −⎝ λtT⎞⎟⎠Capítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a . edição“09” Um pulso isolado, cuja forma de onda é dado pela função h(x - 5 t) é mostrado nafigura à seguir para t = 0 , onde x é dado em centímetros e t é dado em segundos.a) Qual a velocidade de propagação deste pulso?Um ponto com faseconstante na onda édefinido por:43ϕ(x,t) = x - 5 t = cteA velocidade desseponto é a velocidade daonda, logo:h(X)dxv = = +5cm/ sdtt = 02100 1 2 3X4 5 6 7Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 13

Prof. Romero Tavares da Silvab) Qual o sentido de propagação deste pulso?O sentido positivo do eixo x .c) Trace o gráfico h(x - 5 t) como uma função de x para t = 2s .Como é uma onda progressivaem um meionão dispersivo e sematenuação, a forma daonda manter-se-á amesma. Assim, bastacalcular onde um pontodo pulso vai estar. Vamosescolher o pontomais à esquerda daonda que se encontra naposição inicial L I = 1cm.t = 5sNo intervalo de tempo ∆t = 2s esse ponto move-se de ∆L, ondeA posição final L F desse ponto será:∆L = v ∆t = 5 . 2 = 10cmL F = L I + ∆L = 1 + 10 = 11cmd) Trace o gráfico h(x - 5 t) como uma função de t para x = 10cm .Seja t E o tempo necessáriopara que a parte daesquerda do pulso alcanceo ponto x = 10cm. O máximo do pulso jápassou por esse pontoum tempo ∆t M anterior ea parte da direita do pulsojá passou um tempo∆t D .Temos três tempos característicost E ;t M = t E + ∆t M e t D = t E +∆t D .h(x-vt)43h(x-vt)210t4321010 11 12 13 X 14 15 16 171,4 1,6 1,8 2,0 2,2 t 2,4 2,6 2,8 3,0d=v10 − 15EE= = 1, 8x = 10cm∆xM3 − 1∆tM= = = 0,4s⇒ tM= tE+ ∆tM= 2, 2sv 5∆xD 4 − 1∆tD= = = 0,6s⇒ tD= tD+ ∆tM= 2, 4sv 5Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 14s

Prof. Romero Tavares da SilvaCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a . edição“11” A equação de uma onda transversal se propagando em uma corda é dada por:y(x,t) = (2,0mm) sen[(20m -1 )x - (600s -1 )t]a) Ache a amplitude, frequência, velocidade e comprimento de onda.y M = 2,0mmw = 600rad/s ⇒ f = w/2π = 95,5Hzk = 20rad/m ⇒ λ = 2π/k = 0,31mv = w/k = 30m/sb) Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda.u(x,t)=∂y(x,t)∂t=−1−1−1( − 600s)( 2,0 mm) cos[ ( 20m) x − ( 600s) t]u M = 1200mm/s = 1,2m/sCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição12 A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquermudança considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades dasondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tensão?T F = 2 T IT ! 1A velocidade de propagação deuma onda numa fio é dada por:2v =T ! µTvvIF=TTIFµµFIComo o fio não foi alterado, não aconteceu mudança nas densidades de massa,logo:vITITI1= = = ⇒ vF= vI2 = 1,414vIv T 2T2FFICap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 15

Prof. Romero Tavares da SilvaCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição13 A densidade linear de uma corda vibrante é 1,6x10 -4 kg/m . Uma onda transversal sepropaga na corda e é descrita pela seguinte equação:y(x,t) = (0,021m) sen[(2,0m -1 )x + (30s -1 )t]a) Qual é a velocidade da onda?v = w/k = 15m/sb) Qual é a tensão na corda?µ = 1,6x10 -4 kg/mw = 30rad/sk = 2rad/mTv = ⇒ T = µ vµ2T = 0,036NCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a . edição“15” Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao longo de uma corda,então a inclinação de qualquer ponto da corda é numericamente igual à razão entrea velocidade escalar da partícula e a velocidade da onda naquele pontoy(x,y) = y M sen(kx - wt)v = velocidade da ondav = w/kyu(x,t) = velocidade de um elementode corda∂y( )( x,t)u x, t = = −wyMcos( kx − wt)∂tθxtan θ = inclinação da cordatanθ=∂y(x,t)∂x= k yMcos( kx − wt)k u(x,ttan θ = u(x,t)=)wvCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição20 Na figura à seguir a corda 1 tem uma densidade linear µ 1 = 3,0g/m e a corda 2 temuma densidade linear µ 2 = 5,0g/m . Elas estão sob tensão devido a um bloco suspensode massa M = 500g .Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 16

Prof. Romero Tavares da Silvaa) Calcule a velocidade da onda em cada corda.µ 1 = 3,0g/mµ 2 = 5,0g/mM = 500gCorda 1 Corda 2As tensões T 1 e T 2 quedistendem as cordas sãoiguais porque as cordasestão conectadas e esticadaspela ação da massaM . Dito de outra forma:MgT1= T2=2MNóEstamos aptos a calcular as velocidades de propagação de uma onda em cadauma das cordas:T1v1= = 28,57m/ sµ1T2v2= = 22,13m/ sµ2b) O bloco agora é dividido em dois (com massas M 1 + M 2 = M), de acordo com aconfiguração á seguir. Determine as massas M 1 e M 2 para que as velocidadesde uma onda nas duas cordas sejam iguais.T1v1= =µ1M g1µ1Corda 1 Corda 2T2v2= =µ2Mµ22gComo v 1 = v 2 , temos:M 2Mµ11=Mµ22⇒MM12=µµ12=35∴M1=M 123M5Mas M 1 + M 2 = M = 500g , logoM 1 = 187,5g e M 2 = 312,5gCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição23 Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está pendurada no teto.Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 17

Prof. Romero Tavares da Silvaa) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de y , adistância até a extremidade mais baixa, e é dada por v = g y .Vamos considerar um elemento de cordade comprimento ∆L .Existem duas forças atuando nesse elemento:o pedaço acima puxa o elementocom uma força F 1 , que é uma reação àforça peso do elemento de corda mais opedaço abaixo. A segunda força F 2 é opeso de pedaço abaixo do elemento decorda. Seja F a resultante das forças queatuam no elemento de corda:onde⎧⎪F⎪⎨⎪⎪F⎩XY= F1= F1⎛θ⎞sen⎜⎟ + F⎝ 2 ⎠⎛θ⎞cos⎜⎟ − F⎝ 2 ⎠⎧F⎪⎨⎪⎩122⎛θ⎞sen⎜⎟⎝ 2 ⎠⎛θ⎞cos⎜⎟⎝ 2 ⎠= µF2( y + ∆L)= µ y ggeXθ /2Yθ F ! 1∆L v !y F !2θ /2µ =mLPor outro lado, vamos considerar que a onda tenha uma amplitude pequenacomparada com o seu comprimento, de modo que o ângulo possa ser consideradopequeno:⎧ ⎛θ⎞ θ ∆L⎪sen⎜⎟ ≅ =⎪ ⎝ 2 ⎠ 2 2R∆Lθ = ; se θ (∆L) 2, então teremos que:Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 18

Prof. Romero Tavares da Silva⎧⎪F⎨⎪⎪⎩Xµ gy≅ ∆LRFY≅ 0⇒FR= FX⎛ µ g ∆L⎞= ⎜ ⎟y⎝ R ⎠No entanto, em um referencial que esteja se movimentando com a mesma velocidadedo pulso, o elemento de corda tem movimento circular com aceleraçãocentrípeta dada por:e desse modo encontramos que:v( L) RF R2= µ ∆2v ⎛ µ g ∆L⎞F R==R ⎝ R ⎠( µ ∆L) = ⎜ ⎟y∴ v g yb) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para percorrer o comprimentoda corda é dado por t = 2 L .gv=dydt=gy⇒dt=dygy∴t∫ dt'=0L∫0dygyt= g1−L2∫0y1−2dy1−1−2 2= 2gL⇒t= 2LgCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição27 Duas ondas idênticas que se propagam, deslocando-se no mesmo sentido, têm umadiferença de fase de π/2rad . Qual é a amplitude da onda resultante em termos daamplitude comum y M das duas ondas?y 1 (x,t) = y M sen(kx - wt)y 2 (x,t) = y M sen(kx - wt + π/2)y(x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t)Mas:logo:y(x,t) = y 1 (x,t) = y M [ sen(kx - wt) + sen(kx - wt + π/2) ]⎛ α + β ⎞ ⎛α−senα+ sen β = 2sen⎜⎟ cos⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 2β ⎞⎟⎠⎛ π ⎞ ⎛ 2α+ π 2 ⎞ ⎛π⎞senα+ sen⎜α+ ⎟ = 2sen⎜⎟ cos⎜⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 19

Prof. Romero Tavares da Silvae portanto⎡y(x,t)= ⎢2y⎣M⎛ π ⎞⎤⎛ π ⎞cos⎜⎟⎥sen⎜kx − wt + ⎟⎝ 4 ⎠⎦⎝ 4 ⎠A amplitude A desta onda resultante é dada por:⎛ π ⎞AA = 2 yMcos⎜⎟ = yM2 ⇒ =⎝ 4 ⎠yM2Capítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição32 Uma corda sob tensão T I , oscila no terceiro harmônico com uma frequência f 3 , e asondas na corda têm comprimento de onda λ 3 . Se a tensão for aumentada paraT F = 4T I e a corda for novamente levada a oscilar no terceiro harmônico,a) qual será a frequência de oscilação em termos de f 3 ?⎧⎪⎪⎨⎪⎪v⎪⎩F=TFµ=vI=4TµITIµ∴vF= 2vIλL = n ⇒ λN=2N 2LnfNv=λN=n2Lv⇒fN=n2LTµ⎧⎪ f⎨⎪⎪f⎩I3F3==3v2L3v2LIF⇒ffI3F3=3vI2L3vF2Lv=vIF=12∴fF3= 2fI3b) qual será o comprimento de onda em termos de λ 3 ?IFFv λ3⎛ v ⎞i⎛ f3⎞ vif31Fλ3= ⇒ =2 1 λFII3λf3λ⎜ = = ⋅ = ∴ =3f⎟⎜3v⎟⎝ ⎠⎝F ⎠ vFf32I3Capítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição34 Duas ondas senoidais com amplitudes e comprimentos de onda idênticos se propagamem sentidos contrários ao longo de uma corda, com velocidade escalar de10cm/s . Se o intervalo de tempo entre os instantes em que a corda fica retilínea é0,50s , quais os seus comprimentos de onda?Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 20

Prof. Romero Tavares da Silvay 1 (x,t) = y M sen(kx - wt)y 2 (x,t) = y M sen(kx + wt)y(x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t) = y M [ sen(kx - wt) + sen(kx + wt) ]⎛ α + β ⎞ ⎛α−senα+ sen β = 2sen⎜⎟ cos⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 2y(x,t) = 2 y M sen(kx) cos(wt)O intervalo de tempo entre os instantes em que a corda fica retilínea é igual à meioperíodo, logo:∆t = T/2 = 0,50s ⇒ T = 1sv = 10cm/s = 0,1m/sλ = v T = (0,1) (1) ⇒ λ = 0,1mCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição35 Uma corda fixada em ambas as pontas tem 8,40m de comprimento, com uma massade 0,120kg . Ela está submetida a uma tensão de 96N e é colocada em oscilação.a) Qual a velocidade escalar das ondas na corda?Mµ =LTv = = µLTMv = 81,97m/sb) Qual o mais longo comprimento de onda possível para uma onda estacionária?c) Dê a frequência dessa onda.L = 8,4mM = 0,120kgT = 96NCap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 21β ⎞⎟⎠L = λ Max /2 ⇒ λ Max = 2 L ∴ λ Max = 16,8mf = v /λ Max ⇒ f = 4,87HzCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a . edição“38” Uma fonte S e um detetor de ondas de rádio D estão localizados ao nível do soloa uma distância d , confirme a figura à seguir. Ondas de rádio de comprimento λchegam a D , pelo caminho direto ou por reflexão numa certa camada da atmosfera.Quando a camada está numa altura H , as duas ondas chegam em D exatamenteem fase. À medida que a camada sobe, a diferença de fase entre as duasondas muda, gradualmente, até estarem exatamente fora de fase para uma alturade camada H + h . Expresse o comprimento de onda λ em termos de d , h e H .

Prof. Romero Tavares da SilvaVamos definir as grandezas:d 1 = distância entre a fonte e o receptor.hd 2 = distância percorrida pelo som aoser refletido numa altura H .Hd 3 = distância percorrida pelo som aoser refletido numa altura H + h .Desse modo temos que:Sd /2 d /2D⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪d⎪⎩3d2= 2= 2dH12d d= + = d2 22⎛ d ⎞+ ⎜ ⎟ = 4H⎝ 2 ⎠⎛ d ⎞⎜ ⎟⎝ 2 ⎠+ d2( H + h) + = 4( H + h)2222+ d2∆d 1 = d 2 - d 1 = n λ ⇒ Interferência construtiva∆d 2 = d 3 - d 1 = ( n + 1/2 ) λ ⇒ Interferência destrutiva∆d 2 - ∆d 1 = λ/2 ⇒ λ = 2 ( ∆d 2 - ∆d 1 )λ =2 22 2( H + h) + d − 2 4H+2 4dCapítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição40 Dois pulsos se propagam ao longo de uma corda em sentidos opostos, como na figuraà seguir.a) Se a velocidade da onda v = 2,0m/s e os pulsos estão a uma distância de6,0cm em t = 0 , esboce os padrões resultantes para t = 5 ; 10 ; 15 e 20ms.Vamos chamar de x 1 (t) alocalização do máximo dopulso 1 , x 2 (t) a localizaçãodo máximo do pulso2 , e D(t) a separaçãoentre os máximos.yd1 v ! +− v ! 2xInicialmente os pulsos estão localizados nas posições x 01 e x 02 respectivamente,e eles se movem com velocidade v , logoCap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 22

Prof. Romero Tavares da SilvaeportantoePodemos dizer que:x 1 (t) = x 01 +vtx 2 (t) = x 02 - vtD(t) = |x 2 (t) - x 1 (t)|D(0) = |x 01 - x 02 | = d = 6,0cmD(t) = |(x 01 - x 02 )| - 2vt = d - 2vtOs pulsos terão seus máximos no mesmo ponto quando D(t E ) = 0 , ou seja:d - 2vt E = 0 ⇒ t E = d /2v = 0,015s = 15msPara t < t E os dois pulsosestão se aproximando umdo outro.Quando t = t E os máximosdos pulsos estão na mesmaposição e tem lugaruma interferência destrutivaNeste instante a corda tema forma de uma linha reta.yyD(t)1 v ! +− v ! 2D(t)xQuanto t > t E os dois pulsosestão se afastando umdo outro− v ! 21 v ! +xb) O que aconteceu com a energia em t = 15ms ?Neste instante a corda tem a forma de uma linha reta e aparentemente não existempulsos na corda. Mas é como se a energia dos pulsos estivesse armazenadaem forma de energia potencial.Cap 17 www.fisica.ufpb.br/~romero 23