Ficha de revisão nº 8

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – ATema I – Geometria no Plano e no Espaço IIFICHA DE REVISÃO Nº 8DC1. No quadrado [ABCD] o lado [BC] está dividido em quatro segmentosiguais. Determine, sem utilizar transferidor, um valor aproximado aograu, para a amplitude α do ângulo CAP.P2. Uma embalagem de pastilhas tem a forma de um prisma hexagonal regular. Considere oprisma hexagonal representado no referencial o.n. Oxyz.zSabe-se que:G• Os pontos A, B e C pertencem à base inferior do prisma, a qualestá contida no plano xOy e tem por centro a origem doreferencial.• Os pontos D, E, F e G pertencem à base superior do prisma, aqual está contida no plano de equação z = 12.• O ponto C tem coordenadas ( 0, 4,0 ) .a. Mostre que o ponto B tem coordenadas ( 12,2,0 ) eaproveite este resultado para justificar que G tem coordenadas ( − 12,2,12).b. Mostre que a recta DG pode ser definida pela condição 3x + y = −4 ∧ z = 12c. Determine a intersecção da recta DG com o plano que contém a face [ABFE] doprisma.d. Considere agora que a unidade do referencial é um centímetro (1 cm). Sabendo que,quando a caixa foi comprada, tinha doze pastilhas, cada uma das quais com umvolume de 30 cm 3 , determine, com aproximação às unidades, a percentagem dovolume da caixa que, no momento da compra, se encontrava vazio.DAAExαOFBCyB3. Na figura está representado um rectângulo [ABCD]. 2Mostre que o produto escalar AB ⋅ AC é igual a ABABDCProfessora: Rosa Canelas 12007-2008

ela dista 2 unidades de Ox e12 unidades do eixo Oy, sendo que se encontra para olado negativo do eixo Ox. Porque G está no plano de equação z = 12 podemos entãoconcluir que G tem coordenadas ( − 12,2,12).b. Mostremos que a recta DG pode ser definida pela condição 3x + y = −4 ∧ z = 12• Comecemos por escrever as coordenadas dos pontos D e G: D( 0, − 4,12)eG( − 12,2,12)• Calculemos as coordenadas de DG = G − D = ( − 12,6,0)•x y+4Uma equação da recta será então: = ∧ z = 12− 12 6equação que podemostransformar em:6x =−612y −4 12 ∧ z = 12 ⇔ 6x + 2 3y =− 4 × 2 3 ∧ z = 12 ⇔ + y =−4 ∧ z = 122 3⇔ 3x + y = −4 ∧ z = 12c. Determinemos a intersecção da recta DG com o plano que contém a face [ABFE] doprisma. Essa intersecção é o ponto onde se encontram as rectas DG e EF. Jásabemos uma equação da recta DG e a recta EF tem equação x = 12 ∧ z = 12 Entãofalta-nos encontrar a ordenada do ponto de intersecção que é dada por3× 12 + y = −4⇔ y = −6−4⇔ y = − 10. As coordenadas do ponto de intersecção darecta DG com o plano que contém a face [ABFE] do prisma são ( 2 3, − 10,12)d. Consideremos agora que a unidade do referencial é um centímetro (1 cm). Sabendoque, quando a caixa foi comprada, tinha doze pastilhas, cada uma das quais com umvolume de 30 cm 3 , determinemos, com aproximação às unidades, a percentagem dovolume da caixa que, no momento da compra, se encontrava vazio, começando porcalcular:6×4• O volume do prisma: V = Ab× h sendo que Ab = × 12 ⇔ Ab= 24 3 e2h= 12, pelo que3V = 24 3× 12⇔ V = 288 3 cm• O volume ocupado pelas pastilhas: v = 12× 30 ⇔ v = 360cm• O volume do prisma que fica vazio: V − v = 288 3 −360• A percentagem do volume do prisma que fica vazio:V −v 288 3 −360 V −v= ⇔ 0,278V 288 3 VA percentagem do volume da caixa que fica vazio é aproximadamente 28%.3Professora: Rosa Canelas 32007-2008

3. Na figura está representado um rectângulo [ABCD].AB 2Mostremos que o produto escalar AB ⋅ AC é igual a AB .DOra 2 2AB⋅ AC= AB⋅ AB+ BC = AB⋅ AB+ AB⋅ BC= AB + 0=AB( )CProfessora: Rosa Canelas 42007-2008