Matemática

03. Os lados a, b, e c do triângulo ABC são opostos aos ângulos internos α, β e γ, respectivamente, e asmedidas, em graus, dos ângulos α, β e γ estão, nessa ordem, em progressão aritmética com razão positiva.A) Determine a medida do ângulo β.B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dosângulos α e γ.SoluçãoA) Determine a medida do ângulo β.Se a razão da progressão aritmética é r0 , temos α=β−r e γ=βr . Visto que a somados ângulos internos de um triângulo vale 180 0 , concluímos, imediatamente, que β=60 o .B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dosângulos α e γ.Pela Lei dos co-senos, temos b 2 =a 2 c 2 −2ac cos60 o . Substituindo os valores a= 1 2 c eocos 60 =12,obtemos a relação b 2 = 3 4 c2 .Pela Lei dos senos, temos sen βb= sen γc. Substituindo os valores b= 3 2 c esen β= 3 2, chegamos a sen γ=1 , ou seja, γ=90 o . Como os ângulos estão emprogressão aritmética, concluímos que α=30 o .Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até quatro pontos, e oB vale até seis pontos.04. Considere o conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.A) Dentre todos os números naturais com quatro dígitos que se pode formar utilizando somenteelementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4.B) Dentre todos os números naturais com três dígitos distintos que se pode formar utilizando somenteelementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3.Solução:A) Um número natural com mais de um dígito é múltiplo de 4 se, e somente se, ele termina em 00 ouquando o número natural formado pelos dois últimos dígitos da direita é divisível por 4.Sendo assim, os números naturais de quatro dígitos, abcd, múltiplos de 4 com a, b, c e d∈Cdevem terminar em 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56 ou 64. Como podemos escolher qualquer um dosseis dígitos em C para a e qualquer um dos seis dígitos em C para b, dentre os númerosconsiderados existem 6 2 ⋅9=324 múltiplos de 4.B) Em revisão.Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo que cada item vale até cinco pontos.CCV/UFC/Vestibular 2008 Matemática Pág. 2 de 5