Matemática

03. Os lados a, b, e c do triângulo ABC são opostos aos ângulos internos α, β e γ, respectivamente, e asmedidas, em graus, dos ângulos α, β e γ estão, nessa ordem, em progressão aritmética com razão positiva.A) Determine a medida do ângulo β.B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dosângulos α e γ.SoluçãoA) Determine a medida do ângulo β.Se a razão da progressão aritmética é r0 , temos α=β−r e γ=βr . Visto que a somados ângulos internos de um triângulo vale 180 0 , concluímos, imediatamente, que β=60 o .B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dosângulos α e γ.Pela Lei dos co-senos, temos b 2 =a 2 c 2 −2ac cos60 o . Substituindo os valores a= 1 2 c eocos 60 =12,obtemos a relação b 2 = 3 4 c2 .Pela Lei dos senos, temos sen βb= sen γc. Substituindo os valores b= 3 2 c esen β= 3 2, chegamos a sen γ=1 , ou seja, γ=90 o . Como os ângulos estão emprogressão aritmética, concluímos que α=30 o .Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até quatro pontos, e oB vale até seis pontos.04. Considere o conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.A) Dentre todos os números naturais com quatro dígitos que se pode formar utilizando somenteelementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4.B) Dentre todos os números naturais com três dígitos distintos que se pode formar utilizando somenteelementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3.Solução:A) Um número natural com mais de um dígito é múltiplo de 4 se, e somente se, ele termina em 00 ouquando o número natural formado pelos dois últimos dígitos da direita é divisível por 4.Sendo assim, os números naturais de quatro dígitos, abcd, múltiplos de 4 com a, b, c e d∈Cdevem terminar em 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56 ou 64. Como podemos escolher qualquer um dosseis dígitos em C para a e qualquer um dos seis dígitos em C para b, dentre os númerosconsiderados existem 6 2 ⋅9=324 múltiplos de 4.B) Em revisão.Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo que cada item vale até cinco pontos.CCV/UFC/Vestibular 2008 Matemática Pág. 2 de 5

05. Dada a reta r : y = 2x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está,de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano.SoluçãoA equação procurada da reta tem a forma s : y=2xb com b0 , pois ela é paralela à retar : y=2x e não intercepta o quarto quadrante.A distância do ponto P 0,b para a reta r é igual a 1 , portantob=1⋅sec α=tg 2 α1=2 2 1=5 .Daí, segue a equação da reta s ,s : y=2x5 .Pontuação: Até dez pontos.06. Calcule o valor numérico da expressãolog tg π 5 log 3πtg10 ,em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo.Solução:Observe que os ângulos são complementares,π2 = 3π10 π 5 e 0 π 5 3π10 π 23ππ3ππcos = sen e sen = cos10 510 5.. Sendo assim,CCV/UFC/Vestibular 2008 Matemática Pág. 3 de 5

Essas igualdades implicam queπ 3πtg = tg 1.5 10Agora, utilizando as propriedades do logaritmo, podemos calcular o valor pedido,log tg π 5 log 3πtg10 =log tg π 3π⋅tg5 10 =log 1 =0.Pontuação: Até dez pontos.07. As arestas de um cubo medem 1 unidade de comprimento. Escolhidoum vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo queas arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas docubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida,x=∣VA∣=∣VB∣=∣VC∣ , com 0x≤1 .A) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x.B) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o valor de x para que o plano determinado pelospontos A, B e C seja tangente a essa esfera.Solução:A) Considerando a face ABV do tetraedro como a sua base, a altura fica sendo a arestaVC . Como ABV é um triângulo retângulo com medida dos catetos igual a x e a medidada altura é x=∣VA∣ , então área ABV = 1 2 x⋅x e o volume é vol VABC = 1 6 x3 .B) Calculemos o volume desse tetraedro considerando o triângulo eqüilátero ABC de lados 2xcomo a base. Seja x o o valor procurado. Sendo assim,área ABC = 1 2 2x o ⋅2 x o ⋅3 2 = 3 2 x o 2 .O dobro da medida h da altura do tetraedro em relação ao vértice V será a medida da diagonal l docubo menos a medida d do diâmetro da esfera. Pelo Teorema de Pitágoras, l=3 , e pelo fato de aesfera ser inscrita ao cubo, temos d=1 . Logo, h= 3−1 .2Calculando o volume do tetraedro, chegamos avol VABC = 3 6 x 3−1o 2 2 .Pelo item anterior, podemos escrever a igualdade36 x 3−1o 2 2 = 1 6 x 3 o.3 3−1Resolvendo essa equação, encontramos o valor x o= .2Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o Bvale até sete pontos.CCV/UFC/Vestibular 2008 Matemática Pág. 4 de 5

08. Os números a, b, c e d são reais. Determine os coeficientes do polinômio P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d,sabendo-se que o polinômio Q(x) = ax 2 + bx + 1 divide P(x) e que P(a) = Q(a) = a ≠ 0.Solução:Efetuando a divisão de P x por Q x concluímos que P x =Q x ⋅x c−1⋅xd . Porhipótese, Qx divide P x , logo, devemos ter c=1 e d=0 . Reescrevamos os polinômios:{P x=ax 3 bx 2 xQ x =ax 2 bx1.Da condição P a=a , chegamos à igualdade a 2 a 2 b=0 , de onde segue que b=−a 2 .Substituindo o valor de b no coeficiente de Q (x)e reescrevendo esse polinômio, obtemosQx=ax 2 −a 2 x1 . Novamente, pela hipótese Qa =a , obtemos o valor a=1 , e,conseqüentemente, b=−1 .Pontuação: Até dez pontosCCV/UFC/Vestibular 2008 Matemática Pág. 5 de 5