Matemática

Essas igualdades implicam queπ 3πtg = tg 1.5 10Agora, utilizando as propriedades do logaritmo, podemos calcular o valor pedido,log tg π 5 log 3πtg10 =log tg π 3π⋅tg5 10 =log 1 =0.Pontuação: Até dez pontos.07. As arestas de um cubo medem 1 unidade de comprimento. Escolhidoum vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo queas arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas docubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida,x=∣VA∣=∣VB∣=∣VC∣ , com 0x≤1 .A) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x.B) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o valor de x para que o plano determinado pelospontos A, B e C seja tangente a essa esfera.Solução:A) Considerando a face ABV do tetraedro como a sua base, a altura fica sendo a arestaVC . Como ABV é um triângulo retângulo com medida dos catetos igual a x e a medidada altura é x=∣VA∣ , então área ABV = 1 2 x⋅x e o volume é vol VABC = 1 6 x3 .B) Calculemos o volume desse tetraedro considerando o triângulo eqüilátero ABC de lados 2xcomo a base. Seja x o o valor procurado. Sendo assim,área ABC = 1 2 2x o ⋅2 x o ⋅3 2 = 3 2 x o 2 .O dobro da medida h da altura do tetraedro em relação ao vértice V será a medida da diagonal l docubo menos a medida d do diâmetro da esfera. Pelo Teorema de Pitágoras, l=3 , e pelo fato de aesfera ser inscrita ao cubo, temos d=1 . Logo, h= 3−1 .2Calculando o volume do tetraedro, chegamos avol VABC = 3 6 x 3−1o 2 2 .Pelo item anterior, podemos escrever a igualdade36 x 3−1o 2 2 = 1 6 x 3 o.3 3−1Resolvendo essa equação, encontramos o valor x o= .2Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o Bvale até sete pontos.CCV/UFC/Vestibular 2008 Matemática Pág. 4 de 5