Resolução da Prova de Matemática Aplicada

1 A figura abaixo é uma representação plana de certo apartamento, feita na escala 1: 200, ou seja, 1 cmna representação plana corresponde a 200 cm na realidade.Vão ser colocados rodapé e carpete no salão. Cada metro de rodapé custa R$ 14,00. O preço docarpete é de R$ 20,00 o metro quadrado. Quanto vai ser gasto no total? O resultado que vai serobtido é aproximado, devido à presença de, pelo menos, uma porta.Resolução1 200 1 200= → a = 700 cm = 7m; = → b = 400 cm = 4 m;3,5 a2 bperímetro = 2 (7 + 4) = 22; 14 x 22 = 308; área = 7 x 4 = 28; 20 x 28 = 560; 308 + 560 = 868No total, o gasto vai ser de R$ 868,00.1

4 O idioma da Álgebra é a equação. Para resolver um problema que envolva números ou relações entrequantidades, é conveniente traduzir o problema da sua linguagem para a linguagem da Álgebra.Resolva estes dois antigos problemas.A Quatro irmãos têm 45 moedas de ouro. Se a quantia do primeiro aumenta em duas moedas, aquantia do segundo diminui duas moedas, a do terceiro dobra e a do quarto se reduz à metade,todos ficam com a mesma quantia de dinheiro. Quantas moedas tem cada um?B Dois amigos decidem, caminhando em linha reta, encontrar-se em algum ponto do caminhoentre as suas casas. Um dos amigos diz ao outro:“Como sou mais velho, caminho a cerca de 3 km por hora; você é muito mais novo e,provavelmente, deve caminhar a cerca de 4 km por hora. Então, saia de casa 6 minutos depoisque eu sair e nos encontraremos bem na metade da distância entre nossas casas.”Qual a distância entre as duas casas?ResoluçãoA x + y + z + t = 45x + 2 = y – 2 = 2z = 0,5 tOs quatro irmãos têm 8, 12, 5 e 20 moedas de ouro.B⎛ 1 ⎞3⎜t + ⎟ = 4t⎝ 10 ⎠3t+ 0,3 = 4tt = 0,3hora= 18 min utos4.0,3=1,2A distância entre as casas dos dois amigos é 2(1,2) = 2,4 km.4

37 A figura mostra o gráfico da função f ( x ) = 1+x − 2x.ResoluçãoA Determine as soluções que não são números reais da equação f ( x ) = 0.B Resolva a inequação: f ( x ) ≥ 1.2A f ( x ) = ( x −1).(−2x− 2x−1)−1+i −1−i2x2 + 2x+ 1 = 0 → x ; x =2 2− 22B x ≤ ou 0 ≤ x ≤227

8 O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. Qualsuperfície tem maior área: a branca ou a hachurada?Resolução⎛ l l ⎞⎜ . ⎟ 2• superfície branca → Área = 4 2 2 l⎜ ⎟ =2 2⎜⎟⎝ ⎠⎛ l• superfície hachurada → Área = ⎜⎝As duas superfícies têm áreas iguais22⎞⎟⎠22l=28

Atenção:No enunciado original, ao invés de “... volume 5175 cm 3 ”, está escrito “... volume 5175cm 2 ”.O próprio candidato deve ter percebido, corrigido o erro e resolvido sem dificuldades a questão.No entanto, qualquer observação dele será analisada pela banca de correção.9 Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm 3 , cabem exatamente três bolas de tênis.A Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.B Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?ResoluçãoAπ r2. 6r= 5175 → r4 5175 ⎞= 3.⎜⎛ π . ⎟⎝ 3 6π⎠V3 bolas=35175=6π3450O volume não ocupado pelas bolas é igual a 5175 – 3450 = 1725 cm 3 .⎛ 4 3 ⎞3⎜π r ⎟3 2B razão =⎝ ⎠= .2π r . 6r39

10A Considere os números complexos z1= 1+i;z2= 2(1 + i ) , em que i é o número complexo talque i 2 = −1.Represente, no plano cartesiano, o triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexosz + z , z − z e z . Calcule a sua área.1 2 2 1 1z2B A razão de semelhança entre um novo triângulo, semelhante ao triângulo original, e o triângulooriginal, é igual a 3. Qual é a área desse novo triângulo?ResoluçãoA⎛ 3.1 ( 1+3 ) 2 ( 1+4 ) 1⎞Área = 3 . 4 − ⎜ + + ⎟ = 4⎝ 2 2 2 ⎠área 2B = 3 → área = 364Fim da Prova de Matemática Aplicada10