Resolução da Prova de Matemática Aplicada

2 A linha poligonal da figura a seguir foi desenhada no plano cartesiano, tem origem no pontoA = ( 0 , 0 ) , cada um dos seus lados mede 1 e segue sempre o mesmo padrão.1A1O ponto B dessa poligonal é tal que o comprimento do pedaço AB da poligonal é igual a 2013.Determine as coordenadas do ponto B.Uma solução:O padrão de repetição é1A 1 2A poligonal de comprimento 4 termina no ponto (2, 0), pois há dois lados horizontais.A poligonal de comprimento 2012 terminará no ponto (1006, 0).O ponto B é atingido com mais um lado horizontal. Portanto, B = (1007, 0).2

3 Uma praça retangular ABCD tem 300m de comprimento e 200m de largura, e está representada nafigura abaixo na escala 1:100. O ponto P do lado AB é tal que, quem caminha em linha reta de P até Dpercorre uma distância igual à de quem caminha, sobre o contorno da praça, de P até C, passandopelo ponto B.D3C2APBDetermine a distância percorrida, em metros, por quem caminha em linha reta de P até D.Uma solução:Seja AP = x . Então PB = 3 − x .Como PD = PB + BC temos:222 + x = 3−x + 224 + x = 5− x .Elevando ao quadrado,24 + x = 25−10x + xx = 2,1.2Assim, PD = PB + BC = 3 − 2,1+2 = 2,9 .Como a escala é de 1 para 100, a distância de P até D é de 290m.3

4 Dois números reais são tais que sua soma é igual a 8, e a soma dos seus quadrados é igual a 42.a) Calcule o produto desses números.b) Calcule a diferença (o maior menos o menor) desses números.Uma solução:Sejam a e b os números procurados. Temos a + b = 8 e a + b = 42 .a) Elevando ao quadrado a primeira relação temos:( a+ b ) 2 = 6442 + 2ab= 642 ab = 22ab =11.b) Por outro lado,2( a − b )2= a+ b2− 2ab= 42 − 22 = 2022Portanto, a − b = 20 = 2 5 .4

5 Em um mercado de pescados, o gerente sabe que, quando o quilograma de peixe de primeiraqualidade é anunciado, no início do dia, por um preço de p reais, o mercado vende uma quantidaden = 400 − 5p quilogramas nesse dia ( 20 ≤ p ≤ 60 ).No fim do dia, a quantidade de quilogramas vendidos é conhecida, e o gerente paga ao fornecedor aquantia de 200 reais mais 10 reais por quilograma vendido.a) Determine a quantia que o gerente arrecada, quanto paga ao fornecedor e qual é o seu lucroquando anuncia o preço p = 32 reais por quilograma.b) Determine o preço que o gerente deve anunciar para que seu lucro seja máximo.Uma solução:a)Se p = 32 , então n = 400 − 5p= 400 − 5⋅32= 240.A arrecadação: A = pn = 32 ⋅240= 7680 reais.O gerente paga: Q = 200 + 10n= 200 + 10⋅240= 2600 reais.Lucro: L = A − Q = 7680 − 2600 = 5080 reais.b)Arrecadação: A = pn = p( 400 − 5p ) = 400p− 5p.O gerente paga: Q = 200 + 10n= 200 + 10(400 − 5p ) = 4200 − 50p.2Lucro: L = A − Q = 400p− 5p− ( 4200 − 50p ) = −5p+ 450p− 4200 .L = −5p2 + 450p− 4200 .O lucro é uma função quadrática de variável p, onde 20 ≤ p ≤ 60 .O lucro máximo é encontrado para p 450= − = 452(−5)reais.(Observe que esse valor pertence ao intervalo 20 ≤ p ≤ 60 ).225

6 Cristóvão Colombo iniciou a primeira viagem do descobrimento da América nas Ilhas Canárias(longitude 15 o W) e navegou diretamente para oeste, seguindo o paralelo 28 o . Se não tivesse, nosúltimos dias, se desviado um pouco para o sul, teria descoberto a América no lugar que hoje sechama Cabo Canaveral (longitude 80 o W).A figura abaixo mostra o equador da Terra, o paralelo 28 oe o meridiano de Greenwich. As IlhasCanárias estão no ponto P, o Cabo Canaveral no ponto Q, e os arcos OA, AP e AQ medem,respectivamente, 28 o , 15 o e 80 o .Nmeridiano deGreenwichQPAparalelo 28 oOequadorTrajetóriaimagináriade ColomboDados:• sen28 o = 0,47 cos28 o = 0,88 tan28 o = 0,53• Comprimento do equador da Terra = 40.000km.SDetermine o comprimento aproximado do percurso PQ da figura acima.Uma solução:Seja C o centro da Terra e C' o centro da circunferência do paralelo 28.C'Cr28 oR28 oAOO ângulo central OCA mede 28 o .As retas C'A e CO são paralelas. Logo, o ângulo C'AC mede também 28 o .Sendo R o raio da Terra e r o raio do paralelo 28, temos r = Rcos28 = 0,88R.O comprimento do equador é C = 2π R 40000 km.0 =6o

O comprimento do paralelo 28 é:C = 2πr= 2π⋅0, 88R= 2πR⋅0, 88 = 40000⋅0,8828 =A diferença das longitudes dá a medida do arco PQ:arc(AQ ) − arc( AP ) = 80 −15= 65 .O comprimento do arco PQ é igual aCPQ=65360⋅35200≅ 6356 km.ooo35200 km.7

7 A sequência de números naturais que se vê a seguir foi construída de forma que cada número naturaln foi escrito n vezes:Determine o 1000 o termo dessa sequência.Uma solução:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6 …Quando o último número n é escrito, a quantidade de números que foram escritos é( 1+n)n1+ 2 + L + n = .2( 1+ n) n45⋅4446⋅45Se < 1000 , o maior valor natural de n é 44, uma vez que = 990 e = 1035 .222Como o 990 o número é o último 44, todos os números do 991 o ao 1035 o são iguais a 45.Logo, o 1000 o número escrito é 45.8

8 O piso de um enorme salão foi coberto com pequenos ladrilhos hexagonais regulares brancos etriangulares pretos. A figura a seguir mostra uma pequena parte do piso do salão.Determine que porcentagem do piso do salão é preta.Uma solução:Considere o ladrilho formado por um hexágono e dois triângulos equiláteros construídos sobre ladosopostos:Esse ladrilho cobre, sem superposição, o plano. Assim, a porcentagem da superfície desse ladrilho,que é preta, é a mesma porcentagem do plano todo, que é preta.O ladrilho acima á formado por oito triângulos equiláteros iguais, dos quais dois são pretos. Assim a2 1porcentagem do ladrilho que é preta é de = = 0 , 25 = 25%.8 4Como o piso do salão é muito grande em relação ao ladrilho, a porcentagem do piso do salão, que épreta, é também de 25%.Pode-se dizer também que a porcentagem do piso do salão, que é preta, é aproximadamente de25%, porque o valor exato depende da forma do salão.9

9 Antônio tem no bolso três balas de limão, três de tangerina e quatro de menta, todas com o mesmotamanho e aspecto. Retirando do bolso duas balas ao acaso, qual é a probabilidade de que pelomenos uma seja de menta?Uma solução:Numerando as balas como L1, L2, L3, T1, T2, T3, M1, M2, M3, M4, o número de maneiras de retirar ao210 =acaso duas delas é C 45 . O número de maneiras de retirar duas balas, sendo nenhuma de menta,26 =é C 15 .15 1A probabilidade de que na retirada de duas balas nenhuma seja de menta é = .45 31 2A probabilidade de que pelo menos uma seja de menta é p = 1 − = .3 310

10 Quando duas resistências elétricas de valores R 1 e R 2 são dispostas em paralelo (figura abaixo), oR1⋅R2valor da resistência equivalente às duas primeiras é dado por R = .R + R12R 1RR 2Resistências em paraleloResistência equivalenteA figura a seguir mostra duas semirretas AX e BY perpendiculares à reta r. Na primeira foi marcado oponto A', de forma que A A′ = R1, e na segunda foi marcado o ponto B', de forma que B B′ = R2. As retas A′ BeA B′ cortaram-se em P e foi traçado o segmentoP P′ perpendicular a r.XYA'PB'AP'BrMostre que PP' é igual ao valor da resistência R.Uma solução:Sejam A P′ = a e P ′ B = b .Da semelhança entre os triângulostem-se:PP′a= .R a + b2A P′ P e AB B′XYA'R 1B'PR 2Da semelhança entre os triângulos B P′ P e BA A′tem-se:PP′b= .R a + b1AaP'bBr11