δδεεCassio Neri e Marco Cabral - Laboratório de Matemática Aplicada

110CAPÍTULO 7. LIMITE E CONTINUIDADEDemonstração. (i) Suponhamos, por absurdo, que f não seja monótona. Então existemx 1 < x 2 < x 3 ∈ I tais que f(x 1 ) < f(x 2 ) > f(x 3 ) ou f(x 1 ) > f(x 2 ) < f(x 3 ). Consideremoso primeiro caso (o segundo é análogo). Seja k ∈ ( f(x 1 ),f(x 2 ) ) ∩ (f(x 3 ),f(x 2 ) ) . PeloTeorema 7.16 (do Valor Intermediário) existem s ∈ (x 1 ,x 2 ) e t ∈ (x 2 ,x 3 ) tais que f(s) =f(t) = k, contrariando a injetividade de f.(ii) Já sabemos que f é monótona. Para fixar as ideias, suponhamos que f é crescente.Seja y ∈ J e (y n ) n∈N ⊂ J tal que y n → y. Vamos mostrar que f −1 (y n ) → f −1 (y).Dado ε > 0, se r,t ∈ I são tais que f −1 (y) − ε < s < f −1 (y) < t < f −1 (y) + ε, entãof(s) < y < f(t). Como y n → y, existe n 0 ∈ N tal que f(s) < y n < f(t) se n ≥ n 0 . Nestecaso, f −1 (y) − ε < s < f −1 (y n ) < t < f −1 (y) + ε. Portanto ∣ ∣ f −1 (y n ) − f −1 (y) ∣ ∣ < ε sen ≥ n 0 .7.4 Funções contínuas em compactos.VamosapresentaroterceiroTeoremaquefazaconexãoentretopologiaefunçõescontínuas:função contínua leva compacto (compactos em R são limitados e fechados, conforme Teorema6.14, p.94) em compacto. É um exemplo de como a compacidade pode ser bemexplorada. A sua demonstração é bastante simples, porém, as ideias nela presentes são usuais(e poderosas) no Cálculo de Variações e em Equações Diferenciais Parciais.TEOREMA 7.19. (imagem de compacto é compacto) Seja K ⊂ R um compacto ef : K → R contínua. Então f(K) é um compacto.Demonstração. Seja y n ∈ f(K) qualquer. Queremos provar que existe subsequência convergentepara algum elemento de f(K).Por definição, y n ∈ f(K) implica que existe x n ∈ K com y n = f(x n ). Como K écompacto, existe subsequência, x nk → x 0 ∈ K. Definindo y nk = f(x nk ), pela continuidadeda f, y nk → f(x 0 ) ∈ f(K).Vamos apresentar um corolário muito utilizado (em Cálculo por exemplo) mas precisamosantes algumas definições.DEFINIÇÃO 7.20. Sejam f : A ⊂ R → R e B ⊂ A. Se f(x 0 ) ≥ f(x) para todo x ∈ B,então dizemos que x 0 é um ponto de máximo de f em B. Neste caso, f(x 0 ) é o valormáximo de f em B. Se f(x 0 ) ≤ f(x) para todo x ∈ B, então x 0 é dito ponto de mínimode f em B e f(x 0 ) é o valor mínimo de f em B. Se x 0 é ponto de máximo ou de mínimoem B, então x 0 é chamado de extremo em B. Em particular, quando B = A trata-se demáximo global ou mínimo global ou extremo global de f.COROLÁRIO 7.21. (Weierstrass) Se f : [a,b] → R é contínua, então f tem pontos demáximo e de mínimo em [a,b].Demonstração. O conjunto [a,b] é conexo e compacto. Como f é contínua, pelos Teoremas7.17 e 7.19, f([a,b]) é conexo e compacto, ou seja, é um intervalo fechado e limitado.Logo(vejaasopçõespara intervalosna Definição 3.29, p.47)f([a,b]) = [c,d]. Logoomínimode f é c e o máximo é d.