δδεεCassio Neri e Marco Cabral - Laboratório de Matemática Aplicada

18CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAISigualdade de números naturais e como apresentado na Definição 2.6. Porém a “igualdade”ocorre num sentido se, e somente se, ocorre no outro. Por esta razão, podemos pensar noconceito de cardinalidade como generalização do conceito de número de elementos.DEFINIÇÃO 2.7. Sejam A e B conjuntos não vazios. Se existe função injetiva f : A → B,então dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual à de B e escrevemos #A ≤ #B.Se existe uma função sobrejetiva g : A → B, então dizemos que a cardinalidade de A émaior ou igual a de B e escrevemos #A ≥ #B. Se #A ≤ #B e #A ≠ #B, entãoescrevemos #A < #B (lê-se a cardinalidade de A é menor que a de B). Analogamente, se#A ≥ #B e #A ≠ #B, então escrevemos #A > #B (lê-se a cardinalidade de A é maiorque a de B).Feita esta definição, temos que A ≠ ∅ é enumerável se, e somente se, #A ≤ #N.Exemplo 2.2. Seja A um conjunto não vazio. É evidente que #A = #A pois a funçãoidentidade Id : A → A dada por Id(x) = x para todo x ∈ A é uma bijeção.Exemplo 2.3. Sejam A e B dois conjuntos não vazios com A ⊂ B. Obviamente #A ≤ #Bpois a função Id : A → B dada por Id(x) = x para todo x ∈ A é injetiva.PROPOSIÇÃO 2.8. Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Então #A ≤ #B se, esomente se, #B ≥ #A.Demonstração. Consequência do exercício 28, p.13: “Prove que existe f : A → B injetivase, e somente se, existe g : B → A sobrejetiva.”Outra propriedade que se espera do símbolo ≤ é dada pelo teorema seguinte.⋆ TEOREMA 2.9. (De Cantor 1 -Bernstein 2 -Schröder 3 )Se #A ≤ #B e #B ≤ #A, então #A = #B.Antes de apresentar a demonstração, vamos comentar a ideia da prova.O objetivo é construir uma bijeção h de A em B. Estão à nossa disposição dois ingredientes:uma função f de A em B e uma função g de B em A, ambas injetivas. Existem,portanto, dois “caminhos” naturais que vão de A até B: f e g −1 . Considerando isto na definiçãode h, o problema resume-se a decidir quais pontos de A seguirão o primeiro caminhoe quais seguirão o segundo. Ou seja, dividimos A em duas partes complementares, X 0 e X ∁ 0 ,e fazemos h = f em X 0 e h = g −1 em X ∁ 0.A função h será bijetiva se, e somente se, as imagens de X 0 e X ∁ 0 forem complementares(em B). Ou seja, devemos escolher X 0 de modo que f (X 0 ) ∁ = g −1( X ∁ 0)ou, de modo1 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor: ⋆ 03/03/1845, São Petersburgo, Rússia - † 06/01/1918 Halle,Alemanha.2 Felix Bernstein: ⋆ 24/02/1878, Halle, Alemanha - † 03/12/1956, Zurique, Suíça.3 Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder: ⋆ 25/11/1841,Mannheim, Alemanha - † 16/07/1902,Karlsruhe,Alemanha.