δδεεCassio Neri e Marco Cabral - Laboratório de Matemática Aplicada

10.7.EXERCÍCIOS 18119. Suponha que f n : [0,1] → R é uniformemente α-Hölder contínua com mesma constanteK e f n (0) = a para todo n ∈ N. Prove que (f n ) tem subsequência uniformementeconvergente em [0,1].Dica: Aplique Arzelá-Ascoli.10.7.3 Outros⋆ 20. (extra) Prove que a função seno ([Sp] p.274 no.29):(a) não é uma função racional (quociente de dois polinômios);Dica: seno possui uma propriedade que função racional não possui.(b) não pode ser definida implicitamente por uma equação algébrica, i.e., não existemfunções racionais f 0 ,...,f n−1 tais que(sen(x)) n +f n−1 (x)(sen(x)) n−1 +···+f 0 (x) = 0 para todo x.Dica: Prove que f 0 = 0 e fatore sen(x). O outro fator deve ser zero em múltiplos de 2πe portanto identicamente nulo. Complete por indução o argumento.⋆ 21. (extra) Prove que(a) log(xy) = log(x)+log(y) para x,y > 0;(b) log(x α ) = αlog(x) para x > 0 e α ∈ R;(c) exp(x+y) = exp(x)exp(y) para x,y ∈ R;(d) a x+y = a x a y para a > 0 e x,y ∈ R;(e) (a x ) y = a xy para a > 0 e x,y ∈ R.⋆ 22. (extra) Dado a > 0 definimos log a : (0,+∞) → R porlog a (x) = log(x)loga∀x ∈ (0,+∞).Prove que(a) log a (a x ) = x para todo x ∈ R;(b) a log a (x) = x para todo x ∈ (0,+∞);(c) log a (xy) = log a (x)+log a (y) para x,y ∈ (0,+∞);(d) log a (x α ) = αlog a (x) para x ∈ (0,+∞) e α ∈ R.♯ 23. (difícil) Defina ψ(x) como a distância de x até o inteiro mais próximo. De forma precisa,∞∑ 1ψ(x) = min(⌈x⌉−x,x−⌊x⌋). Agora defina f(x) =10 nψ(10n x). Prove que:n=1(a) f é contínua;(b) f não possui derivada em ponto algum.Dica: O item (a) é fácil. O item (b) é bastante difícil, vide o teorema em [Sp] p.422.Obs: A existência de função contínua sem derivada em ponto algum é atribuída a Weierstrass,que provou isto para f(x) = b n cos(a n x) para certos a,b ∈ R. A função ψ∞∑acimaé uma “caricatura” de cos.n=1