δδεεCassio Neri e Marco Cabral - Laboratório de Matemática Aplicada

5.2.CONSTRUÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS. 835.2 Construção dos conjuntos numéricos.5.2.1 Construção de N.Não procederemos a esta construção básica, que consiste em axiomatizar os inteiros Ncom os axiomas de Peano. Para detalhes veja exercício 5, p.27. Destes decorrem todas aspropriedades de N. Para isto consulte [Ha] p.. 46.O mais importante na construção de Peano é a função sucessor, que a cada elemento deN associa o próximo. Seria como somar “mais um”. Define-se a soma por indução com afunção sucessor, e o produto através da soma. Define-se também uma relação de ordem.5.2.2 Construção de Z.Dada a existência de N podemos construir Z do seguinte modo:1. Defina o conjunto Z ′ = N×N.2. Defina em Z ′ a relação (a,b) ∼ (c,d) se, e somente se a + d = b+c. Prove que érelação de equivalência.3. Defina Z = Z ′ /∼.4. Defina soma e produto em Z utilizando soma e produto em N: (a,b) + ′ (c,d) =(a+c,b+d) e (a,b)∗ ′ (c,d) = (a∗c+b∗d,b∗c+a∗d) Verifique que as operações estãobem definidas e que o elemento neutro da soma é (0,0).5. Verifique que, ao contrário de N, todo elemento terá inverso aditivo: dado (a,b) oinverso aditivo é (b,a).6. Verifique, utilizando propriedades correspondentes em N, que valem as propriedades:Comutatividade, associatividade, distributividade etc.5.2.3 Construção de Q.Dada a existência de Z podemos construir Q do seguinte modo:1. Defina o conjunto Q ′ = Z×Z ∗ , onde Z ∗ = Z\{0}. Q ′ é formado por pares ordenados(a,b) que serão denotados por a/b.2. Defina em Q ′ a relação (a/b) ∼ (c/d) se, e somente se a ∗ d = b ∗ c Prove que érelação de equivalência.3. Defina Q = Q ′ /∼.4. DefinasomaeprodutoemQutilizandosomaeprodutoemZ: a/b∗ ′ c/d = (a∗c)/(b∗d)e a/b+ ′ c/d = (a∗d+b∗c)/(b∗d).5. Verifique se as operações estão bem definidas, isto é, tomando x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ∈ Q ′ , com¯x 1 = ¯x 2 e ȳ 1 = ȳ 2 , verificar se ¯x 1 + ′ ȳ 1 = ¯x 2 + ′ ȳ 2 (mesmo para o produto). Não procederemoscom esta verificação, mas o leitor poderá recorrer a [Ga], p.38.Observação 5.1 Quando falamos que ¯x 1 = ¯x 2 queremos dizer que tomamos dois representantesda mesma classe de equivalência, ou seja, x 1 = a/b,x 2 = c/d, com a∗d = b∗c.Por exemplo x 1 = 9/6 e x 2 = 18/12.