Valores e vectores próprios

106CAPÍTULO 5. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS0.44721 0.89443 NaN0.00000 0.00000 NaNe =2 0 00 -3 00 0 -3A primeira coluna de q é um vector próprio associado a 2 e a segunda coluna de q é um vectorpróprio associado a −3O que se pode dizer em relação à independência linear de um vector próprio associado a −3e um vector próprio associado a 2?Teorema 5.3.3. Sejam v 1 ,v 2 ,...,v k vectores próprios associados a valores próprios λ 1 ,λ 2 ,...,λ kdistintos entre si. Então {v 1 ,v 2 ,... ,v k } é um conjunto linearmente independente.Demonstração. Suponhamos que {v 1 ,v 2 ,... ,v k } é um conjunto linearmente dependente, sendov 1 ,v 2 ,... ,v k vectores próprios associados a valores próprios λ 1 ,λ 2 ,... ,λ k distintos entre si.Pretendemos, desta forma, concluir um absurdo.Seja r o menor inteiro para o qual o conjunto {v 1 ,v 2 ,...,v r } é linearmente independente.Ora r ≥ 1 já que v 1 ≠ 0 (pois é v 1 é vector próprio) e r < k já que o conjunto dos vectorespróprios é linearmente dependente. Sendo o conjunto {v 1 ,v 2 ,... ,v r+1 } linearmentedependente, existem escalares α 1 ,α 2 ,... ,α r ,α r+1 não todos nulos para os quais∑r+1α i v i = 0o que implica que A ∑ r+1i=1 α iv i = ∑ r+1i=1 α iAv i = 0, e portantoi=1∑r+1α i λ i v i = 0.Por outro lado, ∑ r+1i=1 α iv i = 0 implica que λ r+1∑ r+1i=1 α iv i = 0 e portantoi=1∑r+1α i λ r+1 v i = 0.i=1Fazendo a diferença das duas equações, obtemos ∑ r+1i=1 α i(λ i − λ r+1 )v i = 0, e portanto∑ ri=1 α i(λ i − λ r+1 )v i = 0. Como {v 1 ,v 2 ,... ,v r } é linearmente independente, segue queα i (λ i −λ r+1 ) = 0, o que implica, e visto λ i −λ r+1 ≠ 0 já que os valores próprios são distintos,que α i = 0, com i = 1 ...,r. Mas ∑ r+1i=1 α iv i = 0, o que juntamente com as igualdades α i = 0,com i = 1 ...,r, leva a que α r+1 v r+1 = 0. Como v r+1 ≠ 0 já que é vector próprio, segue queα r+1 = 0. Tal contradiz o facto de existirem escalares α 1 ,α 2 ,...,α r ,α r+1 não todos nulospara os quais ∑ r+1i=1 α iv i = 0.