Lista 2 - CEUNES

2 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IProfessor: Romildo Neimeg Marques Semestre: 2011/1 e 2011/2• Ao usar calculadora, coloque-a para medir graus em radianos.• Justifique todas todas as suas afirmações1) Um corpo tem seu movimento descrito pela equação horária s(t) = t 2 − 6t + 15, com t em segundose s em metros. Calcule a velocidade média do corpo entre os instantes especificados a seguir.Com [ base ] nos dados obtidos, estime [ a ] velocidade instantânea do corpo [ no ] instante t = 2s.9 1939a)5 , 2 b)10 , 2 c)20 , 2d)[2, 41 ]20e)[2, 11 ]102) Suponha que o número de bactérias depois de t horas em um laboratório é n = f(t). Suponha quehaja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. O que é maior: f ′ (5) ou f ′ (10)? Sea oferta de nutrientes é limitada, em algum momento f ′ pode ser negativa? Tente visualizar um modeloda situação supondo-se a quantidade de espaço e nutrientes limitada, e depois supondo-se uma destaslimitada.3) Mostre pela definição de derivada que f(x) = |x| não é derivável em x = 0.4) Os gráficos da figura mostram a posição s, a velocidadev = ds e a aceleração d2 sde um corpo que sedtdt 2desloca ao longo da coordenada do tempo t. A qualgráfico corresponde cada função? Dica: pelos gráficospodemos ver que uma das funções, quando derivada,não dá nenhuma das outras duas, e isto já determina afunção aceleração... Justifique sua resposta da melhormaneira possível.5) Calcule as derivadas das funções seguintes:a) e x2 −2b) x· e x+1 c)e) g(t) =2 sen(t) · t2.36) Mostre que a derivada da função y = sen θ1 + cos θ é a função y′ =7) Mostre que d sen(x) = cos(x) usando a definição de derivada.dxe xx 2 − x + 2 d) f(x) = −sec(x)+sen(x 2 3 )11 + cos θ .

8) Encontre uma equação para uma reta tangente ao gráfico de y = e x e que passa pela origem. Dica:primeiro calcule a tangente por um ponto (x 0 , y 0 ) qualquer da curva e depois use a exigência de a retapassar pela origem.9) Suponha que as funções f e g e suas derivadas em relação a x tenham os valores em x = 2 e x = 3a seguir.x f(x) g(x) f’(x) g’(x)2 8 2 1/3 -33 3 -4 2π 5Calcule as derivadas das funções:a) h(x) = √ (f(x)) 2 + (g(x)) 2 em x = 2 b) h(x) =1em x = 3.(g(x))210) Suponha que as funções f e g e suas derivadas em relação a x tenham os valores em x = 0 e x = 1a seguir.x f(x) g(x) f’(x) g’(x)0 1 1 5 1/31 3 -4 -1/3 -8/3Calcule as derivadas das funções f(g(x)) e g(f(x)) no ponto x = 0.11) (2,5) Calcule a reta tangente e a reta normal ao círculo x 2 + y 2 = 1 (círculo de raio 1 e centro na(√ )3origem do plano) no ponto2 , 1 . Confirme a partir da equação que a reta normal passa pela origem.;2não esqueça de ”desenhar”as abcissas e ordenadas do ponto de encontro entre as duas retas. Faça umesboço gráfico do círculo, da reta tangente e da reta normal de uma maneira pelo menos razoavelmentecaprichada. 12) Calcule o coeficiente angular, a reta tangente e a reta normal à curva x 2 y 2 = 9 no ponto(-1,3).13) Calcule a derivada e a derivada segunda das funções:a) y = log 4(x + 3)5 2−x b) y = x x c) y = log 10 e x y = 7 √ x + 6.14) Os exercícios a seguir tratam de algumas aplicações da função exponencial. Muitas funções nanatureza, que descrevem uma grandeza em função do tempo, são tais que a derivada da grandeza noinstante t é proporcional à quantidade existente no instante t. Isto é, se f é a função que descreve agrandeza em relação ao tempo, então f ′ (t) = k · f(t), k ∈ R. Uma possibilidade para calcular a função f ésupor que f tem a forma f(t) = c 0·e kt . De fato, se f é definida desta forma então f ′ (t) = c 0·k·e kt = k·f(t).Pode-se mostrar facilmente que toda função que satisfaz à equação f ′ (t) = k · f(t) (e logo candidata adescrever a grandeza em questão) é da forma f(t) = c 0 · e kt . Exemplos:a) Quando se tem uma massa m 0 de material radiativo (urânio, estrôncio, césio, etc), esta diminui com

o tempo, pois se desintegra. A taxa de desintegração do material no instante t (a taxa com que a massado material diminui) é proporcional a massa m(t) do material no instante t. Ou seja, m ′ (t) = k · m(t). Ameia − vida de um elemento químico é a quantidade de tempo (na unidade de tempo usada) necessáriapara que metade do elemento se desintegre. Suponha que se mediu a quantidade de carbono de um osso15) Dois navios estão navegando para longe de um ponto O em rotas que formam um ângulo de 120 o .O navio A desloca-se a 14 milhas náuticas por hora (mn/h). O navio B desloca-se a 21 mn/h. A que taxaos navios estão se afastando entre si, quando OA e OB são iguais a 3 mn?Dica: num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dosoutros dois lados menos duas vezes o produto da medida desses outros dois lados pelo cosseno do ângulooposto à esse lado.16) Um tanque tem o formato cônico com o vértice voltado para baixo,altura de 10 pés e raio da base de 5 pés. A água entra no tanque a umataxa de 9 pés 3 /min. A que taxa o nível da água estará subindo quandoa profundidade for de 6 pés?Bibliografia1. STEWART, James. Cálculo. 4 a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.2. THOMAS JR., George B. et al. Cálculo. 10 a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2002.