Transformações das Tensões - Chasqueweb.ufrgs.br

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)5820 TRANSFORMAÇÕES DAS TENSÕESEquações Gerais no PlanoDado um certo estado de tensões num ponto, associado a um dado sistema decoordenadas, é importante que se determine os valores destas mesmas tensões caso osistema de coordenadas associado seja alterado. Na figura abaixo isto é representadoatravés de um “quadrado infinitesimal” (na verdade um “cubo infinitesimal”) associado aum sistema de coordenadas xy e um sistema rotacionado de um ângulo θ, x’y’. A perguntaque deve ser feita aqui é quanto devem valer as tensões normais, σ x e σ y , e tangenciais,τ xy ,originalmente associadas ao quadrado infinitesimal do sistema de coordenadas xy quandoo quadrado infinitesimal estiver associado ao sistema de coordenadas x’y’, rotacionado deum ângulo θ.yσ yyy’x’τ xyθxxDe forma a responder esta questão, ao invés de se trabalhar com o quadrado (cubo)infinitesimal, é mais conveniente cortar um triângulo como abaixo, ou seja, tendo-se a suahipotenusa alinhada com a direção y’ do sistema de coordenadas rotacionado, no sentidoanti-horário, do ângulo θ. Nesta face, devem estar associadas a tensão normal σ x’ e atensão tangencial τ x’y’ . Como o estado de tensões está em equilíbrio, as forças associadas atodas as tensões têm que se equilibrar também nas direções x’ e y’. É necessário, portanto,que se passe as tensões para forças, multiplicando-as por suas áreas de atuação. Sendo aárea da hipotenusa do triângulo adotada como ∆A, a área dos catetos devem valer, porconseguinte, ∆Acosθ e ∆Asinθ.y’σ yτ xyy’ ∆A cos θτ x’y’ ∆Ax’σ x’ ∆Ax’θσ xσ x ∆A cos θ θτ xy ∆A cos θτ xy ∆A sen θ∆A∆A sen θσ y ∆A sen θ

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)59Sabendo-se as forças que atuam em cada face do triângulo (prisma de basetriangular), pode-se proceder com a determinação das equações de equilíbrio em cadadireção transformada. Para a direção x’ tem-se que:σ( σ ∆Acosθ) cosθ− ( σ ∆Asinθ) sinθ− ( τ ∆Acosθ) sinθ− ( τ ∆Asinθ) cosθ0x '∆A−xyxyxy=ou seja:22σx'= σxcos θ −σysin θ + 2τxysinθcosθPara a direção x’y’ tem-se que:τ( τ ∆Asinθ) sinθ+ ( σ ∆Acosθ) sinθ− ( τ ∆Acosθ) cosθ− ( σ ∆Asinθ) cosθ0x ' y'∆A+xyxxyy=ou seja:τx ' y'2 2( σ −σ) sinθcosθ+ τ ( cos θ − sin θ )=y xxyAs equações para σ x’ e τ x’y’ encontradas acima são, portanto, as expressões que dãoas transformações de qualquer tensão normal e tangencial, respectivamente, de um sistemaxy para um sistema x’y’, rotacionado de um ângulo θ qualquer. Estas expressões podemser re-escritas numa forma alternativa se considerarmos as seguintes relaçõestrigonométricas:sin 2θ= 2sinθcosθ;1−cos2θsin θ = ;22 1+cos2cos θ =22 θOu seja:σx'σx+ σyσx−σy= + cos2θ+ τxysin 2θ2 2σx−σyτx'y'= − sin 2θ+ τxycos2θ2Tensões PrincipaisAs expressões acima, no entanto, não são muito práticas, já que não nos fornecemnenhuma informação relevante, pelo menos à primeira vista. Afinal, tudo o que elasfornecem são os infinitos valores das tensões normais e tangenciais em um ponto para umainfinidade de valores de ângulos de rotação possíveis do sistema de coordenadas. Noentanto, é natural que, da infinidade de valores a serem encontrados com estas expressões,haja valores máximos e mínimos associados. Estes valores, sim, são importantes e podemser encontrados ao se trabalhar um pouco mais estas expressões. Derivando-se a primeiraexpressão uma vez em relação a θ, obtém-se que:σx−σy0 −xy=2( sin 2θ)( 2) + τ ( cos2θ)( 2) 0

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)60Ou seja:−( σ −σ) tan 2θ+ 2τ= 0xyxyOu ainda que:tan 2θp=τxy( σ −σ)x2yEste resultado mostra que, para que se obtenha um máximo ou um mínimo naexpressão para σ x’ , um ângulo θ igual a θ p (que pode ser obtido resolvendo-se a expressão)deverá ser usado na rotação do sistema de coordenadas (transformação). Para se obter osvalores dos máximos e mínimos, a expressão acima é substituída na expressão para σ x’ . Noentanto, a expressão acima fornece apenas a tangente de θ, sendo que o seno e o cossenode θ é que são necessários. A expressões do seno e do cosseno de θ associadas à expressãoacima podem ser facilmente obtidas se interpretarmos esta expressão como no esquemaabaixo. Isto é, a expressão dá a inclinação da tangente ao ângulo 2θ p num sistema τ-σ,onde o seno ou o cosseno podem ser dados como a seguir:-(σ x - σ y )22θ p2τ xyτ-τ xy2θ p1σ x - σ y2σsin 2θcos2θp1p1==τxy⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠x2⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2σ −σy2+ τ+ τ2xy2xyou por:sin 2θp2=−τxy⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xycos2θp2=σx−σy−2⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xysendo que ambos os ângulos, θ p1 e θ p2 , caracterizam a mesma declividade no sistemaacima, estando defasados de 180º, ou seja, 2θ p2 = 2θ p1 + 180º. Substituindo-se,primeiramente, as expressões referentes a θ p1 na equação que dá σ x’ , tem-se:σx+ σyσ1=2σx−σyσx−σy+2 21⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xy+ τxyτxy⎛σx−σy ⎞⎜2⎟⎝ ⎠2+ τ2xy

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)61Substituindo-se as expressões referentes a θ p2 na mesma equação, obtém-se praticamente amesma coisa, apenas com os dois últimos termos com o sinal trocado. Chamando-se aquantidade entre raiz quadrada de R, tem-se, portanto, que:σ2σx+ σy=2σx−σy−2σ −σx2y1−τRxyτxyRTrabalhando-se algebricamente as duas expressões resultantes, obtém-se duas equaçõesque apenas diferem por um sinal: a expressão para σ 1 apresenta um sinal positivo enquantoque a expressão para σ 2 apresenta um negativo. Estas duas expressões são comumenteapresentadas na seguinte forma compactada:σx+ σy ⎛σx−σy ⎞σ1,2= ±+ τ2⎜2⎟⎝ ⎠22xyou seja, somando-se os dois termos, tem-se o valor para σ 1 , que será, portanto, um valormáximo de tensão. Com a subtração, obtém-se o valor para σ 2 , que será um valor mínimode tensão. Estes dois valores de tensão caracterizam as Tensões Principais associadas aoestado de tensões dado e, como visto, associadas também aos ângulos θ p1 e θ p2 (defasagemde 90º). Estes ângulos são conhecidos como Direções Principais.Uma última observação a ser feita se refere à substituição das expressões para senoe cosseno na outra equação ainda não utilizada, ou seja, aquela para τ x’y’ . Se isto for feito,será visto que a equação é sempre zerada, isto é, o ângulo que fornece uma tensãoprincipal, obrigatoriamente, conduz a uma ausência de tensões cisalhantes. Da mesmaforma, de um conjunto de estado de tensões possíveis para um ponto, aqueles quepossuírem somente tensões normais e nenhuma tensão cisalhante, são estados de tensõesprincipais.Círculo de Mohr para o Estado Plano de TensõesAnteriormente, apresentaram-se expressões para a determinação das tensões edireções principais associadas a um dado estado de tensões. Para a determinação dastenções principais, viu-se que a fórmula mais comumente usada seria aquela mostradaabaixo. O primeiro termo da soma algébrica é chamado de “tensão média”, σ méd , e osegundo termo de “raio”, R.σ1,2σx+ σy ⎛σx−σy ⎞ 2= ±⎜⎟ + τxy= σ2 ⎝ 2 ⎠2méd± RTanto esta fórmula como aquelas onde apareciam senos e cossenos de θ podem serconsideradas como equações de um círculo num sistema coordenado retangular σ-τ. Nafórmula acima, o centro do círculo seria dado por σ méd , e o seu raio por R. As tensõesprincipais estariam localizadas nos pontos de intersecção do círculo com o eixo dasabscissas, ou seja, implicando em tensões cisalhantes nulas, como previsto anteriormente.Isto é ilustrado na figura abaixo.

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)62σ yσ méd-τ xyτ xyσ 2CRAσ 1σσ xτAcima de tudo, no entanto, os infinitos pontos que compõem o círculo traçado no sistemaσ-τ representam todas as possíveis transformações de um estado de tensões. O estado detensões dado seria representado pelo ponto A na figura, enquanto que qualquer outroestado resultante de uma transformação (giro de um ângulo θ) estaria localizado a 2θ, apartir da direção CA, já que as relações trigonométricas observadas nas equações detransformação eram para o dobro do ângulo. Na dedução das equações, também foiestipulado que o ângulo θ crescia no sentido anti-horário, e assim deve ser observado nocírculo de Mohr também.A construção do círculo de Mohr para um dado estado de tensões permite, de umaforma gráfica, a fácil análise de problemas de transformações de tensões. Através dele,fica bastante imediata a determinação de quaisquer outros estados de tensões resultantes,principalmente dos estados tensões com tensões principais e seus ângulos de giro oudireções principais. Um procedimento simples para a construção do círculo de Mohr e asua análise é dado a seguir.Procedimento de AnálisePara a construção do círculo, os seguintes passos devem ser seguidos: Estabelecer um sistema de coordenadas σ-τ, com σ nas abscissas crescendopositivamente para a direita e com τ nas ordenadas crescendo positivamente parabaixo; Utilizar a convenção mostrada na figura ao lado paraos valores positivos de σ e τ. Marcar o centro do círculo C, localizado sobre o eixoσ a uma distância σméd da origem, sendo σméd = (σx+ σy)/2. Marcar o ponto de referência A(σ x , τ xy ), referente aoângulo θ = 0 o , ou seja, alinhado com o σ x do estadode tensões dado; Unir o ponto A ao centro C, determinando a hipotenusa CA, que representa o raioR do círculo. Um ponto B de coordenadas (σ y , -τ xy ), diametralmente oposto aoponto A também pode ser marcado. Traçar o círculo utilizando o raio ou o diâmetro encontrados.σ yτ xyσ x

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)63Para a análise do círculo de Mohr: As componentes σ x’ e τ x’y’ num ponto qualquer P atuantes em um plano definidopor um ângulo θ, medido no sentido anti-horário, são obtidos por trigonometria; Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido anti-horário) é medido nocírculo como 2θ (no mesmo sentido anti-horário) da linha CA para CP; As tensões principais σ 1 e σ 2 são determinadas pelos dois pontos de intersecção docírculo com o eixo σ (onde τ = 0); Estas tensões atuam nos planos definidos pelos ângulos θ p1 e θ p2 , que são medidospelos ângulos 2θ p1 e 2θ p2 medidos a partir da linha radial de referência CA nosentido anti-horário; As componentes σ méd e |τ máx | são encontradas no círculo, definidos pelos ângulosθ c1 e θ c2 que, normalmente, são indicados no sentido horário por convenção.σ y’τ x’y’σ x’τ xyσ yBσ 22θ c2σ médC2θ p2σ 12θ p12θ c1PAτ xy2θσσ xσ yy’τ xyτ x’y’θσ yσ x’x’σ xτ xyσ xτθ = 0 o