Transformações das Tensões - Chasqueweb.ufrgs.br

ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)59Sabendo-se as forças que atuam em cada face do triângulo (prisma de basetriangular), pode-se proceder com a determinação das equações de equilíbrio em cadadireção transformada. Para a direção x’ tem-se que:σ( σ ∆Acosθ) cosθ− ( σ ∆Asinθ) sinθ− ( τ ∆Acosθ) sinθ− ( τ ∆Asinθ) cosθ0x '∆A−xyxyxy=ou seja:22σx'= σxcos θ −σysin θ + 2τxysinθcosθPara a direção x’y’ tem-se que:τ( τ ∆Asinθ) sinθ+ ( σ ∆Acosθ) sinθ− ( τ ∆Acosθ) cosθ− ( σ ∆Asinθ) cosθ0x ' y'∆A+xyxxyy=ou seja:τx ' y'2 2( σ −σ) sinθcosθ+ τ ( cos θ − sin θ )=y xxyAs equações para σ x’ e τ x’y’ encontradas acima são, portanto, as expressões que dãoas transformações de qualquer tensão normal e tangencial, respectivamente, de um sistemaxy para um sistema x’y’, rotacionado de um ângulo θ qualquer. Estas expressões podemser re-escritas numa forma alternativa se considerarmos as seguintes relaçõestrigonométricas:sin 2θ= 2sinθcosθ;1−cos2θsin θ = ;22 1+cos2cos θ =22 θOu seja:σx'σx+ σyσx−σy= + cos2θ+ τxysin 2θ2 2σx−σyτx'y'= − sin 2θ+ τxycos2θ2Tensões PrincipaisAs expressões acima, no entanto, não são muito práticas, já que não nos fornecemnenhuma informação relevante, pelo menos à primeira vista. Afinal, tudo o que elasfornecem são os infinitos valores das tensões normais e tangenciais em um ponto para umainfinidade de valores de ângulos de rotação possíveis do sistema de coordenadas. Noentanto, é natural que, da infinidade de valores a serem encontrados com estas expressões,haja valores máximos e mínimos associados. Estes valores, sim, são importantes e podemser encontrados ao se trabalhar um pouco mais estas expressões. Derivando-se a primeiraexpressão uma vez em relação a θ, obtém-se que:σx−σy0 −xy=2( sin 2θ)( 2) + τ ( cos2θ)( 2) 0