請 各 位 再 看 圖 二 , 這 個 訊 號 既 不 是 cosine , 也 不 是 sine , 它 究 竟 是 什 麼 呢 ?43210-1-2-3-40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1圖 二 . 一 個 訊 號如 果 我 們 用 傅 葉 爾 轉 換 來 分 析 這 個 訊 號 , 你 就 可 以 得 到 圖 三 。7 15 48 56f( 頻 率 )圖 三 . 上 圖 訊 號 的 傅 葉 爾 轉 換 頻 譜2
圖 三 什 麼 意 義 呢 ? 我 們 可 以 發 現 圖 三 是 左 右 對 稱 的 , 而 圖 三 所 給 的 資 訊 只要 看 左 邊 的 部 份 就 可 以 。 在 左 邊 , 我 們 可 以 看 到 兩 個 尖 端 , 一 個 在 頻 率 f =7 的 地方 , 一 個 在 頻 率 f =15 的 地 方 , 換 句 話 說 , 圖 二 的 這 個 訊 號 其 實 是 兩 個 訊 號 的和 :f ( t)cos(2(7)t)3cos(2(15)t)大 概 說 起 來 , 傅 葉 爾 轉 換 的 理 論 是 說 , 任 何 一 個 訊 號 , 都 是 一 大 堆 cosine 函數 的 和 。 為 了 避 免 太 抽 象 的 數 字 理 論 , 我 在 這 篇 文 章 介 紹 的 是 離 散 傅 葉 爾 轉 換(Discreate <strong>Fourier</strong> <strong>Transform</strong>)。假 設 我 們 的 訊 號 是 f (t), 我 們 在 一 秒 鐘 內 , 對 f (t)取 樣 n 次 , 我 們 就 可以 得 到 a0, a1,...,a n 1, 其 中aaa01f(0)f(1)n1f( n 1)我 們 再 將 a0, a1,...,a n 1送 進 離 散 傅 葉 爾 轉 換 , 如 圖 四 所 示 :圖 四 .離 散 傅 葉 爾 轉 換A0, A1,..., A n 1代 表 什 麼 呢 ? 以 下 的 式 子 就 說 明 一 切 :f ( t) A1 n2itcos( )nn / 2 10 An/ 2 Aiii1for t = 0,1,2,…,n-1 (1)Ai很 可 能 是 一 個 複 數 , 如 2+3j , Ai是 一 個 變 數 , 如 果3