傅葉爾轉換(Fourier Transform)

請 各 位 再 看 圖 二 , 這 個 訊 號 既 不 是 cosine , 也 不 是 sine , 它 究 竟 是 什 麼 呢 ?43210-1-2-3-40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1圖 二 . 一 個 訊 號如 果 我 們 用 傅 葉 爾 轉 換 來 分 析 這 個 訊 號 , 你 就 可 以 得 到 圖 三 。7 15 48 56f( 頻 率 )圖 三 . 上 圖 訊 號 的 傅 葉 爾 轉 換 頻 譜2

圖 三 什 麼 意 義 呢 ? 我 們 可 以 發 現 圖 三 是 左 右 對 稱 的 , 而 圖 三 所 給 的 資 訊 只要 看 左 邊 的 部 份 就 可 以 。 在 左 邊 , 我 們 可 以 看 到 兩 個 尖 端 , 一 個 在 頻 率 f =7 的 地方 , 一 個 在 頻 率 f =15 的 地 方 , 換 句 話 說 , 圖 二 的 這 個 訊 號 其 實 是 兩 個 訊 號 的和 :f ( t)cos(2(7)t)3cos(2(15)t)大 概 說 起 來 , 傅 葉 爾 轉 換 的 理 論 是 說 , 任 何 一 個 訊 號 , 都 是 一 大 堆 cosine 函數 的 和 。 為 了 避 免 太 抽 象 的 數 字 理 論 , 我 在 這 篇 文 章 介 紹 的 是 離 散 傅 葉 爾 轉 換(Discreate Fourier Transform)。假 設 我 們 的 訊 號 是 f (t), 我 們 在 一 秒 鐘 內 , 對 f (t)取 樣 n 次 , 我 們 就 可以 得 到 a0, a1,...,a n 1, 其 中aaa01f(0)f(1)n1f( n 1)我 們 再 將 a0, a1,...,a n 1送 進 離 散 傅 葉 爾 轉 換 , 如 圖 四 所 示 :圖 四 .離 散 傅 葉 爾 轉 換A0, A1,..., A n 1代 表 什 麼 呢 ? 以 下 的 式 子 就 說 明 一 切 :f ( t) A1 n2itcos( )nn / 2 10 An/ 2 Aiii1for t = 0,1,2,…,n-1 (1)Ai很 可 能 是 一 個 複 數 , 如 2+3j , Ai是 一 個 變 數 , 如 果3

圖 七 . 反 轉 離 散 傅 葉 爾 轉 換從 數 學 的 觀 點 來 看 , 反 轉 離 散 傅 葉 爾 轉 換 幾 乎 完 全 像 離 散 傅 葉 爾 轉 換 。 離散 傅 葉 爾 轉 換 將 一 個 與 時 間 的 訊 號 f (t)轉 換 到 頻 率 的 領 域 , 讓 我 們 知 道 這 個 訊號 各 個 頻 率 的 訊 號 有 多 強 。 反 轉 傅 葉 爾 轉 換 則 將 各 個 頻 率 的 大 小 轉 換 成 原 來 的訊 號 。圖 八 就 是 圖 六 的 反 轉 , 也 就 是 說 , 當 我 們 將 圖 六 的 頻 率 輸 入 到 反 轉 離 散傅 業 爾 轉 換 , 我 們 就 會 得 到 原 來 的 訓 號 。 如 果 我 們 只 顧 到 圖 六 中 訊 號 強 的 頻率 , 情 形 如 何 呢 ?圖 八 .反 轉 離 散 傅 葉 爾 轉 換 的 結 果6

圖 九 就 是 一 個 例 子 , 我 們 將 圖 六 中 大 小 小 於 10 的 頻 率 去 掉 , 再 利 用 反 轉離 散 傅 葉 爾 轉 換 , 就 可 以 得 到 圖 九 , 讀 者 可 以 看 出 圖 九 幾 乎 和 圖 五 一 模 一 樣 。圖 九 .去 掉 小 於 10 的 反 轉 離 散 傅 葉 爾 轉 換 的 結 果現 在 我 們 再 考 慮 一 個 問 題 , 經 由 傅 葉 爾 轉 換 以 後 , 我 們 可 以 知 道 我 們 人聲 音 的 頻 率 大 概 低 於 3000Hertz , 我 們 又 知 道 一 個 訊 號 的 波 長 可 用 以 下 的 公 式求 得 :v (2)f例 ,8公 式 (2) 中 的 v 是 光 速 , 等 於 3*10m/sec , f 就 是 頻 率 , 以 f = 3000Hertz 為*103*1083 5103100km如 果 要 直 接 廣 播 人 的 聲 音 , 天 線 的 長 度 需 要 = 50km 之 長 , 這 是 不 可 能27

的 。 我 們 必 須 提 高 訊 號 的 頻 率 , 如 何 做 呢 ? 一 個 最 簡 單 的 是 將 訊 號 乘 入cos( 2f ct), 其 中 fc是 一 個 較 高 的 頻 率 , 這 就 是 所 謂 的 調 幅 , 令 m (t)代 表 原 來的 訊 號 , 調 頻 以 後 的 訊 號 變 成 了s( t) m(t) cos(2ft)(3)c一 旦 調 幅 以 後 , 所 有 原 來 頻 率 為 f 的 訊 號 , 現 在 都 變 成 了 兩 種 訊 號 , 一個 頻 率 是f c f , 另 一 個 頻 率 是f c f 。 因 為c提 高 到 了 fc的 程 度 , 這 種 訊 號 就 可 以 很 容 易 輸 送 出 去 了 。f 很 高 , 所 以 s (t)中 各 個 訊 號 都為 什 麼 頻 率 為 f 的 訊 號 現 在 變 成 了f c f 和f c f ? 這 是 很 容 易 解 釋 的 ,傅 葉 爾 轉 換 告 訴 我 們 , 任 何 一 個 訊 號 都 是 由 一 大 堆 cosine 訊 號 所 組 成 的 。 假 設有 一 個 訊 號 的 頻 率 是 f , 這 個 訊 號 就 是 cos( 2 ft)。 經 過 調 幅 以 後 , 這 個 訊 號 變成 了cos( 2ft)cos(2ft)c但 是 以 上 的 式 子 又 可 以 用 以 下 的 式 子 來 表 示cos(2ft) cos(2ft)1 (cos(2(f2ccf) t)cos(2(fcf) t))所 以 我 們 看 出 原 來 的 頻 率 由 f 變 成 了f c f 和f c f 。現 在 我 要 再 談 一 個 有 關 寬 頻 傳 輸 線 的 問 題 , 通 常 我 們 說 一 條 很 高 級 的 傳 輸線 為 寬 頻 傳 輸 線 , 其 實 我 們 傳 輸 是 一 連 串 的 脈 波 , 我 們 所 謂 好 的 傳 輸 線 , 應該 是 在 一 秒 鐘 內 傳 輸 大 量 的 脈 波 , 所 以 我 們 應 該 是 high bit rate 的 傳 輸 線 , 為 什麼 我 們 又 說 這 是 寬 頻 呢 ? 難 道 high bit rate 就 代 表 頻 寬 很 寬 嗎 ?這 個 問 題 可 以 用 傅 葉 爾 轉 換 來 求 得 解 答 。 請 看 圖 十 , 圖 十 表 示 的 是 一 個 脈波 , 經 由 傅 葉 爾 轉 換 , 我 們 可 以 看 出 這 個 脈 波 各 種 頻 率 的 分 佈 ,8

圖 十 一 個 脈 波一 次圖 十 一 就 是 經 由 傅 葉 爾 轉 換 所 產 生 的 頻 率 分 佈 圖 , 我 們 通 常 可 以 說 x ( f ) 第圖 十 一 脈 波 經 由 傅 葉 爾 轉 換 所 產 生 的 頻 率 分 佈 圖碰 到 f 軸 的 那 一 點 代 表 頻 寬 , 如 圖 十 一 所 示 , 第 一 次 x ( f )1 / 2T , T 越 小 , 這 個 值 就 越 大 。碰 到 f 軸 的 f 值 是如 果 一 條 傳 輸 線 可 以 在 一 秒 鍾 內 傳 輸 很 多 的 脈 波 , 每 個 脈 波 的 寬 度 就 會 越小 , 而 這 個 脈 波 所 含 有 的 頻 率 就 越 多 , 所 以 這 種 高 速 的 傳 輸 線 都 是 寬 頻 傳 輸線 。希 望 讀 者 現 在 對 於 傅 葉 爾 轉 換 有 一 點 觀 念 了 。9