Coleção IME-ITA - Matemática - Livro 1

Coleção IME-ITA
Frente A
Módulo A01
LÓGICA
01. Considerando sentenças p, q e r quaisquer, julgue
as equivalências seguintes.
a) p qr pqr
b) p qr pqpr
c) ~ p q ~ p~
q
d) ~ p q p~
q
e) p q ~ p~
q
02. Uma diversão para os tempos vagos de Mariana é
jogar o Sudoku, um quebra-cabeça lógico que
agrada os amantes da matemática e da lógica a
muito tempo.Como estratégia para preencher a
grade de sudoku a seguir, Mariana começou
analisando as possibilidades de preenchimento da
oitava linha e deduziu, corretamente, qual o
número a ser colocado na casa marcada com a
bolinha preta.
Como se joga o Sudoku!
O objetivo do jogo é preencher uma grade 9×9,
subdividida em quadrados 3×3, com os números
de 1 a 9, de modo que cada número apareça uma
única vez em cada linha, em cada coluna e em
cada quadrado 3×3.
03. Um helicóptero sofreu uma queda no Triângulo das
Bermudas e no sacrifício, o piloto conseguiu
alcançar a praia de uma ilha. Nessa ilha morava
apenas um náufrago que mentia às terças, quartas
e quintas-feiras, e falava a verdade nos outros dias
da semana. Depois de algum tempo, o piloto
perdeu a noção do dia da semana. Um dia o piloto
encontrou o náufrago, que lhe disse: "Ontem foi um
dos meus dias de mentir".
(Adaptado de A linguagem lógica, de Iole de Freitas Druck,
Revista do Professor de Matemática, n 0 17, 1990)
A partir da afirmação acima, o piloto deduziu que
esse dia da semana poderia ser
a) terça ou quarta-feira.
b) terça ou quinta-feira.
c) terça ou sexta-feira.
d) quarta ou quinta-feira.
e) quarta ou sexta-feira.
04. (G1 CPS 2006) Num desfile de Carnaval, três
escolas de samba obtiveram as seguintes
classificações: campeã, vice-campeã e terceiro
lugar. Cada escola apresentou uma única portabandeira
durante o seu desfile. Os nomes das
porta-bandeiras eram Ana, Bia e Carla; o nome das
escolas de samba eram Unidos da Lapinha, Império
da Lua Cheia e Acadêmicos da Vila, não
necessariamente nessa ordem. A partir das
informações abaixo, é possível descobrir o nome de
cada porta-bandeira, a sua escola e a colocação
dessa escola no desfile.
– A escola da Ana é a Império da Lua Cheia.
– A escola da Bia não ficou em terceiro lugar.
– A Acadêmicos da Vila não foi a vice-campeã.
– A vice-campeã não foi a escola de Bia.
– Carla não é porta-bandeira da Unidos da Lapinha.
É correto afirmar que
a) Bia é porta-bandeira da Acadêmicos da Vila.
b) a Acadêmicos da Vila ficou em terceiro lugar.
c) a escola de Ana ficou em terceiro lugar.
d) a escola de Carla foi a vice-campeã.
e) a campeã foi a Império da Lua Cheia.
O número colocado por Mariana foi ?

Matemática – Livro1
05. (Unifesp 2005) Certo dia um professor de
matemática desafiou seus alunos a descobrirem as
idades x, y, z, em anos, de seus três filhos, dizendo
ser o produto delas igual a 40. De pronto, os alunos
protestaram: a informação "x . y . z = 40" era
insuficiente para uma resposta correta, em vista de
terem encontrado 6 ternas de fatores do número 40
cujo produto é 40. O professor concordou e disse,
apontando para um dos alunos, que a soma x + y +
z das idades (em anos) era igual ao número que se
podia ver estampado na camisa que ele estava
usando. Minutos depois os alunos disseram continuar
impossível responder com segurança, mesmo
sabendo que a soma era um número conhecido, o
que levou o professor a perceber que eles
raciocinavam corretamente (chegando a um impasse,
provocado por duas ternas).
Satisfeito, o professor acrescentou então duas
informações definitivas: seus três filhos haviam
nascido no mesmo mês e, naquele exato dia, o
caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a
resposta correta é:
a) 1, 5, 8. b) 1, 2, 20.
c) 1, 4, 10. d) 1, 1, 40.
e) 2, 4, 5.
06. (ITA 2002) O seguinte trecho de artigo de um jornal
local relata uma corrida beneficente de bicicletas:
"Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a
liderança, seguido de perto por David e Rubinho,
nesta ordem. Daí em diante, eles não mais
deixaram as primeiras três posições e, em nenhum
momento da corrida, estiveram lado a lado mais do
que dois competidores. A liderança, no entanto,
mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto
que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que
corriam na segunda e terceira posições trocaram de
lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho
reclamou para nossos repórteres que David havia
conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco
antes da bandeirada de chegada. Desse modo,
logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassálo
no final da corrida."
Com base no trecho acima, você conclui que:
a) David ganhou a corrida.
b) Ralf ganhou a corrida.
c) Rubinho chegou em terceiro lugar.
d) Ralf chegou em segundo lugar.
e) não é possível determinar a ordem de
chegada, porque o trecho não apresenta uma
descrição matematicamente correta.
07. (FGV 1995) Uma pessoa nasceu no século XIX e
morreu no século XX, vivendo um total de 64 anos. Se
o número formado pelos dois últimos algarismos do
ano de seu nascimento é igual ao dobro do número
formado pelos dois últimos algarismos do ano de sua
morte, então no ano de 1900 essa pessoa tinha
a) 24 anos.
b) 26 anos.
c) 28 anos.
d) 30 anos.
e) 32 anos.
08. Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as
cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem
simultaneamente, um de cada cidade, para
percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O
ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a
uma velocidade de120 km/h. Enquanto isso, o 175
sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h.
Considerando que nenhum dos dois realizou
nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:
I. Quando os dois se cruzarem na estrada, o
ônibus 175 estará mais perto de Bonito do
que o 165.
II. Quando os dois se cruzarem na estrada, o
ônibus 165 terá andado mais tempo do que o
175.
a) Somente a hipótese (I) está errada.
b) Somente a hipótese (II) está errada.
c) Ambas as hipóteses estão erradas.
d) Nenhuma das hipóteses está errada.
09. Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico
deprimida. Quando chove, não passeio e fico
deprimida. Quando não faz calor e passeio, não
vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida,
não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove,
e faz calor.
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove,
e faz calor.
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não
chove, e faz calor.
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não
chove, e não faz calor.
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove,
e faz calor.
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Coleção IME-ITA
10. Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas
deram quatro diferentes descrições do assaltante
segundo quatro características, a saber: estatura, cor
dos olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode.
Testemunha 1: “Ele é alto, olhos verdes, cabelos
crespos e usa bigode.”
Testemunha 2: ”Ele é baixo, olhos azuis, cabelos
crespos e usa bigode.”
Testemunha 3: ”Ele é de estatura mediana, olhos
castanhos, cabelos lisos e usa bigode.”
Testemunha 4: “Ele é alto, olhos negros, cabelos
crespos e não usa bigode.”
Cada testemunha descreveu corretamente uma e
apenas uma das características do assaltante, e
cada característica foi corretamente descrita por
uma das testemunhas. Assim, o assaltante é:
a) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.
b) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.
c) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa
bigode.
d) estatura mediana, olhos verdes, cabelos
crespos e não usa bigode.
e) estatura mediana, olhos negros, cabelos
crespos e não usa bigode.
11. Vislumbrando uma oportunidade na empresa em que
trabalha, o Sr. Joaquim convidou seu chefe para
jantar em sua casa. Ele preparou, junto com sua
esposa, o jantar perfeito que seria servido em uma
mesa retangular de seis lugares – dois lugares de
cada um dos lados opostos da mesa e as duas
cabeceiras, as quais ficariam vazias. No dia do
jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presença
da filha de seu chefe junto com ele e a esposa, sendo
que a mesa que havia preparado esperava apenas
quatro pessoas. Rapidamente a esposa do Sr.
Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou mais um
prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de as duas
cabeceiras ficarem vazias, uma foi ocupada pelo Sr.
Joaquim e a outra pelo seu chefe. Considerando-se
que o lugar vago não ficou perto do Sr. Joaquim,
perto de quem, com certeza, estava o lugar vago?
a) Perto do chefe do Sr. Joaquim.
b) Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim.
c) Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim.
d) Perto da esposa do Sr. Joaquim.
12. (Insper 2014) Dentro de um grupo de tradutores de
livros, todos os que falam alemão também falam
inglês, mas nenhum que fala inglês fala japonês.
Além disso, os dois únicos que falam russo também
falam coreano. Sabendo que todo integrante desse
grupo que fala coreano também fala japonês,
pode-se concluir que, necessariamente,
a) todos os tradutores que falam japonês
também falam russo.
b) todos os tradutores que falam alemão
também falam coreano.
c) pelo menos um tradutor que fala inglês
também fala coreano.
d) nenhum dos tradutores fala japonês e
também russo.
e) nenhum dos tradutores fala russo e também
alemão.
13. Os organizadores de uma festa previram que o
público do evento seria de, pelo menos, 1.000
pessoas e que o número de homens presentes
estaria entre 60% e 80% do número de mulheres
presentes. Para que tal previsão esteja errada, basta
que o número de
a) homens presentes na festa seja igual a 360.
b) homens presentes na festa seja igual a 500.
c) homens presentes na festa seja igual a 1.000.
d) mulheres presentes na festa seja igual a 650.
e) mulheres presentes na festa seja igual a 1.000.
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Matemática – Livro1
14. A figura abaixo mostra o fluxograma do processo
que é utilizado em uma cooperativa agrícola para
definir o destino das frutas enviadas a ela pelos
produtores da região.
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De acordo com o fluxograma, se o peso de uma
fruta recebida pela cooperativa é 320 gramas,
então essa fruta, necessariamente,
a) será enviada para exportação.
b) será enviada para a fábrica de geleias.
c) não será enviada para comercialização no
mercado interno.
d) não será enviada para compostagem.
e) não será enviada para a fábrica de geleias.
15. (FGV 2014) Conta a lenda:
Havia um rei que tinha costume de dar liberdade
a um prisioneiro no dia do seu aniversário. Em certa
ocasião levou três condenados a um quarto escuro, no
qual havia três chapéus brancos e dois chapéus negros.
Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor
de cada um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro,
depois os tirou do quarto e levou-os a um lugar onde
cada um pudesse ver o chapéu dos outros dois, mas
não o seu. Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu
chapéu e ele não soube responder. O mesmo
aconteceu com o prisioneiro B. Finalmente, fez a
mesma pergunta ao prisioneiro C, que era totalmente
cego e havia escutado as respostas dos outros dois.
“Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é
branco.” Foi colocado em liberdade assim que todos
observaram que havia acertado a resposta.
a) Faça uma tabela em que apareçam todas as
possibilidades das cores dos chapéus
colocados nos prisioneiros.
b) Explique por que o condenado C somente
podia estar com o chapéu branco.
16. Se a sentença: “Todas as camisas desta loja estão
em liquidação” é falsa, então quais das sentenças
abaixo devem ser verdadeiras?
I. Todas as camisas desta loja não estão com
preços de liquidação.
II. Existe alguma camisa nesta loja que não está
em liquidação.
III.
IV.
Nenhuma camisa desta loja está em liquidação.
Nem todas as camisas desta loja estão em
liquidação.
a) Somente II
b) Somente IV
c) Somente I e III
d) Somente II e IV
e) Somente I, II e IV
17. (Insper 2014) As três afirmações abaixo, todas
verdadeiras, foram feitas por Luís para descrever o
que pretendia fazer em relação às suas economias e
planos de viagem.
– Se o preço do dólar cair no final do ano, então eu
vou investir em poupança e viajar para o exterior.
– Se eu viajar para o exterior, então vou comprar
um equipamento de esqui.
– Se eu alugar ou comprar um equipamento de
esqui, então vou esquiar em Bariloche.
A partir das três afirmações e da informação de que
Luís não esquiou em Bariloche, pode-se tirar
algumas conclusões que são, necessariamente,
verdadeiras. Dentre as conclusões abaixo, a única
que não é, necessariamente, verdadeira é
a) o preço do dólar não caiu no final do ano.
b) Luís não investiu em poupança.
c) Luís não viajou para o exterior.
d) Luís não comprou um equipamento de esqui.
e) Luís não alugou um equipamento de esqui.
18. (ITA 2012) Sejam r 1
, r 2
e r 3
números reais tais que
r1
r
2
e r 1
r 2
r 3
são racionais. Das afirmações:
I. Se r é racional ou 1
r
2
é racional, então r 3
é
racional;
II. Se r é racional, então 3
r1
r
2
é racional;
III. Se r é racional, então r e 3
1
r
2
são racionais,
é (são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) I, II e III.

Coleção IME-ITA
19. (Insper 2009) A partir de duas proposições p e q,
foram criadas outras três proposições, descritas a
seguir:
I. ( ) e ( ) .
p
II. Se ( ), então ( ) .
p
III. ( ), se e somente se, ( ) .
p
q
Dependendo das proposições p e q, as proposições
(I), (II) e (III) podem ser verdadeiras ou falsas. Dentre
as alternativas abaixo, a única que faz com que as
três proposições sejam simultaneamente falsas é
a) p: o seno de 2 é um número negativo; q:
nenhum triângulo retângulo é equilátero.
b) p: o seno de 2 é um número negativo; q:
nenhum triângulo retângulo é isósceles.
c) p: a raiz cúbica real de –8 é igual a –2; q:
nenhum triângulo retângulo é equilátero.
d) p: a raiz cúbica real de –8 é igual a –2; q:
nenhum triângulo retângulo é isósceles.
e) p: o seno de 2 é um número negativo; q: todo
triângulo retângulo é isósceles.
20. (IME 1989) IMEBOL é um jogo de três jogadores.
Em cada partida o vencedor marca a pontos, o
segundo colocado marca b pontos e o terceiro
marca c pontos, onde a > b > c são inteiros
positivos. Certo dia Marcos, Flavio e Ralph resolvem
jogar IMEBOL e após algumas partidas a soma dos
pontos foi: Marcos 20; Flávio 10; Ralph 9. Sabe-se
que Flávio venceu a segunda partida. Encontre
quantos pontos cada um marcou em cada partida
disputada.
21. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P
são conjuntos não vazios):
Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está
contido em P".
Premissa 2: "X não está contido em P".
Pode-se, então, concluir que, necessariamente:
a) Y está contido em Z.
b) X está contido em Z.
c) Y está contido em Z ou em P.
d) X não está contido nem em P nem em Y.
e) X não está contido nem em Y e nem em Z.
22. Considere a proposição
Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar
Esta é uma proposição composta pelas duas
proposições “a chuva continuar a cair” e “o rio vai
transbordar”, ligadas pelo conectivo “se ... então”.
q
q
Em Lógica Simbólica este conectivo é chamado
“condicional” e representado pelo símbolo →.
Então, se p e q são proposições, a expressão p → q
é chamada condicional de p e q; a proposição p é
chamada antecedente, e a proposição q
consequente da condicional. A operação de
condicionamento indica que o acontecimento de p
é uma condição para que q aconteça.
De acordo com o texto, o que acontecerá com o rio
se o antecedente for falso? Justifique.
PORCENTAGEM
23. (UFRGS 1996) Uma loja avisa que, sobre o valor
original de uma prestação que não for paga no dia
do vencimento, incidirão multa de 10% mais 1% a
cada dia de atraso.
Uma pessoa que deveria pagar y reais de prestação
e o fez com x dias de atraso, pagou a mais:
a) [0,1 y + x] reais
b) [x + 10] reais
c) [10 y + x] reais
d) [0,1 y + 0,01 x] reais
e) [0,1 y + 0,01 xy] reais
24. (IME 1985) Uma padaria trabalha com 4 tipos de
farinha cujos teores de impureza são os seguintes:
Tipo Teor
A 8%
B 12%
C 16,7%
D 10,7%
Para fabricar farinha do tipo D, o padeiro mistura
uma certa quantidade de farinha A com 300 g de
farinha B; em seguida substitui 200 g dessa mistura
por 200 g de farinha tipo C. Determine a
quantidade de farinha tipo A utilizada.
25. (UFPE 2010) Um modelo novo de motor está
equipado com três mecanismos, A, B e C, para
economizar combustível. Os mecanismos A, B e C
economizam, respectivamente, 20%, 30% e 50%,
em comparação com os mecanismos antigos.
Quando os três mecanismos são utilizados
conjuntamente, quanto se economiza,
percentualmente, de combustível?
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Matemática – Livro1
26. (PUC PR 2010) Vidal fez um empréstimo de certo
valor, para ser quitado ao final de quatro meses,
em parcela única. A taxa de juros negociada com o
gerente do banco foi de 5% ao mês. Exatamente
um mês depois, sua namorada Madalena
emprestou, do mesmo banco, um valor para ser
pago ao final de três meses, também em parcela
única, ou seja, ambos empréstimos vencem no
mesmo dia. Sabe-se que o valor emprestado por
Vidal é superior a dois salários mínimos.
(Considerar juros simples).
a) Se o casal emprestou valores iguais, ainda
que Madalena pague uma taxa de juros 30%
maior do que a taxa devida por Vidal, seu
saldo devedor será menor do que o do seu
namorado.
b) Se Madalena emprestou um valor 10%
superior àquele emprestado por Vidal, a uma
taxa de 3% ao mês, seu saldo devedor no
vencimento será igual ao de Vidal.
c) Suponha que eles emprestaram valores iguais.
Para que o saldo devedor de ambos coincida,
a taxa de juros paga por Madalena deverá ser
40% superior à taxa paga por Vidal.
d) Se Madalena emprestou 10% a menos que
Vidal, a uma taxa de juros equivalente ao
dobro daquela devida por ele, eles terão
saldos devedores iguais na data de
vencimento.
e) Sem conhecer o valor absoluto de cada
empréstimo, ou o valor exato de um salário
mínimo, é impossível fazer qualquer
avaliação.
27. (UFPE 2010) Os 200 estudantes de uma escola que
praticam esportes escolhem duas dentre as
modalidades seguintes: futebol, handebol, basquete
e futebol de salão.Entretanto, nenhum estudante da
escola escolheu futebol e basquete ou handebol e
futebol de salão. Sabendo que 65% dos alunos
escolheram futebol, 60% escolheram futebol de
salão, 35% escolheram basquete e 25% dos
jogadores de handebol também jogam basquete,
quantos são os alunos da escola que jogam futebol
e futebol de salão?
28. (IME) Num país longínquo, a tributação sobre a
venda de veículos novos é feita por meio de um
imposto único de 8%, que incide sobre o valor de
venda estipulado pelas concessionárias. O preço
final de um veículo ao consumidor é o valor
estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8%
de imposto, que as concessionárias então repassam
ao governo.
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Como as vendas vinham caindo muito, em
decorrência da crise mundial, o governo resolveu
reduzir temporariamente esse imposto para 4%.
a) Determine a queda percentual no preço final de
um veículo novo ao consumidor. Essa queda
depende do preço de venda estipulado pelas
concessionárias? Justifique a sua resposta.
b) A redução do imposto veio acompanhada de
um acréscimo de 20% nas vendas, o que não
impediu que o governo perdesse receita.
Determine a queda percentual da receita do
governo advinda do imposto sobre a venda
de veículos novos.
c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o
governo poderia ter reduzido o imposto para
x%. Admitindo que, com a redução do
imposto para x%, houvesse um aumento de
5(8 − x)% nas vendas, o governo arrecadaria
uma fração f (x) do que arrecadava antes.
Determine f (x), 0 x 8 , e esboce o
gráfico de f.
29. (UFT 2011) Uma pessoa vai a uma loja comprar
um aparelho celular e encontra o aparelho que
deseja adquirir com duas opções de compra: à vista
com 10% de desconto; ou em duas parcelas iguais
e sem desconto, sendo a primeira parcela no ato da
compra e a outra um mês após.
Com base nos dados de oferta deste aparelho
celular, pode-se afirmar que a loja trabalha com
uma taxa mensal de juros de:
a) 0%. b) 1%. c) 5%.
d) 10%. e) 25%.
30. (Unesp 2011) O gráfico representa a distribuição
percentual do Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil
por faixas de renda da população, também em
percentagem.
Baseado no gráfico, pode-se concluir que os 20%
mais pobres da população brasileira detêm 3,5%
(1% + 2,5%) da renda nacional. Supondo a
população brasileira igual a 200 milhões de
habitantes e o PIB brasileiro igual a 2,4 trilhões de
reais (Fonte: IBGE), a renda per capita dos 20%
mais ricos da população brasileira, em reais, é de

Coleção IME-ITA
31. (FGV 2012) César aplicou R$ 10.000,00 num
fundo de investimentos que rende juros compostos a
uma certa taxa de juro anual positiva i. Após um
ano, ele saca desse fundo R$ 7.000,00 e deixa o
restante aplicado por mais um ano, quando verifica
que o saldo é R$ 6.000,00. O valor de 4i 1 2
é:
a) 0,01. b) 0,02. c) 0,03.
d) 0,04. e) 0,05.
32. Fábio e Carla possuem um empreendimento no
campo. Estes produtores rurais vendem diversos
legumes e vegetais que crescem em uma plantação
de formato retangular, com 2.400 m 2 de área e
280 m de perímetro. O campeão de produção é a
batata e é vendida a R$ 3,00 o quilo. Fábio,
cuidadoso com as finanças, sabe que, para evitar
vender fiado, é necessário sempre ter dinheiro
trocado e suficiente em caixa para conferir troco
exato aos clientes.
a) Quais são as dimensões da plantação
retangular (informe as medidas dos lados em
metros)?
b) Se a produtividade média de batatas é de 10
quilos por metro quadrado e por ciclo de
plantação, e a batatasa é produzida em um
terço da área de plantação dessa horta, qual
será o lucro de Fábio e Carla, em um ciclo de
plantação, sabendo que toda a produção é
vendida e que o custo de produção desse
legume é igual a 40% de seu preço de venda?
c) Considere a situação em que é necessário
devolver troco exato a um cliente que compra
qualquer quantidade entre 1,0 quilo e 3,5 quilos
de batata com uma cédula de R$ 20,00. Se
Fábio sempre devolve o troco utilizando
primeiramente cédulas e, em seguida, o mínimo
número possível de moedas, quantas moedas,
no máximo, precisará usar? Suponha que
podem ser usadas, somente e em qualquer
quantidade, moedas de R$ 0,01; R$ 0,05;
R$ 0,10; R$ 0,25; R$ 0,50; e de R$ 1,00; e que
podem ser usadas, somente e em qualquer
quantidade, cédulas de R$ 2,00, R$ 5,00 e de
R$ 10,00.
CONJUNTOS
33. (IME 1999) Três jogadores, cada um com um dado,
fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi
repetida cinquenta vezes. Os dados contêm três
faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes:
Em 28 saiu uma face preta para o jogador I;
Em 25 saiu uma face branca para o jogador II;
Em 27 saiu uma face branca para o jogador III;
Em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e
III e branca para o jogador II;
Em 7 saíram faces brancas para os jogadores II
e III e preta para o jogador I;
Em 4 saíram faces pretas para os três jogadores;
Em 11 saíram faces pretas para os jogadores II
e III.
Determine quantas vezes saiu uma face preta para
pelo menos um jogador.
34. (ITA 2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de,
, não vazios. Com respeito às sentenças:
C
C C
C
I X Y X Y X X Y X.
II Se Z X então Z Y
X Z Y
X Y.
C
C
C
III Se Z Y Z então Z X.
temos que:
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (I) e (II) são verdadeiras.
c) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
d) apenas (II) e (III) são verdadeiras.
e) todas são verdadeiras.
35. (IME 1987) Dado dois conjuntos A e B define-se:
AB AB B
A
Prove que dados três conjuntos arbitrários X, Y e Z:
X YZ X Y X Z
36. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e
B um subconjunto de A com 6 elementos. O
número de subconjuntos de A com um número de
elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é
a) 2 8 – 9
b) 2 8 – 1
c) 2 8 – 2 6
d) 2 14 – 2 8
e) 2 8
37. (ITA 1976) Considere g: {a, b. c } { a, b, c }
uma função tal que g(a) = b e g(b) = a. Então
temos:
a) a equação g(x) = x tem solução se, e somente
se, g é injetora.
b) g é injetora mas não sobrejetora.
c) g é sobrejetora, mas não injetora.
d) se g não é sobrejetora, então g(g(x)) = x para
todo x em {a, b, c }.
e) n.d.a.
7

Matemática – Livro1
38. (ITA 1972) Sejam A, B e C subconjuntos de , não
vazios, e
A B p;
pA e pB
Dadas as igualdades:
1. (A – B) × C = (A × C) – (C × B)
2. (A – B) × C = (A × B) – (B × C)
3. (A B) – A (B A) – B
4. A – (B C) = (A – B) (A – C)
5. (A – B) (B – C) = (A – C) (A – B)
8
Quais são verdadeiras?
39. Dados os conjuntos:
A = {a, b, c, d}, B = {b, c, d, e}, C = {a, c, f},
então:
[(A – B)(B – C) (AB)] [(AC) (BAC)] é:
40. Sejam A um conjunto com 6 elementos, B com 8
elementos e C e D subconjuntos de A e B,
respectivamente, ambos com três elementos. Qual é o
número de funções injetoras f: A→B tais que f(C) = D?
a) 240. b) 60.
c) 360. d) 120.
e) 180
41. Seja S = {S1, S2, S3} o conjunto de sintomas de
uma determinada moléstia. Em geral, um portador
desta moléstia apresenta apenas um subconjunto
não vazio de S. Assinale a única alternativa
correspondente ao número de subconjuntos de S
que poderão apresentar os pacientes portadores
desta moléstia.
a) 7. b) 8. c) 16. d) 15. e) 14.
42. (ITA 1986)
n
Seja A1 / n! sen n ! / 6 ; n .
Qual conjunto a seguir é tal que sua intersecção
com A dá o próprio A?
a) (–, –2] [2, )
b) (– , –2]
c) [–2, 2]
d) [–2, 0]
e) [0, 2)
43. (ITA) Sejam A e B subconjuntos não vazios de , e
considere as seguintes afirmações:
(I) (A – B) X (B A X ) X =
(II) (A – B X ) X = B – A X
(III) [(A X – B) (B – A)] X = A
Sobre essas afirmações podemos garantir que:
a) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) apenas a afirmação (III) é verdadeira
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
44. (ITA 1995) Seja A = {(-1) n / n! + sen(n! π/6); n ∈ N}.
Qual conjunto a seguir é tal que sua intersecção
com A dá o próprio A?
a) (-∞, -2] ⋃ [2, ∞) b) (-∞,-2]
c) [-2, 2] d) [-2, 0]
e) [0, 2)
45. (ITA 1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de
R, e considere as seguintes afirmações:
I. (A - B) x ⋂ (B ⋃ A x ) x = ∅
II. (A - B x ) x = B - A x
III. [(A x - B) ⋂ (B - A)] x = A
Sobre essas afirmações podemos garantir que:
a) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) apenas a afirmação (III) é verdadeira.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Nota: C x denota o complementar de C em R.
46. (ITA 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não
vazios de IR. Considere as afirmações:
I. Se (E×G)⊂(F×H), então E⊂F e G⊂H.
II. Se (E×G)⊂(F×H), então (E×G)⋃(F×H)=F×H.
III. Se (E×G)⊂(F×H)=F×H, então (E×G)⊂(F×H).
Então:
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
47. (ITA 2000) Denotemos por n(X) o número de
elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C
conjuntos tais que n(A ⋃ B) = 8, n(A ⋃ C) = 9, n(B
⋃ C) = 10, n(A ⋃ B ⋃ C) = 11 e n(A ⋂ B ⋂ C) =
2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a
a) 11. b) 14. c) 15.
d) 18. e) 25.
48. (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos
e B um conjunto tal que A ⋃ B contenha 12
elementos. Então, o número de elementos de P(B -
A) ⋃ P(∅) é igual a
a) 8. b) 16. c) 20.
d) 17. e) 9.

Coleção IME-ITA
49. (ITA 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e A ⊂ U,
B ⊂ U. Usando apenas as definições de igualdade,
reunião, intersecção e complementar, prove que:
a) Se A ⋂ B = ∅, então B ⊂ Ac.
b) B / Ac = B ⋂ A.
50. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmações sobre
o conjunto U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}:
I. ∅ ∈ U e n(U) = 10.
II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10.
III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U.
IV. {0,1,2,5} ⋂ {5} = 5.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s)
a) apenas I e III.
b) apenas II e IV.
c) apenas II e III.
d) apenas IV.
e) todas as afirmações.
51. (ITA 2004) Seja A um conjunto não-vazio.
a) Se n(A) = x, calcule n(P(A)) em termos de x.
b) Denotando P 1 (A) = P(A) e P t+1 (A) = P(P t (A)),
para todo número natural t ≥ 1, determine o
menor t, tal que n(P t (A)) ≥ 65000, sabendo
que n(A) = 2.
52. (ITA 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6},
T = {1, 3, 5} e U = {0,1} e as afirmações:
I. {0} ∈ S e S ⋂ U ≠ ∅.
II. {2} ⊂ (S - U) e S ⋂ T ⋂ U = {0, 1}.
III. Existe uma função f: S T injetiva.
IV. Nenhuma função g: T S é sobrejetiva.
Então, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas IV.
c) apenas I e IV. d) apenas II e III.
e) apenas III e IV.
53. (IME 2010) Sejam os conjuntos P,P 1 2
,S 1
e S 2
tais que
P2 S1 P, 1 P1S2
P 2
e 1 2 1
2
Demonstre que S S P P .
1 2 1 2
S S P P .
54. Um curso oferece as disciplinas A, B, C e D. Foram
feitas as matriculas dos alunos da seguinte forma:
6 alunos se matricularam na disciplina A;
5 alunos se matricularam na disciplina B;
5 alunos se matricularam na disciplina C; e
4 alunos se matricularam na disciplina D.
Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo,
3 disciplinas. Determine a quantidade mínima de
alunos que se matricularam nas 4 disciplinas.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
55. Uma pesquisa com 1.000 pessoas revelou que 70%
delas têm aparelho de som, 85% têm telefone,
47,2% têm computador e 98,7% têm televisor.
Nessa situação, considere que S, F, C e T
representam, respectivamente, os conjuntos das
pessoas que possuem aparelho de som, telefone,
computador e televisor. Considerando ainda que
X representa o número de pessoas no conjunto X
e que XC representa o conjunto complementar de X,
julgue os itens que se seguem.
01. SFCT 472
C
02. C T 488
C C
03. S F 450
04. S FCT 9
56. Dados dois conjuntos A e B, define-se
AB A B B
A . Prove que, dados três
conjuntos arbitrários X, Y e Z,
X YZ X Y X Z .
01. Todas verdadeiras
Gabarito
02. 6 03. c 04. b 05. a
06. e 07. c 08. a 09. c
10. c 11. a 12. e 13. a
14. c
15. a) Considere a tabela, em que b significa
branco e n significa negro.
Cor do Chapéu
Prisioneiros
A B C
b b b
b b n
b n b
n b b
n n b
n b n
b n n
9

Matemática – Livro1
b) Para que A não saiba a cor do seu chapéu,
os chapéus de B e C não podem ser ambos
negros. Logo, B detém essa informação.
Analogamente, como B também não soube
responder, os chapéus de A e C não
podem ser ambos negros. Finalmente, o
chapéu de C não pode ser negro, pois, após
a resposta de A , o prisioneiro B saberia que
o seu chapéu só poderia ser branco. Portanto,
o chapéu de C só pode ser branco.
16. d 17. b 18. e 19. d
20. Primeira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Segunda partida: 1º Flávio; 2º Marcos; 3º Ralph.
Terceira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
21. b
22. Considere que a chuva não tenha continuado a cair;
nesse caso, independentemente do que tenha
acontecido com o rio, a condicional é considerada
verdadeira. Por que esse fato ocorre? Por que motivo,
a Lógica considera que se o antecedente for falso, a
condicional é verdadeira, qualquer que seja o valor
lógico do consequente? Existem vários motivos para
isso, e vamos aqui apresentar o mais simples.
Quando o antecedente for falso, temos quatro
possibilidades para o valor lógico da condicional:
antecedente
F
antecedente
F
consequente
V
consequente
F
Possibilidades
da condicional
1ª 2ª 3ª 4ª
V V F F
V F V F
Se a Lógica adotasse a segunda possibilidade, a
condicional assumiria os mesmos valores lógicos do
consequente, independentemente do antecedente, o
que não parece razoável; se assumisse a terceira, o
antecedente e o consequente poderiam ser
permutados, sem modificar o valor lógico da
condicional, o que também não parece ser razoável
(se o rio transbordar, a chuva vai continuar caindo).
Finalmente, se a quarta possibilidade fosse
adotada, a condicional não se distinguiria da
conjunção; resta então a primeira possibilidade,
que é a adotada pela Lógica.
23. e 24. 700 gramas. 25. 72%
26. a
27. Jogam futebol 130 alunos e futebol de salão 120
alunos.
28. a) 3,7%
b) 40%
c)
(8 x)
5
x
1 100
.
M
100 100
f( x)
8M
100
(140 5 x).
x
f( x)
800
2
28x
x
f( x)
160
O gráfico é uma parábola, representado pela figura
abaixo
29. e 30. d 31. d
32. a) Sejam x e y as dimensões da plantação.
Temos
x20 e y 120
2( x y) 280
ou .
x y 2400
x
120 e y 20
Portanto, as dimensões da plantação são
20 m e 120 m.
b) Dado que o custo de produção de 1kg de
batata é igual a 40% de R $ 3,00,
concluímos que o lucro obtido, por kg, é igual
a (1 0,4) 3 R $1,80. Além disso, como a
produtividade média de batata é de
2
10 kg m , e a beterraba é produzida em
1 2400 800
2
m , segue-se que o resultado
3
pedido é 10 8001,8 R
$14.400,00.
10

Coleção IME-ITA
c) O valor a ser pago pelo cliente pode variar
no intervalo de R $ 3,00 a R $10,50. Logo, o
troco devido varia entre R $ 9,50 e
R $17,00, inclusive.
Como qualquer troco inteiro entre R $ 9,00 e
R$17,00 pode ser obtido por meio de uma
combinação de cédulas de R$2,00 e
R $ 5,00, segue-se que o troco máximo em
moedas é igual a R $ 0,99. Portanto, este
troco pode ser obtido com um mínimo de 8
moedas (uma de R $ 0,50, uma de R $ 0,25,
duas de R$0,10 e quatro de R$0,01).
33. 44 vezes.
34. b
35. Usando o diagrama de Venn, os lados esquerdo, E,
e direito, D, da relação do enunciado são iguais a
E = X [(Y – Z) (Z – Y)]
= (a, b, d, e) [(b, c) (d, g)]
D = [(X Y) – (X Z)] [(X Z) – (X Y)]
= [(b, e) – (d, e)] [(d, e) – (b, e)]
36. a
37. a
E assim E = D = (b, d).
38. 1 e 4.
47. d
48. b
49. a) Para A ⋂ B = ∅:
(∀x, x ∈ B x ∉ A) (∀x, x ∈ B x ∈
A ) B ⊂ A
b) ∀x, x ∈ B / A ⇔ (x ∈ B e x ∉ A ) ⇔ (x ∈ B e x
∈ A) ⇔ (x ∈ A ⋂ B) ⇔ B / A = A ⋂ B
50. c
51. a) n(P(A)) = 2 x
b) t = 3
52. b
53. demonstração
54. c
55. 01. C, 02. E, 03. C, 04. C
56. Utilizando um diagrama de Venn, os lados
esquerdo, E, e direito, D, da relação do enunciado
são iguais a:
E X Y Z Z Y a,b,d,eb,c d,g
e
D X Y X Z X ZX Y
E assim, E D b,d .
b,e d,e d,e b,e
.
39. {a, c}
40. c
41. a
42. c
43. a
44. c
45. a
46. e
11

Matemática – Livro1
12
Frente B
Módulo B01
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA
01. (UFMG 2012) Sobre os axiomas de incidência na
Geometria Euclidiana e em um modelo de geometria
finita considere um conjunto qualquer P A, B,
C
de três elementos e chame-o de plano. Chame os
elementos de P de pontos, e defina as retas de P
r A C , e
como sendo os conjuntos r1 A,
B , 2 ,
r
3
B,
C . Verifique quais axiomas de incidência
são satisfeitos, por estes objetos.
02. (ITA 1987) Dadas duas retas concorrentes a e b e
dado um ponto M , fora do plano determinado por
a e b,consideremos os pontos E e F , simétricos de
M em relação às retas a e b,respectivamente. A
reta que une os pontos E e F é:
a) Perpendicular ao plano determinado por a e b.
b) Paralelo ao plano determinado por a e b.
c) Oblíquo ao plano determinado por a e b.
d) Pertencente ao plano determinado por a e b.
e) n. r. a.
03. (UFG 2007) Um axioma é independente dos
demais se não pode ser provado a partir deles. Na
verdade, o que se pretende é confirmar que eles
são axiomas de fato. Prove que o axioma I 1
é
independente de I
2, I
3, P1 e P
2.
Notas:
Axioma I
1
= Qualquer que seja a reta, existe ponto
que pertence a ela e existe ponto que
não pertence a ela.
Axioma I
2
= Dois pontos determinam uma reta. Em
outras palavras, dados dois pontos
distintos quaisquer, existe uma e uma
só reta que os contém.
Axioma I
3
= No plano existem pelo menos três
pontos que não estão alinhados.
Axioma P
1
= Qualquer que seja a reta r e qualquer
que seja o ponto P fora de r, existe
pelo menos uma paralela a r por P.
(Existência.)
Axioma P
2
= Qualquer que seja a reta r e qualquer
que seja o ponto P fora de r, existe no
máximo uma paralela a r por P.
(Unicidade.)
04. (ITA 1977) Seja P um plano. Sejam A, B, C e D
pontos de P e M um ponto qualquer não
pertencente a P. Então, a alternativa correta é.
a) Se C dividir o segmento AB em partes iguais e
MA
MB, então o segmento MC é
perpendicular a p.
b) Se ABC for um triângulo equilátero e D for
equidistante de A, B e C, então o segmento
MD é perpendicular a p.
c) Se ABC for um triângulo equilátero e D for
equidistante de A, B e C, então
MAMB MC implica em que o segmento
MD é perpendicular a p.
d) Se ABC for um triângulo equilátero e o
segmento MD for perpendicular a p, então D
é equidistante de A, B e C.
05. (ITA 1978) Quais as sentenças falsas nos itens
abaixo:
I. Se dois planos são secantes, todas as retas de
um deles sempre interceptam o outro plano.
II. Se em dois planos, num deles existem duas
retas distintas paralelas ao outro plano, os
planos são sempre paralelos.
III. Em dois planos paralelos, todas as retas de
IV.
um são paralelas ao outro plano.
Se uma reta é paralela a um plano, em tal
plano existe uma infinidade de retas paralelas
àquela reta.
V. Se uma reta é paralela a um plano, será
paralela a todas as retas do plano.
06. (IME 1968) Na figura abaixo, sendo AC = BC e
BD = BE, expressar a
f b .

Coleção IME-ITA
07. (IME 1968) Os lados dos ângulos MAN e QPR
interceptam-se como na figura abaixo.
Sendo AD 3, AB 2, BC 4, pede-se o valor
de DE .
08. Prove que o quadrilátero formado pelas bissetrizes
dos ângulos de um paralelogramo é um retângulo.
09. Na figura a seguir AD é bissetriz de CÂB e
CA CD . Mostre que CD é paralela a AB.
10. Na figura abaixo, AB e CD dividem-se ao meio em
E. Mostre que AD é paralelo a CB.
PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE
11. (Unesp adaptado) A sentença falsa a respeito do
paralelismo é:
a) Uma reta a e um plano , a , são
paralelos uma reta b em tal que a e
b são ||.
b) Se e são planos interceptando-se na
reta r e a reta s é || a e a , então
também é || a r.
c) Se o plano é paralelo a duas retas
concorrentes do plano , então e são ||.
d) Por um ponto fora de um plano passa um
e apenas um plano || a .
e) Se uma reta intercepta o plano , um plano
|| , que não é interceptado pela reta.
12. Por uma reta não paralela e não perpendicular a
um plano passam:
I. infinitos planos paralelos a .
II. nenhum plano paralelo a , distinto de .
III. nenhum plano perpendicular a .
IV. um único plano perpendicular a .
Valem as asserções:
a) II e III
b) II e IV
c) I e III
d) I e IV
e) I e II
13. (IME-1992) Provar que a soma das distâncias de
um ponto qualquer interior a um triângulo
equilátero aos lados é constante.
14. Dois planos secantes e interceptam-se na reta
r, e s é uma reta contida em . Se s é paralela ao
plano , então as retas r e s são paralelas.
Justifique.
15. Dadas duas retas reversas r e s e um ponto P fora
delas, verifique se existe um plano que passa por P
e é paralelo às retas r e s. Justifique.
16. Se dois planos paralelos e interceptam um
plano nas retas r e s, respectivamente, então r e
s são retas paralelas. Justifique.
17. Considere as seguintes proposições:
I. Toda reta paralela a um plano é paralela a
qualquer reta desse plano.
II. Uma reta e um ponto determinam sempre um
plano.
III. Se uma reta no plano é perpendicular a
duas retas concorrentes no plano , então
ela é perpendicular a .
IV. Seja os planos , , paralelos entre si e uma
reta t, não paralela a estes planos. A
intersecção entre todos estes elementos forma o
conjunto A, B e C de pontos do plano .
Pode afirmar que:
a) Todas são falsas.
b) Apenas III é verdadeira.
c) Todas são verdadeiras.
d) Só I, II e III são verdadeiras.
e) Só II e IV são falsas.
13

Matemática – Livro1
18. A única proposição falsa é:
a) no espaço, duas retas s e t|| a r s || t || r.
b) uma reta ortogonal a duas retas de um plano
é ortogonal ao plano.
c) dois planos à mesma reta são paralelos
entre si.
d) um plano perpendicular a uma reta de outro
plano é perpendicular a este plano.
e) um plano perpendicular a dois planos que se
interceptam é perpendicular à reta de
intersecção destes.
19. (ITA 1995) Qual das afirmações abaixo é
verdadeira?
a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam
um único plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um ponto.
c) Se dois planos distintos têm um ponto em
comum, tal ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está
contida neste plano, então ela é paralela a
qualquer reta desse plano.
e) Se α é o plano determinado por duas retas
concorrentes r e s, então toda reta m desse
plano, que é paralela a r, não será paralela a
reta s.
20. Na figura abaixo, AC, BC e CD são segmentos
perpendiculares dois a dois. Ainda, AD = BD e E, F
e G são pontos médios de AD, BD e CD,
respectivamente. Demonstre que são congruentes os
ângulos FÊG e BÂC, e ache sua medida.
21. Considere o plano de uma mesa em um ponto
dado desse plano. Você dispõe de uma folha de
papel que possui um só bordo reto. Dobrando essa
folha de papel, conduza uma perpendicular ao
plano da mesa, pelo ponto dado. Enuncie um
teorema que justifique tal construção.
22. (ITA) Quais as sentenças falsas nos itens abaixo:
I. Se dois planos são secantes, todas as retas de
um deles sempre interceptam o outro plano.
II. Se, em dois planos, num deles existem duas
retas distintas paralelas ao outro plano, os
planos são sempre paralelos.
14
III. Em dois planos paralelos distintos, todas as
retas de um são paralelas ao outro plano.
IV. Se uma reta é paralela a um plano, em tal
plano existe uma infinidade de retas paralelas
àquela reta.
V. Se uma reta é paralela a um plano, será
paralela a todas as retas do plano.
a) I, II e III b) I, II e V c) I, II e IV
d) II, III e IV e) n.d.a.
23. (ITA - 1969) Consideremos um plano e uma reta
r que encontra esse plano num ponto P e que não é
perpendicular a . Assinale qual das afirmações é
verdadeira:
a) Existem infinitas retas de perpendiculares a r
pelo ponto P.
b) Existe uma e somente uma reta de
perpendicular a r pelo ponto P.
c) Não existe reta de , perpendicular a r, por P.
d) Existem duas retas de perpendiculares a r,
passando por P.
e) n.d.a.
24. Quantas retas existem passando num ponto dado e
perpendiculares a um plano dado? Faça uma
representação geométrica.
25. Se um plano é perpendicular a dois planos
distintos e , então e são necessariamente
paralelos? Faça uma representação geométrica.
26. Quantos planos existem passando num ponto dado
e perpendiculares a uma reta dada? Faça uma
representação geométrica.
27. Se uma reta r é perpendicular a duas retas distintas
s e t, então s e t são necessariamente paralelas?
Faça uma representação geométrica.
28. Se um plano é perpendicular a duas retas r e s,
qual é a posição relativa de r e s? Faça uma
representação geométrica.
29. Se uma reta r é perpendicular a dois planos distintos
e , qual é a posição relativa entre estes planos?
Faça uma representação geométrica.
30. (Fuvest) Dados um plano e uma reta r, podemos
afirmar que:
a) existe um plano que contem r e é
perpendicular a .
b) existe um único plano que contem r e é
perpendicular a .
c) existe um plano que contem r e é paralelo a .
d) existe um único plano que contém r e é
paralelo a .
e) qualquer plano que contém r intercepta o
plano .

Coleção IME-ITA
TEOREMA DE TALES
31. (Adaptado) A produção de soja de certo município
de Minas Gerais é ilustrada graficamente abaixo,
com taxa de variação de 1,5.
34. (Adaptado) Sabe-se que as retas coplanares
paralelas, r, s e t, interceptadas por duas
transversais, conforme a figura.
Com base na ilustração, podemos concluir que a
produção em meados de 1992 neste município foi
de aproximadamente, em milhões de tonelada.
32. (Adaptado) Uma corrida é disputada no circuito
representado:
Os segmentos representados por x e y valem,
respectivamente:
3
a)
20 e 3 . b) 6 e 11. c) 9 e 13.
40
20
d) 11 e 6. e)
3 e 40
3 .
35. (G1 2006) As ruas Amor, Bondade e Caridade são
paralelas e as avenidas Paz e Felicidade são
transversais a essas ruas.
Com partida em S, tendo TP e SQ paralelas, cada
corredor deve percorrer o circuito passando,
sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando,
finalmente, a S. Então o perímetro do circuito é de:
a) 4,5 km. b) 19,5 km. c) 20,0 km.
d) 22,5 km. e) 24,0 km.
33. (Adaptado) Tendo como principal motivação a crise
enérgica que o país vem enfrentando, alternativas
são encontradas para amenizar a situação. Uma
alternativa encontrada por uma fábrica foi a de
construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a
correnteza de um rio que passa próximo às suas
instalações. De acordo com a figura e admitindo
que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se
afirmar que a barreira mede:
Arthur mora na esquina da Rua Amor com a
Avenida Paz indicada na figura pelo ponto A.
a) Para ir à videolocadora situada na esquina da
Rua Caridade com a Avenida Paz, indicada
pelo ponto B, quantos metros, no mínimo,
Arthur percorre?
b) Arthur faz uma caminhada de 200 metros em
3 minutos. Para ir à sua escola, situada na
esquina da Rua Caridade com a Avenida
Felicidade, indicada pelo ponto C, ele anda
pela Avenida Paz e vira na Rua Caridade.
Quanto tempo Arthur demora para chegar à
escola?
15

Matemática – Livro1
36. (Adaptado) A vista lateral de um reservatório é
ilustrada a seguir. Foi certificado que o topo e a
base são rigorosamente paralelos.
39. (Adaptado) Na figura abaixo tem-se: AB = 3 cm,
BC = 4 cm e CD = 7 cm. AD' mede 15 cm e os
segmentos BB' e CC' são paralelos a DD'. Determine
os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.
Se a é o menor primo ímpar e b é 60% maior que
a, então, o valor de x é.
37. (Desconhecido) Considere a figura em que r//s//t.
40. (ENEM 2000) Um marceneiro deseja construir uma
escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o
mais baixo e o mais alto tenham larguras
respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm,
conforme a figura:
O valor de x é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
38. (FGV 2010) De acordo com a figura abaixo,
admitindo AF um segmento divido em 5 partes iguais
e GA, HC e JE são paralelos, a razão HC/JE é:
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça
linear de madeira cujo comprimento mínimo, em
cm, deve ser.
TRIÂNGULOS
41. (ADAPTADO) Temos os triângulos ABC e FDE,
ambos são equiláteros. Qual é o valor dos ângulos
GAD ˆ e
2 2
l 2r 4rl 4rl
2 2 2 2
2
2 2
l 2r 16r l ?
2l r 2l r 2l r
16

Coleção IME-ITA
42. (ADAPTADO) Considere o triângulo ABC a seguir, o
segmento AB é dividido em partes iguais por D e E.
Já o segmento BC é dividido em partes iguais por F,
G e H. Calcule a razão entre as áreas dos
triângulos ABC e DEF.
46. (MACHADO) Na figura abaixo temos e
. Demonstre que o triângulo ABC é
congruente ao triângulo ABD.
43. (POMPEO) Se P é um ponto interno de um triângulo
ABC, mostre que: PB PC AB AC .
44. (DOLCE) Na figura abaixo AB AE, BÂD CÂE ,
ˆB e Ê são ângulos retos. Prove que BC DE .
47. (SILVA) Determine o intervalo de variação de x,
sabendo que os lados de um triângulo são
expressos por x + 10; 2x + 4 e 20 – 2x.
48. (DOLCE) Determine o valor de x nos casos:
a)
b)
45. (REIS) Observe a figura e suas propriedades então
prove que AC EF .
49. (DOLCE) Se AP é bissetriz externa do triângulo ABC,
determine x e y.
50. (POMPEO) Dados os lados a, b e c de um triângulo
ABC, calcule a distância do vértice A ao ponto M
que divide a base BC em segmentos iguais a m e n.
BF CD
B ˆ D ˆ
 Ê
51. Considere uma circunferência de centro O e um
ponto P externo à ela. Prove que o ponto da
circunferência mais próximo de P é um dos pontos de
intersecção da reta OP com a própria circunferência.
17

Matemática – Livro1
52. (OLIMPÍADA PAULISTA 1999) O Papa-léguas está
inicialmente no ponto A, a 2 metros de um muro.
Ele quer ir até o ponto B, a 3 metros do muro, onde
há uma árvore, para descansar sob sua sombra.
Porém o Papa-léguas quer passar antes pelo muro,
junto ao qual há alpiste espalhado.
55. (UNICAMP 2001)
a) Quantos são os triângulos não congruentes
cujas medidas dos lados são números inteiros
e cujos perímetros medem 11 metros?
b) Quantos dos triângulos considerados no item
anterior são equiláteros ? E quantos são
isósceles?
56. Quantos triângulos não-congruentes são tais que cada
lado tem medida inteira e o maior lado mede 11?
57. (OLIMPÍADA - ÁFRICA DO SUL 2001) Mostrar que
em qualquer quadrilátero convexo o quociente do
perímetro pela soma das diagonais é maior que 1 e
menor que 2.
O Papa-léguas é muito esperto e escolhe sempre o
menor caminho: ele vai de A até o ponto X do muro,
seguindo a direção da reta AC, onde C é um ponto à
mesma distância que B do muro, só que do outro lado.
a) Justifique por que AXB é realmente o menor
caminho.
Para isto diga por que o caminho AYB,
desenhado a seguir, é maior que AXB.
58. Seja P um ponto interno de um triângulo qualquer
ABC. Mostre que PB PC AB AC .
59. Se X é um ponto arbitrário no interior de uma
triângulo ABC, então a soma AX BX CX é maior
que o semi-perímetro de um triângulo e menor que
o seu perímetro.
60. Em um triângulo ABC, AM é uma mediana de A.
AB
AC
Prove que AM
2
Gabarito
18
b) Determine o ângulo agudo que a reta AX faz
com o muro, sabendo que o comprimento EF
do muro é 5m
53. Determine o intervalo de valores de r tais que os
2
termos de uma PG (a, ar, ar ) sejam lados de um
triângulo.
54. (OLIMPÍADA AMERICANA) Os lados de um
triângulo são log10
2 , log10
75 e log10
n em que n
é um inteiro positivo. Determine o número de
valores possíveis para n.
01.
(i)
(ii)
(iii)
02. b
os pontos A e B só determinam a reta r 1 , os
pontos A e C só determinam a reta r 2 , e os
pontos B e C só determinam a reta r 3 ; logo o
axioma I-1 (Por dois pontos distintos do plano
passa uma e somente uma reta) é satisfeito.
Pela definição dada vemos que as retas r 1 , r 2 e
r 3 possuem pelo menos dois pontos – elas
possuem, na verdade, exatamente dois pontos
– donde o axioma I-2 (Toda reta do plano
possui pelo menos dois pontos distintos) está
satisfeito.
Finalmente o plano, que é o conjunto A, B, C
possui três pontos não alinhados, pois A r 3 , B
r 2 e C r 1 , donde o axioma I-3 (No plano
existem pelo menos três pontos que não estão
alinhados) também está satisfeito.

Coleção IME-ITA
03. Basta exibir um modelo que satisfaz I 2 , I 3 , P 1 e P 2
mas não satisfaz I 1 . Por que? Porque se I 1 fosse um
teorema provado a partir dos quatro axiomas,
então I 1 seria válido em qualquer modelo que
satisfizesse aqueles axiomas. Os pontos são as
letras A, B, C. Só uma reta: {A, B, C}. Este modelo
não satisfaz I 1 , pois não existe ponto fora da reta
{A, B, C}. É claro que satisfaz I 2 e I 3 . Quanto a P 1 e
P 2 , eles são satisfeitos pois a hipótese não está
presente e, portanto, a tese não pode ser
contrariada. Quando a hipótese não está presente,
dizemos que a afirmação está provada por
vacuidade.
04. c
05. F-F-V-V-F
06.
07. 1
3
08. Demonstração.
09. Demonstração.
10. Demonstração.
11. e
12. b
13. Trace, pelo ponto P interno ao triângulo, paralelas
aos lados do triângulo original, determinando três
novos triângulos equiláteros. A soma S desejada é a
soma das alturas destes três novos triângulos
PA' A '', PB' B '' e PC ' C '', na figura acima, ou
seja,
PA '' 3 B' B'' 3 PC ' 3
S
2 2 2
Mas, por paralelismo,
PA " CB'
PC ' B"
A
Logo,
3
l 3
S CB' B' B" B"
A
2 2
onde I é o lado do triângulo original. Assim, S é
constante e igual à altura do triângulo original.
14. Utilizar Teorema sobre paralelismo de reta e plano.
Se uma reta r, não contida num plano , é paralela
a uma reta s contida em , então r é paralela a .
Consequência: Dadas duas retas paralelas distintas,
se um plano contém uma delas, então, ou este
plano também a contém ou ele é paralelo à outra.
15. Teorema: Uma reta e um ponto fora dela
determinam um único plano.
Logo, as retas r e s (reversas) e o ponto P formam
dois planos, como as retas são reversas e o ponto P
comum, teremos os planos secantes e não
paralelos.
16. Teorema: Se um plano contém duas retas r e s
concorrentes, ambas paralelas a um plano , então
os planos e são paralelos.
17. b 18. b 19. e
20. Demonstração.
21. Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes
de um plano, ela é perpendicular ao plano.
22. b 23. b 24. 1
25. Não. 26. 1 27. Não.
28. Paralelas.
29. Paralelos.
30. a 31. 8,75 32. b
33. 43 m. 34. e
35. a) 300 m
b) 9,9 min ou 9 min 54 seg.
36. x 5,3.
37. 4
38. a
19

Matemática – Livro1
39. AB' = 3,214 cm; B'C' = 4,285 cm; C'D' = 7,501 cm.
40. 225 cm.
41. GÂD = 45º e ˆ CHG = 40º
42. 12
43. Demonstração
44. Caso de Congruência
45. Caso de Congruência
46. Caso de Congruência
6 26
47. x
5 3
48. a) 3
b) 19
49. 18 e 9
50.
mc nb mnb c a
m
n
2 2 2 2 2 2 2
51. Seja A o ponto de interseção do segmento OP com
a circunferência. Construa o triângulo OPB, sendo
B algum outro ponto qualquer da circunferência.
Prove que PA < PB.
52. a) Utilize a sugestão dada
b) 45º
53.
54. 893
1 5
r
1 5
2 2
55. a) 4
b) 3 isósceles e nenhum equilátero.
56. 36
57. Seja P o ponto de interseção das diagonais. Para
demonstrar uma das partes, considere os triângulos
ABC, BCD, ABD e ACD. Para demonstrar a outra,
considere os triângulo APB, APC, BPC e CPD.
58. Prolongue o segmento PB até interceptar o lado AC
no ponto Q. Utilize os triângulos PCQ e ABQ.
59. Na parte mais difícil, utilize o teorema anterior.
60. Prolongue o segmento AM até o ponto D, tal que
AM = MD.
Frente C
Módulo C01
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
01. (IME 2014) Em uma progressão aritmética crescente,
a soma de três termos consecutivos é S
1
e a soma de
seus quadrados é S 2
. Sabe-se que os dois maiores
desses três termos são raízes da equação
2 1
x Sx
1
S2
0.
2
A razão desta PA é
a)
d)
1
6
6
3
b)
e) 1
6
6
c) 6
02.
2 2 2 2 2
(IME 2010) Seja S 1 3 5 7 ... 79 . O
valor de S satisfaz:
a)
4
S7
10
b)
4 4
710 S 8
10
c)
4 4
810 S9
10
d)
4 5
910 S
10
e)
5
S
10
03. (ITA 2014) Uma pirâmide de altura h 1cm e volume
3
V 50cm tem como base um polígono convexo de
n lados. A partir de um dos vértices do polígono
traçam-se n 3 diagonais que o decompõem em
n 2 triângulos cujas áreas S i
, i1,2,...,n
2
constituem uma progressão aritmética na qual
3 2
2
S3
cm e S6
3cm Então n é igual a
2
a) 22. b) 24. c) 26.
d) 28. e) 32.
04. (ITA 2014) Considere os polinômios em x da
5 3 2
forma p(x) x a3x a2x ax.
1
As raízes
de p(x) 0 constituem uma progressão aritmética
de razão 1 2 quando a,a ,a é igual a
a)
c)
e)
1 5
,0, .
4 4
1 5
,0, .
4 4
1 1
, 1, .
4 4
1 2 3
b)
d)
1 5
,1, .
4 4
5 1
,0, .
4 4
20

Coleção IME-ITA
05. (ITA 2013) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de
bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C
e D são, respectivamente, as projeções ortogonais
de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB,
AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja
soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide
ABCF é igual a 10 cm 3 . Calcule:
a) As medidas das arestas do paralelepípedo.
b) O volume e a área total da superfície do
paralelepípedo.
06. (ITA 2012) Sabe-se que
(x 2y, 3x 5y, 8x 2y,
11x 7y 2z) é uma
progressão aritmética com o último termo igual a
−127. Então, o produto xyz é igual a
a) −60. b) −30. c) 0
d) 30. e) 60.
07. (ITA 2010) Considere a matriz
a1 a2 a3
A
0 a4 a5
M 3x3( ),
0 0 a
6
em que a 4 = 10, det A = – 1000 e a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,
a 5 e a 6 formam, nesta ordem, uma progressão
a1
aritmética de razão d > 0. Pode-se afirmar que
d
é igual a
a) – 4. b) – 3. c) – 2.
d) – 1. e) 1.
08. (ITA 2010) Considere a progressão aritmética (a 1 ,
a 2 , ..., a 50 ) de razão d.
10
Se a n = 10 + 25d e a n = 4550, então d
n1
– a 1 é igual a
a) 3. b) 6. c) 9.
d) 11. e) 14.
09. (ITA 2007) Se A, B e C forem conjuntos tais que n
(A ⋃ B) = 23, n (B - A) = 12, n (C - A) = 10, n (B
⋂ C) = 6 e n (A ⋂ B ⋂ C) = 4, então n (A), n (A ⋃
C), n (A ⋃ B ⋃ C), nesta ordem.
a) formam uma progressão aritmética de razão 6.
b) formam uma progressão aritmética de razão 2.
c) formam uma progressão aritmética de razão
8, cujo primeiro termo é 11.
d) formam uma progressão aritmética de razão
10, cujo último termo é 31.
e) não formam uma progressão aritmética.
50
n1
10. (ITA 2006) Considere as seguintes afirmações sobre
a expressão
101 k
k0
8
S log 4 2 :
I. S é a soma dos termos de uma progressão
geométrica finita
ll. S é a soma dos termos de uma progressão
aritmética finita de razão 2 3
III. S = 3451
IV. S ≤ 3434 + log 8 2
Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s)
apenas
a) I e Ill b) ll e Ill c) ll e lV
d) ll e) Ill
11. (ITA 2005) Seja a 1 , a 2 , ... uma progressão
aritmética infinita tal que
n
2
a3k
n 2 n , para nN*
k1
Determine o primeiro termo e a razão da progressão.
12. (ITA 2005) Uma esfera de raio r é seccionada por n
planos meridianos. Os volumes das respectivas
cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera
formam uma progressão aritmética de razão
r 3 /45. Se o volume da menor cunha for igual a
r 3 /18, então n é igual a
a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7.
13. (ITA 2004) Considere um polígono convexo de
nove lados, em que as medidas de seus ângulos
internos constituem uma progressão aritmética de
razão igual a 5 ° . Então, seu maior ângulo mede, em
graus,
a) 120 b) 130 c) 140
d) 150 e) 160
14. (ITA 2003) O valor de y 2 - xz para o qual os
números sen 12
, x, y, z e sen 75°, nesta ordem,
formam uma progressão aritmética, é:
a) 3 -4 b) 2 -6 c) 6 -2
d) 2 -5 e)
2
3
4
15. (ITA 2002) Sejam n ≥ 2 números reais positivos a 1 ,
a 2 , ... a n que formam uma progressão aritmética de
razão positiva. Considere A n = a 1 + a 2 + ... + a n e
responda, justificando: Para todo n ≥ 2, qual é o
maior entre os números (A n /n-a n ) 2 e (A n /n) 2 -a n2 ?
21

Matemática – Livro1
16. (ITA 2000) O valor de n que torna a sequência
2 + 3n, - 5n, 1 - 4n
uma progressão aritmética pertence ao intervalo
a) [-2, -1]. b) [-1, 0]. c) [0, 1].
d) [1, 2]. e) [2, 3].
17. (ITA 1999) Sejam a n e b n números reais com n = 1,
2, ..., 6. Os números complexos z n = a n + ib n são tais
que │z n │ = 2 e b n ≥ 0, para todo n = 1,2,...,6. Se
(a 1 , a 2 ,...,a 6 ) é uma progressão aritmética de razão -
1
5 e soma 9, então z 3 é igual a:
8
a) 2i b)
5 + 6i
5
22
c) 3+ i d)
e)
4 2 2 17i
5 5
3 3 73i
5 5
18. A média aritmética dos 20 números pares
consecutivos, começando em 6 e terminando em
44, vale:
a) 50. b) 40. c) 35.
d) 25. e) 20.
19. (UNICAMP 1992) Sejam a 1 , a 2 ,..., a n ,... e b 1 , b 2 ,...
b n ,... duas progressões aritméticas. Mostre que os
pontos (a j ,b j ), j=1,2,..., estão em uma mesma reta.
20. (FUVEST 1993) Seja A o conjunto dos 1993
primeiros números inteiros estritamente positivos.
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem
ao conjunto A?
b) Quantos números de A não são múltiplos
inteiros nem de 3 nem de 5?
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
21. (IME 2014) Calcular o valor da expressão abaixo
3
370370...037 11...1
00...0
89 algarismos 30 alg s "1" 30 alg s " 0 "
Obs.: algs = algarismos
22. (IME 2013) Entre os números 3 e 192 insere-se
igual número de termos de uma progressão
aritmética e de uma progressão geométrica com
razão r e q, respectivamente, onde r e q são
números inteiros. O número 3 e o número 192
participam destas duas progressões. Sabe-se que o
8
terceiro termo de 1
1
, em potências crescentes
q
de 1 ,
q
é r .
9q
O segundo termo da progressão
aritmética é
a) 12 b) 48 c) 66
d) 99 e) 129
23. (IME 2012) O segundo, o sétimo e o vigésimo
sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de
números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem,
uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com
q e r N * (natural diferente de zero). Determine:
a) o menor valor possível para a razão r;
b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a
condição do item a.
24. (ITA 1995) Se a soma dos termos da progressão
geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual
ao termo médio de uma progressão aritmética de
três termos, então a soma dos termos da
progressão aritmética vale:
a) 1/3 b) 2/3 c) 1
d) 2 e) 1/2
25. (ITA 1996) Seja f: R* + R uma função injetora tal
que f(1) = 0 e f(x . y) = f(x) + f(y) para todo x > 0 e
y > 0. Se x 1 , x 2 , x 3 , x 4 e x 5 formam nessa ordem
uma progressão geométrica, onde x i > 0 para i =
1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que
n i 1
i1
f x 13f 2 2f x onde n = 5 e
n
i i1
1
i1
f x / x 2f 2x onde n = 4, então, o
valor de x 1 é:
a) -2 b) 2 c) 3
d) 4 e) 1
26. (ITA 1996) Sejam a 1 , a 2 , a 3 , a 4 quatro números
reais (com a 1 ≠ 0), formando nessa ordem uma
progressão geométrica. Então, o sistema em x e y
ax 1
a3y 1
aa 1 2x aa
1 4y a2
é um sistema
a) impossível.
b) possível determinado.
c) possível indeterminado.
d) possível determinado apenas para a 1 > 1.
e) possível determinado apenas para a 1 < -1.

Coleção IME-ITA
27. (ITA 1997) Sejam a 1 , a 2 , a 3 e a 4 números reais
formando, nesta ordem, uma progressão
geométrica crescente com a 1 ≠0. Sejam x 1 , x 2 e x 3
as raízes da equação a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 = 0.
Se x 1 = 2i, então
a) x 1 + x 2 + x 3 = -2
b) x 1 + x 2 + x 3 = 1
c)
2 2 2
x 1 + x 2 + x 3 = 4
d) x 1 . x 2 . x 3 = 8
e) x 1 . x 2 + x 1 . x 3 + x 2 . x 3 = 5
28. (ITA 1997) Seja è um valor fixado no intervalo ]0,
π/2[. Sabe-se que a 1 =cotg α é o primeiro termo de
uma progressão geométrica infinita de razão
q=sen 2 α. A soma de todos os termos dessa
progressão é
a) cosec α tg α b) sec α tg α
c) sec α cosec α d) sec 2 α
e) cosec 2 α
29. (ITA 1998) Seja (a 1 , a 2 , a 3 , ...) uma progressão
geométrica infinita de razão a 1 , 0 0 na frente de
Aquiles. Calcule os tempos t 1 , t 2 , t 3 ,... que Aquiles precisa
para percorrer as distâncias d 1 , d 2 , d 3 ,...,
respectivamente, sendo que, para todo n ≥ 2, d n denota
a distância entre a tartaruga e Aquiles no instante
n 1 t
k
k1
da corrida.
Verifique que os termos t(k), k = 1, 2, 3,..., formam
uma progressão geométrica infinita, determine sua
soma e dê o significado desta soma.
35. (ITA 2006) Numa circunferência C 1 de raio r 1 = 3
cm está inscrito um hexágono regular H 1 ; em H 1
está inscrita uma circunferência C 2 ; em C 2 está
inscrito um hexágono regular H 2 e, assim,
sucessivamente. Se A n (em cm 2 ) é a área do
hexágono H n , então
n
n1
A (em cm 2 ) é igual a
a) 54 2 b) 54 3
27
c) 36(1 + 3 ) d)
2
3
e) 30 (2 + 3)
23

Matemática – Livro1
36. (ITA 2006) Seja (a 1 , a 2 , a 3 , ... ,a n , ...) uma
progressão geométrica infinita de razão positiva r,
em que a 1 = a é um número real não nulo.
Sabendo que a soma de todos os termos de índices
pares desta progressão geométrica é igual a 4 e
que a soma de todos os termos de índices múltiplos
de 3 é 16/13, determine o valor de a + r.
37. (ITA 2010) A progressão geométrica infinita (a 1 , a 2 , ...,
a n , ...) tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão
infinita (a I , a 6 , ..., a 5n+1 , ...) tem soma 8 e a progressão
infinita (a 5 , a 10 , ..., a 5n , ...) tem soma 2. Determine a
soma da progressão infinita (a 1 , a 2 , ..., a n , ...).
38. (FUVEST-GV 1991) Dado um quadrado Q 1 cujo
lado tem comprimento l=1, considere a sequência
infinita de quadrados {Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,...} onde cada
quadrado é obtido unindo-se os pontos médios dos
lados do quadrado anterior. A soma das áreas de
todos os quadrados da sequência é:
24
a) 4 b)
d) 2 e)
4 2
2 1
2
2 1
39. (UNICAMP 1991) Considere que certo país troca de
moeda cada vez que a inflação acumulada atinge a
cifra de 900%. A nova moeda vale sempre 1000
vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao mês,
em quantos meses esse país trocará de moeda?
Use log 10 2 = 0,301.
40. (FUVEST 1993) Uma progressão geométrica tem
primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Se o
produto dos termos dessa progressão é 2 39 , então o
número de termos é igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
41. Seja γ ≠ -1 um número complexo tal que γ n = 1,
onde n é um número inteiro positivo. Prove que, se
n for par, a expressão 1 - γ + γ 2 - γ 3 + ... + (-γ) n
é igual a 1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual
a (1 - γ)/(1 + γ).
42. A cada mês que passa, o preço de uma cesta
básica de alimentos diminui 3% em relação ao seu
preço do mês anterior. Admitindo que o preço da
cesta básica no primeiro mês é R$ 97,00, o seu
preço no 12 0 . mês será, em reais:
a) 97 × (0,03) 12
b) 100 × (0,97) 12
c) 100 × (0,97) 13
d) 97 × (0,03) 11
e) 97 × (0,97) 12
c)
4
3
43. A espessura de uma folha de estanho é 1 mm.
Forma-se uma pilha de folhas colocando-se na
primeira vez uma folha e, em cada uma das vezes
seguintes, tantas quantas já foram colocadas
anteriormente. Após dez dessas operações,
determine o valor da altura da pilha, em milímetros.
Divida o resultado por 2 5 .
44. (ITA 2015) Seja a,a 1 2,a 3... a sequência definida
da seguinte forma: a1
1, a2
1 e an an 1a
n2
para n 3 Considere as afirmações a seguir:
I. Existem três termos consecutivos, a p
, a
p1,
a
p2
, que, nesta ordem, formam uma
progressão geométrica.
II. a
7
é um número primo.
III. Se n é múltiplo de 3, então a
n
é par.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
45. (ITA 2016) Seja a 1,a 2,a 3,... a sequência definida
da seguinte forma: a 1000 e a log 1a
1
n 10 n1
para n
2 Considere as afirmações a seguir:
I. A sequência a n é decrescente.
II. an
0 para todo n
1.
III. a 1 para todo n
3.
n
É (são) verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas I e II.
c) apenas II e III. d) I, II e III.
e) apenas III.
RECORRÊNCIAS LINEARES DE 2ª ORDEM
46. Resolver a seguinte recorrência:
F1 F2
1
Fn Fn
1 Fn
1n 3
47. Resolver a seguinte recorrência:

Coleção IME-ITA
48. Resolver a seguinte recorrência:
49. Resolva a seguinte recorrência:
a 6a 8a 3
n2 n1 n
50. Mostrar que a soma de 20 números de Fibonacci
consecutivos é divisivel por F10.
51. Seja tal que
Encontrar o valor de .
2 5 1 n 2 5 1
52. Prova que 1 5 1
5
2 5 2 5
inteiro para todo natural n .
53. Calcular o seguinte somatório:
n n
Com F
n
.
F
10 .
n n
n1
54. Resolver a seguinte equação de recorrência:
a0
8, a1
1
a
a
n2
n
n
2.
2 2
an
1
Gabarito
01. b 02. c 03. C
04. c
05. a) 3cm, 4cm e 5cm.
b) O volume do paralelepípedo é dado por
3
345 60cm e sua área lateral total é
igual a
2
2 (3 4 3 5 4 5) 2 47 94cm .
06. a 07. d 08. d
09. d 10. b
11. O primeiro é: a 1 = 2
3
A razão é: r = 2
3
12. c 13. e 14. d
n
.
é
15. A n = a 1 + a 2 + ... + a n = (a 1 + a n ).n/2
[A n /n - a n ] 2 = [(a 1 + a n )/2 - a n ] 2
[A n /n - a n ] 2 - [(A n /n) 2 - a n2 ] =
= [(a 1 - a n )/2] 2 - [(a 1 + a n )/2] 2 + a n
2
=
= a 1 . (-a n ) + a n
2
=
= a n (a n - a 1 ) > 0, ∀ n ∈ IN, n ≥ 2
(A n /n - a n ) 2 - [(A n /n) 2 - a n2 ] > 0, ∀ n ∈ IN, n ≥ 2
(A n /n - a n ) 2 > (A n /n) 2 - a n2 , ∀ n ∈ IN, n ≥ 2
16. b 17. b 18. d
19. Se r 1 é a razão da progressão (a 1 , a 2 , ... , a n , ...) e
r 2 a razão da progressão (b 1 , b 2 ,... b n ,...), podemos
considerar:
a) r 1 ≠ 0 e r 2 ≠ 0
Assim, temos: a j = a 1 +(j-1)r 1 e b j = b 1 +(j-1)r 2 .
Logo, b j - b 1 = r 2 /r 1 (a j - a 1 ), ou seja, os
pontos (a j e b j ) pertencem à reta que passa
por (a 1 ;b 1 ) e tem coeficiente angular r 2 /r 1 .
b) r 1 = 0 e r 2 ≠ 0
Temos: a j = a 1 e b j = b 1 +(j-1)r 2 .
Os pontos pertencem à reta x = a 1 .
c) r 1 ≠ 0 e r 2 = 0
Neste caso: a j = a 1 +(j-1)r 1 e b j = b 1 .
Os pontos pertencem à reta y=b 1
d) r 1 = r 2 = 0 (a j ;b j ) = (a 1 ;a 1 )
Os pontos pertencem a qualquer reta que
passa por (a 1 ;b 1 )
20. a) 132
b) 1063
21.
22. c
3
370370...037 11...1
00...0
89 algarismos 30 algs "1" 30 algs" 0 "
90 60 30
10 1 10 10
3
27 9
90 6 301
10 310 310
3
27
3
3 30
10 1
30
10 1
.
3 3
23. a) considerando a sequência (a 2 , a 7, a 27 ) como
P.G., temos:
2 2 3x
x 5.r x.(x 25.r) 25r 15r 0r 0 ou r= 5
3x
Admitindo r = e que a P.A. possui
5
elementos inteiros, o valor mínimo possível
para x é 5. Portanto, r = 3.
b) a 18 = a 2 + 16.r = 5 + 16.3 = 53
25

Matemática – Livro1
24. c 25. b 26. c
27. a 28. c 29. e
30. c 31. a 32. a
33. n ∈ IN │ n > 10
34. É uma P.G. infinita de primeiro termo d 1 /v(A), razão
v(A)/v(B) e soma d 1 /(v(A) - v(B)), tempo necessário
para Aquiles alcançar a tartaruga.
35. b 36. 11
37. r 2
2
então a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + .... =
a
1
8 2 (8 2)
2. 14 6 2
1
q 2 2
2
1
2
38. d 39. Resposta: 11 meses.
40. b
41. Se n é par, temos (-α) n = α n = 1 e assim:
S = 1
Se n é ímpar, temos (-α) n = -α n = -1 e assim:
S = (1 - α) / (1 + α)
42. b 43. 16 44. d
45. d 46.
47.
n
48.
49.
a n1 2 1 n
.
n
F
n
n
4a1a 2
3 n a2 2a11
n
an
2 4 1.
2 8
50. demonstração
51.
n 1 1
lim 1 .
n x 2 z 2
k 1 k 1
52. demonstração
53. 10/89
54.
a 2
n
2 1 n 1
2
n
n
Frente D
Módulo D01
TEORIA DOS NÚMEROS
01. (Unesp 1993) Um jantar reúne 13 pessoas de uma
mesma família. Das afirmações a seguir, referentes
às pessoas reunidas, a única necessariamente
verdadeira é:
a) pelo menos uma delas tem altura superior a
1,90 m.
b) pelo menos duas delas são do sexo feminino.
c) pelo menos duas delas fazem aniversário no
mesmo mês.
d) pelo menos uma delas nasceu num dia par.
e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou
fevereiro.
02. (IME 1991) A coleção de selos de Roberto está
dividida em três volumes. Dois décimos do total de
selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do
total estão no segundo volume e 303 estão no
terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?
03. (IME 1991) Mostre que o número:
125 125
3 3 9 3 3 9
27 27
é racional:
04. (IME 1986) Mostre que para todo número natural n
maior ou igual a 2
5n
2n
4
2
n
05. (IME 1986) Seja a, b e c números inteiros tais que
100a + 10b + c seja divisível por 109. Mostre que
(9a – c) 2 + 9b 2 também é divisível por 109.
06. (IME 1985) Seja * o conjunto dos números
naturais não nulos e n *. Mostre que a relação
R n = {(a,b)a, b * e |a – b| é múltiplo de n} é
uma relação de equivalência.
07. Prove que se a e b são números ímpares, então
a 2 + b 2 não pode ser um quadrado perfeito.
08. (IMO 1994) Determine todos os pares (m,n) de
3
n 1
inteiros positivos para os quais é inteiro.
mn 1
09. (IMO 1994) Determine com quantos zeros termina
1000!
26

Coleção IME-ITA
10. Demonstrar que 31|20 15 – 1.
11. Mostre que a equação x 3 – 117y 3 = 5 não possui
soluções inteiras:
12. (IME 1984) Dois clubes do Rio de Janeiro
participaram de um campeonato de futebol de
salão onde cada vitória valia um ponto, cada
empate meio ponto e cada derrota nenhum ponto.
Sabendo que cada participante enfrentou todos os
outros apenas uma vez, que os clubes do Rio de
Janeiro totalizaram, em conjunto, oito pontos e que
cada um dos outros clubes alcançou as mesmas
quantidades de k pontos, determine a quantidade
de clubes que participou do torneio.
13. Encontrar os dois últimos dígitos na representação
decimal de 3 200 .
14. Demonstrar que, para todo número natural n
M n = n.(n 2 – 1).(3n + 2)
é múltiplo de 24.
15. (IME 2005) Sejam a, b e c números reais não nulos.
ab bc ac
Sabendo que, , determine o
c a b
a
b
valor numérico de .
c
16. (IME 2004) Demonstre que
3 3
20 14 2 20 14 2
é um número inteiro múltiplo de 4.
17. (IME 1999) Prove que para qualquer número inteiro
k, os números k e k 5 terminam sempre com o
mesmo algarismo (algarismo da unidade).
18. (IME 1998) Considere quatro números inteiros a, b,
c, d. Prove que o produto (a – b).(c – a).(d – a).(d –
c).(d – b).(c – b) é divisível por 12.
19. Encontre o resto da divisão de 2 100.000 por 17.
20. Encontre todos os inteiros positivos n tais que
2n 2 + 1 | n 3 + 9n – 17.
21. (STEIN) Demonstre que o produto de 2 fatores entre
10 e 20 é o décuplo da soma do primeiro com as
unidades do segundo mais o produto das unidades
dos dois.
22. (STEIN) Calcule o número inteiro que precisa ser
somado a cada um dos inteiros 2, 6 e 14 para que,
nesta ordem, formem uma proporção contínua.
23. (STEIN) A multiplicação de um inteiro positivo de
três algarismos por 7 termina à direita por 638.
Achar esse inteiro.
24. (STEIN) Achar um inteiro de quatro algarismos,
quadrado perfeito, divisível por 27 e terminado em 6.
25. (STEIN) Mostrar que, se n > 4, é composto, então n
divide (n – 1)!.
26. (STEIN) Demonstre que, se n é um inteiro qualquer,
então um dos inteiros n, n + 2, n + 4 é divisível por 3.
27. (IME 1983) Mostre que o número
4444...48888...89 é um quadrado perfeito:
nvezes n1
vezes
28. (SANTOS) Achar os restos da divisão por 7 dos
números:
a)
10 10
10 10 3
10
10 100
10
10
2
b)
6 6 6
1 2
100
c)
5555 2222
2222 5555
29. (SANTOS) Ao entrar num bosque alguns viajantes
avistaram 37 montes de maça. Após serem
retiradas 17 frutas, o restante foi dividido
igualmente entre 79 pessoas. Quantas frutas coube
a cada pessoa?
30. (SANTOS) Um grupo de pessoas gastou 690
dólares num hotel. Sabendo-se que apenas alguns
dos homens estavam acompanhados pelas esposas
e que cada homem gastou 18 dólares e cada
mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar
quantas mulheres e quantos homens estavam no
hotel.
31. (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de
dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras
(p). Observou que para cada maçã arrumada,
havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes
com 6 tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4
pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o
preço de R$3,00. Arrecadou R$ 630,00 na venda
de todos eles. Calcule t, m e p.
32. O número abcde tem cinco algarismos distintos e
diferentes de zero, cada um deles representado por
uma das letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se estes
algarismos por 4 obtém-se o número de cinco
algarismos edcba . Qual é o valor de
a bcde?
27

Matemática – Livro1
PRINCÍPIOS DA CONTAGEM
33. (IME 1978) Um elevador com sete pessoas parte do
andar térreo de um prédio e faz quatro paradas em
andares diferentes. Determinar de quantas maneiras
diferentes, todas aquelas sete pessoas podem
desembarcar até a quarta parada, inclusive.
Obs.: Seja n i o número de pessoas que
desembarcam na i-ésima parada {i = 1, 2, 3, 4}:
4
i
i1
n 7, n 0.
i
34. (ITA 1993) Possuo 3 vasos idênticos e desejo
ornamenta-los com 18 rosas, sendo 10 vermelhas e
8 amarelas. Desejo que um dos vasos tenha 7 rosas
e os outros dois no mínimo 5. Cada um deverá ter
2 rosas vermelhas e 1 amarela, pelo menos.
Quantos arranjos distintos poderei fazer usando as
18 rosas?
35. (ITA 2001) Considere os números de 2 a 6
algarismos distintos formados utilizando-se apenas
1, 2, 4, 5, 7 e 8.
Quantos destes números são ímpares e começam
com um dígito par?
36. (IME 1992/1993) Numa escola há 15 comissões,
todas com igual número de alunos. Cada aluno
pertence a duas comissões e cada duas comissões
possuem exatamente um membro em comum.
Todos os alunos participam.
a) Quantos alunos tem a escola?
b) Quantos alunos participam de cada comissão?
37. (IME 1989) Ligando as cidades A e B existem duas
estradas principais. Dez estradas secundárias de
mão dupla ligam as duas estradas principais.
Quantos caminhos sem auto interseções existem de
A até B?
OBS.: Caminho sem auto interseções é um caminho
que não passa por um ponto duas ou mais vezes.
38. (IME 1985) 12 cavaleiros estão sentados em torno
da mesa redonda. Cada um dos 12 cavaleiros
considera seus dois vizinhos como rivais. Deseja-se
formar um grupo de 5 cavaleiros para libertar uma
princesa. Nesse grupo não poderá haver cavaleiros
rivais. Determine de quantas maneiras é possível
escolher esse grupo.
39. (IME 1985) Um exame de vestibular se constitui de
10 provas distintas, 3 das quais da área de
matemática. Determine de quantas formas é
possível programar a sequência das 10 provas, e
maneira que duas provas da área de matemática
não se sucedam.
28
40. (IME 1980) O professor Sah Bido quer oferecer
jantares para 3 alunos de cada vez. O professor
tem 7 alunos e quer oferecer 7 jantares, com a
restrição de que um mesmo par alunos não pode
ser convidado para mais de um jantar, isto é, se os
alunos A, B e C comparecerem a um jantar, então a
presença do aluno A, por exemplo, em outro jantar,
impedirá a presença de C ou de B neste jantar.
Chamando-se de programa a um conjunto de 7
jantares nas condições especificadas, pergunta-se:
quantos programas diferentes podem ser formados?
41. (IME 1979) Seja um barco com oito lugares,
numerados conforme diagrama a seguir:
Há oito remadores disponíveis para guarnecê-lo,
com as seguintes restrições. Os remadores A e B só
podem sentar no lado ímpar e o remador C no lado
par. Os remadores D, E, F, G, H podem ocupar
quaisquer posições. Quantas configurações podem
ser obtidas com o barco totalmente guarnecido?
42. (IME 1990) Ligando as cidades A e B existem duas
estradas principais. Dez estradas secundárias de
mão dupla ligam as duas estradas principais, como
mostra a figura. Quantos caminhos sem
autointerseções, existem de A até B?
Obs: Caminho sem auto-intersecção é um caminho
que não passa por um ponto duas ou mais vezes.
A
43. (IME) Calcule quantos números naturais de 3
algarismos distintos existem no sistema de base 7.
44. (Olimpíada Belga) Um número inteiro não-negativo
é dito palíndromo se ele lido da esquerda para a
direita é igual quando lido da direita para a
esquerda. Por exemplo 121, 0, 2002 e 4 são
palíndromos. O número de palíndromos que são
menores que 1.000.000 é:
a) 900 b) 1991 c) 1993
d) 1999 e) 2220
45. (IME 1966) Determinada organização estabeleceu um
sistema de códigos em que os símbolos são formados
por um ou mais pontos, até o máximo de 6 pontos,
dispostos de maneira a ocuparem os vértices e os
pontos médios dos lados maiores de um retângulo.
Qual o número total de símbolos obtidos.
B

Coleção IME-ITA
46. (Olimpíada da Moldova) Seja n 2 13 3 11 5 7 .
Determine o número de divisores de n 2 que são
menores que n e não são divisores de n.
47. (Olimpíada Grega) Determine o número de funções
f : {1, 2, ..., n } {1995,1996} que satisfazem a
condição de que f (1) + f (2) + ... +f (n) é impar.
48. (Olimpíada Americana) Sete chocolates distintos
devem ser distribuídos em três sacolas. A sacola
vermelha e a sacola azul devem receber pelo menos
um chocolate, enquanto a sacola branca pode
eventualmente permanecer vazia. Quantas
distribuições deste tipo são possíveis?
a) 1930 b) 1931 c) 1932
d) 1933 e) 1934
49. (IME 2005) O sistema de segurança e uma casa
utiliza um teclado numérico conforme ilustrado na
figura. Um ladrão observa de longe e percebe que:
* A senha utilizada possui 4 dígitos.
* O primeiro e o último dígitoencontram-se numa
mesma linha.
* O segundo e terceiro dígitos encontram-se na
linha imediatamente superior.
Calcule o número de senhas que deverão ser
experimentadas pelo ladrão para que com certeza
ele consiga desativar o sistema de segurança.
Teclado numérico
PERMUTAÇÕES SIMPLES
50. (ITA 1977) Se colocarmos em ordem crescente, todos
os números de 5 algarismos distintos, obtidos com 1,
3, 4, 6 e 7 a posição do número 61473 será:
51. (IME 1990) Dado o conjunto A = {1, 2, 3. ..., 102}
pede-se o número de subconjuntos de A, com três
elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo
de três.
52. (ITA 2000) Quantos números de três algarismos
distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3,
4, 5 e 6 nos quais o 1 e o 2 nunca ocupem
posições adjacentes, mas o 3 e o 4 ocupem
posições adjacentes.
53. (ITA 1996) O número de anagramas da palavra
VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco
vogais juntas, é:
a) 12! b) 8!.5! c) 12! – 8!.5!
d) 12! – 8! e) 12! – 7!.5!
54. (ITA 1999) Listando-se em ordem crescente todos os
números de cinco algarismos distintos, formados com
os elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número
62417 ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a:
a) 74 b) 75 c) 79
d) 81 e) 92
55. (ITA 1971) Dispomos de seis cores diferentes. Cada
face de um cubo será pintada com uma cor diferente,
de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas
maneiras diferentes isto pode ser feito, se uma maneira
é considerada idêntica a outra, desde que possa ser
obtida a partir desta por rotação do cubo?
a) 30 b) 12 c) 36
d) 18 e) n.r.a
56. (IME 2010) Três dados iguais, honestos e com seis
faces numeradas de um a seis são lançados
simultaneamente. Determine a probabilidade de
que a soma dos resultados de dois quaisquer deles
ser igual ao resultado do terceiro dado.
57. (Adaptado) Alguns velhos companheiros, Antonio,
Bonaro, Cassildo, Dermivaldo e Erasto, devem formar
uma fila com outras 30 pessoas. De quantas
maneiras podemos formar esta fila de modo que
Antonio fique na frente de seus 4 amigos? (Obs: Os
amigos não precisam ficar em posições consecutivas)
58. (Espcex (Aman) 2012) Se todos os anagramas da
palavra ESPCEX forem colocados em ordem
alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, nessa
ordenação, a posição
a) 144 b) 145 c) 206
d) 214 e) 215
59. De quantos modos é possível sentar 7 pessoas em
cadeiras em fila de modo que duas determinadas
pessoas dessas 7 não fiquem juntas?
GABARITO
01. c 02. 3535 03. 1
04.
5
4
4
2
2 32 6
36
4
2!2!
a relação do enunciado é válida para n = 2.
Analisando os lados esquerdo, E, e direito D, da
expressão do enunciado para o caso (n + 1):
29

Matemática – Livro1
5n1
5 5n
4 4 4
E 2 2 2
2n
1 2n
1 !
22n
12n
D
n
1
n1! n1! n1
n
Como, para n > 1.
5
22
4 4
n 1
4
2 323 81
n
1
logo, assumindo que a expressão é válida no caso
n, tem-se que
5 5n 5n 22 n1
22 n12n
4 4 4
E
22 2
D
n1
n1
n
e a expressão é também válida no caso (n + 1).
Assim, por indução finita, a validade da expressão
do enunciado fica demonstrada para n > 2.
9 9 ,
têm-se
100a10bc
0 mod 109
05. Definindo 2 2
ac b
109a 9a 10b c 0mod 109
9a10bc0mod109
2
9a 10b c 0mod109
9a c 2 100b 2 180ab 20bc
0mod 109
91b 2 180ab 20bc 0mod 109
20b 10b100ac 109b b20a
0 mod 109
0 mod 109
onde na última passagem, usamos a condição
inicial do problema. Assim, se esta condição é
válida, tem-se que 9b 2 9ac 2 também
deve ser múltiplo de 109.
06. Como |a – a| = 0, que é múltiplo de n, logo (a, a)
R n . Seja (a, b) R n , de modo que |a – b| = |b – a|
é múltiplo de n, e assim tem-se também que (b, a)
R n . Sejam (a, b) R n e (b, c) R n , de modo que
|a – b| e |b – c| são múltiplos de n, e então,
abk1n,
k1
| ac| | k1k2
| n
b c k2n,
k2
Logo, |a – c| também é múltiplo de n, e assim (a,
c) R n .
Dos resultados acima, R n é reflexiva, simétrica e
transitiva. Logo, R n é uma relação de equivalência.
07. Como a e b são ímpares, existem inteiros t e s tais
que: a = 2t + 1 e b = 2s + 1, logo:
2 1 2 1
2 2
2 2
a b t s
t s ts
22k
1 ,
.
2 2
4 2
2 2
k t s t s
Portanto a 2 + b 2 é um número par não divisível por
4 e desta forma não pode ser um quadrado perfeito
pois se 2|c 2 , então 2|c, o que implica 4|c 2 .
Este resultado nos diz que, num triângulo retângulo
com lados inteiros, os dois catetos não podem ser
ambos ímpares.
08. (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 5), (5, 2),
(3, 5) e (5, 3)
09. 249 zeros
10. Isto é equivalente a demonstrar que 20 15 1
(mod 31). Para isso observemos que
20 –11 (mod 31) (*)
e assim 20 2 (–11) 2 (mod 31) 20 2 121 (mod
31). Como 121 –3 (mod 31) temos
20 2 –3 (mod 31). (**)
Multiplicando (*) e (**) membro a membro, obtemos
20 3 33 (mod 31) e, como 33 2 (mod 31),
20 3 2 (mod 31).
Elevando a 5, temos que 20 15 32 (mod 31) e
como 32 1 (mod 31), obtemos 20 15 1 (mod
31), como desejado.
11. Observe que como 117 é múltiplo de 9, qualquer
solução inteira deve satisfazer
x 3 – 117y 3 5 (mod 9 ) x 3 5 (mod 9).
Porém, x só pode deixar resto 0, 1, , 8 na divisão
por 9. Analisando estes 9 casos, temos
x mod 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 3 mod 9 0 1 8 0 1 8 0 1 8
Ou seja, x 3 só pode deixar resto 0,1 ou 8 na
divisão por 9. Logo x 3 5 (mod 9) é impossível e a
equação não possui soluções inteiras.
12. N = 9 ou N = 16 clubes
13. 01
30

Coleção IME-ITA
14. Veja que se n = 0 então M 0 = 0, que é um múltiplo
de 24 (base da indução).
Agora, suponhamos que para certo inteiro k o número
M k é divisível por 24 (hipótese de indução) e vamos
mostrar que M k+1 também é divisível por 24 (passo
indutivo). Calculamos primeiramente a diferença
2 2
M k 1
M k k 1k 1
1 3k 1
2 k k 1 3k
2
kk 1k 23k 5k 13k
2
2
12k k 1 .
Um dos números naturais consecutivos k e k + 1 é
par donde k(k + 1) 2 é sempre par e 12k(k + 1) 2 é
divisível por 24. Por hipótese de indução, M k é
divisível por 24 e temos portanto que M k+1 = M k +
12k(k + 1) 2 também é divisível por 24, como se
queria demonstrar.
a
b
15. 1
c
16. Seja
c
3 3
c 20 14 2 20 14 2 , logo
2
20 14 2 3 3
20 14 2 20 14 2
3 3
2
3
3
3
20 14 2 20 14 2 20 14 2
40 3 400 302 20 14 2
x 3
400 30220 14 2
40 6c
Logo c satisfaz a equação
3 3
40 3 2 20 14 2 2 20 14 2
3 2
P c c 6c40 c4 c 4c10 0
Como as raízes de (c 2 + 4c + 10) são complexas e
como, pela sua definição, c é real, assim devemos
necessariamente ter que c = 4.
17. Seja k = 10a + b, com b = 0,1, , 9, de forma
que
5
5
k ab
10
1010 a 510 a b1010
a b
2 3 4 5
1010ab 5ab b
4 5 3 4 2 3 2
Assim, k 5 mod 10 = b 5 mod 10. Em outras palavras, o
algarismo da unidade de k 5 é o algarismo da unidade
de b 5 , que por inspeção é dado por
5 5
b0b 0b
mod 100
5 5
b1b 1b
mod 101
5 5
b2b 32b
mod 102
5 5
b3 b 243 b
mod 10 3
5 5
b4 b 1024 b
mod 10 4
5 5
b 5 b 3125 b
mod 10 5
5 5
b 6 b 7776 b
mod 10 6
5 5
b 7 b 16807 b
mod 10 7
5 5
b 8 b 32768 b
mod 10 8
5 5
b9 b 59049 b
mod 10 9
Logo, o algarismo da unidade de b 5 é o mesmo da
unidade de b, de forma que o algarismo da
unidade de k 5 é sempre o mesmo da unidade de k.
18. De acordo com os resultados, o produto dado é
sempre múltiplo de 4 e 3, de forma que é sempre
múltiplo de 12.
19. 1
20. n = 2 e n = 5 são soluções.
21. Sejam os números 10 + b e 10 + c, com 0 < b <
10 e 0 < c < 10. Nestas condições 10 + b e 10 +
c estarão compreendidos entre 10 e 20 e b e c
serão os algarismos das unidades.
Efetuando o produto temos:
(10 + b) (10 + b) = 100 + 10b + 10c + bc =
10[(10 + b) + c] + bc.
(10 + b) + c é a soma do primeiro com as
unidades do segundo, bc é o produto dos dois e
10[(10 + b) + c] é o décuplo da soma do primeiro
com as unidades do segundo.
22. Uma proporção contínua é aquela que tem os meios
ou os extremos iguais. Pela definição podemos ter
I. (2 + x)/(6 + x) = (6 + x)/(14 + x) ou II: (2
+ x)/(6 + x) = (14 + x)/(2 + x).
23. 234
Na situação
I. (6 + x) . (6 + x) = (2 + x) . (14 + x) ⇒ 36 + 12x
+ 2x = 28 + 16x + 2x ⇒ 4x = 8 ⟹ x = 2.
II. (2 + x) (2 + x) = (6 + x) (14 + x) ⇒ 4 + 4x +
2x = 84 + 20x + 2x ⇒ 16x = - 80 ⇒ x = - 5.
R: 2 ou -5
24. 1296 e 2916.
31

Matemática – Livro1
25. Como n é composto, ele pode ser decomposto como
produto de dois inteiros a e b: n = a b, com 1 < a <
n e 1 < b < n. Suponhamos que a ≠ b e
consideremos a < b. Temos: 1 < a < b < n, ou 1< a
< b ≤ (n – 1). Logo (n – 1)! = 1.2.a.b. (n–1) sendo a
e b fatores de (n–1)!. Deste modo ab = n divide (n–1)!.
Se a = b, n = a 2 e como n > 4, temos a 2 > 4 ou a >
2 e a 2 > 2a ou 2a < n = a 2 . Assim 2a ≤ (n – 1) e
como a < 2a, a e 2a são fatores de (n–1)! Logo: (n–
1)! = 1.2.3. ... . a . ... . 2a . ... . (n–1). Portanto a 2 é
um fator de (n–1)!. E assim, a 2 = n divide (n–1)!
26. Quando dividimos um inteiro a qualquer por 3 os
restos são 0, 1 ou 2.
Assim n = 3q ou n = 3q + 1 ou n = 3q + 2.
Se n = 3q, então 3 | n
Se n = 3q + 1, n + 2 = 3q + 1 + 2 ou n + 2 =
3(q + 1) então 3 | (n + 2).
Se n = 3q + 2, n + 4 = 3q + 2 + 4 ou n + 4 =
3(q + 2) então 3 | (n + 4).
27. Demonstração
28. a) 4
b) 2
c) 0
29. 4 para cada um
30. As soluções possíveis são: 25 homens e 16
mulheres ou 30 homens e 10 mulheres ou 35
homens e 4 mulheres.
31. t 40, m20 e p 30
32. A solução é baseada nas seguintes observações:
Logo, a resposta é 8 + 7 + 9 + 1 + 2 = 27
33. 4 7 = 16384.
34. 11 35. 585
36. a) 105
b) 14
37. 2048
38. 36
39. 1.693.440
40. Se a ordem dos jantares não for importante, temos
um total de 30 possibilidades se for importante, o
total sobe para 7!×30.
41. 5760
42. 2048 caminhos
43. 180
44. d
45. 63
46. 3314
47. 2 n-1 funções distintas com essa propriedade.
48. c
49. 171
50.
1 P4
4! 24
3 P4
4! 24
4 P4
4! 24
613 P2
2! 2
61437 1
1
61473
76
51. 57256
52. 144
53. c
54. d
55. a
56. a probabilidade será P =
57.
35!
5
58. 145
45 5
.
6.6.6 24
59. 7! – 2.6! = 5040 – 1440 = 3600
32