Calculo Vetorial - Um resumo inteligente

José Antônio Farias Coelho
C Á L C U L O
V E T O R I A
Um resumo inteligente
L
1ª Edição
Fortaleza – Ceará
2017

Copyright 2017. José Antônio Farias Coelho
Revisão Ortográfica
Marineide Meireles Nogueira
Normalização e Padronização
Luiza Helena de Jesus Barbosa
Capa
Janete Pereira do Amaral
Programação Visual e Diagramação
Janete Pereira do Amaral
Revisão de ABNT
Luiza Helena de Jesus Barbosa
Dados Internacionais de Catalogação na Fonte
C672c Coelho, José Antônio Farias
Cálculo vetorial: um resumo inteligente / José
Antônio Farias Coelho. Fortaleza: Centro Universitário
Estácio do Ceará, 2017.
92f.; 30cm.
ISBN: 978-85-69235-10-1
1. Cálculo Vetorial 2. Geometria analítica I. Coelho,
José Antônio Farias II. Centro Universitário Estácio do
Ceará
CDD 515.63
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ
Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa e Extensão
Núcleo de Publicações Acadêmico-Científicas

CONSELHO EDITORIAL
Dra. Ana Cristina Pelosi Silva de Macedo – Universidade Federal
do Ceará
Ms. Ana Flávia Alcântara Rocha Chaves – Centro Universitário
Estácio do Ceará
Dra. Andrine Oliveira Nunes- Centro Universitário Estácio do
Ceará
Ms. Janete Pereira do Amaral - Centro Universitário Estácio do
Ceará
Ms. Joana Mary Soares Nobre - Centro Universitário Estácio do
Ceará
Dra. Kariane Gomes Cezario- Centro Universitário Estácio do
Ceará
Dra. Letícia Adriana Pires Ferreira dos Santos – Centro
Universitário Estácio do Ceará, Universidade Estadual do Ceará,
Universidade Federal do Ceará
Dra. Marcela Magalhães de Paula- Embaixada do Brasil na Itália
Dra. Maria Elias Soares – Universidade Federal do Ceará e
Universidade Estadual do Ceará
Ms. Maria da Graça de Oliveira Carlos – Centro Universitário
Estácio do Ceará
Dra. Margarete Fernandes de Sousa – Universidade Federal do
Ceará
Dra. Rosiléia Alves de Sousa – Centro Universitário Estácio do
Ceará
Dra. Suelene Silva Oliveira Nascimento - Universidade Estadual
do Ceará
Dr. Vasco Pinheiro Diógenes Bastos - Centro Universitário
Estácio do Ceará
____________________________________________________
Núcleo de Publicações Acadêmico-Científicas
Rua Vicente Linhares, 308 - Aldeota
CEP: 60.135-270 - Fortaleza – CE - Fone: (85) 3456-4100
www.publica-estaciofic.com.br

O AUTOR
José Antônio Farias Coelho
Graduado em Tecnologia da Construção Civil pela Universidade
Estadual Vale do Acaraú (1990), cursou MBA em Comércio
eletrônico na Universidade de Fortaleza (2004), Especialização em
Gestão de APL na Universidade de Fortaleza (2010), Mestrado
Acadêmico em Administração de Empresas na UECE (2013).
Atualmente cursa Especialização em Metodologia do Ensino da
Matemática na Estácio (2016).
Professor do Centro Universitário Estácio do Ceará em cursos de
graduação nas áreas de engenharia e arquitetura e pós-graduação.
Presidente da Comissão organizadora da Semana de Engenharia da
Unidade Centro do Centro Universitário Estácio do Ceará. Focal
responsável pelo projeto Game Center do Centro Universitário
Estácio do Ceará, membro da Comissão Própria de Avaliação –
CPA.

PREFÁCIO
Formatamos este livro em um conteúdo resumido, mas,
didaticamente apresentado, na busca de facilitar a compreensão
do leitor, contudo longe de ser o recurso final do aprendizado
desta disciplina, que é ao mesmo tempo bela e complexa.
Há de se tornar público que, face à nossa formação acadêmica
e relacionamento profissional, o presente livro recebeu
preponderante influência do livro Vetores e Geometria
Analítica, do professor Paulo Winterle, o qual recomendamos a
todos os alunos que aspiram a um aprofundamento e a um
maior rigor no assunto.
Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Restanos
o consolo de ter envidado esforços para empregar
utilmente o nosso tempo. “A censura que nos for feita – se faz
oportuno Souza Pinto – há de ser mitigada pelo censor se ele
chegar a ter consciência de nossa boa vontade em acertar”.

SUMÁRIO
1 VETORES ............................................................................. 3
1.1 Operações com vetores .............................................. 5
1.2 Ângulo entre vetores ................................................. 7
1.3 Exercícios Resolvidos ............................................... 17
2 PRODUTO DE VETORES ..................................................... 1
2.1 Produto Escalar ........................................................... 1
2.2 Ângulo entre dois vetores ........................................... 2
2.3 Produto Vetorial ......................................................... 2
2.4 Produto Misto ............................................................. 4
2.5 Exercícios Resolvidos .................................................. 6
3 RETAS ................................................................................. 9
3.1 Equação Paramétrica da Reta ................................... 10
3.2 Exercícios Resolvidos ................................................ 15
4 PLANOS E DISTÂNCIAS ..................................................... 19
4.1 Planos ........................................................................ 19
4.1.1 Introdução.......................................................... 19
4.1.2 Equação Geral do Plano ..................................... 19
4.1.3 Determinação de um plano .............................. 21
4.2 Distâncias ................................................................. 24
4.2.1 Distância entre dois pontos ............................... 24
1

4.2.2 Distância entre um Ponto a uma Reta ............... 24
4.2.3 Distância entre duas Retas Paralelas ................. 25
4.2.4 Distância de um Ponto a um Plano .................... 26
4.3 Exercícios Resolvidos ................................................ 27
5 CÔNICAS ........................................................................... 29
5.1 Circunferência .......................................................... 30
5.1.1 Equação geral da circunferência ........................ 31
5.1.2 Exercícios Resolvidos ......................................... 36
5.2 Elipse ........................................................................ 42
5.2.1 Equações ............................................................ 44
5.2.2 Exercícios Resolvidos ........................................ 46
5.3 Parábola ................................................................... 51
5.3.1 Equação da Parábola ......................................... 52
5.3.2 Exercícios Resolvidos ........................................ 55
5.4 Hipérbole ................................................................. 57
5.4.1 Equações ............................................................ 59
5.4.2 Exercícios Resolvidos ......................................... 61
Referências bibliográficas ................................................... 63
2

1 VETORES
O estudo de vetores é uma das mais importantes atividades
no estudo da engenharia. Por meio dele, podemos calcular esforços
presentes no sistema, possibilitando com isso antever problemas ou
mesmo simular situações que envolvam otimizações de recursos.
Para tal, faz-se necessário o estudo, desde o primeiro período,
de modo que o aluno possa evoluir em seus conhecimentos no
estudo da engenharia sem maiores dificuldades.
O estudo de vetores é de caráter multidisciplinar nas
engenharias e sua aplicação é voltada para os cálculos, as físicas, a
mecânica geral, a resistência dos materiais etc.
Embora saibamos que as ferramentas tecnológicas
disponibilizadas no mundo atual propiciam ao engenheiro grande
facilidade e rapidez em seus projetos, há que se ressaltar que sempre
será o homem que introduzirá os dados iniciais no programa.
Por mais perfeito que seja o software, ele sempre dependerá do
ser humano para que possa funcionar da melhor forma possível.
Definição
Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou
intensidade, direção e sentido.
O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da
reta suporte que o contém, e o sentido é para onde ele está
apontado.
Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo, a
direção horizontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para
a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido para cima e o
sentido para baixo.
A
B
Figura: 1 - Vetores
3

Na figura acima, o ponto A é a origem e o ponto B é
a extremidade.
Um vetor pode ser designado por uma letra, normalmente
minúscula, com uma seta na sua parte superior ou por duas letras,
normalmente indicativas da origem e extremidade, também com uma
seta na sua parte superior.
u
A
B
Figura: 2 - Vetores
Na figura acima podemos ver o vetor u ou AB.
Módulo de um vetor
O módulo de um vetor, que indica seu tamanho, é
representado pela mesma designação do vetor, porém sem a seta em
sua parte superior ou com a seta na parte superior e entre duas barras
verticais.
Tipos de vetores
Vetores iguais - Dois vetores são iguais se apresentam
mesmo módulo, mesma direção e sentido.
Vetores opostos - Dois vetores u e v são opostos se
apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários.
Neste caso, o vetor u também é representado por - u.
Vetor unitário - Um vetor é definido como unitário quando
apresenta módulo igual a um.
Versor - Um vetor de um determinado vetor u não nulo é
um vetor unitário de mesma direção e sentido do vetor u.
Vetores colineares – Dois vetores u e v são colineares se
apresentam a mesma direção. Para tal, podem estar sobre a mesma
reta suporte, ou em retas paralelas.
4

Vetores coplanares - No R², dois vetores são coplanares, ou
seja, estão no mesmo plano porque definem esse plano (desde que
esses vetores não sejam colineares), tendo em vista que são montados
sobre duas retas suporte, e duas retas não colineares sempre definem
um plano no R².
Três vetores podem ser coplanares ou não. Não serão
coplanares se a reta suporte de um dos vetores fizer um ângulo com
o plano definido pelos outros dois.
1.1 Operações com vetores
Adição de dois vetores com mesma origem
Quando somamos dois vetores com mesma origem, devemos
completar um paralelogramo com os vetores, traçando pela
extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor. O vetor soma
ou resultante é aquele que sai da origem comum até o encontro das
paralelas, no vértice oposto ao da origem. Tal método é conhecido
como método do paralelogramo.
Figura: 3 - Adição de dois vetores
O módulo do vetor soma pode ser calculado por:
S 2 = u 2 + v 2 + 2 . u . v . cosφ
Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos
dos vetores S, u e v respectivamente.
Adição de dois vetores com a extremidade de um vetor
coincidindo com a origem do outro
5

Quando somamos dois vetores com a extremidade de um
vetor coincidindo com a origem do outro vetor, basta que
completemos o triângulo tendo os dois vetores como dois lados do
triângulo. O vetor soma ou resultante é o que sai da origem do
primeiro vetor até a extremidade do segundo vetor. Tal método é
conhecido como método do triângulo (Figura 4).
Figura: 4 - Adição de dois vetores
O módulo do vetor soma pode ser calculado por:
S 2 = u 2 + v 2 – 2 . u . v . cosφ
Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos
dos vetores S, u e v respectivamente.
Adição de vários vetores
Quando desejamos somar vários vetores, devemos colocá-los
inicialmente com a extremidade de um vetor coincidindo com a
origem do outro vetor, formando um só vetor. O vetor soma ou
resultante é aquele que sai da origem do primeiro vetor até a
extremidade do último vetor. Tal método é conhecido como método
do polígono.
Diferença de vetores
Quando desejamos achar a diferença de dois vetores u e v,
devemos primeiro achar o oposto do vetor v, isto é, o vetor –v, para
poder somá-lo ao vetor u.
6

Figura: 5 - Diferença de vetores
Multiplicação de um vetor por escalar
Ao multiplicarmos um vetor u por um escalar k qualquer,
obteremos um novo vetor com mesma direção e módulo
multiplicado por esse escalar. O sentido do novo vetor dependerá do
sinal do escalar k, ou seja, se o sinal for positivo, o sentido
permanecerá o mesmo, se o sinal for negativo, haverá a inversão do
sentido.
Figura: 6 - Multiplicação de vetor
1.2 Ângulo entre vetores
Sejam dois vetores não nulos u e v. O ângulo φ que eles
fazem entre si é o ângulo que as semirretas suporte dos vetores, isto
é, as semirretas que contêm os vetores, fazem entre si. Para
verificarmos o ângulo, os vetores devem estar dispostos com suas
origens coincidentes; caso não estejam, devem ser colocados dessa
forma.
7

Figura: 7 - Ângulo entre vetores
OBSERVAÇÕES
1. Se o ângulo entre eles for 0°, os vetores u e v possuem a mesma
direção e sentido. Neste caso, são chamados de colineares e são
múltiplos entre si.
2. Se o ângulo entre eles for 90°, os vetores u e v são ditos
ortogonais. Neste caso, o módulo do vetor resultante pode ser obtido
pelo teorema de Pitágoras, onde: S² = u² + v²
3. Se o ângulo entre eles for 180°, os vetores u e v possuem a mesma
direção e sentidos contrários.
4. Se os vetores u e v forem ortogonais, o vetor u é ortogonal a
qualquer vetor colinear ao vetor v.
Vetor unitário
É o vetor de módulo um. Ele define uma direção porque
qualquer vetor de uma determinada direção pode ser obtido como
um múltiplo do vetor unitário daquela direção. Isto é, quando for
conhecido um vetor unitário de uma direção, qualquer vetor daquela
direção pode ser obtido – basta multiplicar este vetor pelo módulo
do vetor que se deseja obter.
Se λ é unitário e se os vetores u e v têm a mesma direção de λ,
com módulos u e v respectivamente, então:
u = u . λ e v = v . λ
Se u’ é módulo do vetor u e u’ = 3
Se o vetor u tem a mesma direção de λ
Com λ unitário, então u = 3 λ
8

Figura: 8 - Vetor unitário
Os vetores unitários das direções dos eixos cartesianos
têm sua representação definida por i, j e k, unitários dos eixos x, y e
z, respectivamente.
Figura: 9 - Vetores unitários - Eixos cartesianos
Decomposição de vetores
Decompor um vetor significa obter seus componentes em
outras direções, de tal sorte que se somarmos esses componentes
obteremos o vetor principal. Quando as direções são os eixos
cartesianos, teremos:
9

R 2
Figura: 10 - Decomposição de vetores
R 3
Figura: 11 - Decomposição de vetores
No R 2 os vetores u x e u y são os componentes do vetor u nas
direções dos eixos x e y respectivamente.
10

Figura: 12 - Decomposição de vetores
Cada componente do vetor u pode ser expressa através dos
unitários das direções dos eixos, portanto:
Sendo:
Logo:
No R3 os vetores u x , u y e u z são os componentes do vetor u
nas direções dos eixos x , y e z respectivamente.
11

Cada componente do vetor u pode ser expressa através dos
unitários das direções dos eixos, portanto:
Sendo:
Logo:
12

Representação de um vetor conhecidos seus pontos origem e
extremidade
Se forem conhecidos os pontos origem e extremidade de um
vetor, as coordenadas deste serão definidas pela diferença entre as
coordenadas dos pontos extremidade e origem, nesta ordem. Esta
forma é chamada de analítica.
é:
Sejam os pontos A (x a, y a, z a) B (x b, y b, z b), então o vetor AB
AB = B – A = (x b – x a, y b – y a, z b – z a)
Igualdade de vetores
Dois vetores u (ux, uy, uz) e v (vx, vy, vz) são iguais se, e
somente se:
Paralelismo de dois vetores
U x = V x, U y = V y e U z = V z
Dois vetores u (u x, u y, u z) e v (v x, v y, v z) são paralelos ou
colineares se existir um escalar k tal que u = k.v.
(u x, u y, u z) = k.(v x, v y, v z) ou (u x, u y, u z) = (kv x, kv y, kv z)
Módulo de um vetor
O módulo ou intensidade de um vetor é o seu tamanho. É
a parte escalar do vetor.
Figura: 14 - Módulo de um vetor
13

Na figura ao lado, vemos que o módulo do vetor u é a
hipotenusa de um triângulo retângulo que tem como catetos, os
módulos dos seus componentes ux e uy. Portanto, para sua
determinação, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Logo:
Por exemplo nos vetores do R 2 :
Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores.
Por exemplo nos vetores do R 3 :
Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores.
14

Vetor unitário de uma direção
Dados pontos determinantes de uma direção, podemos
estabelecer o unitário dela. A importância disso é que, a partir deste
unitário, qualquer vetor desta direção poderá ser determinado, desde
que se conheça seu módulo. Seja a direção mostrada na figura abaixo,
determinada por pontos A e B:
Figura: 15 - Vetor unitário
Desde que conheçamos as coordenadas dos pontos A e B,
podemos determinar o vetor AB = B – A = (x b – x a, y b – y a, z b – z a);
Seja λ o vetor unitário desta direção:
Figura: 16 - Vetor unitário AB
O vetor AB é um múltiplo do vetor unitário λ, já que eles
possuem a mesma direção e, como o vetor unitário tem módulo um,
o vetor AB é exatamente o produto do seu módulo pelo vetor
unitário. Assim:
15

Obtenção de um vetor dados o módulo e a direção
Em determinadas situações, temos o módulo de um vetor e
sua direção. Por exemplo, na engenharia, em certo sistema em
equilíbrio, através de um dinamômetro, definimos o módulo de uma
força, temos sua direção e precisamos determinar o vetor força que
apresenta aquele módulo, seja para levantar outras forças atuantes em
outras partes do sistema, seja para calcular o momento desta força
em relação a um ponto ou eixo etc.
Quando temos o módulo de um vetor u e sua direção,
podemos determinar um vetor daquela direção. Logo, podemos
definir o unitário daquela direção. Se, temos o unitário e conhecemos
o módulo do vetor u, basta multiplicarmos o módulo do vetor pelo
unitário daquela direção.
Figura: 17 - Obtenção de um vetor
16

1.3 Exercícios Resolvidos
1. Dados os vetores abaixo, de módulos u = 2 e v = 5, determine
geometricamente o vetor soma, bem como calcule seu módulo.
Figura:
Solução:
17

2. Dados os pontos A (1, 1, 2), B (–1, 0, 3) e C (2, –3, 2), determine
os vetores:
a) AB
b) AC
c) BC
Solução:
3. Dados os vetores abaixo, determine o vetor w.
u = 3i + 2j – k e v = (1, 0, -2)
a) 2(u + v) – 2w = 3(v – 2w) + u
b) 3w – 4(v – 2u) = 4(2w – v) + 3u
Solução:
4. Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n),
determinar os valores de m e n para que os vetores sejam iguais:
Solução:
2 = 2 + m
-1 = -1
4 = 3 + 2n
Das igualdades vê-se:
M = 0 e 2n = 1, logo n = 1/2
18

5. Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, 3, 3 + 2n),
determinar os valores de m e n para que os vetores sejam
paralelos:
Solução:
2/2 + m = -1/3 = 4/3 + 2n
Das proporções vê-se:
m = -8 e n = -15/2
6. Dados os vetores A(-1, 2, 0), B(2, 0, -2) e C(-2, 1, -1), determinar
os módulos dos vetores AB, AC e BC.
Solução:
Determinam-se primeiro os vetores:
Em seguida os módulos destes vetores:
7. Sejam os pontos A(-2, 1, 5), B(1, 0, 2) e C(1, -2, 3), determinar os
vetores unitários das direções dos vetores AB, AC e BC.
Solução:
19

8. Sejam os pontos A(2, -2, 0), B(-1,1, 0) e C(0, 0, 1), determinar os
vetores unitários das direções dos vetores AB, AC e BC.
Solução:
20

9. Sejam os pontos A(-1, 1, 3), B(1, -1,1) e C(1, 0, 2). Sejam u = 20,
v = 30 e w = 50, módulos dos vetores u, v e w, que se
encontram nas direções dos vetores AB, AC e BC
respectivamente determinar os vetores u, v e w.
Solução:
21

1

2 PRODUTO DE VETORES
2.1 Produto Escalar
Dados os vetores v 1 = (x 1, y 1) e v 2 = (x 2, y 2), define-se o
produto escalar entre os vetores v 1 e v 2, como o número real obtido
por:
Exemplo:
v 1 . v 2 = x 1 . x 2 + y 1 . Y 2
O produto escalar entre v1 = (3, 4) e v2 = (-2, 5) é:
v 1 . v 2 = 3 . (-2) + 4 . 5 = - 6 + 20 = 14
Lembre-se: o resultado de um produto escalar entre dois vetores será
um escalar (número real).
Módulo de um vetor
O módulo de um vetor v = (x,y), representado por IvI é um
número real não negativo, dado por:
Exemplo:
Seja v = (4, -3), então:
IvI = √v.v = √x.x + y.y = √x 2 + y 2
IvI = √4 2 + (-3) 2 = √16 + 9 = √25 = 5
Propriedades do Produto Escalar
Quaisquer que sejam os vetores, v, u e w, e o escalar k:
a) v . v ≥ 0
b) v . u = u . v (Comutativa)
c) u .(v + w) = u . v + u . w (distributiva)
d) (ku). v = k .(u . v)
1

2.2 Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre os vetores u e v, também, pode ser
escrito da seguinte forma:
u.v = IuI . IvI . cosᴓ
Figura: 18 - Ângulo entre dois vetores
Obs.: A expressão é obtida por meio da aplicação da lei dos cossenos
no triangulo ABC da figura acima.
Se:
Onde ᴓ é a medida do ângulo formado entre os vetores u e v.
a) u . v > 0, indica que o cosᴓ > 0, o que ocorre quando é
ângulo agudo.
b) u . v < 0, então o ângulo ᴓ será obtuso.
c) u . v = 0, teremos um ângulo reto.
Por meio desta última definição de produto escalar, podemos
obter o ângulo ᴓ entre dois vetores genéricos u e v, como:
2.3 Produto Vetorial
Dados os vetores u = (x u, y u, z u) e v = (x v, y v, z v), tomados
nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores u e v,
representado por u x v, ao vetor calculado como o determinante da
matriz a seguir.
2

Lembre-se: o resultado do produto vetorial entre 2 vetores é um
terceiro vetor.
Exemplo:
Se trocarmos a ordem dos vetores, temos:
Propriedades:
Considere os vetores u, v e w:
I. Se u é um vetor qualquer, u x u = 0
II. u x v = - v x u
3

III.
u x (v + w) = u x v + u x w
IV. u x v é ortogonal simultaneamente os vetores u e v.
V. a ordem dos vetores modifica o sentido do vetor
gerado pela operação, que obedece à regra da mão
direita.
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
O módulo do produto vetorial, Iu x vI, pode ser interpretado
como a área do paralelogramo definido pelos vetores v e u.
Figura: 19 - Interpretação geométrica do módulo do
produto vetorial
2.4 Produto Misto
Dados os vetores u = (x u, y u, z u), v = (x v, y v, z v) e w = (x w, y w,
z w), tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores u, v e
w, representado por u.(v x w), ao vetor calculado como o
determinante da matriz abaixo.
Propriedades
Quaisquer que sejam os vetores u, v, w e r, e o escalar k:
4

I. u.(v x w) = 0, se um dos vetores é nulo, se dois vetores são
II.
colineares (paralelos), ou se os três são coplanares (estão no
mesmo plano).
O produto misto independe da ordem circular dos vetores,
isto é:
III. u.(v x w) = v.(w x u) = w.(u x v)
IV.
u.(v x (w + r)) = u.(v x w) + u.(v x r) e u.(v x kw) = u.(mv x
w) + mu.(v x w)
Interpretação geométrica do módulo do produto misto
O produto misto, u.(v x w) é igual em módulo ao volume do
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores v, u e w.
Figura: 19 - Interpretação geométrica do módulo do
produto misto
Resumo Estratégico
Ângulo entre vetores: produto escalar
Caso particular: vetores perpendiculares, produto escalar nulo (cos 90
= 0)
Cálculo de áreas e vetor normal: produto vetorial
Caso particular: vetores paralelos, produto vetorial nulo (área = 0)
Cálculo de volumes: produto misto
Caso particular: 3 vetores coplanares, produto misto nulo
(volume=0)
5

2.5 Exercícios Resolvidos
1. Dados os vetores u = (1, 2, -1), v = (1, 0, -3) e w = (0, -2, -3),
determine os produtos escalares pedidos:
a) u . v b) u . w c) v . w
Solução
a) u.v = 1.1 + 2.0 + (-1).(-3) = 1 + 0 + 3 = 4
b) u.w = 1.0 + 2.(-2) + (-1).(-3) = 0 - 4 + 3 = -1
c) v.w = 1.0 +0.(-2) + (-3).(-3) = 0 + 0 + 9 = 9
2. Dados os vetores u = (-1, 1, -1), v = (1, 2, -3) e w = (0, 2, -2),
determine os ângulos entre:
a) u e v b) u e w c) v e w
Solução
a) u . v = ((-1).1 + 1.2 + (-1).(-3)) = 4
IuI = √(-1) 2 + 1 2 + (-1) 2 = √3
IvI = √1 2 + 2 2 + (-3) 2 = √14
cosᴓ = u . v/IuI. IvI = 4/√3.√14 = 2√42/21
b) u . w = ((-1).0 + 1.2 + (-1).(-2)) = 4
IuI = √(-1) 2 + 1 2 + (-1) 2 = √3
IwI = √0 2 + 2 2 + (-2) 2 = √8
cosᴓ = u . w/IuI. IwI = 4/√3.√8 = √24/6
c) v . w = ((1).0 + 2.2 + (-3).(-2)) = 10
IvI = √(1) 2 + 2 2 + (-3) 2 = √14
6

IwI = √0 2 + 2 2 + (-2) 2 = √8
cosᴓ = v . w/IvI. IwI = 10/√14.√8 = 5√7/14
3. Dados os vetores v = (1, 0, 3) e u = (-1, 2, 1), calcular:
a) 2u x (u – v)
b) (u – v) x (u + 3v)
Solução
a) 2u = (-2, 4, 2)
u – v = (-2, 2, -2)
b) u - v = (-2, 2, -2)
u + 3v = (2, 2, 10)
4. Dados os vetores u = (–1, 2, 0) e v = (1, 1, –1), calcular a área
do paralelogramo determinado pelos vetores 2u e v + u.
Solução:
A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial dos vetores
indicados.
7

2u = (-2, 4, 0)
v + u = (0, 3, -1)
5. Calcular o produto misto dos vetores u = (1, 0, –2), v = (2, –1,
3) e w = (0, 1, –1).
Solução
8

3 RETAS
A reta é um objeto geométrico infinito em uma única
dimensão, que pode ser definida da seguinte forma:
• Dando dois pontos da reta;
• Dando um ponto da reta e dois vetores normais a esta
reta, não colineares;
• Dando um ponto e um vetor paralelo à reta.
Seja a reta que passa pelo ponto A (x a, y a, z a) e com direção do
vetor não nulo v = (a, b, c). Um único ponto qualquer P (x, y, z)
pertencerá à reta r, se, e somente se, os vetores AP e v forem
colineares (paralelos), ou seja:
AP + tv, onde t є R.
P – A = Tv
P = tv + A
Exemplo:
(x, y, z) = t . (a, b, c) + (x a, y a, z a)
Equação vetorial da reta
A reta r que passa pelo ponto A (-1, 2, 3) e tem a direção do vetor v
= (2, -2, 1), qual a sua equação vetorial.
(x, y, z) = t . (a, b, c) + (x a, y a, z a)
(x, y, z) = t . (2,-2, 1) + (-1, 2, 3)
Atribuindo-se valores reais para o parâmetro t, se obtém pontos da
reta r.
t = 0:
t = 1:
t = 2:
t = ½:
P = (-1, 2, 3) є R
P = (1, 0, 4) є R
P = (3, -2, 5) є R
P = (-2, 3, 5/2) є R
9

3.1 Equação Paramétrica da Reta
Com base na equação vetorial da reta, pode-se obter um
sistema de equações que representa todos os pontos (x, y, z) em
função da variação do parâmetro t de –oo a +oo.
Este sistema de equações é chamado de Equações
Paramétricas da Reta.
P = tv + A → (x, y, z) = t . (a, b, c) + (x a, y a, z a)
x = t . a + x a
y = t . b + y a
z = t . c + z a
Reta definida por dois pontos
Sejam os dois pontos A (x a, y a, z a) B (x b, y b, z b) que pertencem
à reta r. A direção de r é a mesma do vetor AB.
AB = B – A = (x b, y b, z b) – (x a, y a, z a) = (x b – x a, y b – y a, z b – z a)
Sendo assim, para se equacionar a reta basta utilizar um dos
dois pontos A ou B e o vetor v = AB
Exemplo:
Qual a direção da reta r que passa pelos pontos A (-1, 2, 3) e B (2, 3,
4). A reta terá a direção do vetor v = AB:
AB = B – A = (3, 1, 1)
Considerando que a reta passa pelo ponto A, assim, as suas equações,
vetorial e paramétricas são:
Vetorial: (x, y, z) = t . (3,1, 1) + (-1, 2, 3)
Paramétricas: x = t . 3 - 1
y = t . 1 + 2
z = t . 1 + 3
10

Já se considerarmos a reta passando pelo ponto B, assim, as suas
equações, vetorial e paramétricas são:
Vetorial: (x, y, z) = t . (3,1, 1) + (2, 3, 3)
Paramétricas: x = t . 3 + 2
y = t . 1 + 3
z = t . 1 + 4
ATENÇÃO!!!
Embora os sistemas de equações sejam diferentes, eles
permitem encontrar todos os pontos da mesma reta, fazendo variar t
de –oo a +oo, por exemplo, para t = 1, obtém ponto P 1 (2, 3, 4) no
primeiro sistema e o ponto P 2 (5, 4, 5) no segundo sistema de
equações, e ambos são pontos da mesma reta. Uma vez que, o ponto
P 1 (2, 3, 4) pode ser obtido, no segundo sistema, fazendo t = 0 e o
ponto P 2 (5, 4, 5), no primeiro sistema fazendo-se t = 2.
Equação Simétrica da Reta
Considerando que a reta r passa pelo ponto A (x a, y a, z a) e tem
direção do vetor não nulo v = (a, b, c). Da mesma forma, o ponto P
(x, y, z) pertencerá à reta r se for solução da equação paramétrica da
reta, supondo que a, b, c são diferentes de zero, conforme abaixo:
Condição para que três pontos estejam em linha reta
A condição para que três pontos A (x a, y a, z a), B (x b, y b, z b) e
C (x c, y c, z c) estejam em linha reta, ou seja na mesma reta r, é que os
vetores AB e BC sejam colineares (paralelos), isto é:
AB = mBC, para qualquer m є R
Lembre-se: a forma de verificação mais simples é utilizando matriz,
onde se o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos
pontos for nulo, estes pontos estarão numa mesma reta.
11

x a y a z a
x b y b z b = 0
x c y c z c
Fundamentado nas equações simétricas da reta, pode-se obter
outra forma de expressar a reta r, isolando uma das variáveis y e z e
expressando-as em função de x.
a) Colocando a coordenada y em função da coordenada x:
Fazendo:
b) Colocando a coordenada z em função da coordenada x:
12

Fazendo:
Formas de representação da reta no R 3
Para todas as representações de uma reta genérica, como
ficam os casos particulares em que as retas são paralelas aos eixos
coordenados.
Significa que:
O que significa uma reta paralela ao eixo x?
• y e z possuem valores constantes (c y e c z)
• A reta é paralela a i⃗ = (1, 0, 0)
• Todos os pontos da reta serão do tipo (x, c y, c z)
x = t
{ y = c y
z = c z
Figura: 21 - Formas de representação da reta no r3
13

O que significa uma reta paralela ao eixo y?
Significa que:
• x e z possuem valores constantes (c y e c z)
• a reta é paralela a j⃗ = (0, 1, 0)
• todos os pontos da reta serão do tipo (c x, y, c z)
{
x = c x
y = t
z = c z
Figura: 22 - Formas de representação da reta no r3
O que significa uma reta paralela ao eixo z?
Significa que:
• x e y possuem valores constantes (c x e c y)
• a reta é paralela a k⃗⃗ = (0, 0, 1)
• todos os pontos da reta serão do tipo (c x, c z, z)
14

{
x = c x
y = c y
z = t
Figura: 20 - Formas de representação da reta no r3
3.2 Exercícios Resolvidos
1. Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2).
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo
ABC relativa ao lado BC.
Solução:
Para facilitar o raciocínio, vamos imaginar um triângulo ABC e a
mediana relativa ao lado BC, criando o ponto M.
Como o objetivo do exercício é montar a eq. Da reta que passa por A
e M, podemos começar descobrindo as coordenadas de M.
Como a mediana divide o lado BC ao meio, M é o ponto médio entre
B e C, ou seja,
M = ((2,-1,-6) + (-4, 5, 2))/2 = (-2, 4, -4)/2 = (-1, 2, -2)
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-
1,2,-2)
15

Equação Vetorial
Precisamos de um ponto da reta e de um vetor.
O ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) o vetor
pode ser AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ou MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Escolhido AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
P = A + t v
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = M-A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0)
(x, y, z) = (1, 0, -2) + t (-2, 2, 0)
Equações Paramétricas
x = 1 - 2t
y = 2t
z = -2
Equações Reduzidas em “x”
m = 2/-2 = -1
n = (2/-2) . 1 + 0 = -1
y = -x – 1
P = 0/-2 = 0
q = (0/-2) . 1 -2 = -2
z = -2
1. Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela
à reta que passa pelos pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a
interseção das retas r 1 e r 2 fornecidas a seguir.
r 1 : x − 5
3
= y + 1
2
x = 6 + 3t
r 2 { y = 1 − 2t
z = t
16
= −z + 1
1
DICA: Para especificarmos a reta r 3, precisaremos de um ponto da reta e
de um vetor que estabelece a sua direção.

Analisando o problema, o ponto de r 3 será a interseção de r 1 com r 2 e o
vetor será obtido pelos pontos A e B, já que r 3 é paralela à reta que passa
por A e B.
Solução:
Substituindo r 2 em r 1:
(6 + 3t) − 5
3
(3t + 1)
3
=
=
(1 − 2t) + 1
2
(2 − 2t)
2
= −t + 1
1
= −t + 1
1
OBS.: Se existir um valor de t que atenda, encontramos o ponto de
interseção. Do contrário as retas são paralelas e não existe interseção.
Vamos analisar a 1ª igualdade:
3t+1
3
= 2-2t
2
→ 6t+2 = 6 – 6t → 12t = 4 → t = 1/3
Vamos verificar o ponto de interseção aplicando t=1/3 em r 2:
x = 6 + 3/3 → x = 7
y = 1 - 2/3 → y = 1/3
z = 1/3
17

18

4 PLANOS E DISTÂNCIAS
4.1 Planos
4.1.1 Introdução
O Plano é um objeto geométrico de duas dimensões formado
por infinitas retas e infinitos pontos, que pode ser definido da
seguinte forma:
• Com três pontos não alinhados;
• Com uma reta e um ponto não pertencente à reta;
• Com duas retas paralelas (não coincidentes);
• Com duas retas concorrentes.
4.1.2 Equação Geral do Plano
Seja o ponto A pertencente a um plano π e o vetor não nulo
n = (a, b, c) normal (perpendicular) ao plano. O plano π pode ser
definido como sendo o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do
espaço tais que o vetor AP é ortogonal (perpendicular) a n,
conforme a figura abaixo:
Figura 24 - Equação geral do plano
19

Ou seja, o ponto P (x, y, z) pertencerá ao plano π, se, e somente se,
os vetores atenderem à seguinte expressão AP . N = 0, produto
escalar igual a zero (condição de vetores ortogonais)
AP . n = 0, como:
n = (a, b, c)
AP = P – A = (x – x a, y – y a, z – z a)
AP . n = (a, b, c) . (x – x a, y – y a, z – z a) = 0
AP . n = a(x – x a) + b(y – y a) + c(z – z a) = 0
ax – ax a + by – by a + cz – cz a = 0
ax + by + cz – (ax a + by a + cz a) = 0
Como n = (a, b, c) e A (x a, y a, z a) são conhecidos (dados), pode-se
escrever:
– (ax a + by a + cz a) = d, onde d também será conhecido.
Assim a Equação Geral do plano π é:
Observações:
ax + by + cz + d = 0
• Os coeficientes a, b, c da equação geral do plano ax + by +
cz + d = 0, representam as componentes de um vetor
normal ao plano, ou seja, se dois planos tem todos os três
coeficientes (a, b, c) iguais, significa que os planos são
paralelos;
• O plano π é definido, basicamente, por um vetor normal (a,
b, c) e um ponto A (x a, y a, z a) pertencente ao plano;
• O vetor n = (a, b, c) normal ao plano, também será normal
a todos os vetores representados neste plano.
20

4.1.3 Determinação de um plano
Existem outras formas de caracterizar um plano, contudo, de
uma forma geral, todas conduzem a encontrar o vetor normal n = (a,
b, c) e um ponto A (x a, y a, z a) pertencente ao plano.
1. Passa por um ponto A (x a, y a, z a), e é paralelo a dois vetores
v e u não colineares.
Neste caso: n = u x v.
Figura: 25 - Determinação de um plano
2. Passa por dois pontos A (x a, y a, z a) e B (x b, y b, z b) e é
paralelo a um vetor v não colinear ao vetor AB.
Neste caso: n = v x AB.
3. Passa por três pontos A (x a, y a, z a), B (x b, y b, z b) e C (x c, y c,
z c) não colineares.
Neste caso: n = AB x AC.
4. Contém duas retas r 1 e r 2 concorrentes.
Neste caso: n = v 1 x v 2.
Onde v 1 e v 2 são vetores diretores (mesma direção) de r 1 e r 2
5. Contém duas retas r1 e r2 paralelas.
Neste caso: n = v 1 x AB.
Onde v 1 é o vetor diretor (mesma direção) de r 1 (ou r 2) e A
є r 1 e B є r 2
6. Contém uma reta r e um ponto A (xa, ya, za), não
pertencente a r.
Neste caso: n = v x AB.
Onde v é o vetor diretor (mesma direção) de r e B є r.
21

Ângulo de dois planos
O ângulo de dois planos π 1 e π 2 é o menor ângulo que o vetor
normal de π 1 (n 1) forma com o vetor normal de π 2 (n 2). Sendo θ este
ângulo:
Ângulo de uma Reta com um Plano
Seja a reta r com a direção do vetor v e um plano π, sendo n
um vetor normal a π, conforme a figura abaixo:
Figura: 26 - Ângulo de uma reta com um plano
O ângulo θ da reta r com o plano π é o complemento do
ângulo Ф (θ + Ф = π/2) que a reta forma com o vetor normal n ao
plano. Como θ + Ф = π/2, logo sen(θ) = cos(Ф).
Interseção de dois Planos
A interseção de dois planos não paralelos é uma reta r, cuja
equação é a solução de um sistema em que as duas equações são
equações dos planos.
Exemplo:
Sejam os planos π 1 e π 2 cujas equações são respectivamente:
π 1: x – 2y + z + 4 = 0, e
22

π 2: x + 3y – 2z – 1 = 0
x – 2y + z + 4 = 0 (x2 para eliminar a coordenada z)
x + 3y – 2z – 1 = 0
3x – y + 7 = 0 (após a soma)
Repete-se o processo:
x – 2y + z + 4 = 0 (x3 para eliminar a coordenada y)
x + 3y – 2z – 1 = 0 (x2 simultaneamente)
5x – z + 10 = 0
Logo a equação reduzida da reta r (interseção dos planos π 1 e π 2)
y = 3x + 7
z = 5x + 10
Interseção de Reta com Plano
A interseção de reta com plano (não paralelos) é um ponto,
cujas coordenadas são obtidas pela solução de um sistema em que as
equações são as equações da reta e do plano.
Exemplo:
Sejam o plano π e a reta r, cujas equações são respectivamente: π: 2x
– 3y + z + 5 = 0
r: y = –x + 8 (substitui-se na equação do plano π)
z = 2x + 5 (substitui-se na equação do plano π)
Teremos então:
2x – 3.( –x + 8) + (2x + 5) + 5 = 0
2x + 3x – 24 + 2x + 5 + 5 = 0
7x – 14 = 0 → x = 2
23

Substituindo a coordenada x nas equações da reta temos como
solução o ponto: (2, 6, 9).
4.2 Distâncias
Existem duas possibilidades para a relação entre as diferentes
entidades geométricas estudadas até agora (ponto, reta e plano), uma
quando há interseção entre elas, identificada pelo ponto comum,
obtido normalmente, pela solução do sistema composto pelas
equações das entidades geométricas. Outra possibilidade é o cálculo
da distância entre as entidades que não possuem ponto comum entre
elas.
4.2.1 Distância entre dois pontos
Como visto no capítulo referente a vetores, a distância entre
dois pontos A (x a, y a, z a) e B (x b, y b, z b) é o módulo do vetor AB.
Portanto:
d(A, B)=módulo de AB = √(x b – x a) 2 + (y b – y a) 2 + (z b – z a) 2
4.2.2 Distância entre um Ponto a uma Reta
A distância entre um ponto P (x p, y p) e uma reta s é calculada
unindo o próprio ponto à reta através de um segmento de
comprimento d, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º),
conforme a figura abaixo:
Figura: 21 - Distância entre um ponto a uma reta
24

Com base na equação da reta r: ax + by + c = 0 e nas coordenadas
do ponto P (x p, y p), a distância entre eles d(P, s) é dada por:
No R 3 , a distância da reta definida pelo ponto Q (x Q, y Q, z Q) e o
vetor diretor v = (a, b, c) e o ponto P (x p, y p, z p) qualquer do espaço.
Os vetores v e PQ determinaram um paralelogramo cuja altura
corresponde a distância d de P a reta s.
Designando-se por A a área do referido paralelogramo, temos:
A = I v I . d
A área também pode ser obtida pelo produto vetorial entre os
vetores v e PQ, ou seja:
A = I v x PQ I
Então:
4.2.3 Distância entre duas Retas Paralelas
A distância entre duas retas r e s concorrentes é nula, tendo
em vista possuírem um ponto em comum. A distância d entre duas
retas r e s paralelas é a distância de um ponto qualquer P (x p, y p, z p)
pertencente a uma das retas até a outra reta.
d(r, s) = d(p, s), P Є r, e d(r, s) = d(P, r), P Є s
Sendo assim, a distância entre duas retas paralelas se reduz ao
cálculo da distância de um ponto a uma reta, onde o ponto pertence
a outra reta.
25

Figura: 28 - Distância entre duas retas paralelas
4.2.4 Distância de um Ponto a um Plano
Sejam um ponto P (x p, y p, z p) e um plano π: ax + by + cz + d
= 0. Seja A (x a, y a, z a) o pé da perpendicular conduzida por P sobre o
plano π e Q (x Q, y Q, z Q) um ponto qualquer do plano, conforme a
figura abaixo:
Figura: 29 - Distância de um ponto a um plano
O vetor n = (a, b, c) é normal ao plano π e,
consequentemente, o vetor AP tem a mesma direção de n. A
distância d do ponto P ao plano π é:
Observando que o vetor AP é a projeção do vetor QP sobre a
direção de n, sendo assim:
→
Como QP = (x P – x Q, y P – y Q, z P – z Q)
26

se:
Após, substituição dos valores e manipulação algébrica, têm-
4.3 Exercícios Resolvidos
1. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A (1, 2,
-1) e é paralelo aos vetores v1 = (0, 1, 2) e V2 = (-1, 0, 1).
Solução:
Logo a equação geral do plano é do tipo: ax + by + cz + d = 0, onde
os coeficientes a, b, c são coordenadas do vetor normal ao plano,
assim: a = 1, b = -2, c = 1, substituindo na equação fica: x – 2y + z +
d = 0.
Como o ponto A (1, 2, -1) pertence ao plano, logo ele satisfaz a
equação acima. Assim substituindo temos:
1 – 2 . 2 + (-1) + d = 0 que resulta em d = 4, então a equação geral
do plano é:
x – 2y + z + 4 = 0
2. Calcule a distância do ponto P (2, 0, 5) à reta de equação (x, y, z)
= t . (3, 1, 1) + (1, 2, 3).
27

28

5 CÔNICAS
As curvas ditas cônicas são as:
• Circunferências
• Elipses
• Parábolas
• Hipérboles
Por que o nome CÔNICAS?
Porque são definidas a partir da interseção de um plano com um
cone.
Figura: 30 - Cônicas
Curiosidade
O estudo matemático das cônicas tem proporcionado à
humanidade uma grande variedade de aplicações em nosso dia a dia e
em diversas áreas da engenharia.
A propriedade de reflexão em superfícies parabólicas que
afirma que raios que passam pelo foco refletem paralelamente ao eixo
é amplamente explorada. O farol de carro possui uma lâmpada que é
colocada no foco da superfície espelhada parabólica.
29

As antenas parabólicas são amplamente utilizadas na
comunicação, seja para a transmissão via satélite, telefonia móvel ou
GPS (Global Positioning System).
Nessas duas aplicações, é possível relacionar a incidência de
rais paralelos sobre a superfície parabólica com os rais refletidos que
passam pelo ponto focal.
5.1 Circunferência
Definição
Considere o plano cartesiano xy e um ponto fixo conhecido C
(xC, yC) deste plano, denominado centro.
O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano
equidistantes de C é denominado circunferência.
Figura: 31 - Circunferência
A distância comum dos pontos (x, y) ao centro C,
denominada R da circunferência, pode ser calculada por:
R = √(x − x c ) 2 + (y − y c ) 2
R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2
(Equação reduzida da circunferência)
30

É baseada no fato da distância do centro a qualquer ponto da
circunferência ser constante igual ao raio.
Caso particular: circunferência na origem
R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2
R 2 = x 2 + y 2
5.1.1 Equação geral da circunferência
É obtida a partir da equação reduzida.
Basta desenvolver algebricamente os termos elevados ao
quadrado e organizar a equação agrupando os termos conhecidos.
No item anterior, estudou-se a circunferência de centro C (x C,
y C) e raio R a partir de sua equação reduzida, ou seja: (x – x C)² + (y
– y C)² = R²
Desenvolvendo os quadrados do primeiro membro da
equação, tem-se:
Supondo:
• A = –2.x C
• B = –2.y C
• C = x C² + y C² – R²
x² – 2x C.x + x C² + y² + 2y C.y + y C² = R²
x² + y² – 2x C.x – 2y C.y + x C² + y C² – R² = 0
A equação geral poderá ser escrita como:
x 2 +y 2 + Ax + By + C = 0
Dessa forma, as coordenadas (x C, y C) do centro são dadas por:
x c = − A 2 ou A = −2x c
y c = − B 2 ou B = −2y c
E o raio R por:
R = √x c2 + y c2 − C ou C = x c 2 + y c 2 − R 2
31

O ponto P é interior, exterior ou pertence à circunferência?
Um ponto P pode pertencer ou não à circunferência. E neste
último caso, pode ser interior ou exterior. Suponha o ponto P (x P, y P)
e a equação geral da circunferência x² + y² + A.x + B.y + C = 0.
Ao substituir as coordenadas de P na expressão x² + y² + A.x
+ b.y + C, três são as possibilidades:
• Valor nulo → P pertence à circunferência
• Valor positivo → P é exterior à circunferência
• Valor negativo → P é interior à circunferência
Posição relativa entre a reta e a circunferência
A ideia é comparar a distância entre a reta e o centro do
círculo com o raio da circunferência.
Considere uma reta r no R² e uma circunferência de centro C
(x C, y C) e raio R.
Existem três posições relativas entre r e a circunferência:
• Exterior → nenhum ponto em comum.
• Interior/Secante → dois pontos em comum.
• Tangente → um ponto em comum.
Tangente
(distância = raio)
Secante
(distância < raio)
Exterior
(distância > raio)
Figura: 32 - Posição relativa entre a reta e a circunferência
Suponha que as equações da reta r e da circunferência C
sejam conhecidas.
32

Existem duas maneiras para se determinar a posição relativa de r e C.
a) Um sistema entre as equações de r e C é resolvido. Uma
equação do segundo grau será originada e a partir do
discriminante D tem-se a posição relativa. Para valores
positivos de D (duas raízes reais distintas), existem dois
pontos em comum, ou seja, a reta e a circunferência são
secantes. No caso de D nulo (duas raízes reais iguais), há
apenas um ponto em comum de r e C, isto é, são tangentes.
Como última possibilidade para D, tem-se o valor negativo
(não existem raízes reais). Nesse caso, a reta e a
circunferência são exteriores.
b) Pode-se avaliar a distância d do centro da circunferência C à
reta r. Quando d for menor que o raio R da circunferência, r
e C são secantes. Se d = R, a reta e a circunferência são
tangentes, e, por último, se d maior que R, a reta é exterior à
circunferência.
Figura: 33 - Posição relativa entre a reta e a circunferência
Atenção:
Considere a reta r: ax + by + c = 0 e o ponto P (xP, yP). A
distância dP do ponto P à reta r é dada por:
d P = Ia . x P + b . y P + cI
√a2 + b2
Posição relativa de duas circunferências
A ideia é comparar a distância entre os centros das duas
circunferências com a soma dos seus raios.
33

Considere duas circunferências C 1 e C 2 de raios R 1 e R 2. As posições
relativas dessas circunferências são:
Exteriores – nesse caso, não há interseção entre as duas
circunferências, ou seja, o sistema formado pelas duas equações não
tem solução. A distância d entre os centros é maior que a soma dos
raios R 1 e R 2.
Figura: 34 - Posição relativa de duas circunferências
Tangentes externas – nesse caso, a interseção entre as duas
circunferências é dada por um ponto, ou seja, o sistema formado
pelas duas equações tem solução única e a distância d entre os
centros é igual à soma dos raios R 1 e R 2.
Figura: 35 - Posição relativa de duas circunferências
Secantes – nesse caso, a interseção entre as duas circunferências é
dada por dois pontos, ou seja, o sistema formado pelas duas
equações tem duas soluções distintas e a distância d entre os centros
é maior que o módulo da diferença entre os raios e menor que a
soma dos raios R 1 e R 2.
34

Figura: 36 - Posição relativa de duas circunferências
Tangentes interiores – nesse caso, a interseção entre as duas
circunferências é dada por um ponto, ou seja, o sistema formado
pelas duas equações tem solução única e a distância d entre os
centros é igual ao módulo da diferença dos raios R 1 e R 2.
Figura: 37 - Posição relativa de duas circunferências
Interiores – nesse caso, não há interseção entre as duas
circunferências, ou seja, o sistema formado pelas duas equações não
tem solução e a distância d entre os centros é menor que o módulo
da diferença entre os raios R 1 e R 2.
Figura: 38 - Posição relativa de duas circunferências
35

5.1.2 Exercícios Resolvidos
1. Determinar a equação reduzida da circunferência de raio 5 e
centro com coordenadas (1, –3).
Solução:
A equação reduzida da circunferência é:
(x – x C)² + (y – y C)² = R².
Centro C (x C, y C) = (1, –3) → x C = 1 e y C = –3
Raio: R = 5
Substituindo x C, y C e R na equação reduzida da circunferência, temse:
(x – 1)² + (y – (–3))² = 5 2 → (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 25
Solução:
2. Determinar a equação reduzida da circunferência que passa
pelo ponto P (5, 7) e tem centro C (2, 3).
A equação reduzida da circunferência é:
(x – x C)² + (y – y C)² = R²
Centro C (x C, y C) = (2, 3) → x C = 2 e y C = 3
Ponto P (x P, y P) = (5, 7) → x P = 5 e y P = 7
Raio R = distância de qualquer ponto da circunferência ao centro.
3. Construa a equação da circunferência que tangencia o eixo
X e tem centro em (3,2).
R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2
(x − 3) 2 + (y − 2) 2 = 2 2
(x − 3) 2 + (y − 2) 2 = 4
36

4. Construa a equação reduzida da circunferência posicionada
no 4o quadrante, de raio 3 e que tangencia o eixo das
abscissas no ponto (4,0).
R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2
(x − 4) 2 + (y + 3) 2 = 3 2
(x − 4) 2 + (y + 3) 2 = 9
5. Determinar a equação da circunferência cujo centro é o
ponto P(2,–4) e é tangente ao eixo Y.
Se a circunferência é tangente ao eixo Y, então a distância horizontal
do eixo à abscissa do centro será o raio. Isto é, o raio vale 2.
R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2
(x − 2) 2 + (y + 4) 2 = 2 2
(x − 2) 2 + (y + 4) 2 = 4
6. Determinar a equação geral da circunferência de raio 5 e
centro com coordenadas (1, –3).
Solução:
A equação reduzida da circunferência é:
(x – x C)² + (y – y C)² = R².
Centro C (x C, y C) = (1, –3) → x C = 1 e y C = –3
Raio R = 5
Substituindo x C, y C e R na equação, tem-se:
(x – 1)² + (y – (–3))² = 52
(x – 1)² + (y + 3)² = 25
x² – 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 25
x² + y² – 2x + 6y – 15 = 0
37

7. Sendo a equação geral da circunferência x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0,
determine:
a) As coordenadas do centro desta circunferência.
b) O raio R desta circunferência.
c) Se o ponto A (4, 2) pertence à circunferência.
d) Se o ponto B (1, –3) pertence à circunferência.
Solução
a) A equação geral da circunferência é:
x² + y² + A.x + b.y + C = 0
x c = − A 2 = − −2
2 = 1
y c = − B 2 = − −4
2 = 2
Centro C (1,2)
b) A expressão para determinação do raio R é dada por:
R = √x c 2 + y c 2 − C
R = √(1) 2 + (2) 2 + 4
R = √9 R = 3
c) Se o ponto A (x A, y A) pertencer à circunferência, deve satisfazer à
equação dessa circunferência, isto é, ao substituir os valores de x A e
y A, deve-se encontrar a igualdade 0 = 0.
Ponto A (x A, y A) = (4, 2) e equação da circunferência
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0.
Substituindo, tem-se:
4² + 2² – 2.4 – 4.2 – 4 = 0 16 + 4 – 8 – 8 – 4 = 0
0 = 0 Assim, o ponto A pertence à circunferência.
d) Se o ponto B (x B, y B) pertencer à circunferência, deve satisfazer à
equação dessa circunferência, isto é, ao substituir os valores de x B e
y B, deve-se encontrar a igualdade 0 = 0.
Ponto B (x B, y B) = (1, –3) e equação da circunferência
38

x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0.
Substituindo, tem-se:
1² + (–3)² – 2.1 – 4.(–3) – 4 = 0
1 + 9 – 2 + 12 – 4 = 0
16 ≠ 0
Assim, o ponto B não pertence à circunferência.
8. Determine a posição relativa da reta r e da circunferência C
cujas equações são:
r: x – y – 1 = 0
C: x² + y² – 4.x – 2.y + 3 = 0
Primeira solução
O sistema a ser resolvido é:
x – y – 1 = 0
x² + y² – 4x – 2y + 3 = 0
Na primeira equação, y = x – 1. Substituindo na segunda equação do
sistema tem-se:
X² + (x – 1)² – 4.x – 2.(x – 1) + 3 = 0
X² – 4.x + 3 = 0
Δ = b² – 4.a.c = (–4)² – 4.1.3 = 4 > 0
Conclusão: como o discriminante é positivo, r e C são secantes.
Segunda solução
A equação da circunferência C é dada por:
x² + y² – 4.x – 2.y + 3 = 0
Quando a equação geral da circunferência é x² + y² + A.x + B.y + C
= 0 as coordenadas do centro são dadas por:
x C = – A/2 , y C = – B/2
39

Assim, x C = – -4/2 = 2, y C = – -2/2 = 1 e
A reta r tem equação dada por r: x – y – 1 = 0
A distância d C do centro à reta r:
Conclusão: como d c < R, reta e circunferência são secantes.
9. Determine a posição relativa da reta r e da circunferência C cujas
equações são:
r: x + y – 2 = 0 e
C: x² + y² – x – y = 0
Solução:
A equação da circunferência C é dada por:
x² + y² – x – y = 0
Quando a equação geral da circunferência é:
x² + y² + A.x + B.y + C = 0, as coordenadas do centro são dadas
por: x C = – A/2 , y C = – B/2
Assim, x C = – -1/2 = 0,5, y C = – -1/2 = 0,5 e
A reta r tem equação dada por r: x + y – 2 = 0
A distância d C do centro à reta r:
40

Conclusão: como d c = R, reta e circunferência são tangentes.
10. Sejam as circunferências de equações
Determine:
Solução:
(C 1) x² + y² – 4 = 0 e
(C 2) x² + y² + 2x – 2y = 0.
a. A posição relativa de C 1 e C 2.
b. Os pontos de interseção de C 1 e C 2.
a) Quando a equação geral da circunferência é x² + y² + A.x + B.y +
C = 0 as coordenadas do centro são dadas por: x C = – A/2 , y C = –
B/-2
Assim, para a circunferência C 1 tem-se:
x C = – 0/2 = 0, y C = – 0/-2 = 0 e
e para a circunferência C 2 tem-se:
x C = – 2/2 = -1, y C = – -2/-2 = 1 e
Distância entre os centros das circunferências C 1 e C 2 é dada por:
Observe que é verdade a relação R 1 – R 2 < d < R 1 + R 2 para C 1 e C 2,
ou seja, são secantes.
b) Para se determinar os pontos de interseção das circunferências
C 1 e C 2, deve-se resolver o sistema a seguir:
41

A primeira equação pode ser reescrita como:
x² + y² = 4.
Substituindo na segunda equação do sistema, encontra-se:
4 + 2x – 2y = 0, ou ainda,
2y = 4 + 2x ou y = 2 + x.
Substituindo y = 2 + x na equação x² + y² = 4, tem-se que:
x² + (2 + x)² = 4.
x² + 4 + 4x + x² = 4
2x² + 4x = 0
x = 0 ou x = –2
Como y = 2 + x, para x = 0, y = 2 e para x = –2, y = 0.
Logo os pontos de interseção são A (0, 2) e B (–2, 0).
5.2 Elipse
Curiosidade
Vários ramos da engenharia valem-se das cônicas. Na engenharia
mecânica, por exemplo, é comum o uso de engrenagem elípticas.
A utilização dessas cônicas nas várias ciências vem acompanhando o
homem e sua evolução a séculos. Para ilustrar, pode-se citar o
monumento da Roma antiga – o Coliseu – cuja seção horizontal
apresenta a forma de uma elipse.
Outro exemplo histórico relaciona-se ao grande Arquimedes, que
teria incendiado parte da esquadra romana que atacou Siracusa. Ele
construíra espelhos que convergiam a luz solar sobre os navios,
incendiando-os.
A elipse é uma curva plana definida no R 2 , como o lugar geométrico
dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) deste
plano é constante.
Considere-se no plano dois pontos distintos, F 1 e F 2, cuja distância é
2c, ou seja: d(F 1, F 2) = 2c. A esta distância chama-se distância focal.
42

Figura: 39 - Elipse
O centro da elipse é o ponto médio do segmento F 1, F 2.
Os vértices da elipse são: A 1A 2 e B 1B 2.
O eixo maior é o segmento A 1A 2 cujo comprimento é 2a.
O eixo menor é o segmento B 1B 2 cujo comprimento é 2b.
Uma importante característica da elipse é a sua excentricidade, que
é definida pela relação:
Ɛ = c/a (0 < Ɛ < 1, sendo Ɛ a letra grega épsilon)
Figura: 40 - Elipse
Se Ɛ = 0, tem-se uma circunferência de diâmetro 2ª e os focos F 1,
F 2 coincidem com o centro da circunferência.
Se Ɛ = 1, tem-se um segmento retilíneo F 1F 2.
43

5.2.1 Equações
Equação da Elipse com centro na origem do sistema
a) Quando o eixo maior coincide com o eixo x.
Sejam: P = (x, y) um ponto genérico da elipse.
F1 = (-c, 0) e F2 = (c, 0)
Por definição temos: d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1
Figura: 41 - Equação da elipse com centro na origem do
sistema
b) Quanto o eixo maior coincide com o eixo y.
Na figura abaixo tem-se: F1 = (0, c) e F2 = (0, -c)
44

Figura: 42 - Equação da elipse com centro na origem do
sistema
De forma análoga demonstra-se que para um P(x, y) pertencente
à elipse tem-se a equação canônica:
ATENÇÃO:
X 2 /b 2 + y 2 /a 2 = 1
Na equação canônica a é a medida do semieixo maior e a 2
representa o maior dos denominadores. Se o número a 2 é
denominador de:
X 2 , então os focos estão sobre o eixo x;
Y 2 , então os focos estão sobre o eixo y.
Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema e cujos
eixos são paralelos aos eixos coordenados
a) Quando o eixo maior é paralelo a x.
Figura: 43 - Equação da elipse
45

) Quando o eixo maior é paralelo a y.
Figura: 44 - Equação da elipse
5.2.2 Exercícios Resolvidos
1. Se temos a equação x 2 /4 + y 2 /16 = 1, que representa uma
elipse podemos deduzir:
a 2 = 16, ou seja, seu eixo maior é 2a = 8 e coincide com o eixo y.
b2 = 4, ou seja, seu eixo menor é 2b = 4 e coincide com o eixo x.
Coordenadas dos focos:
c 2 = a 2 – b 2 = 16 – 4 = 12 →
c = 2√3. Então: F1 = (0, 2√3) e F2 = (0, -2√3)
Graficamente temos:
46

2. Dada a equação da elipse 16x2 + 9y2 = 144, pede-se:
a) A equação canônica;
Dividindo cada termo da equação dada por 144: 16x 2 /144
+ 9y 2 /144 = 144/144 →
x 2 /9 + y 2 /16 = 1
b) A excentricidade;
Da equação canônica: a 2 = 16 → a = 4 e b 2 = 9 → b = 3,
então se c 2 = a 2 - b 2 = 7 → c = √7
Se Ɛ = c/a → Ɛ = √7/4.
c) O gráfico, as coordenadas dos focos e dos vértices.
Como a 2 = 16 é o denominador de y, isto indica que o eixo maior
está sobre o eixo das ordenadas.
E temos a = 4, b = 3 e c = √7
47

As coordenadas dos focos:
F1 = (0, √7) e F2 = (0, -√7)
As coordenadas dos vértices:
A1 = (0, 4) e A2 = (0, -4)
B1 = (-3, 0) e B2 = (3, 0)
3. Dê as equações das elipses cujos gráficos estão representados
abaixo:
x 2 /16 + y 2 /25 = 1 x 2 /14 + y 2 /5 = 1
48

4. Determinar as equações das elipses representadas abaixo:
Da figura obtém-se: Origem = (3, -2), a = 2 e c = 1.
Calculando b: b 2 = a 2 – c 2 → b 2 = 4 – 1 → b = √3
Portanto a equação da elipse é da forma:
Levando os correspondentes valores na equação acima:
Observe que as coordenadas do foco são:
F1 = (2, -2) e F2 = (4, -2)
49

Da figura obtém-se: Origem = (4, 0), a = 5 e b = 1.
A elipse apresentada tem equação do tipo:
Substituindo os valores obtidos da figura na equação acima:
5. Dada a elipse abaixo, determine:
a) As medidas dos semieixos.
b) A equação reduzida da elipse.
c) A excentricidade da elipse.
50

Solução:
a) A partir da figura conclui-se que 2a = 10, portanto o
semieixo maior é igual a 5. Da mesma forma, é possível
observar que 2b = 6 e b = 3 (semieixo menor).
b) Note que a elipse é “alongada” na horizontal, assim sua
equação reduzida é:
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. Substituindo a e b, tem-se:
x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1 → x 2 /25 + y 2 /9 = 1
c) A excentricidade da elipse é dada pela relação e = c/a . Como
a² – b² = c², tem-se que 5² – 3² = c² → c = 4
Portanto, e = c/a = 4/5 = 0,8.
5.3 Parábola
Definição
A parábola é uma curva plana definida no R². É o lugar
geométrico dos pontos que são equidistantes de um ponto (foco)
e de uma reta (diretriz).
A parábola da figura a seguir mostra alguns dos seus pontos, que
são equidistantes do ponto F (foco da parábola) e da reta r
(diretriz da parábola).
51

Figura: 45 - Parábola
Elementos de definição da parábola
Numa parábola arbitrária, temos os seguintes elementos:
Foco: o ponto F;
Reta diretriz: d;
Eixo de simetria: reta perpendicular a diretriz que passa pelo
ponto F;
Vértice: o ponto V de interseção do eixo de simetria com a
parábola.
5.3.1 Equação da Parábola
Para obter a equação da parábola, define-se por d (A, B) a
distância entre os pontos A e B.
Sendo o ponto P’ a interseção da reta perpendicular à diretriz r,
baixada de um ponto P da parábola, conforme as definições, temse:
d(P, F) = d(P, P’).
52

Suponha que o eixo de simetria da parábola coincida com o eixo
das ordenadas (y) e o vértice com a origem dos eixos, assim, F
(0, P/2) e V (0, 0).
Figura: 46 - Equação da parábola
A equação acima é chamada equação reduzida da parábola e
constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na
origem, tendo como eixo o eixo das ordenadas.
53

Analogamente, a parábola com eixo de simetria coincidente com
o eixo das abscissas (x) e o vértice ainda coincidindo com a origem
dos eixos. Assim, F (P/2, 0) e V (0, 0),
Desta forma, neste caso a equação reduzida da parábola é: Y 2 =
2px, graficamente representado a seguir.
Figura: 47 - Equação da parábola
Translação de eixo (Eixo de simetria paralelo às ordenadas): (x –
xo) 2 = 2p(y – yo)
Figura: 48 - Equação da parábola
54

5.3.2 Exercícios Resolvidos
1. Determine o foco e a equação da diretriz da parábola y² = –4x.
Solução:
y² = – 4x
Sabendo que a equação é do tipo:
y² = +2px
Assim: 2p = –
4
p = –2
p/2 = –1
Portanto, F(–1, 0) e diretriz: x = 1
2. Determine a equação da parábola de vértice V (3, –2) e
diretriz y – 2 = 0.
Solução:
(x – xo) 2 = 2p(y – yo) → (x – 3) 2 = 2p(y + 2)
Diretriz: y – 2 = 0 ou seja y = 2
Se p/2 = 4 então P = 8
Logo, como a abertura é para baixo, temos que:
p = –8
x² – 6x + 9 = + 2(–8)(y + 2)
x² – 6x + 9 = –16y – 32
16y = –x² + 6x – 41
55

Figura: 49 - Solução
3. Dada a equação da parábola y = x² – 8x +15, determine o
vértice V, diretriz r e o foco F.
Solução
O vértice é o ponto de mínimo ou máximo da parábola, logo:
Xv = -b/2a = -(-8)/2.1 = 8/2 = 4
Yv = -∆/4a = - 4/4.1 = -4/4 = -1
Assim, V (4, –1). Como: (x – xo) 2 = 2p(y – yo) →
(x – 4) 2 = 2p(y – (–1)) → x 2 – 8x + 16 = 2py + 2p → 2py = x 2 – 8x +
16 – 2p
Assim:
Em todos os casos, p = 1/2 e – p/2 = 1/4
Logo a diretriz será: y = - 5/4 e F (3/4, 4)
56

5.4 Hipérbole
Definição
A hipérbole é uma curva plana definida no R². É definida como o
lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois
pontos fixos (focos) deste plano é constante.
Considere-se no plano dois pontos distintos, F1 e F2, cuja distância
é 2c, ou seja: d (F1, F2) = 2c.
A hipérbole será definida pelo conjunto dos pontos P (x, y) do
plano, tais que a diferença das distâncias desse ponto aos pontos
F1 e F2 seja fixa e igual a 2a, (2a < 2c), ou seja: d(P, F1) – d(P, F2) =
2a.
Figura: 50 - Hipérbole
Elementos de definição da hipérbole
Numa hipérbole arbitrária, temos os seguintes elementos:
Focos: os pontos F1 e F2;
Distância focal: distância 2c entre os focos;
Eixo real: segmento de reta A1A2 de comprimento 2a;
57

Eixo imaginário: segmento de reta B1B2 perpendicular ao eixo
real, cuja interseção com o eixo maior é o centro dos eixos no
ponto O (origem);
Vértices: pontos A1 e A2.
Excentricidade (Ɛ): é a razão entre c e a, Ɛ = c/a.
Hipérbole é uma curva simétrica em relação aos eixos real e
imaginário.
Com base na figura abaixo, pode-se perceber que, em toda
hipérbole, vale a seguinte relação entre as grandezas a, b e c. c² =
a² + b²
Figura: 51 - Hipérbole
Ao traçarmos duas retas, uma pelo centro O e pelo ponto (a, b) e
a outra pelo centro O e pelo ponto (-a, b), como apresentado na
figura a seguir, teremos duas retas que nunca se encontram com
a hipérbole, apesar de quanto mais se afastam do centro, mais se
aproximam da hipérbole. Essas retas são chamadas de assíntotas.
58

Figura: 52 - Assíntotas
As assíntotas são muito usadas para traçar os esboços dos
gráficos das hipérboles.
5.4.1 Equações
Equação da hipérbole com centro na origem do sistema
Eixo real sobre o eixo das abscissas (x). Para obter a equação da
hipérbole, define-se um ponto P (x, y) qualquer da hipérbole de
focos F1 e F2. Pela definição anterior tem-se que:
d (P, F1) – d (P, F2) = 2a
Suponha, inicialmente, que o eixo real da hipérbole coincida com
o eixo das abscissas (x) e o centro da hipérbole com a origem dos
eixos. Assim, F1 (–c, 0), F2 (c, 0) e O (0, 0), conforme a figura a
seguir:
59

Manipulando a equação anterior e utilizando a relação que c² = a²
+ b², obtém-se:
x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1
A equação acima é chamada equação reduzida da hipérbole e
constitui a forma padrão da equação da hipérbole de centro na
origem e que tem como eixo real o eixo das abscissas.
Analogamente, a hipérbole com eixo real coincidente com o eixo
das ordenadas (y) e o centro ainda coincidindo com a origem dos
eixos.
Assim, F1 (0, –c) e F2 (0, c) e O (0, 0).
Neste caso, a equação reduzida da elipse é:
x 2 /b 2 – y 2 /a 2 = 1
Equação da hipérbole com centro fora da origem do sistema
Consideremos uma hipérbole de centro C (h, k) e um ponto P (x,
y) qualquer da hipérbole.
60

Assim como já vimos no estudo da parábola sobre a translação do
eixo, o caso da hipérbole é análogo àquele anterior. Assim,
quando o eixo real for paralelo ao eixo das abscissas e o centro C
(h, k), a equação passa a ser:
No caso de o eixo real ser paralelo ao eixo das ordenadas (y), da
mesma forma a equação é:
5.4.2 Exercícios Resolvidos
1. A hipérbole da figura abaixo tem a equação reduzida: x 2 /9 –
y 2 /4 = 1.
Determine as coordenadas dos vértices, dos focos e as
equações das assíntotas.
Solução:
Para obter os vértices (A1 e A2), faz-se y = 0:
x 2 /9 - y 2 /4 = 1
x = ±3 (vértice)
A1 (0, –3) e A2 (0, 3)
Fazendo-se x = 0, obtém-se:
61

0/9 – y 2 /4 = 1 → y 2 = – 4
O resultado não pertence aos Reais. A hipérbole não corta o eixo
das ordenadas. Contudo o valor do b será igual a 2.
Como:
C² = a² + b² → C² = 3² + 2² → c = ± √13
Assim, os focos têm as seguintes coordenadas:
F1 = (– √13, 0) e F2 = (√13, 0)
As equações das assíntotas da hipérbole serão:
2. Determine a equação da hipérbole de focos F1 (2, 3), F2 (6, 3) e
um dos seus vértices é A1(3, 3).
Solução:
a = 1 e c = 2 → 2 2 = 1 2 + b 2 → b = √3
62

Referências bibliográficas
JULIANELLI, J. R. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de
Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
OLIVEIRA, U.; CASTAÑON, A. C.; RODRIGUES, J. Cálculo vetorial e
geometria analítica. Rio de Janeiro: Lexicon, 2015.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron,
2006.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento
vetorial. 3. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
CONDE, A. Geometria Analítica. Atlas; São Paulo, 2004.
FEITOSA, M. O. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica: Exercícios
Propostos e Resolvidos. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
REIS, G. L.; SILVA, V. V. Geometria analítica. 2. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2007.
ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Matemática Avançada para Engenharia
V. 2 – Álgebra Linear e Cálculo Vetorial. São Paulo: Bookman,
2009.
63

64

__________________________________________________________________________________________________________________________
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