Calculo Vetorial - Um resumo inteligente

farias2017

Formatamos este livro em um conteúdo resumido, mas, didaticamente apresentado, na busca de facilitar a compreensão do leitor, contudo longe de ser o recurso final do aprendizado desta disciplina, que é ao mesmo tempo bela e complexa.
Há de se tornar público que, face à nossa formação acadêmica e relacionamento profissional, o presente livro recebeu preponderante influência do livro Vetores e Geometria Analítica, do professor Paulo Winterle, o qual recomendamos a todos os alunos que aspiram a um aprofundamento e a um maior rigor no assunto.
Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar utilmente o nosso tempo. “A censura que nos for feita – se faz oportuno Souza Pinto – há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter consciência de nossa boa vontade em acertar”.

José Antônio Farias Coelho

C Á L C U L O

V E T O R I A

Um resumo inteligente

L

1ª Edição

Fortaleza – Ceará

2017


Copyright 2017. José Antônio Farias Coelho

Revisão Ortográfica

Marineide Meireles Nogueira

Normalização e Padronização

Luiza Helena de Jesus Barbosa

Capa

Janete Pereira do Amaral

Programação Visual e Diagramação

Janete Pereira do Amaral

Revisão de ABNT

Luiza Helena de Jesus Barbosa

Dados Internacionais de Catalogação na Fonte

C672c Coelho, José Antônio Farias

Cálculo vetorial: um resumo inteligente / José

Antônio Farias Coelho. Fortaleza: Centro Universitário

Estácio do Ceará, 2017.

92f.; 30cm.

ISBN: 978-85-69235-10-1

1. Cálculo Vetorial 2. Geometria analítica I. Coelho,

José Antônio Farias II. Centro Universitário Estácio do

Ceará

CDD 515.63

CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ

Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa e Extensão

Núcleo de Publicações Acadêmico-Científicas


CONSELHO EDITORIAL

Dra. Ana Cristina Pelosi Silva de Macedo – Universidade Federal

do Ceará

Ms. Ana Flávia Alcântara Rocha Chaves – Centro Universitário

Estácio do Ceará

Dra. Andrine Oliveira Nunes- Centro Universitário Estácio do

Ceará

Ms. Janete Pereira do Amaral - Centro Universitário Estácio do

Ceará

Ms. Joana Mary Soares Nobre - Centro Universitário Estácio do

Ceará

Dra. Kariane Gomes Cezario- Centro Universitário Estácio do

Ceará

Dra. Letícia Adriana Pires Ferreira dos Santos – Centro

Universitário Estácio do Ceará, Universidade Estadual do Ceará,

Universidade Federal do Ceará

Dra. Marcela Magalhães de Paula- Embaixada do Brasil na Itália

Dra. Maria Elias Soares – Universidade Federal do Ceará e

Universidade Estadual do Ceará

Ms. Maria da Graça de Oliveira Carlos – Centro Universitário

Estácio do Ceará

Dra. Margarete Fernandes de Sousa – Universidade Federal do

Ceará

Dra. Rosiléia Alves de Sousa – Centro Universitário Estácio do

Ceará

Dra. Suelene Silva Oliveira Nascimento - Universidade Estadual

do Ceará

Dr. Vasco Pinheiro Diógenes Bastos - Centro Universitário

Estácio do Ceará

____________________________________________________

Núcleo de Publicações Acadêmico-Científicas

Rua Vicente Linhares, 308 - Aldeota

CEP: 60.135-270 - Fortaleza – CE - Fone: (85) 3456-4100

www.publica-estaciofic.com.br


O AUTOR

José Antônio Farias Coelho

Graduado em Tecnologia da Construção Civil pela Universidade

Estadual Vale do Acaraú (1990), cursou MBA em Comércio

eletrônico na Universidade de Fortaleza (2004), Especialização em

Gestão de APL na Universidade de Fortaleza (2010), Mestrado

Acadêmico em Administração de Empresas na UECE (2013).

Atualmente cursa Especialização em Metodologia do Ensino da

Matemática na Estácio (2016).

Professor do Centro Universitário Estácio do Ceará em cursos de

graduação nas áreas de engenharia e arquitetura e pós-graduação.

Presidente da Comissão organizadora da Semana de Engenharia da

Unidade Centro do Centro Universitário Estácio do Ceará. Focal

responsável pelo projeto Game Center do Centro Universitário

Estácio do Ceará, membro da Comissão Própria de Avaliação –

CPA.


PREFÁCIO

Formatamos este livro em um conteúdo resumido, mas,

didaticamente apresentado, na busca de facilitar a compreensão

do leitor, contudo longe de ser o recurso final do aprendizado

desta disciplina, que é ao mesmo tempo bela e complexa.

Há de se tornar público que, face à nossa formação acadêmica

e relacionamento profissional, o presente livro recebeu

preponderante influência do livro Vetores e Geometria

Analítica, do professor Paulo Winterle, o qual recomendamos a

todos os alunos que aspiram a um aprofundamento e a um

maior rigor no assunto.

Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Restanos

o consolo de ter envidado esforços para empregar

utilmente o nosso tempo. “A censura que nos for feita – se faz

oportuno Souza Pinto – há de ser mitigada pelo censor se ele

chegar a ter consciência de nossa boa vontade em acertar”.


SUMÁRIO

1 VETORES ............................................................................. 3

1.1 Operações com vetores .............................................. 5

1.2 Ângulo entre vetores ................................................. 7

1.3 Exercícios Resolvidos ............................................... 17

2 PRODUTO DE VETORES ..................................................... 1

2.1 Produto Escalar ........................................................... 1

2.2 Ângulo entre dois vetores ........................................... 2

2.3 Produto Vetorial ......................................................... 2

2.4 Produto Misto ............................................................. 4

2.5 Exercícios Resolvidos .................................................. 6

3 RETAS ................................................................................. 9

3.1 Equação Paramétrica da Reta ................................... 10

3.2 Exercícios Resolvidos ................................................ 15

4 PLANOS E DISTÂNCIAS ..................................................... 19

4.1 Planos ........................................................................ 19

4.1.1 Introdução.......................................................... 19

4.1.2 Equação Geral do Plano ..................................... 19

4.1.3 Determinação de um plano .............................. 21

4.2 Distâncias ................................................................. 24

4.2.1 Distância entre dois pontos ............................... 24

1


4.2.2 Distância entre um Ponto a uma Reta ............... 24

4.2.3 Distância entre duas Retas Paralelas ................. 25

4.2.4 Distância de um Ponto a um Plano .................... 26

4.3 Exercícios Resolvidos ................................................ 27

5 CÔNICAS ........................................................................... 29

5.1 Circunferência .......................................................... 30

5.1.1 Equação geral da circunferência ........................ 31

5.1.2 Exercícios Resolvidos ......................................... 36

5.2 Elipse ........................................................................ 42

5.2.1 Equações ............................................................ 44

5.2.2 Exercícios Resolvidos ........................................ 46

5.3 Parábola ................................................................... 51

5.3.1 Equação da Parábola ......................................... 52

5.3.2 Exercícios Resolvidos ........................................ 55

5.4 Hipérbole ................................................................. 57

5.4.1 Equações ............................................................ 59

5.4.2 Exercícios Resolvidos ......................................... 61

Referências bibliográficas ................................................... 63

2


1 VETORES

O estudo de vetores é uma das mais importantes atividades

no estudo da engenharia. Por meio dele, podemos calcular esforços

presentes no sistema, possibilitando com isso antever problemas ou

mesmo simular situações que envolvam otimizações de recursos.

Para tal, faz-se necessário o estudo, desde o primeiro período,

de modo que o aluno possa evoluir em seus conhecimentos no

estudo da engenharia sem maiores dificuldades.

O estudo de vetores é de caráter multidisciplinar nas

engenharias e sua aplicação é voltada para os cálculos, as físicas, a

mecânica geral, a resistência dos materiais etc.

Embora saibamos que as ferramentas tecnológicas

disponibilizadas no mundo atual propiciam ao engenheiro grande

facilidade e rapidez em seus projetos, há que se ressaltar que sempre

será o homem que introduzirá os dados iniciais no programa.

Por mais perfeito que seja o software, ele sempre dependerá do

ser humano para que possa funcionar da melhor forma possível.

Definição

Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou

intensidade, direção e sentido.

O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da

reta suporte que o contém, e o sentido é para onde ele está

apontado.

Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo, a

direção horizontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para

a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido para cima e o

sentido para baixo.

A

B

Figura: 1 - Vetores

3


Na figura acima, o ponto A é a origem e o ponto B é

a extremidade.

Um vetor pode ser designado por uma letra, normalmente

minúscula, com uma seta na sua parte superior ou por duas letras,

normalmente indicativas da origem e extremidade, também com uma

seta na sua parte superior.

u

A

B

Figura: 2 - Vetores

Na figura acima podemos ver o vetor u ou AB.

Módulo de um vetor

O módulo de um vetor, que indica seu tamanho, é

representado pela mesma designação do vetor, porém sem a seta em

sua parte superior ou com a seta na parte superior e entre duas barras

verticais.

Tipos de vetores

Vetores iguais - Dois vetores são iguais se apresentam

mesmo módulo, mesma direção e sentido.

Vetores opostos - Dois vetores u e v são opostos se

apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários.

Neste caso, o vetor u também é representado por - u.

Vetor unitário - Um vetor é definido como unitário quando

apresenta módulo igual a um.

Versor - Um vetor de um determinado vetor u não nulo é

um vetor unitário de mesma direção e sentido do vetor u.

Vetores colineares – Dois vetores u e v são colineares se

apresentam a mesma direção. Para tal, podem estar sobre a mesma

reta suporte, ou em retas paralelas.

4


Vetores coplanares - No R², dois vetores são coplanares, ou

seja, estão no mesmo plano porque definem esse plano (desde que

esses vetores não sejam colineares), tendo em vista que são montados

sobre duas retas suporte, e duas retas não colineares sempre definem

um plano no R².

Três vetores podem ser coplanares ou não. Não serão

coplanares se a reta suporte de um dos vetores fizer um ângulo com

o plano definido pelos outros dois.

1.1 Operações com vetores

Adição de dois vetores com mesma origem

Quando somamos dois vetores com mesma origem, devemos

completar um paralelogramo com os vetores, traçando pela

extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor. O vetor soma

ou resultante é aquele que sai da origem comum até o encontro das

paralelas, no vértice oposto ao da origem. Tal método é conhecido

como método do paralelogramo.

Figura: 3 - Adição de dois vetores

O módulo do vetor soma pode ser calculado por:

S 2 = u 2 + v 2 + 2 . u . v . cosφ

Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos

dos vetores S, u e v respectivamente.

Adição de dois vetores com a extremidade de um vetor

coincidindo com a origem do outro

5


Quando somamos dois vetores com a extremidade de um

vetor coincidindo com a origem do outro vetor, basta que

completemos o triângulo tendo os dois vetores como dois lados do

triângulo. O vetor soma ou resultante é o que sai da origem do

primeiro vetor até a extremidade do segundo vetor. Tal método é

conhecido como método do triângulo (Figura 4).

Figura: 4 - Adição de dois vetores

O módulo do vetor soma pode ser calculado por:

S 2 = u 2 + v 2 – 2 . u . v . cosφ

Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos

dos vetores S, u e v respectivamente.

Adição de vários vetores

Quando desejamos somar vários vetores, devemos colocá-los

inicialmente com a extremidade de um vetor coincidindo com a

origem do outro vetor, formando um só vetor. O vetor soma ou

resultante é aquele que sai da origem do primeiro vetor até a

extremidade do último vetor. Tal método é conhecido como método

do polígono.

Diferença de vetores

Quando desejamos achar a diferença de dois vetores u e v,

devemos primeiro achar o oposto do vetor v, isto é, o vetor –v, para

poder somá-lo ao vetor u.

6


Figura: 5 - Diferença de vetores

Multiplicação de um vetor por escalar

Ao multiplicarmos um vetor u por um escalar k qualquer,

obteremos um novo vetor com mesma direção e módulo

multiplicado por esse escalar. O sentido do novo vetor dependerá do

sinal do escalar k, ou seja, se o sinal for positivo, o sentido

permanecerá o mesmo, se o sinal for negativo, haverá a inversão do

sentido.

Figura: 6 - Multiplicação de vetor

1.2 Ângulo entre vetores

Sejam dois vetores não nulos u e v. O ângulo φ que eles

fazem entre si é o ângulo que as semirretas suporte dos vetores, isto

é, as semirretas que contêm os vetores, fazem entre si. Para

verificarmos o ângulo, os vetores devem estar dispostos com suas

origens coincidentes; caso não estejam, devem ser colocados dessa

forma.

7


Figura: 7 - Ângulo entre vetores

OBSERVAÇÕES

1. Se o ângulo entre eles for 0°, os vetores u e v possuem a mesma

direção e sentido. Neste caso, são chamados de colineares e são

múltiplos entre si.

2. Se o ângulo entre eles for 90°, os vetores u e v são ditos

ortogonais. Neste caso, o módulo do vetor resultante pode ser obtido

pelo teorema de Pitágoras, onde: S² = u² + v²

3. Se o ângulo entre eles for 180°, os vetores u e v possuem a mesma

direção e sentidos contrários.

4. Se os vetores u e v forem ortogonais, o vetor u é ortogonal a

qualquer vetor colinear ao vetor v.

Vetor unitário

É o vetor de módulo um. Ele define uma direção porque

qualquer vetor de uma determinada direção pode ser obtido como

um múltiplo do vetor unitário daquela direção. Isto é, quando for

conhecido um vetor unitário de uma direção, qualquer vetor daquela

direção pode ser obtido – basta multiplicar este vetor pelo módulo

do vetor que se deseja obter.

Se λ é unitário e se os vetores u e v têm a mesma direção de λ,

com módulos u e v respectivamente, então:

u = u . λ e v = v . λ

Se u’ é módulo do vetor u e u’ = 3

Se o vetor u tem a mesma direção de λ

Com λ unitário, então u = 3 λ

8


Figura: 8 - Vetor unitário

Os vetores unitários das direções dos eixos cartesianos

têm sua representação definida por i, j e k, unitários dos eixos x, y e

z, respectivamente.

Figura: 9 - Vetores unitários - Eixos cartesianos

Decomposição de vetores

Decompor um vetor significa obter seus componentes em

outras direções, de tal sorte que se somarmos esses componentes

obteremos o vetor principal. Quando as direções são os eixos

cartesianos, teremos:

9


R 2

Figura: 10 - Decomposição de vetores

R 3

Figura: 11 - Decomposição de vetores

No R 2 os vetores u x e u y são os componentes do vetor u nas

direções dos eixos x e y respectivamente.

10


Figura: 12 - Decomposição de vetores

Cada componente do vetor u pode ser expressa através dos

unitários das direções dos eixos, portanto:

Sendo:

Logo:

No R3 os vetores u x , u y e u z são os componentes do vetor u

nas direções dos eixos x , y e z respectivamente.

11


Cada componente do vetor u pode ser expressa através dos

unitários das direções dos eixos, portanto:

Sendo:

Logo:

12


Representação de um vetor conhecidos seus pontos origem e

extremidade

Se forem conhecidos os pontos origem e extremidade de um

vetor, as coordenadas deste serão definidas pela diferença entre as

coordenadas dos pontos extremidade e origem, nesta ordem. Esta

forma é chamada de analítica.

é:

Sejam os pontos A (x a, y a, z a) B (x b, y b, z b), então o vetor AB

AB = B – A = (x b – x a, y b – y a, z b – z a)

Igualdade de vetores

Dois vetores u (ux, uy, uz) e v (vx, vy, vz) são iguais se, e

somente se:

Paralelismo de dois vetores

U x = V x, U y = V y e U z = V z

Dois vetores u (u x, u y, u z) e v (v x, v y, v z) são paralelos ou

colineares se existir um escalar k tal que u = k.v.

(u x, u y, u z) = k.(v x, v y, v z) ou (u x, u y, u z) = (kv x, kv y, kv z)

Módulo de um vetor

O módulo ou intensidade de um vetor é o seu tamanho. É

a parte escalar do vetor.

Figura: 14 - Módulo de um vetor

13


Na figura ao lado, vemos que o módulo do vetor u é a

hipotenusa de um triângulo retângulo que tem como catetos, os

módulos dos seus componentes ux e uy. Portanto, para sua

determinação, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Logo:

Por exemplo nos vetores do R 2 :

Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores.

Por exemplo nos vetores do R 3 :

Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores.

14


Vetor unitário de uma direção

Dados pontos determinantes de uma direção, podemos

estabelecer o unitário dela. A importância disso é que, a partir deste

unitário, qualquer vetor desta direção poderá ser determinado, desde

que se conheça seu módulo. Seja a direção mostrada na figura abaixo,

determinada por pontos A e B:

Figura: 15 - Vetor unitário

Desde que conheçamos as coordenadas dos pontos A e B,

podemos determinar o vetor AB = B – A = (x b – x a, y b – y a, z b – z a);

Seja λ o vetor unitário desta direção:

Figura: 16 - Vetor unitário AB

O vetor AB é um múltiplo do vetor unitário λ, já que eles

possuem a mesma direção e, como o vetor unitário tem módulo um,

o vetor AB é exatamente o produto do seu módulo pelo vetor

unitário. Assim:

15


Obtenção de um vetor dados o módulo e a direção

Em determinadas situações, temos o módulo de um vetor e

sua direção. Por exemplo, na engenharia, em certo sistema em

equilíbrio, através de um dinamômetro, definimos o módulo de uma

força, temos sua direção e precisamos determinar o vetor força que

apresenta aquele módulo, seja para levantar outras forças atuantes em

outras partes do sistema, seja para calcular o momento desta força

em relação a um ponto ou eixo etc.

Quando temos o módulo de um vetor u e sua direção,

podemos determinar um vetor daquela direção. Logo, podemos

definir o unitário daquela direção. Se, temos o unitário e conhecemos

o módulo do vetor u, basta multiplicarmos o módulo do vetor pelo

unitário daquela direção.

Figura: 17 - Obtenção de um vetor

16


1.3 Exercícios Resolvidos

1. Dados os vetores abaixo, de módulos u = 2 e v = 5, determine

geometricamente o vetor soma, bem como calcule seu módulo.

Figura:

Solução:

17


2. Dados os pontos A (1, 1, 2), B (–1, 0, 3) e C (2, –3, 2), determine

os vetores:

a) AB

b) AC

c) BC

Solução:

3. Dados os vetores abaixo, determine o vetor w.

u = 3i + 2j – k e v = (1, 0, -2)

a) 2(u + v) – 2w = 3(v – 2w) + u

b) 3w – 4(v – 2u) = 4(2w – v) + 3u

Solução:

4. Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n),

determinar os valores de m e n para que os vetores sejam iguais:

Solução:

2 = 2 + m

-1 = -1

4 = 3 + 2n

Das igualdades vê-se:

M = 0 e 2n = 1, logo n = 1/2

18


5. Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, 3, 3 + 2n),

determinar os valores de m e n para que os vetores sejam

paralelos:

Solução:

2/2 + m = -1/3 = 4/3 + 2n

Das proporções vê-se:

m = -8 e n = -15/2

6. Dados os vetores A(-1, 2, 0), B(2, 0, -2) e C(-2, 1, -1), determinar

os módulos dos vetores AB, AC e BC.

Solução:

Determinam-se primeiro os vetores:

Em seguida os módulos destes vetores:

7. Sejam os pontos A(-2, 1, 5), B(1, 0, 2) e C(1, -2, 3), determinar os

vetores unitários das direções dos vetores AB, AC e BC.

Solução:

19


8. Sejam os pontos A(2, -2, 0), B(-1,1, 0) e C(0, 0, 1), determinar os

vetores unitários das direções dos vetores AB, AC e BC.

Solução:

20


9. Sejam os pontos A(-1, 1, 3), B(1, -1,1) e C(1, 0, 2). Sejam u = 20,

v = 30 e w = 50, módulos dos vetores u, v e w, que se

encontram nas direções dos vetores AB, AC e BC

respectivamente determinar os vetores u, v e w.

Solução:

21


1


2 PRODUTO DE VETORES

2.1 Produto Escalar

Dados os vetores v 1 = (x 1, y 1) e v 2 = (x 2, y 2), define-se o

produto escalar entre os vetores v 1 e v 2, como o número real obtido

por:

Exemplo:

v 1 . v 2 = x 1 . x 2 + y 1 . Y 2

O produto escalar entre v1 = (3, 4) e v2 = (-2, 5) é:

v 1 . v 2 = 3 . (-2) + 4 . 5 = - 6 + 20 = 14

Lembre-se: o resultado de um produto escalar entre dois vetores será

um escalar (número real).

Módulo de um vetor

O módulo de um vetor v = (x,y), representado por IvI é um

número real não negativo, dado por:

Exemplo:

Seja v = (4, -3), então:

IvI = √v.v = √x.x + y.y = √x 2 + y 2

IvI = √4 2 + (-3) 2 = √16 + 9 = √25 = 5

Propriedades do Produto Escalar

Quaisquer que sejam os vetores, v, u e w, e o escalar k:

a) v . v ≥ 0

b) v . u = u . v (Comutativa)

c) u .(v + w) = u . v + u . w (distributiva)

d) (ku). v = k .(u . v)

1


2.2 Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v, também, pode ser

escrito da seguinte forma:

u.v = IuI . IvI . cosᴓ

Figura: 18 - Ângulo entre dois vetores

Obs.: A expressão é obtida por meio da aplicação da lei dos cossenos

no triangulo ABC da figura acima.

Se:

Onde ᴓ é a medida do ângulo formado entre os vetores u e v.

a) u . v > 0, indica que o cosᴓ > 0, o que ocorre quando é

ângulo agudo.

b) u . v < 0, então o ângulo ᴓ será obtuso.

c) u . v = 0, teremos um ângulo reto.

Por meio desta última definição de produto escalar, podemos

obter o ângulo ᴓ entre dois vetores genéricos u e v, como:

2.3 Produto Vetorial

Dados os vetores u = (x u, y u, z u) e v = (x v, y v, z v), tomados

nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores u e v,

representado por u x v, ao vetor calculado como o determinante da

matriz a seguir.

2


Lembre-se: o resultado do produto vetorial entre 2 vetores é um

terceiro vetor.

Exemplo:

Se trocarmos a ordem dos vetores, temos:

Propriedades:

Considere os vetores u, v e w:

I. Se u é um vetor qualquer, u x u = 0

II. u x v = - v x u

3


III.

u x (v + w) = u x v + u x w

IV. u x v é ortogonal simultaneamente os vetores u e v.

V. a ordem dos vetores modifica o sentido do vetor

gerado pela operação, que obedece à regra da mão

direita.

Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial

O módulo do produto vetorial, Iu x vI, pode ser interpretado

como a área do paralelogramo definido pelos vetores v e u.

Figura: 19 - Interpretação geométrica do módulo do

produto vetorial

2.4 Produto Misto

Dados os vetores u = (x u, y u, z u), v = (x v, y v, z v) e w = (x w, y w,

z w), tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores u, v e

w, representado por u.(v x w), ao vetor calculado como o

determinante da matriz abaixo.

Propriedades

Quaisquer que sejam os vetores u, v, w e r, e o escalar k:

4


I. u.(v x w) = 0, se um dos vetores é nulo, se dois vetores são

II.

colineares (paralelos), ou se os três são coplanares (estão no

mesmo plano).

O produto misto independe da ordem circular dos vetores,

isto é:

III. u.(v x w) = v.(w x u) = w.(u x v)

IV.

u.(v x (w + r)) = u.(v x w) + u.(v x r) e u.(v x kw) = u.(mv x

w) + mu.(v x w)

Interpretação geométrica do módulo do produto misto

O produto misto, u.(v x w) é igual em módulo ao volume do

paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores v, u e w.

Figura: 19 - Interpretação geométrica do módulo do

produto misto

Resumo Estratégico

Ângulo entre vetores: produto escalar

Caso particular: vetores perpendiculares, produto escalar nulo (cos 90

= 0)

Cálculo de áreas e vetor normal: produto vetorial

Caso particular: vetores paralelos, produto vetorial nulo (área = 0)

Cálculo de volumes: produto misto

Caso particular: 3 vetores coplanares, produto misto nulo

(volume=0)

5


2.5 Exercícios Resolvidos

1. Dados os vetores u = (1, 2, -1), v = (1, 0, -3) e w = (0, -2, -3),

determine os produtos escalares pedidos:

a) u . v b) u . w c) v . w

Solução

a) u.v = 1.1 + 2.0 + (-1).(-3) = 1 + 0 + 3 = 4

b) u.w = 1.0 + 2.(-2) + (-1).(-3) = 0 - 4 + 3 = -1

c) v.w = 1.0 +0.(-2) + (-3).(-3) = 0 + 0 + 9 = 9

2. Dados os vetores u = (-1, 1, -1), v = (1, 2, -3) e w = (0, 2, -2),

determine os ângulos entre:

a) u e v b) u e w c) v e w

Solução

a) u . v = ((-1).1 + 1.2 + (-1).(-3)) = 4

IuI = √(-1) 2 + 1 2 + (-1) 2 = √3

IvI = √1 2 + 2 2 + (-3) 2 = √14

cosᴓ = u . v/IuI. IvI = 4/√3.√14 = 2√42/21

b) u . w = ((-1).0 + 1.2 + (-1).(-2)) = 4

IuI = √(-1) 2 + 1 2 + (-1) 2 = √3

IwI = √0 2 + 2 2 + (-2) 2 = √8

cosᴓ = u . w/IuI. IwI = 4/√3.√8 = √24/6

c) v . w = ((1).0 + 2.2 + (-3).(-2)) = 10

IvI = √(1) 2 + 2 2 + (-3) 2 = √14

6


IwI = √0 2 + 2 2 + (-2) 2 = √8

cosᴓ = v . w/IvI. IwI = 10/√14.√8 = 5√7/14

3. Dados os vetores v = (1, 0, 3) e u = (-1, 2, 1), calcular:

a) 2u x (u – v)

b) (u – v) x (u + 3v)

Solução

a) 2u = (-2, 4, 2)

u – v = (-2, 2, -2)

b) u - v = (-2, 2, -2)

u + 3v = (2, 2, 10)

4. Dados os vetores u = (–1, 2, 0) e v = (1, 1, –1), calcular a área

do paralelogramo determinado pelos vetores 2u e v + u.

Solução:

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial dos vetores

indicados.

7


2u = (-2, 4, 0)

v + u = (0, 3, -1)

5. Calcular o produto misto dos vetores u = (1, 0, –2), v = (2, –1,

3) e w = (0, 1, –1).

Solução

8


3 RETAS

A reta é um objeto geométrico infinito em uma única

dimensão, que pode ser definida da seguinte forma:

• Dando dois pontos da reta;

• Dando um ponto da reta e dois vetores normais a esta

reta, não colineares;

• Dando um ponto e um vetor paralelo à reta.

Seja a reta que passa pelo ponto A (x a, y a, z a) e com direção do

vetor não nulo v = (a, b, c). Um único ponto qualquer P (x, y, z)

pertencerá à reta r, se, e somente se, os vetores AP e v forem

colineares (paralelos), ou seja:

AP + tv, onde t є R.

P – A = Tv

P = tv + A

Exemplo:

(x, y, z) = t . (a, b, c) + (x a, y a, z a)

Equação vetorial da reta

A reta r que passa pelo ponto A (-1, 2, 3) e tem a direção do vetor v

= (2, -2, 1), qual a sua equação vetorial.

(x, y, z) = t . (a, b, c) + (x a, y a, z a)

(x, y, z) = t . (2,-2, 1) + (-1, 2, 3)

Atribuindo-se valores reais para o parâmetro t, se obtém pontos da

reta r.

t = 0:

t = 1:

t = 2:

t = ½:

P = (-1, 2, 3) є R

P = (1, 0, 4) є R

P = (3, -2, 5) є R

P = (-2, 3, 5/2) є R

9


3.1 Equação Paramétrica da Reta

Com base na equação vetorial da reta, pode-se obter um

sistema de equações que representa todos os pontos (x, y, z) em

função da variação do parâmetro t de –oo a +oo.

Este sistema de equações é chamado de Equações

Paramétricas da Reta.

P = tv + A → (x, y, z) = t . (a, b, c) + (x a, y a, z a)

x = t . a + x a

y = t . b + y a

z = t . c + z a

Reta definida por dois pontos

Sejam os dois pontos A (x a, y a, z a) B (x b, y b, z b) que pertencem

à reta r. A direção de r é a mesma do vetor AB.

AB = B – A = (x b, y b, z b) – (x a, y a, z a) = (x b – x a, y b – y a, z b – z a)

Sendo assim, para se equacionar a reta basta utilizar um dos

dois pontos A ou B e o vetor v = AB

Exemplo:

Qual a direção da reta r que passa pelos pontos A (-1, 2, 3) e B (2, 3,

4). A reta terá a direção do vetor v = AB:

AB = B – A = (3, 1, 1)

Considerando que a reta passa pelo ponto A, assim, as suas equações,

vetorial e paramétricas são:

Vetorial: (x, y, z) = t . (3,1, 1) + (-1, 2, 3)

Paramétricas: x = t . 3 - 1

y = t . 1 + 2

z = t . 1 + 3

10


Já se considerarmos a reta passando pelo ponto B, assim, as suas

equações, vetorial e paramétricas são:

Vetorial: (x, y, z) = t . (3,1, 1) + (2, 3, 3)

Paramétricas: x = t . 3 + 2

y = t . 1 + 3

z = t . 1 + 4

ATENÇÃO!!!

Embora os sistemas de equações sejam diferentes, eles

permitem encontrar todos os pontos da mesma reta, fazendo variar t

de –oo a +oo, por exemplo, para t = 1, obtém ponto P 1 (2, 3, 4) no

primeiro sistema e o ponto P 2 (5, 4, 5) no segundo sistema de

equações, e ambos são pontos da mesma reta. Uma vez que, o ponto

P 1 (2, 3, 4) pode ser obtido, no segundo sistema, fazendo t = 0 e o

ponto P 2 (5, 4, 5), no primeiro sistema fazendo-se t = 2.

Equação Simétrica da Reta

Considerando que a reta r passa pelo ponto A (x a, y a, z a) e tem

direção do vetor não nulo v = (a, b, c). Da mesma forma, o ponto P

(x, y, z) pertencerá à reta r se for solução da equação paramétrica da

reta, supondo que a, b, c são diferentes de zero, conforme abaixo:

Condição para que três pontos estejam em linha reta

A condição para que três pontos A (x a, y a, z a), B (x b, y b, z b) e

C (x c, y c, z c) estejam em linha reta, ou seja na mesma reta r, é que os

vetores AB e BC sejam colineares (paralelos), isto é:

AB = mBC, para qualquer m є R

Lembre-se: a forma de verificação mais simples é utilizando matriz,

onde se o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos

pontos for nulo, estes pontos estarão numa mesma reta.

11


x a y a z a

x b y b z b = 0

x c y c z c

Fundamentado nas equações simétricas da reta, pode-se obter

outra forma de expressar a reta r, isolando uma das variáveis y e z e

expressando-as em função de x.

a) Colocando a coordenada y em função da coordenada x:

Fazendo:

b) Colocando a coordenada z em função da coordenada x:

12


Fazendo:

Formas de representação da reta no R 3

Para todas as representações de uma reta genérica, como

ficam os casos particulares em que as retas são paralelas aos eixos

coordenados.

Significa que:

O que significa uma reta paralela ao eixo x?

• y e z possuem valores constantes (c y e c z)

• A reta é paralela a i⃗ = (1, 0, 0)

• Todos os pontos da reta serão do tipo (x, c y, c z)

x = t

{ y = c y

z = c z

Figura: 21 - Formas de representação da reta no r3

13


O que significa uma reta paralela ao eixo y?

Significa que:

• x e z possuem valores constantes (c y e c z)

• a reta é paralela a j⃗ = (0, 1, 0)

• todos os pontos da reta serão do tipo (c x, y, c z)

{

x = c x

y = t

z = c z

Figura: 22 - Formas de representação da reta no r3

O que significa uma reta paralela ao eixo z?

Significa que:

• x e y possuem valores constantes (c x e c y)

• a reta é paralela a k⃗⃗ = (0, 0, 1)

• todos os pontos da reta serão do tipo (c x, c z, z)

14


{

x = c x

y = c y

z = t

Figura: 20 - Formas de representação da reta no r3

3.2 Exercícios Resolvidos

1. Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2).

Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo

ABC relativa ao lado BC.

Solução:

Para facilitar o raciocínio, vamos imaginar um triângulo ABC e a

mediana relativa ao lado BC, criando o ponto M.

Como o objetivo do exercício é montar a eq. Da reta que passa por A

e M, podemos começar descobrindo as coordenadas de M.

Como a mediana divide o lado BC ao meio, M é o ponto médio entre

B e C, ou seja,

M = ((2,-1,-6) + (-4, 5, 2))/2 = (-2, 4, -4)/2 = (-1, 2, -2)

Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-

1,2,-2)

15


Equação Vetorial

Precisamos de um ponto da reta e de um vetor.

O ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) o vetor

pode ser AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ou MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Escolhido AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

P = A + t v

AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = M-A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0)

(x, y, z) = (1, 0, -2) + t (-2, 2, 0)

Equações Paramétricas

x = 1 - 2t

y = 2t

z = -2

Equações Reduzidas em “x”

m = 2/-2 = -1

n = (2/-2) . 1 + 0 = -1

y = -x – 1

P = 0/-2 = 0

q = (0/-2) . 1 -2 = -2

z = -2

1. Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela

à reta que passa pelos pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a

interseção das retas r 1 e r 2 fornecidas a seguir.

r 1 : x − 5

3

= y + 1

2

x = 6 + 3t

r 2 { y = 1 − 2t

z = t

16

= −z + 1

1

DICA: Para especificarmos a reta r 3, precisaremos de um ponto da reta e

de um vetor que estabelece a sua direção.


Analisando o problema, o ponto de r 3 será a interseção de r 1 com r 2 e o

vetor será obtido pelos pontos A e B, já que r 3 é paralela à reta que passa

por A e B.

Solução:

Substituindo r 2 em r 1:

(6 + 3t) − 5

3

(3t + 1)

3

=

=

(1 − 2t) + 1

2

(2 − 2t)

2

= −t + 1

1

= −t + 1

1

OBS.: Se existir um valor de t que atenda, encontramos o ponto de

interseção. Do contrário as retas são paralelas e não existe interseção.

Vamos analisar a 1ª igualdade:

3t+1

3

= 2-2t

2

→ 6t+2 = 6 – 6t → 12t = 4 → t = 1/3

Vamos verificar o ponto de interseção aplicando t=1/3 em r 2:

x = 6 + 3/3 → x = 7

y = 1 - 2/3 → y = 1/3

z = 1/3

17


18


4 PLANOS E DISTÂNCIAS

4.1 Planos

4.1.1 Introdução

O Plano é um objeto geométrico de duas dimensões formado

por infinitas retas e infinitos pontos, que pode ser definido da

seguinte forma:

• Com três pontos não alinhados;

• Com uma reta e um ponto não pertencente à reta;

• Com duas retas paralelas (não coincidentes);

• Com duas retas concorrentes.

4.1.2 Equação Geral do Plano

Seja o ponto A pertencente a um plano π e o vetor não nulo

n = (a, b, c) normal (perpendicular) ao plano. O plano π pode ser

definido como sendo o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do

espaço tais que o vetor AP é ortogonal (perpendicular) a n,

conforme a figura abaixo:

Figura 24 - Equação geral do plano

19


Ou seja, o ponto P (x, y, z) pertencerá ao plano π, se, e somente se,

os vetores atenderem à seguinte expressão AP . N = 0, produto

escalar igual a zero (condição de vetores ortogonais)

AP . n = 0, como:

n = (a, b, c)

AP = P – A = (x – x a, y – y a, z – z a)

AP . n = (a, b, c) . (x – x a, y – y a, z – z a) = 0

AP . n = a(x – x a) + b(y – y a) + c(z – z a) = 0

ax – ax a + by – by a + cz – cz a = 0

ax + by + cz – (ax a + by a + cz a) = 0

Como n = (a, b, c) e A (x a, y a, z a) são conhecidos (dados), pode-se

escrever:

– (ax a + by a + cz a) = d, onde d também será conhecido.

Assim a Equação Geral do plano π é:

Observações:

ax + by + cz + d = 0

• Os coeficientes a, b, c da equação geral do plano ax + by +

cz + d = 0, representam as componentes de um vetor

normal ao plano, ou seja, se dois planos tem todos os três

coeficientes (a, b, c) iguais, significa que os planos são

paralelos;

• O plano π é definido, basicamente, por um vetor normal (a,

b, c) e um ponto A (x a, y a, z a) pertencente ao plano;

• O vetor n = (a, b, c) normal ao plano, também será normal

a todos os vetores representados neste plano.

20


4.1.3 Determinação de um plano

Existem outras formas de caracterizar um plano, contudo, de

uma forma geral, todas conduzem a encontrar o vetor normal n = (a,

b, c) e um ponto A (x a, y a, z a) pertencente ao plano.

1. Passa por um ponto A (x a, y a, z a), e é paralelo a dois vetores

v e u não colineares.

Neste caso: n = u x v.

Figura: 25 - Determinação de um plano

2. Passa por dois pontos A (x a, y a, z a) e B (x b, y b, z b) e é

paralelo a um vetor v não colinear ao vetor AB.

Neste caso: n = v x AB.

3. Passa por três pontos A (x a, y a, z a), B (x b, y b, z b) e C (x c, y c,

z c) não colineares.

Neste caso: n = AB x AC.

4. Contém duas retas r 1 e r 2 concorrentes.

Neste caso: n = v 1 x v 2.

Onde v 1 e v 2 são vetores diretores (mesma direção) de r 1 e r 2

5. Contém duas retas r1 e r2 paralelas.

Neste caso: n = v 1 x AB.

Onde v 1 é o vetor diretor (mesma direção) de r 1 (ou r 2) e A

є r 1 e B є r 2

6. Contém uma reta r e um ponto A (xa, ya, za), não

pertencente a r.

Neste caso: n = v x AB.

Onde v é o vetor diretor (mesma direção) de r e B є r.

21


Ângulo de dois planos

O ângulo de dois planos π 1 e π 2 é o menor ângulo que o vetor

normal de π 1 (n 1) forma com o vetor normal de π 2 (n 2). Sendo θ este

ângulo:

Ângulo de uma Reta com um Plano

Seja a reta r com a direção do vetor v e um plano π, sendo n

um vetor normal a π, conforme a figura abaixo:

Figura: 26 - Ângulo de uma reta com um plano

O ângulo θ da reta r com o plano π é o complemento do

ângulo Ф (θ + Ф = π/2) que a reta forma com o vetor normal n ao

plano. Como θ + Ф = π/2, logo sen(θ) = cos(Ф).

Interseção de dois Planos

A interseção de dois planos não paralelos é uma reta r, cuja

equação é a solução de um sistema em que as duas equações são

equações dos planos.

Exemplo:

Sejam os planos π 1 e π 2 cujas equações são respectivamente:

π 1: x – 2y + z + 4 = 0, e

22


π 2: x + 3y – 2z – 1 = 0

x – 2y + z + 4 = 0 (x2 para eliminar a coordenada z)

x + 3y – 2z – 1 = 0

3x – y + 7 = 0 (após a soma)

Repete-se o processo:

x – 2y + z + 4 = 0 (x3 para eliminar a coordenada y)

x + 3y – 2z – 1 = 0 (x2 simultaneamente)

5x – z + 10 = 0

Logo a equação reduzida da reta r (interseção dos planos π 1 e π 2)

y = 3x + 7

z = 5x + 10

Interseção de Reta com Plano

A interseção de reta com plano (não paralelos) é um ponto,

cujas coordenadas são obtidas pela solução de um sistema em que as

equações são as equações da reta e do plano.

Exemplo:

Sejam o plano π e a reta r, cujas equações são respectivamente: π: 2x

– 3y + z + 5 = 0

r: y = –x + 8 (substitui-se na equação do plano π)

z = 2x + 5 (substitui-se na equação do plano π)

Teremos então:

2x – 3.( –x + 8) + (2x + 5) + 5 = 0

2x + 3x – 24 + 2x + 5 + 5 = 0

7x – 14 = 0 → x = 2

23


Substituindo a coordenada x nas equações da reta temos como

solução o ponto: (2, 6, 9).

4.2 Distâncias

Existem duas possibilidades para a relação entre as diferentes

entidades geométricas estudadas até agora (ponto, reta e plano), uma

quando há interseção entre elas, identificada pelo ponto comum,

obtido normalmente, pela solução do sistema composto pelas

equações das entidades geométricas. Outra possibilidade é o cálculo

da distância entre as entidades que não possuem ponto comum entre

elas.

4.2.1 Distância entre dois pontos

Como visto no capítulo referente a vetores, a distância entre

dois pontos A (x a, y a, z a) e B (x b, y b, z b) é o módulo do vetor AB.

Portanto:

d(A, B)=módulo de AB = √(x b – x a) 2 + (y b – y a) 2 + (z b – z a) 2

4.2.2 Distância entre um Ponto a uma Reta

A distância entre um ponto P (x p, y p) e uma reta s é calculada

unindo o próprio ponto à reta através de um segmento de

comprimento d, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º),

conforme a figura abaixo:

Figura: 21 - Distância entre um ponto a uma reta

24


Com base na equação da reta r: ax + by + c = 0 e nas coordenadas

do ponto P (x p, y p), a distância entre eles d(P, s) é dada por:

No R 3 , a distância da reta definida pelo ponto Q (x Q, y Q, z Q) e o

vetor diretor v = (a, b, c) e o ponto P (x p, y p, z p) qualquer do espaço.

Os vetores v e PQ determinaram um paralelogramo cuja altura

corresponde a distância d de P a reta s.

Designando-se por A a área do referido paralelogramo, temos:

A = I v I . d

A área também pode ser obtida pelo produto vetorial entre os

vetores v e PQ, ou seja:

A = I v x PQ I

Então:

4.2.3 Distância entre duas Retas Paralelas

A distância entre duas retas r e s concorrentes é nula, tendo

em vista possuírem um ponto em comum. A distância d entre duas

retas r e s paralelas é a distância de um ponto qualquer P (x p, y p, z p)

pertencente a uma das retas até a outra reta.

d(r, s) = d(p, s), P Є r, e d(r, s) = d(P, r), P Є s

Sendo assim, a distância entre duas retas paralelas se reduz ao

cálculo da distância de um ponto a uma reta, onde o ponto pertence

a outra reta.

25


Figura: 28 - Distância entre duas retas paralelas

4.2.4 Distância de um Ponto a um Plano

Sejam um ponto P (x p, y p, z p) e um plano π: ax + by + cz + d

= 0. Seja A (x a, y a, z a) o pé da perpendicular conduzida por P sobre o

plano π e Q (x Q, y Q, z Q) um ponto qualquer do plano, conforme a

figura abaixo:

Figura: 29 - Distância de um ponto a um plano

O vetor n = (a, b, c) é normal ao plano π e,

consequentemente, o vetor AP tem a mesma direção de n. A

distância d do ponto P ao plano π é:

Observando que o vetor AP é a projeção do vetor QP sobre a

direção de n, sendo assim:


Como QP = (x P – x Q, y P – y Q, z P – z Q)

26


se:

Após, substituição dos valores e manipulação algébrica, têm-

4.3 Exercícios Resolvidos

1. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A (1, 2,

-1) e é paralelo aos vetores v1 = (0, 1, 2) e V2 = (-1, 0, 1).

Solução:

Logo a equação geral do plano é do tipo: ax + by + cz + d = 0, onde

os coeficientes a, b, c são coordenadas do vetor normal ao plano,

assim: a = 1, b = -2, c = 1, substituindo na equação fica: x – 2y + z +

d = 0.

Como o ponto A (1, 2, -1) pertence ao plano, logo ele satisfaz a

equação acima. Assim substituindo temos:

1 – 2 . 2 + (-1) + d = 0 que resulta em d = 4, então a equação geral

do plano é:

x – 2y + z + 4 = 0

2. Calcule a distância do ponto P (2, 0, 5) à reta de equação (x, y, z)

= t . (3, 1, 1) + (1, 2, 3).

27


28


5 CÔNICAS

As curvas ditas cônicas são as:

• Circunferências

• Elipses

• Parábolas

• Hipérboles

Por que o nome CÔNICAS?

Porque são definidas a partir da interseção de um plano com um

cone.

Figura: 30 - Cônicas

Curiosidade

O estudo matemático das cônicas tem proporcionado à

humanidade uma grande variedade de aplicações em nosso dia a dia e

em diversas áreas da engenharia.

A propriedade de reflexão em superfícies parabólicas que

afirma que raios que passam pelo foco refletem paralelamente ao eixo

é amplamente explorada. O farol de carro possui uma lâmpada que é

colocada no foco da superfície espelhada parabólica.

29


As antenas parabólicas são amplamente utilizadas na

comunicação, seja para a transmissão via satélite, telefonia móvel ou

GPS (Global Positioning System).

Nessas duas aplicações, é possível relacionar a incidência de

rais paralelos sobre a superfície parabólica com os rais refletidos que

passam pelo ponto focal.

5.1 Circunferência

Definição

Considere o plano cartesiano xy e um ponto fixo conhecido C

(xC, yC) deste plano, denominado centro.

O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano

equidistantes de C é denominado circunferência.

Figura: 31 - Circunferência

A distância comum dos pontos (x, y) ao centro C,

denominada R da circunferência, pode ser calculada por:

R = √(x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

(Equação reduzida da circunferência)

30


É baseada no fato da distância do centro a qualquer ponto da

circunferência ser constante igual ao raio.

Caso particular: circunferência na origem

R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

R 2 = x 2 + y 2

5.1.1 Equação geral da circunferência

É obtida a partir da equação reduzida.

Basta desenvolver algebricamente os termos elevados ao

quadrado e organizar a equação agrupando os termos conhecidos.

No item anterior, estudou-se a circunferência de centro C (x C,

y C) e raio R a partir de sua equação reduzida, ou seja: (x – x C)² + (y

– y C)² = R²

Desenvolvendo os quadrados do primeiro membro da

equação, tem-se:

Supondo:

• A = –2.x C

• B = –2.y C

• C = x C² + y C² – R²

x² – 2x C.x + x C² + y² + 2y C.y + y C² = R²

x² + y² – 2x C.x – 2y C.y + x C² + y C² – R² = 0

A equação geral poderá ser escrita como:

x 2 +y 2 + Ax + By + C = 0

Dessa forma, as coordenadas (x C, y C) do centro são dadas por:

x c = − A 2 ou A = −2x c

y c = − B 2 ou B = −2y c

E o raio R por:

R = √x c2 + y c2 − C ou C = x c 2 + y c 2 − R 2

31


O ponto P é interior, exterior ou pertence à circunferência?

Um ponto P pode pertencer ou não à circunferência. E neste

último caso, pode ser interior ou exterior. Suponha o ponto P (x P, y P)

e a equação geral da circunferência x² + y² + A.x + B.y + C = 0.

Ao substituir as coordenadas de P na expressão x² + y² + A.x

+ b.y + C, três são as possibilidades:

• Valor nulo → P pertence à circunferência

• Valor positivo → P é exterior à circunferência

• Valor negativo → P é interior à circunferência

Posição relativa entre a reta e a circunferência

A ideia é comparar a distância entre a reta e o centro do

círculo com o raio da circunferência.

Considere uma reta r no R² e uma circunferência de centro C

(x C, y C) e raio R.

Existem três posições relativas entre r e a circunferência:

• Exterior → nenhum ponto em comum.

• Interior/Secante → dois pontos em comum.

• Tangente → um ponto em comum.

Tangente

(distância = raio)

Secante

(distância < raio)

Exterior

(distância > raio)

Figura: 32 - Posição relativa entre a reta e a circunferência

Suponha que as equações da reta r e da circunferência C

sejam conhecidas.

32


Existem duas maneiras para se determinar a posição relativa de r e C.

a) Um sistema entre as equações de r e C é resolvido. Uma

equação do segundo grau será originada e a partir do

discriminante D tem-se a posição relativa. Para valores

positivos de D (duas raízes reais distintas), existem dois

pontos em comum, ou seja, a reta e a circunferência são

secantes. No caso de D nulo (duas raízes reais iguais), há

apenas um ponto em comum de r e C, isto é, são tangentes.

Como última possibilidade para D, tem-se o valor negativo

(não existem raízes reais). Nesse caso, a reta e a

circunferência são exteriores.

b) Pode-se avaliar a distância d do centro da circunferência C à

reta r. Quando d for menor que o raio R da circunferência, r

e C são secantes. Se d = R, a reta e a circunferência são

tangentes, e, por último, se d maior que R, a reta é exterior à

circunferência.

Figura: 33 - Posição relativa entre a reta e a circunferência

Atenção:

Considere a reta r: ax + by + c = 0 e o ponto P (xP, yP). A

distância dP do ponto P à reta r é dada por:

d P = Ia . x P + b . y P + cI

√a2 + b2

Posição relativa de duas circunferências

A ideia é comparar a distância entre os centros das duas

circunferências com a soma dos seus raios.

33


Considere duas circunferências C 1 e C 2 de raios R 1 e R 2. As posições

relativas dessas circunferências são:

Exteriores – nesse caso, não há interseção entre as duas

circunferências, ou seja, o sistema formado pelas duas equações não

tem solução. A distância d entre os centros é maior que a soma dos

raios R 1 e R 2.

Figura: 34 - Posição relativa de duas circunferências

Tangentes externas – nesse caso, a interseção entre as duas

circunferências é dada por um ponto, ou seja, o sistema formado

pelas duas equações tem solução única e a distância d entre os

centros é igual à soma dos raios R 1 e R 2.

Figura: 35 - Posição relativa de duas circunferências

Secantes – nesse caso, a interseção entre as duas circunferências é

dada por dois pontos, ou seja, o sistema formado pelas duas

equações tem duas soluções distintas e a distância d entre os centros

é maior que o módulo da diferença entre os raios e menor que a

soma dos raios R 1 e R 2.

34


Figura: 36 - Posição relativa de duas circunferências

Tangentes interiores – nesse caso, a interseção entre as duas

circunferências é dada por um ponto, ou seja, o sistema formado

pelas duas equações tem solução única e a distância d entre os

centros é igual ao módulo da diferença dos raios R 1 e R 2.

Figura: 37 - Posição relativa de duas circunferências

Interiores – nesse caso, não há interseção entre as duas

circunferências, ou seja, o sistema formado pelas duas equações não

tem solução e a distância d entre os centros é menor que o módulo

da diferença entre os raios R 1 e R 2.

Figura: 38 - Posição relativa de duas circunferências

35


5.1.2 Exercícios Resolvidos

1. Determinar a equação reduzida da circunferência de raio 5 e

centro com coordenadas (1, –3).

Solução:

A equação reduzida da circunferência é:

(x – x C)² + (y – y C)² = R².

Centro C (x C, y C) = (1, –3) → x C = 1 e y C = –3

Raio: R = 5

Substituindo x C, y C e R na equação reduzida da circunferência, temse:

(x – 1)² + (y – (–3))² = 5 2 → (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 25

Solução:

2. Determinar a equação reduzida da circunferência que passa

pelo ponto P (5, 7) e tem centro C (2, 3).

A equação reduzida da circunferência é:

(x – x C)² + (y – y C)² = R²

Centro C (x C, y C) = (2, 3) → x C = 2 e y C = 3

Ponto P (x P, y P) = (5, 7) → x P = 5 e y P = 7

Raio R = distância de qualquer ponto da circunferência ao centro.

3. Construa a equação da circunferência que tangencia o eixo

X e tem centro em (3,2).

R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

(x − 3) 2 + (y − 2) 2 = 2 2

(x − 3) 2 + (y − 2) 2 = 4

36


4. Construa a equação reduzida da circunferência posicionada

no 4o quadrante, de raio 3 e que tangencia o eixo das

abscissas no ponto (4,0).

R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

(x − 4) 2 + (y + 3) 2 = 3 2

(x − 4) 2 + (y + 3) 2 = 9

5. Determinar a equação da circunferência cujo centro é o

ponto P(2,–4) e é tangente ao eixo Y.

Se a circunferência é tangente ao eixo Y, então a distância horizontal

do eixo à abscissa do centro será o raio. Isto é, o raio vale 2.

R 2 = (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

(x − 2) 2 + (y + 4) 2 = 2 2

(x − 2) 2 + (y + 4) 2 = 4

6. Determinar a equação geral da circunferência de raio 5 e

centro com coordenadas (1, –3).

Solução:

A equação reduzida da circunferência é:

(x – x C)² + (y – y C)² = R².

Centro C (x C, y C) = (1, –3) → x C = 1 e y C = –3

Raio R = 5

Substituindo x C, y C e R na equação, tem-se:

(x – 1)² + (y – (–3))² = 52

(x – 1)² + (y + 3)² = 25

x² – 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 25

x² + y² – 2x + 6y – 15 = 0

37


7. Sendo a equação geral da circunferência x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0,

determine:

a) As coordenadas do centro desta circunferência.

b) O raio R desta circunferência.

c) Se o ponto A (4, 2) pertence à circunferência.

d) Se o ponto B (1, –3) pertence à circunferência.

Solução

a) A equação geral da circunferência é:

x² + y² + A.x + b.y + C = 0

x c = − A 2 = − −2

2 = 1

y c = − B 2 = − −4

2 = 2

Centro C (1,2)

b) A expressão para determinação do raio R é dada por:

R = √x c 2 + y c 2 − C

R = √(1) 2 + (2) 2 + 4

R = √9 R = 3

c) Se o ponto A (x A, y A) pertencer à circunferência, deve satisfazer à

equação dessa circunferência, isto é, ao substituir os valores de x A e

y A, deve-se encontrar a igualdade 0 = 0.

Ponto A (x A, y A) = (4, 2) e equação da circunferência

x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0.

Substituindo, tem-se:

4² + 2² – 2.4 – 4.2 – 4 = 0 16 + 4 – 8 – 8 – 4 = 0

0 = 0 Assim, o ponto A pertence à circunferência.

d) Se o ponto B (x B, y B) pertencer à circunferência, deve satisfazer à

equação dessa circunferência, isto é, ao substituir os valores de x B e

y B, deve-se encontrar a igualdade 0 = 0.

Ponto B (x B, y B) = (1, –3) e equação da circunferência

38


x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0.

Substituindo, tem-se:

1² + (–3)² – 2.1 – 4.(–3) – 4 = 0

1 + 9 – 2 + 12 – 4 = 0

16 ≠ 0

Assim, o ponto B não pertence à circunferência.

8. Determine a posição relativa da reta r e da circunferência C

cujas equações são:

r: x – y – 1 = 0

C: x² + y² – 4.x – 2.y + 3 = 0

Primeira solução

O sistema a ser resolvido é:

x – y – 1 = 0

x² + y² – 4x – 2y + 3 = 0

Na primeira equação, y = x – 1. Substituindo na segunda equação do

sistema tem-se:

X² + (x – 1)² – 4.x – 2.(x – 1) + 3 = 0

X² – 4.x + 3 = 0

Δ = b² – 4.a.c = (–4)² – 4.1.3 = 4 > 0

Conclusão: como o discriminante é positivo, r e C são secantes.

Segunda solução

A equação da circunferência C é dada por:

x² + y² – 4.x – 2.y + 3 = 0

Quando a equação geral da circunferência é x² + y² + A.x + B.y + C

= 0 as coordenadas do centro são dadas por:

x C = – A/2 , y C = – B/2

39


Assim, x C = – -4/2 = 2, y C = – -2/2 = 1 e

A reta r tem equação dada por r: x – y – 1 = 0

A distância d C do centro à reta r:

Conclusão: como d c < R, reta e circunferência são secantes.

9. Determine a posição relativa da reta r e da circunferência C cujas

equações são:

r: x + y – 2 = 0 e

C: x² + y² – x – y = 0

Solução:

A equação da circunferência C é dada por:

x² + y² – x – y = 0

Quando a equação geral da circunferência é:

x² + y² + A.x + B.y + C = 0, as coordenadas do centro são dadas

por: x C = – A/2 , y C = – B/2

Assim, x C = – -1/2 = 0,5, y C = – -1/2 = 0,5 e

A reta r tem equação dada por r: x + y – 2 = 0

A distância d C do centro à reta r:

40


Conclusão: como d c = R, reta e circunferência são tangentes.

10. Sejam as circunferências de equações

Determine:

Solução:

(C 1) x² + y² – 4 = 0 e

(C 2) x² + y² + 2x – 2y = 0.

a. A posição relativa de C 1 e C 2.

b. Os pontos de interseção de C 1 e C 2.

a) Quando a equação geral da circunferência é x² + y² + A.x + B.y +

C = 0 as coordenadas do centro são dadas por: x C = – A/2 , y C = –

B/-2

Assim, para a circunferência C 1 tem-se:

x C = – 0/2 = 0, y C = – 0/-2 = 0 e

e para a circunferência C 2 tem-se:

x C = – 2/2 = -1, y C = – -2/-2 = 1 e

Distância entre os centros das circunferências C 1 e C 2 é dada por:

Observe que é verdade a relação R 1 – R 2 < d < R 1 + R 2 para C 1 e C 2,

ou seja, são secantes.

b) Para se determinar os pontos de interseção das circunferências

C 1 e C 2, deve-se resolver o sistema a seguir:

41


A primeira equação pode ser reescrita como:

x² + y² = 4.

Substituindo na segunda equação do sistema, encontra-se:

4 + 2x – 2y = 0, ou ainda,

2y = 4 + 2x ou y = 2 + x.

Substituindo y = 2 + x na equação x² + y² = 4, tem-se que:

x² + (2 + x)² = 4.

x² + 4 + 4x + x² = 4

2x² + 4x = 0

x = 0 ou x = –2

Como y = 2 + x, para x = 0, y = 2 e para x = –2, y = 0.

Logo os pontos de interseção são A (0, 2) e B (–2, 0).

5.2 Elipse

Curiosidade

Vários ramos da engenharia valem-se das cônicas. Na engenharia

mecânica, por exemplo, é comum o uso de engrenagem elípticas.

A utilização dessas cônicas nas várias ciências vem acompanhando o

homem e sua evolução a séculos. Para ilustrar, pode-se citar o

monumento da Roma antiga – o Coliseu – cuja seção horizontal

apresenta a forma de uma elipse.

Outro exemplo histórico relaciona-se ao grande Arquimedes, que

teria incendiado parte da esquadra romana que atacou Siracusa. Ele

construíra espelhos que convergiam a luz solar sobre os navios,

incendiando-os.

A elipse é uma curva plana definida no R 2 , como o lugar geométrico

dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) deste

plano é constante.

Considere-se no plano dois pontos distintos, F 1 e F 2, cuja distância é

2c, ou seja: d(F 1, F 2) = 2c. A esta distância chama-se distância focal.

42


Figura: 39 - Elipse

O centro da elipse é o ponto médio do segmento F 1, F 2.

Os vértices da elipse são: A 1A 2 e B 1B 2.

O eixo maior é o segmento A 1A 2 cujo comprimento é 2a.

O eixo menor é o segmento B 1B 2 cujo comprimento é 2b.

Uma importante característica da elipse é a sua excentricidade, que

é definida pela relação:

Ɛ = c/a (0 < Ɛ < 1, sendo Ɛ a letra grega épsilon)

Figura: 40 - Elipse

Se Ɛ = 0, tem-se uma circunferência de diâmetro 2ª e os focos F 1,

F 2 coincidem com o centro da circunferência.

Se Ɛ = 1, tem-se um segmento retilíneo F 1F 2.

43


5.2.1 Equações

Equação da Elipse com centro na origem do sistema

a) Quando o eixo maior coincide com o eixo x.

Sejam: P = (x, y) um ponto genérico da elipse.

F1 = (-c, 0) e F2 = (c, 0)

Por definição temos: d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

Figura: 41 - Equação da elipse com centro na origem do

sistema

b) Quanto o eixo maior coincide com o eixo y.

Na figura abaixo tem-se: F1 = (0, c) e F2 = (0, -c)

44


Figura: 42 - Equação da elipse com centro na origem do

sistema

De forma análoga demonstra-se que para um P(x, y) pertencente

à elipse tem-se a equação canônica:

ATENÇÃO:

X 2 /b 2 + y 2 /a 2 = 1

Na equação canônica a é a medida do semieixo maior e a 2

representa o maior dos denominadores. Se o número a 2 é

denominador de:

X 2 , então os focos estão sobre o eixo x;

Y 2 , então os focos estão sobre o eixo y.

Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema e cujos

eixos são paralelos aos eixos coordenados

a) Quando o eixo maior é paralelo a x.

Figura: 43 - Equação da elipse

45


) Quando o eixo maior é paralelo a y.

Figura: 44 - Equação da elipse

5.2.2 Exercícios Resolvidos

1. Se temos a equação x 2 /4 + y 2 /16 = 1, que representa uma

elipse podemos deduzir:

a 2 = 16, ou seja, seu eixo maior é 2a = 8 e coincide com o eixo y.

b2 = 4, ou seja, seu eixo menor é 2b = 4 e coincide com o eixo x.

Coordenadas dos focos:

c 2 = a 2 – b 2 = 16 – 4 = 12 →

c = 2√3. Então: F1 = (0, 2√3) e F2 = (0, -2√3)

Graficamente temos:

46


2. Dada a equação da elipse 16x2 + 9y2 = 144, pede-se:

a) A equação canônica;

Dividindo cada termo da equação dada por 144: 16x 2 /144

+ 9y 2 /144 = 144/144 →

x 2 /9 + y 2 /16 = 1

b) A excentricidade;

Da equação canônica: a 2 = 16 → a = 4 e b 2 = 9 → b = 3,

então se c 2 = a 2 - b 2 = 7 → c = √7

Se Ɛ = c/a → Ɛ = √7/4.

c) O gráfico, as coordenadas dos focos e dos vértices.

Como a 2 = 16 é o denominador de y, isto indica que o eixo maior

está sobre o eixo das ordenadas.

E temos a = 4, b = 3 e c = √7

47


As coordenadas dos focos:

F1 = (0, √7) e F2 = (0, -√7)

As coordenadas dos vértices:

A1 = (0, 4) e A2 = (0, -4)

B1 = (-3, 0) e B2 = (3, 0)

3. Dê as equações das elipses cujos gráficos estão representados

abaixo:

x 2 /16 + y 2 /25 = 1 x 2 /14 + y 2 /5 = 1

48


4. Determinar as equações das elipses representadas abaixo:

Da figura obtém-se: Origem = (3, -2), a = 2 e c = 1.

Calculando b: b 2 = a 2 – c 2 → b 2 = 4 – 1 → b = √3

Portanto a equação da elipse é da forma:

Levando os correspondentes valores na equação acima:

Observe que as coordenadas do foco são:

F1 = (2, -2) e F2 = (4, -2)

49


Da figura obtém-se: Origem = (4, 0), a = 5 e b = 1.

A elipse apresentada tem equação do tipo:

Substituindo os valores obtidos da figura na equação acima:

5. Dada a elipse abaixo, determine:

a) As medidas dos semieixos.

b) A equação reduzida da elipse.

c) A excentricidade da elipse.

50


Solução:

a) A partir da figura conclui-se que 2a = 10, portanto o

semieixo maior é igual a 5. Da mesma forma, é possível

observar que 2b = 6 e b = 3 (semieixo menor).

b) Note que a elipse é “alongada” na horizontal, assim sua

equação reduzida é:

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. Substituindo a e b, tem-se:

x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1 → x 2 /25 + y 2 /9 = 1

c) A excentricidade da elipse é dada pela relação e = c/a . Como

a² – b² = c², tem-se que 5² – 3² = c² → c = 4

Portanto, e = c/a = 4/5 = 0,8.

5.3 Parábola

Definição

A parábola é uma curva plana definida no R². É o lugar

geométrico dos pontos que são equidistantes de um ponto (foco)

e de uma reta (diretriz).

A parábola da figura a seguir mostra alguns dos seus pontos, que

são equidistantes do ponto F (foco da parábola) e da reta r

(diretriz da parábola).

51


Figura: 45 - Parábola

Elementos de definição da parábola

Numa parábola arbitrária, temos os seguintes elementos:

Foco: o ponto F;

Reta diretriz: d;

Eixo de simetria: reta perpendicular a diretriz que passa pelo

ponto F;

Vértice: o ponto V de interseção do eixo de simetria com a

parábola.

5.3.1 Equação da Parábola

Para obter a equação da parábola, define-se por d (A, B) a

distância entre os pontos A e B.

Sendo o ponto P’ a interseção da reta perpendicular à diretriz r,

baixada de um ponto P da parábola, conforme as definições, temse:

d(P, F) = d(P, P’).

52


Suponha que o eixo de simetria da parábola coincida com o eixo

das ordenadas (y) e o vértice com a origem dos eixos, assim, F

(0, P/2) e V (0, 0).

Figura: 46 - Equação da parábola

A equação acima é chamada equação reduzida da parábola e

constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na

origem, tendo como eixo o eixo das ordenadas.

53


Analogamente, a parábola com eixo de simetria coincidente com

o eixo das abscissas (x) e o vértice ainda coincidindo com a origem

dos eixos. Assim, F (P/2, 0) e V (0, 0),

Desta forma, neste caso a equação reduzida da parábola é: Y 2 =

2px, graficamente representado a seguir.

Figura: 47 - Equação da parábola

Translação de eixo (Eixo de simetria paralelo às ordenadas): (x –

xo) 2 = 2p(y – yo)

Figura: 48 - Equação da parábola

54


5.3.2 Exercícios Resolvidos

1. Determine o foco e a equação da diretriz da parábola y² = –4x.

Solução:

y² = – 4x

Sabendo que a equação é do tipo:

y² = +2px

Assim: 2p = –

4

p = –2

p/2 = –1

Portanto, F(–1, 0) e diretriz: x = 1

2. Determine a equação da parábola de vértice V (3, –2) e

diretriz y – 2 = 0.

Solução:

(x – xo) 2 = 2p(y – yo) → (x – 3) 2 = 2p(y + 2)

Diretriz: y – 2 = 0 ou seja y = 2

Se p/2 = 4 então P = 8

Logo, como a abertura é para baixo, temos que:

p = –8

x² – 6x + 9 = + 2(–8)(y + 2)

x² – 6x + 9 = –16y – 32

16y = –x² + 6x – 41

55


Figura: 49 - Solução

3. Dada a equação da parábola y = x² – 8x +15, determine o

vértice V, diretriz r e o foco F.

Solução

O vértice é o ponto de mínimo ou máximo da parábola, logo:

Xv = -b/2a = -(-8)/2.1 = 8/2 = 4

Yv = -∆/4a = - 4/4.1 = -4/4 = -1

Assim, V (4, –1). Como: (x – xo) 2 = 2p(y – yo) →

(x – 4) 2 = 2p(y – (–1)) → x 2 – 8x + 16 = 2py + 2p → 2py = x 2 – 8x +

16 – 2p

Assim:

Em todos os casos, p = 1/2 e – p/2 = 1/4

Logo a diretriz será: y = - 5/4 e F (3/4, 4)

56


5.4 Hipérbole

Definição

A hipérbole é uma curva plana definida no R². É definida como o

lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois

pontos fixos (focos) deste plano é constante.

Considere-se no plano dois pontos distintos, F1 e F2, cuja distância

é 2c, ou seja: d (F1, F2) = 2c.

A hipérbole será definida pelo conjunto dos pontos P (x, y) do

plano, tais que a diferença das distâncias desse ponto aos pontos

F1 e F2 seja fixa e igual a 2a, (2a < 2c), ou seja: d(P, F1) – d(P, F2) =

2a.

Figura: 50 - Hipérbole

Elementos de definição da hipérbole

Numa hipérbole arbitrária, temos os seguintes elementos:

Focos: os pontos F1 e F2;

Distância focal: distância 2c entre os focos;

Eixo real: segmento de reta A1A2 de comprimento 2a;

57


Eixo imaginário: segmento de reta B1B2 perpendicular ao eixo

real, cuja interseção com o eixo maior é o centro dos eixos no

ponto O (origem);

Vértices: pontos A1 e A2.

Excentricidade (Ɛ): é a razão entre c e a, Ɛ = c/a.

Hipérbole é uma curva simétrica em relação aos eixos real e

imaginário.

Com base na figura abaixo, pode-se perceber que, em toda

hipérbole, vale a seguinte relação entre as grandezas a, b e c. c² =

a² + b²

Figura: 51 - Hipérbole

Ao traçarmos duas retas, uma pelo centro O e pelo ponto (a, b) e

a outra pelo centro O e pelo ponto (-a, b), como apresentado na

figura a seguir, teremos duas retas que nunca se encontram com

a hipérbole, apesar de quanto mais se afastam do centro, mais se

aproximam da hipérbole. Essas retas são chamadas de assíntotas.

58


Figura: 52 - Assíntotas

As assíntotas são muito usadas para traçar os esboços dos

gráficos das hipérboles.

5.4.1 Equações

Equação da hipérbole com centro na origem do sistema

Eixo real sobre o eixo das abscissas (x). Para obter a equação da

hipérbole, define-se um ponto P (x, y) qualquer da hipérbole de

focos F1 e F2. Pela definição anterior tem-se que:

d (P, F1) – d (P, F2) = 2a

Suponha, inicialmente, que o eixo real da hipérbole coincida com

o eixo das abscissas (x) e o centro da hipérbole com a origem dos

eixos. Assim, F1 (–c, 0), F2 (c, 0) e O (0, 0), conforme a figura a

seguir:

59


Manipulando a equação anterior e utilizando a relação que c² = a²

+ b², obtém-se:

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1

A equação acima é chamada equação reduzida da hipérbole e

constitui a forma padrão da equação da hipérbole de centro na

origem e que tem como eixo real o eixo das abscissas.

Analogamente, a hipérbole com eixo real coincidente com o eixo

das ordenadas (y) e o centro ainda coincidindo com a origem dos

eixos.

Assim, F1 (0, –c) e F2 (0, c) e O (0, 0).

Neste caso, a equação reduzida da elipse é:

x 2 /b 2 – y 2 /a 2 = 1

Equação da hipérbole com centro fora da origem do sistema

Consideremos uma hipérbole de centro C (h, k) e um ponto P (x,

y) qualquer da hipérbole.

60


Assim como já vimos no estudo da parábola sobre a translação do

eixo, o caso da hipérbole é análogo àquele anterior. Assim,

quando o eixo real for paralelo ao eixo das abscissas e o centro C

(h, k), a equação passa a ser:

No caso de o eixo real ser paralelo ao eixo das ordenadas (y), da

mesma forma a equação é:

5.4.2 Exercícios Resolvidos

1. A hipérbole da figura abaixo tem a equação reduzida: x 2 /9 –

y 2 /4 = 1.

Determine as coordenadas dos vértices, dos focos e as

equações das assíntotas.

Solução:

Para obter os vértices (A1 e A2), faz-se y = 0:

x 2 /9 - y 2 /4 = 1

x = ±3 (vértice)

A1 (0, –3) e A2 (0, 3)

Fazendo-se x = 0, obtém-se:

61


0/9 – y 2 /4 = 1 → y 2 = – 4

O resultado não pertence aos Reais. A hipérbole não corta o eixo

das ordenadas. Contudo o valor do b será igual a 2.

Como:

C² = a² + b² → C² = 3² + 2² → c = ± √13

Assim, os focos têm as seguintes coordenadas:

F1 = (– √13, 0) e F2 = (√13, 0)

As equações das assíntotas da hipérbole serão:

2. Determine a equação da hipérbole de focos F1 (2, 3), F2 (6, 3) e

um dos seus vértices é A1(3, 3).

Solução:

a = 1 e c = 2 → 2 2 = 1 2 + b 2 → b = √3

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Referências bibliográficas

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