Relaţia între parametrii dreptelor reciproce - Revista Română de ...

ezultativă, fiind valabilă egalitatea:
i i y a a * ˆ
pentru orice indice i, obţinem:
y
. Deoarece i b axi
i ,
aˆ * b
ai
ai
xi
ai
i
i
i
Cum restricţia estimatorului * â este nedeplasată, rezultă două proprietăţi ce
sunt satisfăcute de sistemul de ponderi
( a i ) i
1,
n , respectiv
ai i
0
şi
ai xi
i
0
.
Rezultă că estimatorul se obţine din relaţia:
aˆ * a ai
i
i .
Prin comparare constatăm că între seriile de ponderi ale celor doi
estimatori sunt verificate relaţiile ai = wi + di pentru orice i. Înlocuind apoi ai,
obţinem relaţia:
2 2
2
var( aˆ * ) ( wi
d i 2
wi
d i )
i
i
i .
Demonstrăm că a treia sumă din ultima relaţie este nulă, ţinând seama de
proprietăţile sistemului de ponderi ale primului estimator şi de restricţiile impuse
sistemului de ponderi pentru cel de-al doilea estimator. Se obţine rezultatul
următor:
xia
i
i
wid
i wi
( ai
wi
)
2
i
i (
xi
x)
i
1
0 2
(
xi
x)
i
.
Din acest rezultat derivă inegalitatea între varianţele celor doi estimatori:
aˆ
)
2
2 2
w ( a
2
w ) var( aˆ
)
var( * i i i
*
i
i
Dacă variabila reziduală urmează repartiţia normală, estimatorul urmează
1
şi el o repartiţie normală, de medie a şi abatere standard n x .
x
reprezintă abaterea standard a variabilei factoriale, iar reprezintă abaterea
standard a variabilei reziduale.
Indicatorul se poate scrie sub forma transformată:
1
aˆ
n x .
Constatăm că abaterea standard este direct proporţională cu dispersia
observaţiilor yi în jurul dreptei de regresie şi invers proporţională cu numărul de
observaţii şi dispersia valorilor xi.
152
Revista Română de Statistică Trim. III/2012 - Supliment