9. Plăci şi structuri din plăci

8.
PLĂCI ŞI STRUCTURI DIN PLĂCI
8.1. Generalităţi
O placă este un corp solid care are una dintre dimensiuni
(grosimea) mai mică decât celelalte două şi poate fi privit ca
“materializarea” unei suprafeţe, aşa cum o bară este materializarea
unei linii. O placă se defineşte, în general, prin forma şi dimensiunile
“suprafeţei mediane”, iar în fiecare punct al acesteia, se consideră o
normală pe care se defineşte grosimea, h, de o parte şi de alta a
suprafeţei mediane, prin valorile h/2.
Plăcile au o importanţă deosebită în ingineria mecanică, deoarece
numeroase structuri au în componenţa lor plăci de o foarte mare
varietate de forme şi dimensiuni. Este cazul echipamentelor
energetice, chimice, siderurgice, al maşinilor unelte şi de lucru,
vehiculelor auto, navale şi feroviare, al unor cupole şi acoperişuri etc.
Structurile mecanice se realizează prin “asamblarea” diverselor plăci
componente prin sudură, turnare, nituire etc, sau prin combinaţii ale
acestor procedee.
Calculul plăcilor şi structurilor din plăci este dificil, deoarece se
ajunge la sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale, greu de integrat.
Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este foarte
mare. De asemenea, trebuie făcut calcul static, dinamic, de vibraţii,
de stabilitate etc.
Chiar la începuturile teoriei elasticităţii şi rezistenţei materialelor
s-a ajuns la concluzia că pentru plăci trebuie elaborată o “teorie”
proprie, deoarece nu este posibilă utilizarea ecuaţiilor generale (5.10)
ale teoriei elasticităţii (din nou se poate face o paralelă cu barele).
Teoria plăcilor face o serie de ipoteze simplificatoare, unele generale,
de principiu şi altele “de calcul”, prin care se neglijează unii termeni
din ecuaţiile sau soluţiile respective. Din aceste motive s-a ajuns în
situaţia „de fapt” că se utilizează mai multe variante ale teoriei
193

plăcilor, fiecare având delimitările, precizia, avantajele şi
dezavantajele sale.
Încercările de a elabora o “teorie generală a plăcilor” au fost
abandonate datorită dificultăţilor de calcul. Prin urmare, în prezent,
din considerente practice, se folosesc în inginerie teorii distincte
pentru, cel puţin, următoarele categorii de plăci:
- plăci subţiri (cu grosime mică), cu deformaţii şi deplasări mici;
- plăci subţiri, cu deplasări mari;
- plăci groase.
De asemenea, s-au elaborat teorii şi relaţii de calcul pentru
plăcile curbe şi pentru cele plane, care, la rândul lor, se împart în
plăci de rotaţie (în general), cilindrice, sferice, conice, toroidale etc,
respectiv plăci plane dreptunghiulare, circulare etc. O placă plană
poate fi privită ca un caz particular al unei plăci curbe şi anume o
placă curbă cu curbură nulă.
Conceptul de grosime mică sau mare a plăcii, determină
posibilităţile de neglijare a unor termeni din ecuaţiile sau relaţiile de
calcul pentru plăcile subţiri. Placă subţire se consideră cea pentru
care grosimea este relativ mică în comparaţie cu raza de curbură sau
cu dimensiunile plăcii şi anume:
- dacă placa este curbă, raportul dintre grosimea h şi raza de
curbură principală R trebuie să satisfacă condiţia h/R < 10…20;
- dacă placa este plană, raportul dintre grosimea h şi lungimea
(sau lăţimea plăcii) l trebuie să satisfacă condiţia h/l < 10…20.
Deplasarea w a plăcii pe direcţia normalei la suprafaţa mediană
se consideră mică, dacă w/h < 5…10, iar placa se consideră
cu deplasări mici.
În cadrul categoriilor menţionate, de obicei, se consideră că
plăcile sunt elastice, calculul în regim elasto-plastic de solicitare
fiind foarte dificil.
S-au impus, de asemenea, teorii şi relaţii de calcul distincte
pentru plăci plane şi pentru plăci curbe (învelişuri), deoarece există o
diferenţă esenţială în privinţa efectului sarcinilor exterioare asupra
plăcilor curbe, comparativ cu cele plane:
1. Echilibrul static al unui element de placă plană, încărcat cu o
sarcină transversală, este posibil numai datorită “apariţiei”
194

momentelor încovoietoare şi de răsucire, însoţite, de obicei şi de
forţe tăietoare.
2. O placă curbă, în general, transmite sarcinile exterioare către
reazeme prin solicitările “de membrană”, care acţionează paralel cu
planul tangent la suprafaţa mediană a plăci, din punctul considerat,
tensiunile (normale, σ, de întindere sau compresiune) fiind constante
pe grosime, studiul acestei probleme făcând obiectul teoriei de
membrană a plăcilor. Această proprietate a plăcilor curbe subţiri le
face, de regulă, să fie mult mai rigide şi mai eficiente decât plăcile
plane, în aceleaşi condiţii de solicitare, de rezemare şi de material
(aspectele tehnologice nu se comentează aici). În principiu,
solicitările de membrană sunt independente de deformaţiile produse
de solicitările de încovoiere, răsucire şi forfecare (când acestea sunt
mici).
Reacţiunile şi deplasările obţinute cu teoria de membrană în
zonele de margine sunt, de regulă, incompatibile cu condiţiile reale
de pe frontieră (contur, margine), motiv pentru care, trebuie avută în
vedere şi încovoierea în aceste zone, care, în general, are efecte
locale.
Pentru studiul tensiunilor în vecinătatea sarcinilor concentrate
aplicate plăcilor, trebuie folosite teorii „speciale”, specifice
problemelor spaţiale ale teoriei elasticităţii.
Calculul structurilor din plăci se poate face numai cu ajutorul
calculatoarelor, fie pentru cazuri particulare, ca cel al structurilor
axial simetrice (de rotaţie), pentru care s-au elaborat algoritmi şi
programe adecvate, fie, în cazul general, cu metode numerice, ca
metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite sau metoda
elementelor de frontieră.
Din considerente didactice, în continuare, se vor prezenta doar
câteva probleme (relativ simple) ale plăcilor subţiri, elastice, cu
deplasări mici.
Ipotezele care se au în vedere în teoria plăcilor subţiri, elastice,
cu deplasări mici sunt următoarele:
- suprafaţa mediană a plăcii este “inextensibilă”, adică în ea nu se
produc deformaţii de întindere sau compresiune: suprafaţa mediană
195

ămâne neutră la încovoierea plăci, ceea ce se realizează dacă
suprafaţa este desfăşurabilă;
- o normală rectilinie la suprafaţa mediană, nedeformată a plăcii,
rămâne rectilinie şi normală la suprafaţa mediană, deformată, a
plăcii;
- tensiunile normale σ, pe direcţia normalei la suprafaţa mediană
a plăcii sunt mici şi se neglijează.
De asemenea, se face precizarea că, pentru plăci, eforturile se
definesc pe unitatea de lungime în planul median, adică forţele axiale
şi cele tăietoare au unităţile de măsură N/mm, iar momentele
Nm/mm, sau variante ale acestora.
8.2. Plăci curbe subţiri elastice
O placă curbă subţire este definită de o suprafaţă mediană curbă.
După forma suprafeţei mediane, plăcile se clasifică în plăci cu
curbură simplă şi plăci cu dublă curbură. În geometria diferenţială a
suprafeţelor se demonstrează că există totdeauna două secţiuni
realizate cu plane care conţin normala, perpendiculare între ele, în
care razele de curbură au valori extreme, ρ 1 şi ρ 2 . Curburile
corespunzătore, cea maximă, 1/ρ 1 , respectiv, 1/ρ 2 , minimă, se
numesc curburile principale ale plăcii.
Raza de curbură, ρ, într-un plan care face unghiul υ cu planul
principal I (relaţia lui Euler), este:
2
2
1 cos sin
. (8.1)
1
2
În geometria suprafeţelor (şi în teoria plăcilor curbe) se folosesc
şi mărimile:
-curbura totală sau curbura lui Gauss: K=1/ρ 1 ρ 2 ; (8.2)
-curbura medie: H = 1/ρ 1 + 1/ρ 2 . (8.3)
a b c
Figura 8.1
196

Când curbura lui Gauss este pozitivă (K>0), curburile principale
au acelaşi semn, suprafaţa este convexă şi se numeşte sinclastică
(elipsoidul, sfera, paraboloidul de rotaţie), ca în figura 8.1.a, iar când
K0.
Într-un punct situat la distanţa z de suprafaţa mediană starea de
tensiuni este definită de componentele σ x , σ y , τ xy = τ yx şi τ xz , τ yz (v. fig.
8.2.a). Se observă că arcele situate la distanţa z de suprafaţa mediană
au lungimile dx+(z/ρ x )dx, respectiv dy +(z/ρ y )dy.
h
2
Efortul circumferenţial N x este:
z
N dy dy dy dz
x
x
,
h
2
y
197

care se simplifică cu dy, deoarece nu variază cu z şi rezultă relaţia de
echivalenţă mecanică dintre tensiunea σ x şi efortul N x
h
2
z
N 1
dz .
x
x
h
2
y
a
b
Figura 8.2
Analog, se obţine şi efortul axial
h
2
z
N
1
dz
. (8.1.a)
y
y
h
2 x
Procedând asemănător rezultă şi expresiile pentru celelalte eforturi:
- eforturile tangenţiale
h
2
h
2
z
z
T 1
dz ; T
xy
xy
h
2
1
dz
; (8.1.b)
yx
yx
y
h
2
x
- eforturile de forfecare
h
2
h
2
z
z
T 1
dz ; T
x
xz
h
2
1
dz
; (8.1.c)
y
yz
y
h
2
x
- momentele încovoietoare
h
2
h
2
z
z
M z 1
dz ; M
x
x
h
2
z
1
dz
; (8.1.d)
y
y
y
h
2
x
198

- momentele de răsucire
h
2
h
2
z
z
M z 1
dz ; M
xy
xy
h
2
z
1
dz
. (8.1.e)
yx
yx
y
h
2
x
În figura 8.2.b s-au reprezentat eforturile definite prin relaţiile
(8.1), momentele fiind reprezentate prin săgeţi duble.
Observaţii: 1. Conform principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale τ xy = τ yx ,
dar, având în vedere că, în general, ρ x ≠ ρ y , rezultă că (a se vedea relaţiile (8.1.b) şi
(8.1.e)) pentru eforturile tangenţiale şi pentru cele de răsucire principiul dualităţii
nu mai este valabil, adică
T xy ≠ T yx şi M xy ≠ M yx . (8.2)
2. Notaţiile şi sensurile (pozitive) ale tensiunilor şi eforturilor din figura 8.2
sunt cele mai des utilizate, dar se folosesc, de diverşi autori şi diverse variante ale
acestora.
3. Relaţiile (8.1) se mai numesc şi relaţiile de echivalenţă mecanică dintre
tensiuni şi eforturi.
Pentru determinarea tensiunilor într-un punct al plăcii trebuie
determinate cele zece eforturi din relaţiile (8.1), dar nu sunt
disponibile decât şase ecuaţii de echilibru, adică problema este de
patru ori static nedeterminată. Cele patru ecuaţii suplimentare
necesare se pot obţine prin studiul deformaţiilor elementului de placă
avut în vedere.
Dacă grosimea h a plăcii este relativ mică în raport cu razele de
curbură ρ x şi ρ y , se pot neglija rapoartele z/ρ x şi z/ρ y în relaţiile (8.1)
şi expresiile celor zece eforturi devin:
h
2
h
2
h
2
N
x
x
dz; Ny
y
dz;
h
2
h
2
h
2
h
2
h
2
h
2
T
xy
Tyx
xy
dz; Tx
xz
dz; Ty
yzdz;
(8.3)
h
2
h
2
h
2
h
2
M
x
x
zdz; My
y
zdz; Mxy
Myx
xy
zdz
.
h
2
h
2
h
2
Numărul eforturilor necunoscute a scăzut la opt. Pentru sistemul
spaţial de forţe şi momente din figura 8.2.b se pot scrie şase ecuaţii
199

de echilibru mecanic. Trebuie, deci, să se scrie două ecuaţii de
deformaţii.
Rigiditatea la încovoiere a plăcii.
Ca urmare a ipotezelor enunţate, într-o placă subţire, solicitată
numai la încovoiere, starea de tensiuni este plană (s-a făcut ipoteza
că σ z = 0), deci
- deformaţiile specifice sunt:
ε x = (σ x – υσ y ) / E şi ε x = (σ x – υσ y ) / E; (8.4.a)
- tensiunile normale sunt:
E
E
x
( x
y),
y
( z
x
). (8.4.b)
2
2
1
1
Se consideră o secţiune a
plăcii în planul Oxz, ca în figura
8.3 şi se au în vedere punctele
A şi P, înainte ca placa să se
deformeze (punctul P se află la
distanţa z faţă de suprafaţa
mediană a plăcii). După
deformarea plăcii punctele
Figura 8.3
ajung în A’, respectiv P’.
Deplasarea u a punctului P este
u ≈ -zθ x , în care θ x = dw/dx, este panta tangentei dusă în punctul A’
la suprafaţa deformată, adică
u ≈ -z dw/dx.
(8.5.a)
Procedând asemănător şi în planul Oyz, se obţine
v ≈ -z dw/dy.
(8.5.b)
Se scriu succesiv:
-deformaţiile specifice:
ε x = du / dx = -z d 2 w/dx 2 ; ε y = dv / dy = -z d 2 w/dy 2 ;
-tensiunile:
2
2
2
2
z E d w d w z E d w d w
x
,
x
. (8.6)
2 2
2
2 2
2
1
dx dy 1
dy dx
Momentele încovoietoare se calculează cu relaţiile (8.3)
corespunzătoare:
200

h
2
h
2 2 2
2
3
2
2
z E d w d w Eh d w d w
M zdz
dz
,
x
x
2 2
2
2
2
2
h
2
h
2 1
dx dy 12(1 ) dx dy
în care se notează rigiditatea la încovoiere a plăcii:
D = Eh 3 / [12(1-υ 2 )], (8.7)
forma finală a expresiilor celor două momente încovoietoare, în
funcţie de deplasări fiind:
2
2
2
2
d w d w d w d w
M
x
D
,
My
D
. (8.8)
2
2
2
2
dx dy dy dx
Starea de echilibru de membrană.
Pentru numeroase probleme inginereşti se pot accepta
următoarele ipoteze simplificatoare:
- tensiunile σ x , σ y , τ xy = τ yx sunt constante pe grosimea plăcii;
- tensiunile τ xz şi τ yz sunt nule (sau neglijabile).
În acest caz particular sunt trei eforturi necunoscute: N x , N y şi
N xy =N yx , ca în figura 8.4, pentru care se pot scrie doar trei ecuaţii de
echilibru, pentru forţe (pe direcţia normalei la suprafaţa mediană şi
pe două direcţii din planul tangent), ecuaţiile
de momente fiind identic satisfăcute.
Starea de solicitare a unei plăci curbe,
caracterizată numai prin eforturile N x , N y şi
N xy =N yx , se numeşte stare de echilibru de
membrană. Plăcile curbe aflate într-o astfel
Figura 8.4
de stare de solicitare sunt, în general, static
determinate, deoarece numărul eforturilor
este egal cu cel al ecuaţiilor de echilibru care
se pot scrie, adică, eforturile pot fi determinate doar din ecuaţiile de
echilibru, condiţii de deformare a plăcii ne fiind necesare.
Observaţii: 1. Starea de solicitare de membrană într-o placă curbă nu se
poate realiza pentru orice condiţii de încărcare şi rezemare. De exemplu,
pentru o sarcină concentrată, cel puţin în zona din vecinătatea punctului de
aplicaţie, trebuie să se ţină seama de efectele de încovoiere, deoarece ele nu
pot fi neglijate.
2. Rezemarea plăcii trebuie să se facă astfel încât reacţiunile să
acţioneze în planul tangent la suprafaţa mediană. În general această condiţie
este greu de îndeplinit din cauza deformaţiilor plăcii sau din cauza
201

deplasărilor reazemului. Prin urmare, foarte frecvent în zonele de rezemare
apar solicitări de încovoiere locale, valorile lor scăzând foarte repede la
distanţe relativ mici de reazem.
8.3. Metodologia generală de analiză a plăcilor subţiri
elastice
Pentru a stabili ecuaţiile diferenţiale ale plăcilor (curbe sau
plane) de regulă, primele trei etape “metodologice” sunt aceleaşi cu
cele care s-au prezentat în § 5.1, intitulat “Sistemul de ecuaţii al
teoriei elasticităţii” şi anume:
1. Se scriu ecuaţiile de echilibru pentru elementul de placă
considerat, sub acţiunea eforturilor (v. fig. 8.2.b) şi a unei sarcini
aplicată în centrul elementului, acesta reprezentând aspectul mecanic
al problemei. Pentru aceasta trebuie să se facă ipoteze asupra
tensiunilor care se au în vedere şi a eforturilor corespunzătoare.
2. Se scriu relaţiile între deplasări şi deformaţii specifice,
denumite şi relaţii de compatibilitate geometrică, care reprezentă
aspectul geometric al problemei. Aceasta este, de regulă, etapa cea
mai dificilă a demersului. Pentru scrierea acestor relaţii se consideră
modul în care se deformează placa, se aleg componentele
deplasărilor care urmează să se considere în calcul şi care sunt
deformaţiile specifice pe care le produc.
3. Se scriu relaţiile dintre tensiuni şi deformaţiile specifice
(lege lui Hooke), ceea ce reprezintă aspectul fizic al problemei.
4. Se fac diverse operaţii de calcul asupra ecuaţiilor obţinute, cu
scopul de a le aduce la forme mai simple, de exemplu: se neglijează
unii termeni, se fac înlocuiri ale unor expresii în altele, cu scopul
eliminării unora dintre necunoscute etc. În final se ajunge la una sau
mai multe ecuaţii diferenţiale în care, cel mai frecvent, necunoscutele
sunt componente ale deplasărilor unui punct al suprafeţei mediane a
plăcii, adică ecuaţiile obţinute sunt scrise „în funcţie de deplasări” şi
pot fi omogene sau neomogene, lineare sau nelineare, cu sau fără
derivate parţiale.
5. Se integrează ecuaţia diferenţială (sau sistemul) şi se
determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (dacă este
cazul). Soluţiile pot fi “închise”, pentru probleme mai simple, sau pot
fi de forma unor dezvoltări în serie, cu un număr oarecare de
202

termeni, pentru probleme mai complicate, caz în care precizia
soluţiei depinde de numărul termenilor luaţi în calcul.
Metodele de calcul folosite pentru integrarea ecuaţiilor plăcilor
sunt de o mare diverse: analitice, cu funcţii de variabile complexe,
numerice etc. Soluţiile găsite conţin un număr de constante de
integrare, pentru aflarea cărora se pot utiliza alte metode de calcul: a
colocaţiei, a celor mai mici pătrate etc.
6. Pentru calculul unei plăci date trebuie scrise condiţiile la
limită şi de rezemare, pentru determinarea constantelor de integrare,
ale căror valori se înlocuiesc în soluţia ecuaţiei.
7. Relaţiile de calcul obţinute permit determinarea valorilor
deplasărilor şi tensiunilor în punctele de interes ale plăcii. În
numeroase situaţii starea de tensiuni din placă este spaţială, ceea ce
implică utilizarea unei teorii de stare limită, pentru a verifica dacă
placa rezistă în bune condiţii.
Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este
considerabil, motiv pentru care, în prezent, plăcile şi structurile din
plăci se calculează cu metode şi programe adecvate, pe calculator.
8.4. Plăci curbe subţiri de rotaţie, în stare de solicitare şi de
echilibru de membrană
Plăcile curbe de rotaţie se definesc prin suprafeţe mediane
generate prin rotirea unei curbe plane, C, denumită meridian, în jurul
unei drepte, Δ, din planul ei, care este axa plăcii, ca în figura 8.5.
Figura 8.5
Un punct A de pe curbă descrie un cerc de rază r, denumit cerc
paralel. Fie raza de curbură, ρ 1 = O 1 A, în punctul A. A doua secţiune
principală este perpendiculară pe prima şi conţine normala din
203

punctul A. Raza ei de curbură se obţine prin aplicarea teoremei lui
Meusnier şi are valoarea O 2 A = ρ 2 = r sin υ.
Ca o consecinţă a simetriei, poziţia unui punct pe suprafaţa
mediană a plăcii este foarte simplu de definit prin două unghiuri (fig.
8.6.a):
- υ – unghiul dintre axa de rotaţie şi normala la suprafaţă;
- θ – unghiul dintre un plan meridian oarecare şi planul meridian
de referinţă, de exemplu, cel care trece prin punctul A.
Pentru a determina eforturile din placa curbă considerată, se
defineşte un patrulater curbiliniu, infinit mic ABCD, ca în figura
8.6.a, cu laturile:
AD = BC = ρ 1 dυ, AB = r dθ şi CD = [r + (dr/dυ) dυ].
Pe suprafeţele laterale ale elementului acţionează eforturile „de
membrană” reprezentate în figura 8.6.b. De asemenea, s-a considerat
şi o sarcină distribuită, p, cu componentele p x , p y şi p z . Eforturile se
consideră pozitive când:
a
b
Figura 8.6
- N θ şi N υ - produc solicitări de întindere;
- T θυ şi T υθ - au sensurile inverse acelora de creştere a
unghiurilor θ şi υ.
Pentru forţele care acţionează asupra elementului de placă din
figura 8.6.b se scriu trei ecuaţii de echilibru.
1. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la cercul paralel, Ox, (fig.
8.6.b şi 8.7) duce la o relaţie “stufoasă”, care se simplifică foarte
mult după ce se fac următoarele operaţii:
- sin dε/2 ≈ dε/2 şi cos dε/2 ≈1;
- se neglijează infiniţii mici de ordin superior;
204

- se are în vedere că dε = cos υ
- ecuaţia se împarte cu dθ.dυ.
Figura 8.7
Forma finală a ecuaţiei este:
N
r T
1 T
r
T1
cos r1
px
0
. (8.9)
2. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la meridian, Oy, (fig.
8.6.b şi 8.8) se obţine procedând asemănător ca pentru ecuaţia (8.9)
şi rezultă:
r
N
T
N r 1 N
1
cos r 1
py
0
. (8.10)
Figura 8.8 Figura 8.9
3. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia normalei la suprafaţa mediană,
Oz, (fig. 8.6.b şi 8.9) se obţine, procedând asemănător ca pentru
ecuaţiile (8.9) şi (8.10) şi rezultă:
N
N
pz
, (8.11.a)
1
2
205

sau, prin împărţirea cu grosimea h (având în vedere că tensiunile sunt
constante pe grosime), se obţine ecuaţia lui Laplace
p
z
. (8.11.b)
1
2
h
Observaţie: În figurile 8.7, 8.8 şi 8.9 s-au reprezentat numai eforturile care
intervin în ecuaţia la care se referă fiecare figură.
Relaţiile (8.9), (8.10) şi (8.11) constituie un sistem de trei ecuaţii
având ca necunoscute funcţiile N θ , N υ şi T θυ =T υθ – eforturile “de
membrană” din placă. Se observă că relaţia (8.11) nu este
diferenţială, ceea ce permite eliminarea unuia dintre eforturile N θ sau
N υ şi astfel sistemul de ecuaţii rămas are două ecuaţii cu două
necunoscute. Integrarea acestui sistem de ecuaţii este, în general,
dificilă. În cazuri particulare, ca, de exemplu, pentru plăci cu
încărcare simetrică faţă de axa de rotaţie, ecuaţiile se simplifică şi
integrarea lor devine posibilă.
8.5. Plăci cilindrice subţiri
Se consideră o placă cilindrică (cu secţiune inelară), cu raza, r, a
suprafeţei mediane, grosimea, h, constantă, încărcată cu o sarcină, p,
simetric distribuită în raport cu axa cilindrului (o presiune).
În placă s-a definit un element infinit mic, ca în figura 8.10,
pentru care se vor scrie ecuaţiile de echilibru.
Figura 8.10
Datorită simetriei axiale, eforturile din placă sunt:
- forţele tăietore de membrană T xυ =T υx şi momentele de răsucire
M xυ =M υx sunt nule;
206

- forţele normale N υ şi momentele încovoietoare M υ sunt
constante de-a lungul circumferinţei.
În aceste condiţii se pot scrie numai trei ecuaţii de echilibru
pentru eforturile care acţionează asupra plăcii:
- proiecţia forţelor după direcţia x
dN x
r dx d 0 ; (8.12)
dx
- proiecţia forţelor după direcţia z
dT x
r dx d N dx d pr dx d
0 ; (8.13)
dx
- suma momentelor după direcţia y
dMx
r dx d Tx
r dx d0
. (8.14)
dx
Din relaţia (8.12) rezultă că efortul axial N x este constant. Se va
considera că N x = 0. În cazul în care există efort axial, deformaţiile şi
tensiunile produse de acesta se pot calcula foarte simplu şi se
însumează cu celelalte.
Ecuaţiile (8.13) şi (8.14) se simplifică şi devin
dT x
1
dM
N
x
p şi Tx
0
, (8.15)
dx r
dx
pentru integrarea cărora trebuie avut în vedere şi modul de deformare
al plăcii.
Deformaţiile specifice sunt (fig. 8.10):
du
(r w)d
r d
w
x
şi
. (8.16)
dx
r d
r
Ca urmare a simetriei axiale, deplasarea v în direcţie
circumferenţială este nulă.
Cu legea lui Hooke se determină tensiunile
E
E du w
( )
;
x
2 x
2
(1
) (1
) dx r
(8.17)
E
E w du
( )
,
2
x
2
(1
) (1
) r dx
care permit calculul eforturilor, cu relaţiile (8.3), având în vedere că
tensiunile sunt constante pe grosimea, h, a plăcii:
207

E h du w Eh w du
Nx ;
N
. (8.18)
2
2
(1
) dx r (1 ) r dx
Aplicând condiţia N x = 0 primei relaţii (8.18), se obţine du/dx =
ν w/r, care, înlocuit în a doua dintre relaţiile (8.18) duce la rezultatul
N υ = - Ehw / r. (8.19)
Din relaţiile (8.15) se elimină forţa tăietore T x şi se obţine ecuaţia
2
d Mx
E h
w p . (8.20)
2 2
dx r
Datorită simetriei axiale, deplasarea w este constantă în direcţie
circumferenţială, adică dw/dυ=0 şi relaţiile (8.8) devin:
2
2
d w
d w
Mx
D
, M D M
2
2
x
. (8.21)
dx
dx
În aceste condiţii ecuaţia (8.20) devine
4
d Mx
E h
D w p , (8.22)
4 2
dx r
care capătă o formă mai simplă dacă se introduce notaţia
2
4 E h 3(1
)
(8.23)
2 2 2
4r D r h
şi anume
4
d w 4 p
4
w , (8.24)
4
dx D
în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii definită prin relaţia
(8.7).
Soluţia generală a ecuaţiei (8.24) este
w=e βx (C 1 cosβx+C 2 sinβx)+e -βx (C 3 cosβx+C 4 sinβx)+f(x), (8.25)
în care f (x) este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (8.25), iar
C 1 ,…,C 4 sunt constante de integrare, care se determină din condiţiile
de la cele două capete ale cilindrului (pentru x = 0 şi x = l),
considerat de lungime l. Aceste condiţii pot avea în vedere:
- deplasările: săgeata radială w şi rotirea normalei dw/dx;
- eforturile: momentele încovoietoare, M υ şi M υ , care se
calculează cu relaţiile (8.21); forţa tăietore, care se determină din cea
de a doua relaţie (8.15) şi anume T x =dM x /dx şi forţa circumferenţială
N υ = -Ehw/r din relaţia (8.19).
208

8.6. Plăci plane subţiri
Se consideră o placă plană, dreptunghiulară, de grosime
constantă, h, solicitată cu sarcini transversale şi orizontale, raportată
la sistemule de coordonate Oxyz, ca în figura 8.11.
Mare parte din procedurile şi
relaţiile de calcul prezentate
rămân valabile, având în vedere
Figura 8.11
209
că o placă plană este un caz
particular al unei plăci curbe: are
curburile zero (razele de curbură infinite).
Se reiau relaţiile (8.6) ale tensiunilor scrise în funcţie de
deplasări, care se completează cu tensiunile tangenţiale, având în
2
v u w E
vedere (8.5) şi
xy
2z
; xy
xy.
x y x
y
2(1 )
Forma completă a relaţiilor (8.6) este:
2
2
z E w w
,
x
2 2
2
1
x
y
2
2
z E w w
,
(8.26)
x
2 2
2
1
y
x
2
z E w
Figura 8.12 .
xy
1 x
y
Din observarea relaţiilor (8.26) se constată că tensiunile σ x , σ y şi
τ xy variază linear pe grosimea plăcii, aşa cum se vede în figura 8.12.
În cazul general de solicitare a plăcii mai există şi tensiuni
tangenţiale τ xz şi τ yz , paralele cu direcţia Oz, normală la suprafaţa
mediană, ca în figura 8.2.a. Pentru determinarea acestor tensiuni se
folosesc relaţiile de echilibru Cauchy (5.1), fără sarcini masice, din
care se obţine:
3
3
zE w w
xz
x xy
,
2 3
2
z
x
y
1
x
x
y
. (8.27)
3
3
yz
y yx
zE w w
2 3 2
z
y
x
1
y
x
y
Ecuaţiile (8.27) se integrează în raport cu z şi rezultă:

3
3
2
E w w z
(x, y) ,
xz
2
1
3
2
x x y
1
2
, (8.28)
3
3
2
E w w z
(x, y)
yz
2 3 2
2
1
y x y
2
în care υ 1 (x,y) şi υ 2 (x,y) sunt funcţii arbitrare, care se determină din
condiţia ca tensiunile tangenţiale τ xz şi τ yz să aibă valori nule pe
suprafeţele plăcii, adică pentru z = ± h/2 şi se obţine:
2 3
3
E h w w
(x, y)
,
1
2
8(1 )
3
2
x x y
(8.29)
2 3
3
E h w w
(x, y)
.
2
2
3 2
8(1 )
y x y
Se înlocuiesc expresiile (8.29) în (8.28)
3
3
2 2
E w w
h z
,
xz
2 3
2
1
x
x
y
8 2
(8.30)
3
3
2 2
E w w
h z
yz
2 3 2
1
y
x
y
8 2
şi rezultă că tensiunile τ xz şi τ yz
variază parabolic pe grosimea plăcii,
ca în figura 8.13 (la fel ca în cazul
barelor drepte).
Se detaşează din placă un
element paralelipipedic, cu laturile
Figura 8.13 dx, dy şi h, ca în figura 8.14, încărcat
cu o sarcină uniform distribuită p. Se are în vedere, pe feţele laterale,
o fâşie de înălţime dz, pe care acţionează tensiunile tangenţiale τ xz şi
τ yz , după direcţia Oz (fig. 8.14).
Celelalte tensiuni nu se
menţionează, nefiind implicate în
demersul care urmează.
Ecuaţia de echilibru a
forţelor, în direcţia Oz, care
acţionează asupra elementului
considerat (după efectuarea
Figura 8.14
reducerilor şi simplificărilor)
210

este:
h
2
h
2
x
xz
yz
dz p
y
. (8.31)
Se introduc relaţiile (8.30) în ecuaţia (8.31) şi se are în vedere că
integrarea se face numai în raport cu z. După efectuarea calculelor
rezultă succesiv:
4
4
4 h
2 2 2
E w w w h z
2 dz
p
2 4
2 2 4
1
x
x
y
y
şi
h
2
8 2
(8.32.a)
4
4
4
w w w p
2
,
4
2 2 4
x
x
y
y
D
în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii (8.7).
Ecuaţia (8.32) este cunoscută cu numele ecuaţia Sophie Germain
a plăcilor plane. Ea are o formă mai simplă dacă se foloseşte
operatorul lui Laplace
2 2
p
şi ecuaţia devine w . (8.32.b)
2 2
x y
D
Expresiile eforturilor din placă, în funcţie de deplasarea w, se
obţin înlocuind valorile tensiunilor (8.26) şi (8.30) în relaţiile (8.3);
calculele sunt simple, deoarece integralele se calculează în raport cu
z şi deci:
2
2
2
2
w w w w
M D
;
M D
;
x
2
2
y
2
2
x
y
y
x
2
w
M (1
)D
;
(8.33)
xy
xy
3 3
w w
D
3
x
xy
;
3 3
w w
Ty
D
3
y
x
y
Tx .
2
2
În calculul plăcilor sunt adeseori utile relaţiile diferenţiale dintre
eforturi şi sarcini. Pentru a stabili astfel de relaţii, pentru plăcile
plane s-a considerat un element paralelipipedic, cu laturile dx, dy şi
h, ca în figura 8.15, încărcat cu o sarcină uniform distribuită p,
211

pentru care se scriu ecuaţiile de echilibru (momentele s-au figurat
cu săgeţi duble), care, după reduceri şi simplificări, duc la relaţiile:
Figura 8.15
- ecuaţia de proiecţie a forţelor pe direcţia Oz
T T
x y
p ; (8.34)
x y
- ecuaţia de momente în raport cu Ox
My
Mxy
Ty
; (8.35)
y x
- ecuaţia de momente în raport cu Oy
M M
x yx
Tx
. (8.36)
x y
Dacă se elimină forţele tăietoare din relaţiile (8.34), (8.35) şi
(8.36) se obţine:
2
2
2
M Mxy
M
x
y
2 p . (8.37)
2
2
x x
y y
Deoarece soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (8.32) este
foarte dificil de obţinut, s-au elaborat metode de integrare a ecuaţiei
pentru diverse cazuri particulare, care au importanţă inginerească, cel
mai important fiind cazul plăcilor dreptunghiulare.
8.7. Plăci plane subţiri dreptunghiulare
Soluţia ecuaţiei (8.32), este o funcţie w(x,y), care trebuie să
verifice ecuaţia ∆∆w =p/D şi condiţiile la limită. Pentru plăcile
dreptunghiulare, cea mai utilizată metodă de calcul este cea a seriilor
212

Fourier duble, când sarcina variază după ambele variabile x şi y şi a
seriilor Fourier simple, când sarcina este funcţie doar de o variabilă.
Se presupune că placa are dimensiunile a şi b. Sarcina p(x,y) se
dezvoltă în serie Fourier sub forma
p (x, y) a sin xsin y , (8.38)
m
n
mn
în care s-au folosit notaţiile α m = mπ / a şi β n = nπ / b.
Se presupune că deplasarea w(x,y) poate fi scrisă sub forma:
w (x, y) A sin xsin y, (8.39)
m
n
A mn fiind constante de integrare.
Dacă placa este simplu rezemată pe cele patru laturi ale sale, se
verifică faptul că soluţia (8.39) satisface condiţiile:
- pentru x = 0 şi x = a, w = 0 şi σ x = M x = ∂ 2 w / dx 2 = 0,
- pentru y = 0 şi y = b, w = 0 şi σ y = M y = ∂ 2 w / dy 2 = 0.
Soluţia căutată (8.39) trebuie să satisfacă ecuaţia ∆∆w = p/D a
plăcii, deci înlocuind funcţia w(x,y) se obţine:
4 2 2 4
1
(
m
2mn
n)Amn
sin mxsin
ny
a
mn
sin mxsin
ny
m n
D m n
Din identificarea coeficienţilor termenilor sin α m x sin β n y
rezultă:
mn
Amn
, (8.40)
2 2 2
D( m
n
)
iar deplasarea w este:
mn
w (x, y)
sin mx sin
2 2 2
ny
. (8.41)
m n D( m
n
)
Exemplu.
Pentru o placă dreptunghiulară, simplu rezemată pe toate laturile,
încărcată cu sarcina uniform distribuită p, se obţine a mn =16p/π 2 mn şi
16p sin mxsin
ny
w (x, y)
. (8.42)
2
2 2 2
D m n1,3,5,..
mn( m
n
)
Săgeata maximă este la mijlocul plăcii (x = a/2, y = b/2) şi are
valoarea:
(m n) / 2 1
16p ( 1)
w
max
. (8.43)
2
2 2 2
D mn( )
mn
m n 1,3,5,..
213
m
m
m
n
n
n

8.8. Plăci plane subţiri circulare
O altă categorie de plăci subţiri care prezintă interes practic este
cel al plăcilor circulare, studierea acestora fiind mai convenabilă în
coordonate polare, ceea ce implică următoarele transformări:
- operatorul lui Laplace devine
2
2
1 1
; (8.44)
2
2 2
r r r r
- ecuaţia (8.32) va avea forma:
2
2 2
2
1 1
w 1 w
1 w p
2
2 2 2
2 2
r r r r
r r r r
. (8.45)
D
Pentru determinarea relaţiilor de legătură dintre eforturile M x ,
M y , şi M xy , definite în raport cu coordonatele carteziene Oxy şi M r ,
M θ , M rθ , definite în raport cu coordonatele polare Orθ, se scriu
Figura 8.16
ecuaţiile de echilibru pentru un element de placă cu forma unei
prisme triunghiulare, ca în figura 8.16 şi se obţin următoarele relaţii:
M r = M x cos 2 θ + M y sin 2 θ - 2M xy sinθ cosθ;
M θ = M x sin 2 θ + M y cos 2 θ + 2M xy sinθ cosθ; (8.46)
M rθ = (M x - M y )sinθ cosθ + M xy (cos 2 θ - sin 2 θ).
Prin calcule simple, utilizând relaţiile obţinute anterior, se obţin
expresiile eforturilor în funcţie de deplasarea w:
2
2
2
2
w 1
w
1 w
1
w
1 w w
M D
;
r
2
2 2
r
r r r
M D
;
2 2
2
r
r r
M r
1
w
(1 )D .
r r
(8.47)
214

2
w 1 w
1
T D
r
2
2
r
r r r r
215
2
w
;
2
(8.48)
2
2
1 w 1 w
1 w
T D
.
2
2 2
r
r r r r
Dacă încărcarea plăcii este axial simetrică, toate derivatele
parţiale în raport cu variabila θ sunt nule şi relaţiile de mai sus se
simplifică iar ecuaţia cu derivate parţiale (8.45) devine ecuaţia
ordinară
2
2
d 1 d
d w 1 dw p
,
2
2
dr r dr
dr r dr D
. (8.49)
4
3
2
d w 2 d w 1 d w 1 dw p
sau
4
3 2 2 3
dr r dr r dr r dr D
Ecuaţia (8.49) este lineară, de tip Euler, neomogenă, a cărei
soluţie este
w = C 1 + C 2 r 2 + C 3 ln r + C 4 r 2 ln r + w*, (8.50)
în care w* este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.
Pentru cazurile în care sarcina p este un polinom în r, de forma
p
n A r k
k
, (8.51)
D k 0
se încearcă soluţii particulare de tipul Σb i r i şi se obţine soluţia
particulară
*
n Ak
k 4
w r . (8.52)
2 2
k 0(k
2) (k 4)
De asemenea şi expresiile (8.47) şi (8.48) ale eforturilor se
simplifică şi devin
2
d w
M D
r
2
dr
1 dw
;M
r dr
2
1
dw d w
D
;
2
r dr dr
M
r
0;
(8.53)
2
d d w 1 dw
T D
; T 0.
r
2
dr dr r dr
Condiţiile la limită pentru plăcile circulare (inelare), încărcate
simetric, se scriu astfel pentru:
- margine încastrată: w = 0 şi dw/dr = 0;
- margine rezemată: w = 0 şi M r = 0;
- margine liberă: M r = 0 şi T r = 0;

- pentru plăcile circulare pline (fără orificii centrale), pentru r = 0
(în centrul plăcii), deplasarea w şi momentul încovoietor M r trebuie
să aibă valori finite, ceea ce implică absenţa din expresiile respective
a termenilor care conţin log r şi duce la C 3 = 0 şi C 4 = 0.
Exemplu.
Pentru o placă circulară, încastrată pe contur, încărcată cu sarcină
uniform distribuită p, se scriu succesiv relaţiile:
- deplasarea: w = C 1 + C 2 r 2 + C 3 ln r + C 4 r 2 ln r + pr 4 /64D;
- rotirea: dw/dr = 2C 2 r + C 3 /r + C 4 (2r ln r +r) + pr 3 /16D.
Condiţia ca în centrul plăcii (pentru r =0) w şi M r să aibă valori
finite duce la rezultatele C 3 = C 4 =0, iar relaţiile anterioare devin:
- deplasarea: w = C 1 + C 2 r 2 + pr 4 /64D;
- rotirea: dw/dr = 2C 2 r + pr 3 /16D.
Condiţiile pe conturul exterior, încastrat, al plăcii sunt: w =
dw/dr = 0, pentru r = R şi se obţine:
C 1 + C 2 R 2 + pR 4 /64D = 0; 2C 2 R + pR 3 /16D = 0 din care rezultă:
C 1 = pR 4 /64D ; C 2 = - pR 2 /32D.
Înlocuind aceste valori în expresiile anterioare, se obţin relaţiile
de calcul pentru placa considerată:
4
2
4
2 2 2
2 2
pR pR pr p(R r
) dw p(R r )
w ; ;
64D 32D 64D 64D dr 32D
2
2
2
2
pR
r pR
r pr
M (1 ) (3 ) ; M (1 ) (1 3 ) ; T .
r
2
2 r
16
R
16
R
2
8.9. Structuri din plăci
Numeroase structuri mecanice sunt realizate din table care se
asamblează, de regulă, prin sudură. Avantajele practice ale acestor
tipuri de structuri decurg din faptul că pot avea forme oricât de
complicate, sunt relativ uşoare, iar tehnologiile de fabricaţie sunt
ieftine şi foarte bine puse la punct, cu un înalt grad de mecanizare şi
automatizare.
Calculul acestor echipamente, maşini, instalaţii, vehicule etc
trebuie făcut pe modele de structuri din plăci. Având în vedere
complexitatea formelor geometrice ale acestor structuri şi exigenţele
calculului – care poate fi de rezistenţă, rigiditate, stabilitate, dinamic
216

etc – se impune utilizarea unor algoritmi, metode şi programe de
calcul generale şi utilizarea calculatoarelor. Deci calculul se face fie,
în cazul general, cu metode
numerice generale, ca
metoda elementelor finite,
metoda diferenţelor finite sau
metoda elementelor de
frontieră (v. cap 9), fie,
pentru cazuri particulare, ca
cel al structurilor axial
simetrice (de rotaţie), cu
algoritmi şi programe
217
adecvate.
Un exemplu ilustrativ,
Figura 8.17
este prezentat în figura (8.17), pentru un utilaj siderurgic, care a fost
modelat şi calculat cu metoda elementelor finite.
Programele cu elemente finite oferă utilizatorilor zeci de tipuri
de elemente finite pentru plăci, pentru a se putea elabora, cu ele,
modele de calcul care să satisfacă cele mai diverse exigenţe
inginereşti.
Pentru o categorie mai
restrânsă de structuri din plăci şi
anume a celor de rotaţie (axial
simetrice), s-au elaborat
algoritmi care „descompun”
structura în componente simple,
pentru care se cunosc relaţiile de
calcul, ca, de exemplu, plăci
plane circulare, plăci cilindrice,
conice, sferice, toroidale etc.
Apoi, pe contururile de
„asamblare” ale componentelor,
care sunt nişte cercuri, se scriu
condiţiile de egalitate ale
deplasărilor şi de echilibru ale
Figura 8.18
eforturilor, care duc la obţinerea
unui sistem de ecuaţii din care se determină constantele de integrare

din soluţiile componentelor structurii. Odată cunoscute valorile
constantelor de integrare, în fiecare componentă a structurii se pot
calcula, în oricare punct al său, deplasările, tensiunile, eforturile etc.
În figura 8.18 se prezintă, ca exemplu, un buncăr care a fost
realizat din 9 componente şi anume:
- 4 plăci inelare (componentele 1, 5, 6, 9);
- 3 plăci cilindrice (componentele 2, 4, 8);
- 2 plăci conice (componentele 3, 7).
Numărul circumferinţelor de legătură (de asamblare) este 6.
Fiecare din cele 9 componente ale structurii are o soluţie care
conţine 4 constante de integrare, deci în total 4*9=36 necunoscute.
Pentru fiecare din cele 6 circumferinţe se scriu următoarele ecuaţii:
- condiţii de egalitate (continuitate) a deplasărilor radiale w, ale
componentelor „conectate” pe conturul respectiv;
- condiţii de egalitate a rotirilor normalelor la suprafeţele
mediane ale componentelor „conectate” pe conturul respectiv;
- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a momentelor axiale,
pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv;
- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a forţelor pe direcţie
radială, pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Tacu, T., Calcule de rezistenţă pentru
utilaje tehnologice, Structuri izotrope, axial simetrice, Editura
tehnică, Bucureşti, 1979.
2. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
3. Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S., Teoria plăcilor
plane şi curbe, Editura tehnică, Bucureşti, 1968.
4. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F.P., Introducere în
mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei,
Bucureşti, 1989.
218