6. Solicitări dinamice ale pieselor şi structurilor

5.
SOLICITĂRI DINAMICE ALE PIESELOR
ŞI STRUCTURILOR
Numeroase probleme inginereşti trebuie abordate având în
vedere mişcarea diverselor maşini şi componente ale acestora, de
exemplu, în diverse regimuri de funcţionare, la solicitările dinamice
produse de vânt, de cutremure, vibraţiile şi şocurile diverselor
instalaţii, mijloacelor de transport etc, apărute în timpul manevrelor
etc. În aceste situaţii apar mişcări ciclice, vibraţii, propagări ale
mişcărilor, disipare a energiei, oboseală, instabilitate, zgomote etc,
care induc în structurile de rezistenţă solicitări suplimentare.
Importanţa practică şi complexitatea abordării prin calcul şi/sau
experimental a problemelor dinamice ale sistemelor mecanice, au dus
la constituirea mai multor discipline inginereşti, de sine stătătoare,
destinate acestor probleme ca, de exemplu: dinamica maşinilor,
teoria vibraţiilor, teoria şocurilor, dinamica construcţiilor etc. În
rezistenţa materialelor nu sunt incluse, de regulă, decât unele
probleme dinamice elementare, foarte simple.
Considerând calculul la solicitări statice drept demersul de bază
pentru o analiză inginerească – care are în vedere modelarea
geometriei, rigidităţilor, sarcinilor şi reazemelor – un model pentru o
analiză a comportării dinamice a unei structuri sau a unei piese
trebuie să mai ia în considerare şi – cel puţin – modelarea maselor şi
a amortizărilor. De asemenea, se poate pune problema considerării
valorilor constantelor mecanice şi elastice dinamice ale materialelor,
a variaţiei sarcinilor în timp, a dependenţei amortizărilor de frecvenţă
etc.
5.1. Concepte şi noţiuni de bază
Calculul dinamic al unei structuri constă, în esenţă, în
determinarea răspunsului (sau a efectelor de natură mecanică asupra
structurii) acesteia la acţiunea unor sarcini sau deplasări impuse,
141

variabile în timp, denumite perturbaţii sau excitaţii. Răspunsul este
determinat de caracteristicile mecanice ale structurii şi de parametrii
excitaţiei, relaţia cauză – efect depinzând de structură. Orice
problemă de dinamica structurilor constă în stabilirea relaţiilor dintre
excitaţie, caracteristicile dinamice ale structurii şi răspunsul acesteia.
În acest scop, de regulă, se scrie ecuaţia de mişcare, care în condiţiile
în care mişcarea de rotaţie lipseşte, are forma
M u
C u
K u
F(t)
, (5.1)
în care: [M] este matricea de masă, simetrică şi pozitiv definită, de
obicei constantă; [C] este matricea de amortizare vâscoasă, (sau [C i ],
care este o matrice de amortizare generată de material, descriind
disiparea energiei în interiorul materialului), de obicei (semi)pozitiv
definită, constantă şi simetrică; [K] este matricea de rigiditate,
(semi)pozitiv definită şi simetrică (în general, matricea de rigiditate
[K] are şi o componentă generată de rigiditatea geometrică sau a
tensiunilor iniţiale [K σ ], denumită matricea de rigiditate geometrică),
{u} este vectorul deplasărilor nodale; { u } este vectorul vitezelor
nodale; { u } este vectorul acceleraţiilor nodale; {F}={F(t)} este
vectorul excitaţiilor sau forţelor (al încărcărilor) nodale; t este
variabila timp.
Observaţii: O matrice pozitiv definită are toate elementele de pe diagonală
strict pozitive (nenule şi pozitive). O matrice semi-pozitiv definită este o matrice
pozitiv definită, care are câteva elemente de pe diagonală nule.
Problemele de dinamica structurilor pot fi împărţite în două mari
categorii: directe şi inverse.
Problema directă este cea în care se cunosc ecuaţiile care
descriu comportarea dinamică a structurii, se cunoaşte excitaţia şi se
cere răspunsul structurii.
Problema inversă poate avea, în principiu, două variante:
- se cunoaşte răspunsul structurii la o excitaţie dată, dar nu se
cunosc ecuaţiile de mişcare, configuraţia structurii sau unii parametri
ai acesteia;
- se cunosc structura şi răspunsul ei, dar nu se cunoaşte excitaţia.
Prin urmare, problema inversă poate avea următoarele variante
inginereşti, practice:
142

a. Sinteza sau proiectarea. Excitaţia şi răspunsul fiind cunoscute,
se concepe, adică se proiectează sau se face sinteza unei structuri
realizabile tehnic, economic şi tehnologic, care să aproximeze cât
mai bine relaţia excitaţie – răspuns. Soluţia nu este unică, gradul de
aproximare fiind diferit de la caz la caz. De asemenea, trebuie avute
în vedere şi multe alte aspecte, funcţionale şi de calcul, privind
condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească structura.
b. Măsurarea. Se cunoaşte structura şi răspunsul acesteia şi se
caută excitaţia care produce răspunsul respectiv. Este cazul
măsurărilor cu aparate a căror funcţie de transfer sau curbă de
etalonare se cunoaşte, cazul determinării forţelor excitatoare etc.
c. Identificarea structurii. Se cunosc o serie de parametri şi
funcţii ale excitaţiei şi răspunsului şi se caută o descriere matematică
sau un model al structurii. Frecvent, datele se obţin sub forma unui
răspuns în frecvenţă al modelului la excitaţia cu “semnale de probă”
armonice, neperiodice sau aleatoare, pe baza căruia se determină
frecvenţele, modurile proprii de vibraţie şi proprietăţile dinamice
specifice: amortizare, rigiditate dinamică etc.
Principalele categorii de fenomene care aparţin domeniului
dinamicii structurilor se definesc astfel:
a. Vibraţiile. Acestea sunt variaţii în timp ale unei mărimi de
stare a structurii, de obicei în vecinătatea valorii corespunzătoare
unei stări de echilibru, produse de forţe de “readucere” elastice.
b. Vibraţiile libere. Dacă un sistem elastic (piesă sau structură)
este scos din poziţia de echilibru stabil, prin aplicarea unei solicitări
statice, acesta înmagazinează o cantitate de energie potenţială. Dacă
apoi sistemul este lăsat liber, fără să se mai introducă energie în
sistem, acesta execută vibraţii libere, prin transformarea repetată a
energiei potenţiale de deformaţie a sistemului elastic în energie
cinetică a maselor acestuia şi invers. În prezenţa unor forţe de
frecare, energia sistemului este disipată, iar vibraţiile se amortizează
după un număr oarecare de cicluri.
c. Autovibraţiile. Acestea se pot produce când scoaterea din
poziţia de echilibru static a sistemului are loc în prezenţa unei surse
de energie. Amplitudinea mişcării creşte continuu, până când este
limitată de efecte nelineare sau de amortizare. Mişcarea este
143

întreţinută de o forţă periodică, creată sau determinată de mişcarea
însăşi, deşi energia este furnizată uniform de sursa exterioară.
d. Vibraţiile forţate sau întreţinute. Sunt produse de forţe
perturbatoare independente, care aplică structurii sarcini sau
deplasări dinamice, variabile în timp. Astfel de excitaţii duc la un
transfer de energie de la sursa perturbatoare la sistemul elastic. Dacă
transferul are loc periodic, constant pe fiecare ciclu, vibraţia forţată
este staţionară, de amplitudine constantă. Dacă transferul de energie
se face neuniform, vibraţia are un caracter tranzitoriu, amplitudinea
variind până la stabilirea unui regim staţionar sau până la amortizarea
completă.
e. Şocurile sau impacturile. Se produc la aplicarea bruscă a unei
perturbaţii, adică aceste probleme sunt cazuri particulare ale celor
definite la categoria d. Şocul este o perturbaţie prin care se transmite
structurii energie cinetică într-un interval de timp scurt, în comparaţie
cu perioada sa proprie de vibraţie. Din momentul încetării acţiunii
şocului, răspunsul structurii devine o vibraţie liberă.
f. Vibraţiile aleatoare. Acestea au caracter nedeterminist,
aleator, adică valorile instantanee ale mărimilor care definesc
mişcarea nu sunt predictibile. Acesta este cazul majorităţii situaţiilor
reale, practice, spre deosebire de vibraţiile periodice şi de cele
tranzitorii, care sunt fenomene deterministe.
g. Vibraţiile proprii. În general, când asupra unei structuri
linear elastice, cu parametri invariabili în timp, se aplică o
perturbaţie oarecare, mişcarea rezultantă este suma a două
componente distincte: vibraţia forţată, descrisă de o funcţie
asemănătoare funcţiei excitaţiei şi vibraţia proprie, dependentă doar
de caracteristicile dinamice ale structurii, a cărei funcţie de timp este,
de obicei, o combinaţie între o sinusoidă şi o exponenţială. În cazul
unei perturbaţii armonice sau aleatoare staţionare vibraţia proprie se
amortizează foarte repede, imediat după începutul mişcării,
rămânând doar vibraţia forţată, care, în anumite condiţii, poate
produce fenomenul de rezonanţă.
h. Rezonanţa. Acest fenomen dinamic ia naştere la frecvenţele
la care suma celor două energii “reactive” recuperabile – potenţială şi
cinetică – este nulă, iar energia transmisă structurii este egală cu cea
disipată prin frecări. Rezonanţa se produce când “spectrul de
144

frecvenţe” al perturbaţiei acoperă un domeniu ce cuprinde
frecvenţele proprii ale sistemului.
Rezonanţa se caracterizează prin amplitudini mari ale mişcării în
anumite puncte sau zone ale structurii, însoţite de tensiuni mari sau
deplasări relative considerabile, care pot duce la ruperi prin oboseală,
funcţionare necorespunzătoare, uzură sau zgomot accentuate.
5.2. Principiile şi etapele elaborării modelelor şi a analizei
problemelor dinamice
Elaborarea unui model şi abordarea prin calcul a analizei
comportării dinamice a unei piese sau structuri constă, în esenţă, în
definirea unui ansamblu de elemente elastice, inerţiale şi
disipative, capabil să descrie
satisfăcător fenomenul care
interesează şi constă în parcurgerea,
cel puţin, a următoarelor etape:
a. Adoptarea unei scheme
cinematice, prin care se aleg gradele
de libertate geometrică, care
definesc forma deformată a
structurii.
b. Definirea valorilor şi
poziţiilor maselor asociate schemei
cinematice. De exemplu, pentru
arborele din figura 5.1.a, având în
capătul liber un volant de masă M,
masa arborelui fiind m, se pot avea
Figura 5.1
în vedere numeroase modele de
calcul, dintre care se prezintă patru,
cu diverse variante de distribuire a
maselor şi a gradelor de libertate. Modelul din figura 5.1.e consideră
arborele cu masa distribuită şi deci cu o infinitate de grade de
libertate; pentru volant s-au considerat două grade de libertate:
deplasarea z 1 şi rotirea φ 1 .
Piesele şi structurile reale au masele distribuite continuu. Dar
considerarea modelelor de calcul astfel – ceea ce înseamnă modelări
şi analize mai precise – duce la dificultăţi de calcul care nu sunt
145

totdeauna justificate, motiv pentru care frecvent se preferă modele de
calcul cu mase concentrate.
Operaţia de concentrare a maselor poate fi considerată din două
puncte de vedere şi anume:
- modelul cu mase concentrate aproximează structura reală, care
are masa distribuită, gradul de aproximare fiind cu atât mai bun, cu
cât se consideră mai multe mase concentrate. Suma maselor
concentrate trebuie să fie egală cu masa totală a structurii;
- modelul cu mase concentrate este echivalent, din punct de
vedere dinamic, cu structura reală, în sensul că, atât structura reală
cât şi modelul de calcul, au aceleaşi deplasări maxime sau aceeaşi
energie de deformaţie. În acest caz, din condiţia ca deplasările
maxime sau energiile de deformaţie să fie egale, rezultă masa
echivalentă a modelului, care, de obicei, nu este egală cu masa
structurii.
c. Definirea următoarelor caracteristici ale modelului de calcul:
- legăturile interioare deformabile ale structurii;
- relaţiile tensiune-deformaţie specifică (legea constitutivă);
- modelele corespunzătoare tipului de deformare considerat;
- proprietăţile materialelor din care este realizată structura;
- amortizările.
d. Definirea amortizărilor. Determinarea corectă a tipului de
amortizare precum şi estimarea valorilor constantelor de amortizare,
specifice problemei concrete care se studiază, constituie o dificultate
majoră a modelării şi analizei unei probleme dinamice. Variaţii
relativ neînsemnate ale tipului şi valorilor constantelor de amortizare
pot duce, în unele situaţii, la comportări dinamice complet diferite
ale structurii. Informaţii exacte privind caracteristicile de amortizare
ale structurii nu pot fi obţinute decât experimental, prin determinări
pe structura pentru care se face analiza. Dacă acest deziderat nu este
posibil (de exemplu, structura este în faza de proiectare), se folosesc
informaţiile disponibile de la structuri asemănătore, existente.
Principalele cauze ale amortizării vibraţiilor unei structuri
deformabile sunt:
- neelasticitatea materialelor, care produce “amortizarea internă”;
- frecările între elementele componente, care produc
“amortizarea de structură”;
146

- frecările cu mediul ambiant, care produc “amortizarea externă”.
Natura fizică a mecanismelor de amortizare este atât de
diferită, încât pentru descrierea lor este necesară utilizarea mai
multor modele, dintre care, cele mai cunoscute sunt următoarele:
- Amortizarea vâscoasă lineară. Cel mai simplu model mecanic
care descrie acumularea de energie potenţială de deformaţie şi
disiparea de energie constă dintr-un element elastic ideal (reprezentat
prin arcul de constantă elastică k în fig. 5.2.a) şi un amortizor ideal
(definit prin coeficientul de amortizare c) legate în paralel (model
denumit Kelvin - Voigt).
Forţa dezvoltată de arc
este proporţională cu
deplasarea relativă
|f e | = k(x-y) = kz, iar
forţa dezvoltată de
amortizor este
a b c
Figura 5.2
147
proporţională cu viteza
relativă
| fd | c(x- y) cz
.
Deci relaţia “forţă – deplasare” pentru modelul din figura 5.2.a este
f kz cz
. (5.2)
- Amortizarea histeretică. Pentru multe materiale, energia disipată
într-un ciclu de vibraţie este proporţională cu pătratul amplitudinii
deplasării, fiind independentă de pulsaţie. Se ajunge la modelul din
figura 5.2.b, la care coeficientul de amortizare c variază invers
proporţional cu pulsaţia ω, adică c = h / ω, în care h este coeficientul
de amortizare histeretică.
Trebuie avut în vedere că modelul amortizării histeretice
(denumită şi amortizare “constructivă” sau “structurală”) este valabil
doar pentru vibraţii armonice, în cazul regimurilor tranzitorii ducând
la rezultate absurde.
- Amortizarea ereditară. Modelul cu trei parametri (fig. 5.2.c)
este format din amortizorul vâscos liniar c şi două elemente pur
elastice cu constantele k 1 şi k 2 . Dacă pentru modelul cu amortizare
vâscoasă lineară (fig. 5.2.a) disiparea de energie era proporţională cu
viteza relativă instantanee, pentru modelul cu trei parametri (fig.

5.2.c) disiparea depinde de “istoria” acestei viteze, de aceea
amortizarea se numeşte “ereditară”. Modelul amortizării ereditare se
poate reduce la un model Kelvin -Voigt cu parametri dependenţi de
pulsaţie.
- Amortizarea coulombiană. Este un model de amortizare
nelineară, produsă de frecarea uscată. Forţa de amortizare
coulombiană are amplitudine constantă, este independentă de
deplasare şi de pulsaţie, având sens contrar vitezei.
- Amortizarea echivalentă. Pentru simplificarea modelului de
calcul, forţa de amortizare nelineară se înlocuieşte cu o forţă
vâscoasă sau histeretică lineară echivalentă, astfel încât energia
disipată pe ciclu de amortizorul nelinear să fie egală cu cea disipată
de amortizorul echivalent, deplasarea relativă fiind aceeaşi. Rezultă
că un coeficient de amortizare echivalent (vâscos sau histeretic)
depinde, în general, de pulsaţia şi amplitudinea vibraţiei; utilizarea
lui ca şi cum ar fi constant, presupune să se determine experimental
domeniul pentru care această ipoteză este valabilă.
Observaţie. Cele 3 schematizări din figura 5.2 nu reprezintă structuri, ci
modele mecanice echivalente ale comportării materialului, deci sunt modele de
material.
La elaborarea modelului de calcul dinamic al unei structuri
trebuie să se aibă în vedere că elementele de amortizare cât şi cele
elastice se introduc atât între mase, cât şi între mase şi puncte fixe
(reazeme).
Ca urmare a frecărilor (amortizărilor) din structură, relaţiile de
dependenţă dintre sarcinile P şi deplasările u, precum şi cele dintre
tensiunile σ şi deformaţiile ε sunt nelineare.
a b c d e
Figura 5.3
Dacă se reprezintă grafic astfel de dependenţe, se obţin aşa-zisele
bucle de histerezis. În figura 5.3 se prezintă câteva modele de bucle
148

de histerezis, tipice, idealizate, obţinute pentru diverse clase de
structuri şi anume:
- structuri din oţel sudate: figura 5.3.a;
- structuri asamblate cu şuruburi, în care apar lunecări la un
anumit nivel al sarcinilor: figura 5.3. b şi c;
- structuri din beton armat precomprimat: figura 5.3.d;
- structuri din beton armat, ale căror rigidităţi scad la apariţia
fisurilor: figura 5.3.e.
e. Definirea legăturilor exterioare deformabile ale structurii,
luând în considerare şi proprietăţile mediilor adiacente (dacă este
cazul: de exemplu, fundaţiile).
f. Definirea acţiunilor mediului exterior considerate în calcul şi
stabilirea gradelor de libertate asupra cărora acţionează, adică
precizarea modului de aplicare şi definire a modului de variaţie în
timp a diferitelor componente ale unei acţiuni.
Aproximaţiile care se fac la elaborarea modelelor pentru studiul
dinamic al structurilor se referă la:
- înlocuirea caracteristicilor “distribuite” (continue) prin
parametri “concentraţi” (discreţi) similari;
- linearizarea relaţiilor cauză-efect dintre variabilele fizice;
- neglijarea variaţiei în timp a unor parametri;
- neglijarea caracterului aleator al unor fenomene.
5.3. Tipuri de analize dinamice
Pentru a acoperi diversele cerinţe ale practicii inginereşti, sunt
necesare mai multe tipuri de analize (şi modelări) ale dinamicii
pieselor şi structurilor. Cele mai importante şi mai utilizate se
prezintă în continuare.
Analiza modală. Se consideră un model care are în vedere doar
vibraţiile libere, fără amortizare (se neglijează amortizările, adică [C]
= 0 şi forţele aplicate structurii, adică {F(t)} = 0). Ecuaţia de mişcare
(5.1) în aceste condiţii, devine
M u
K u 0 . (5.3)
it
Pentru ea se alege o soluţie de forma u
e
149
, în care este o
funcţie de poziţie (forma modală) independentă de timp, este
pulsaţia proprie, iar t variabila timp. Înlocuind în (5.3) se obţine

2
M K
0
,
care este o problemă generală de valori şi vectori proprii. Ea are ca
2
soluţie n perechi de valori proprii şi n vectori proprii
corespunzători j .
Vectorii proprii j
j j
sunt ortogonali în raport cu matricea de
masă [M] şi cu matricea de rigiditate [K] şi, de obicei, se ordonează
în ordinea crescătoare a valorilor proprii. Dacă vectorii proprii se
aranjează pe coloane, într-o matrice modală , relaţiile de
ortogonalitate se scriu în formă matriceală:
T
T
M
I
; K
în care: [I] este matricea unitate, iar
, (5.4.a)
diag 2 j , este matricea
spectrală, care conţine toate pulsaţiile (frecvenţele) vibraţiilor
proprii, libere, fără amortizare, ale structurii sau piesei.
Mărimea fizică uzual folosită de ingineri este frecvenţa proprie
f j = ω j / 2π .
Semnificaţia fizică a formei modale, este forma deformată a
structurii, care vibrează cu frecvenţa proprie respectivă.
Cea mai mică frecvenţă proprie este numită fundamentală. Dacă
structura are mişcări de corp rigid sau de mecanism, se obţin
frecvenţe proprii nule, corespunzătoare fiecărei mişcări de corp rigid
sau de mecanism. Dacă structura prezintă simetrii, este posibil să se
obţină frecvenţe proprii coincidente.
Analiza modală presupune, implicit, o comportare teoretică,
ideală, a structurii şi anume că aceasta “vibrează numai” cu frecvenţe
şi moduri de vibraţii proprii, pure, aceasta fiind consecinţa ipotezei
că sistemul nu are amortizări. În realitate, ca urmare a existenţei
amortizărilor, la o excitaţie dată, sunt “antrenate” mai multe
frecvenţe şi moduri proprii de vibraţii, fiecare mod, “participând” cu
o anumită pondere în fenomenul de ansamblu. Această observaţie a
dus la elaborarea unor metode de calcul dinamic, prin “suprapunerea
modurilor proprii” de vibraţii, care este o etapă ulterioară analizei
modale.
150

Observaţie. Se poate spune că atâta timp cât matricele [C] şi [K][M -1 ] nu au
aceeaşi vectori proprii, amortizările cuplează modurile proprii. Altfel, vibraţiile
structurii au loc ca şi când modurile proprii sunt independente. Un astfel de efect
de cuplare are loc şi atunci când există neliniarităţi în sistem, de exemplu când [K]
depinde de amplitudinea vibraţiilor.
Analiza spectrală. Analiza de răspuns linear al unei structuri, pe
baza unor înregistrări spectrale obţinute experimental (sau în urma
unei analize tranzitorii), este posibilă prin analiză spectrală.
Înregistrările spectrale (funcţii de frecvenţă) pot fi în viteză,
acceleraţie sau deplasare. Spectrul de încărcare al structurii, atât în
punctele fixate ale structurii, cât şi în cele libere, poate fi determinist
sau aleator.
Prin analiza spectrală (denumită şi analiză în frecvenţă), se
urmăreşte determinarea distribuţiei în frecvenţă (adică la frecvenţe
diferite, pentru un anumit interval de valori) a puterii (sau energiei)
mărimilor “dinamice” ale structurii: viteze, acceleraţii sau deplasări.
În acest scop se separă componentele de diferite frecvenţe (sau
pentru “benzi” de frecvenţe) ale unui semnal complex (de exemplu,
produs de funcţionarea unei maşini sau instalaţii) şi se determină
amplitudinea fiecăreia din ele, obţinându-se, astfel, spectrul de
frecvenţe al acelei mărimi: deplasare, viteză, acceleraţie. Aceste
informaţii sunt folosite pentru diferite “diagnostice” privind
comportarea structurii, ca, de exemplu, apariţia unui fenomen de
rezonanţă.
Metodele de calcul diferă, funcţie de caracterul excitaţiei: întruun
singur punct, sau în mai multe puncte. Pentru vibraţii aleatoare se
foloseşte metoda densităţii spectrale de putere. În esenţă, metoda se
bazează pe o analiză modală, urmată de o combinaţie modală în
diverse ipoteze. Amortizarea se consideră în calcul, dar se presupune
că ea este proporţională sau modală.
Analiza armonică. Se determină răspunsul unei structuri care are
încărcarea (vectorul forţelor şi/sau al deplasărilor) variabilă după o
funcţie armonică (adică trigonometrică, de exemplu, sinusoidală), de
pulsaţie ω, constantă (sau frecvenţa f).
i
it
În ecuaţia de mişcare (5.1), F(t)
F
e e
. Se presupune
i
it
că răspunsul (soluţia ecuaţiei) este de forma u u
e e
care:
max
151
max
F este amplitudinea forţelor;
max
max
, în
u este amplitudinea

ăspunsului; este defazajul între forţe; este defazajul între
deplasări şi forţe.
Prin separarea părţii reale şi imaginare a vectorilor deplasare {u}
şi forţă {F} se obţine:
it
it
u
uRe
iuIm
e
; F FRe
iFIm
e
,
iar ecuaţia de mişcare (5.1) devine
2
M
iC
K u
Re
iu
Im F
Re
iF
Im, (5.5)
adică se obţine un sistem de ecuaţii liniare cu valori complexe
(echivalent problemei statice), în care necunoscutele sunt deplasările
şi/sau forţele. Este posibil ca pentru o parte a gradelor de liberate să
se cunoască forţele şi să nu se cunoască deplasările, sau invers.
Amplitudinea deplasării, u max şi defazarea relativă a deplasării
faţă de faza forţei, , pentru fiecare grad de libertate, se calculează
cu relaţiile
2
Re
2
Im
umax
u u ; arctan u Im
uRe
.
Analiza armonică a răspunsului unei structuri este foarte
importantă pentru modelarea şi analiza problemelor dinamice ale
structurilor sau pieselor, deoarece orice mişcare periodică (oarecare),
poate fi descrisă ca suprapunerea unui număr, finit sau infinit, de
vibraţii armonice. În practică, se consideră totdeauna, un număr finit
de “armonice”, analizele inginereşti fiind aproximative. Acest
demers este justificat şi de faptul că unele moduri de vibraţie au o
contribuţie nesemnificativă la răspunsul structurii. Rezultă că vibraţia
armonică este mişcarea periodică elementară, sau fundamentală.
Analiza tranzitorie. Cea mai generală problemă dinamică este
cea pentru care {F} = {F(t)} (sau {u} = {u(t)}) este o funcţie
oarecare de timp. Soluţia unei astfel de probleme se obţine prin
integrarea directă, analitică sau numerică, a ecuaţiei de mişcare
(5.1). Această analiză permite introducerea tuturor tipurilor de
nelinearităţi. În cazul general încărcările pot proveni şi din deplasări
impuse, variabile în timp.
În cele ce urmează se consideră cazul încărcărilor cu forţe
variabile şi deplasări impuse nule. Analiza constă din rezolvarea pas
cu pas (incrementală), în timp, a ecuaţiilor de mişcare. Rezolvarea
este posibilă dacă se cunosc condiţiile iniţiale în deplasări şi viteze şi
152

dacă pasul de timp t , în algoritmul de integrare (numeric), este
suficient de mic pentru a descrie corect mişcarea şi a asigura
stabilitatea algoritmilor. Din punct de vedere matematic există două
tehnici distincte de integrare directă a ecuaţiei (5.1):
- metoda integrării implicite, în care
u
n1 f u
n1,
un1,
u
n,
,
deci pentru calculul deplasării la pasul n + 1 ar trebui cunoscute
viteza şi acceleraţia la acelaşi pas, pe lângă deplasările, vitezele şi
acceleraţiile din paşii precedenţi;
- metoda integrării explicite, pentru care
u
n1
f un
, un
, un,
u
n1,
,
deci, pasul n+1 se calculează funcţie de mărimile precedente, până la
pasul n.)
Analizele tranzitorii, chiar pentru probleme dinamice relativ
simple, necesită un volum de calcul apreciabil. De aceea, aproape
toate problemele practice se rezolvă cu metode numerice de calcul,
implementate în programe, pe calculatoare.
5.4. Exemplu
f 4 (t)
C
f 3 (t)
f 2 (t)
f 1 (t)
k 4
4
C
k 3
3
C
k 2
2
C
k 1
1
Figura 5.4
M 4
M 3
M 2
M 1
u 4
u 3
u 2
u 1
Se consideră un exemplu de
analiză dinamică a unei structuri
cu patru grade de libertate.
Structura este reprezentată în
figura 5.4 şi este schema (modelul
de calcul) unei clădiri cu patru
nivele. Se face aproximarea că
fiecare nivel se poate mişca pe
orizontală independent de
celelalte, dar nu se poate roti sau
deplasa pe verticală. Legătura
dintre nivele este asigurată de
coloane cu rigiditatea la încovoiere
cunoscută (k i , i=1…4). În
exemplul numeric se consideră că
toate rigidităţile sunt egale între
ele şi au valoarea 68 MN/m.
Datorită frecărilor din elementele
153

de fixare, mişcarea relativă a două nivele vecine este amortizată, cu
coeficienţii de amortizare (C i , i=1…4). În exemplul numeric se
consideră că toate amortizările modale sunt egale între ele şi au
valoarea 0.01. Masele celor patru nivele sunt M 1 = 3200 kg, M 2 = M 3
= 2600 kg şi M 4 = 1800 kg. Forţe externe f i (t) acţionează asupra
fiecărui nivel.
Modelarea matematică. Se scrie ecuaţia de mişcare a fiecărui
nivel, luând în considerare forţele externe şi cele de legătură cu
nivelele vecine. De exemplu, pentru nivelul al doilea se poate scrie:
M
2u
2
f2(t)
k
2(u
2
u1)
C (u
2 2
u
1)
(5.8)
k3(u3
u
2)
C3(u
3
u
2).
Ecuaţia întregului sistem este de forma (5.1), unde
M1
0
[M]
0
0
0
M2
0
0
0
0
M3
0
C1
C2
C2
[C]
0
0
0
0
,
0
M4
C2
C2 C3
C3
0
K1
K2
K2
[K]
0
0
0
C3
C3 C4
C4
154
K2
K2 K3
K3
0
K3
K3 K4
K4
0
0
,{u}
{u1,
u
2,
u
3,
u
4}.
C4
C4
0
0
0
,
K4
K4
(5.9)
Analiza modală. Scopul analizei modale este dublu: pe de o
parte, se urmăreşte determinarea frecvenţelor naturale ale sistemului,
adică a acelor frecvenţe care, atunci când sunt regăsite la forţele de
excitaţie, duc la rezonanţa structurii, iar pe de altă parte, realizând
analiza modală se obţine matricea modală, cu ajutorul căreia sistemul
iniţial de ecuaţii (5.9) poate fi transformat într-un sistem de ecuaţii
decuplate. În analiza modală se neglijează efectul amortizărilor,
ecuaţia de mişcare a sistemului devenind de forma (5.3).
Tabelul 5.1
Frecvenţa
proprie (Hz)
Modul 1 9.51 {-0.0050, -0.0092, -0.0121, -.0134}
Modul 2 26.12 { 0.0123, 0.0090, -0.0036, -0.0124}
Modul 3 39.39 {0.0107, -0.0094, -0.0075, 0.0120}
Modul 4 48.56 { -0.0048, 0.0114, -0.0130, 0.0089}
Alegând o formă particulară a soluţiei, aceasta este pusă în forma
unei ecuaţii de valori proprii de forma (5.4), în care [M] şi [K] sunt
{}

date în (5.9). Rezolvând această problemă de valori proprii se obţin
următoarele perechi de frecvenţe şi vector
Vectorii proprii arată cum se deformează structura, dacă ar vibra
liber cu frecvenţa proprie respectivă. Aceste moduri proprii de
vibraţie sunt reprezentate în figura 5.5.
Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4
Figura 5.5
Decuplarea ecuaţiei de mişcare. Aceasta se poate face folosind
matricea modală [. Decuplarea ecuaţiei (5.1) revine la
diagonalizarea matricelor din (5.9) şi este de dorit acest lucru,
deoarece, odată decuplate, ecuaţiile pot fi rezolvate independent,
pentru orice forţă de excitaţie. Pentru aceasta se procedează în felul
următor:
- Vectorul soluţie, {u}, este scris în mod formal ca o superpoziţie
de moduri proprii, { u} {q
}, unde {q} este un vector care poate fi
tratat pentru moment ca un vector de coeficienţi (se mai numeşte şi
vectorul coordonatelor modale). Introducând în ecuaţia de mişcare,
rezultă
M[
]
q
C [
]
q
K [
]
q
F(t)
,
iar după înmulţirea la stânga cu inversa matricei modale, [] -1 ,
1 1
1
1
[ ]
M [
]
q
[
]
C [
]
q
[
]
K [
]
q
[ ]
F(t)
. (5.10)
În continuare se folosesc ecuaţiile care reprezintă normalitatea
modurilor proprii de vibraţie (5.4.a), astfel încât (5.10) se poate scrie
1
[I] q
C
q
m
q
[ ]
F(t)
(5.11)
unde [I] este matricea unitate.
Vibraţiile libere. Vibraţiile libere sunt vibraţiile structurii, care
urmează unei solicitări de tip impuls. Pentru acest exemplu s-a
155

considerat un impuls (o “lovitură de ciocan”) aplicat masei M 4 .
Sistemul de ecuaţii a fost rezolvat impunând o viteză iniţială masei
M 4 . Răspunsul se obţine prin integrarea directă a ecuaţiei (5.11) sau
prin analiză modală şi este reprezentat în figura 5.6.
Figura 5.6 Figura 5.7
Din cauza amortizării, răspunsul sistemului descreşte spre zero,
imediat după solicitarea impuls. Se notează că în calculul de
rezistenţă, deplasarea dintr-un mod (al unui grad de libertate) este
oarecum irelevantă, mărimea importantă fiind deplasarea relativă a
două nivele vecine, ceea ce duce la tensiuni în elementele de
legătură.
Analiza spectrală. Spectrul de frecvenţe al sistemului considerat
se obţine efectuând transformata Fourier a răspunsului impuls. Pentru
exemplificare, s-a considerat răspunsul impuls la nivelul celui de al
patrulea grad de libertate, care s-a reprezentat în figura 5.6. Astfel, se
obţine spectrul răspunsului măsurat la nivelul acestei mase, ca în
figura 5.7.
Energia sistemului este concentrată în patru benzi de frecvenţă,
centrate la frecvenţele de rezonanţă. În sistemele cu amortizare,
aceste frecvenţe sunt diferite de frecvenţele proprii ale sistemului
(Tab. 5.1). În cazul în care amortizările sunt mici (care este şi cazul
curent), diferenţa dintre frecvenţele de rezonanţă şi cele proprii este
neglijabilă. În condiţiile în care structura este excitată cu o forţă
externă conţinând una dintre aceste frecvenţe, amplitudinea
răspunsului creşte foarte mult (dar nu la infinit, datorită prezenţei
amortizărilor) existând pericolul cedării. În general, se recomandă
156

proiectarea structurii astfel încât să nu aibă frecvenţe naturale în
regiuni apropiate frecvenţelor de excitaţie. Pentru o structură deja
executată, se recomandă modificarea ei prin adăugarea
amortizoarelor pasive sau active, care au şi scopul de a schimba
frecvenţa de rezonanţă a structurii.
5. Concluzii
Studiul unei probleme de dinamica unei piese sau structuri
implică un proces iterativ de îmbinare a analizei teoretice cu
determinările experimentale. În acest cadru, cunoaşterea
caracteristicilor dinamice ale materialelor şi ale structurii în
ansamblu (foarte importantă este cunoaşterea amortizărilor: tipul
procesului de amortizare şi valorile exacte ale constantelor),
constituie un factor esenţial pentru succesul modelării şi analizei
problemei dinamice. Forma cea mai evoluată de exprimare a acestor
exigenţe o constituie elaborarea modelului de calcul al sistemului
analizat, care permite efectuarea unor analize şi elaborarea unor
“predicţii” cantitative privind comportarea structurii în exploatare,
fiind deosebit de util în procesele de proiectare şi optimizare.
În acest context se ajunge la problema identificării sistemelor,
care este, în esenţă, procesul de determinare a ecuaţiilor diferenţiale
care descriu comportarea unui sistem, în concordanţă cu un criteriu
de performanţă prestabilit, pe baza unor relaţii între mărimile care
caracterizează excitaţia şi cele care caracterizează răspunsul.
Identificarea dinamică are ca obiectiv stabilirea ecuaţiilor de mişcare
şi implicit a coeficienţilor care intră în compunerea lor, deci
determinarea caracteristicilor dinamice ale structurii.
Bibliografie
1. Hangan, S.M., Crainic L.N., Concepte şi metode energetice în
dinamica construcţiilor, Bucureşti, Editura Academiei, 1980.
2. Radeş, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor
mecanice, Bucureşti, Editura Academiei, 1979.
3. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
157