6. Solicitări dinamice ale pieselor şi structurilor

2
M K
0
,
care este o problemă generală de valori şi vectori proprii. Ea are ca
2
soluţie n perechi de valori proprii şi n vectori proprii
corespunzători j .
Vectorii proprii j
j j
sunt ortogonali în raport cu matricea de
masă [M] şi cu matricea de rigiditate [K] şi, de obicei, se ordonează
în ordinea crescătoare a valorilor proprii. Dacă vectorii proprii se
aranjează pe coloane, într-o matrice modală , relaţiile de
ortogonalitate se scriu în formă matriceală:
T
T
M
I
; K
în care: [I] este matricea unitate, iar
, (5.4.a)
diag 2 j , este matricea
spectrală, care conţine toate pulsaţiile (frecvenţele) vibraţiilor
proprii, libere, fără amortizare, ale structurii sau piesei.
Mărimea fizică uzual folosită de ingineri este frecvenţa proprie
f j = ω j / 2π .
Semnificaţia fizică a formei modale, este forma deformată a
structurii, care vibrează cu frecvenţa proprie respectivă.
Cea mai mică frecvenţă proprie este numită fundamentală. Dacă
structura are mişcări de corp rigid sau de mecanism, se obţin
frecvenţe proprii nule, corespunzătoare fiecărei mişcări de corp rigid
sau de mecanism. Dacă structura prezintă simetrii, este posibil să se
obţină frecvenţe proprii coincidente.
Analiza modală presupune, implicit, o comportare teoretică,
ideală, a structurii şi anume că aceasta “vibrează numai” cu frecvenţe
şi moduri de vibraţii proprii, pure, aceasta fiind consecinţa ipotezei
că sistemul nu are amortizări. În realitate, ca urmare a existenţei
amortizărilor, la o excitaţie dată, sunt “antrenate” mai multe
frecvenţe şi moduri proprii de vibraţii, fiecare mod, “participând” cu
o anumită pondere în fenomenul de ansamblu. Această observaţie a
dus la elaborarea unor metode de calcul dinamic, prin “suprapunerea
modurilor proprii” de vibraţii, care este o etapă ulterioară analizei
modale.
150