4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

3.
METODE DE CALCUL ENERGETICE ŞI
APROXIMATIVE
ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR
3.1. Generalităţi
Scopul primordial al activităţilor inginereşti este realizarea de
maşini, aparate, instalaţii etc. În istoria ingineriei sunt consemnate
numeroase situaţii în care s-au creat maşini noi fără să existe o bază
teoretică sau formule de calcul. Exemplul cel mai cunoscut este
motorul cu ardere internă, pentru care nici în prezent nu sunt
elucidate toate aspectele teoretice şi de calcul (fenomenele implicate
sunt foarte diferite şi complexe: procese chimice de ardere,
transmisia căldurii, dinamica gazelor, solicitările mecanice, ungerea,
zgomotul, uzura etc), dovadă fiind faptul că an de an apar
perfecţionări care duc la reducerea consumului de combustibil sau la
creşterea performanţelor motoarelor.
Pe măsură ce s-au dezvoltat matematica, fizica, metalurgia,
mecanica etc a fost posibilă elaborarea de teorii şi relaţii de calcul
pentru unele probleme inginereşti, din ce în ce mai complexe. Dar
inginerii au înţeles că unele fenomene şi procese sunt atât de
complicate încât nu este posibilă abordarea lor teoretică, iar
elaborarea unor metode şi relaţii de calcul exacte, uneori, este
imposibilă. Pentru a ieşi din impas s-au impus în practică teorii,
metode şi relaţii de calcul aproximative, cu utilizări mai restrânse sau
mai generale, bine precizate. O teorie sau o formulă de calcul
aproximativă poate fi foarte utilă inginerilor, dacă este folosită cu
discernământ. De fapt, orice activitate inginerească se desfăşoară în
condiţiile unei precizii date, de obicei, abateri sau erori de 5...30 %
fiind acceptabile pentru activităţile curente.
Dezvoltarea calculatoarelor numerice foarte performante a dus,
în ultimele decenii, la elaborarea şi perfecţionarea unor metode
77

numerice energetice şi aproximative de calcul, care s-au impus în
toate domeniile inginereşti prin realizări spectaculoase ca, de
exemplu, cucerirea spaţiului cosmic. Acest proces de ansamblu se
regăseşte şi în rezistenţa materialelor. De fapt, calculele de rezistenţă
sunt în esenţă aproximative, dintr-o multitudine de considerente,
metoda de calcul fiind doar o verigă a unui proces complex creativ.
În rezistenţa materialelor se folosesc, chiar de la naşterea ei ca ştiinţă,
metode energetice şi aproximative de calcul, dintre care, cele mai
importante, se prezintă în acest capitol. Trebuie făcută precizarea că,
pe de o parte, unele metodele energetice pot fi aproximative, iar pe
de altă parte, că unele metode aproximative nu sunt energetice (sau
nu sunt formulate în termeni energetici). Aceste metode au
numeroase variante, ele constituind o „familie consistentă” şi un
domeniu distinct al ingineriei. Metodele numerice – aproximative –
de calcul au avantajul că sunt mult mai generale decât cele analitice
şi se pretează foarte bine pentru a fi implementate pe calculatoare.
Observaţie: Este relativ dificil să se facă o distincţie categorică între metode
analitice şi numerice de calcul. Frecvent, cu relaţii analitice se elaborează programe
de calcul numeric, sau un algoritm numeric, când se foloseşte pentru un program
de calculator, trebuie să aibă o formă „analitică”, necesară procesului de
programare, ca programul să fie cât mai general şi cât mai uşor de elaborat.
Metodă energetică de calcul se numeşte, generic, cea care
presupune utilizarea, sub o formă oarecare, concepte, legi sau
formule de calcul privind diversele forme ale energiei mecanice:
cinetică, potenţială, de deformaţie, totală, complementară etc.
Practica inginerească a dovedit că aceste metode sunt simple,
generale şi eficiente pentru numeroase clase de probleme de calcul.
Explicaţia constă în faptul că energia este, ca şi materia, o „entitate”
fundamentală a universului, omniprezentă, în toate procesele din
natură fiind implicate aspecte energetice, guvernate de legi generale
şi relativ simple. Cele mai importante teoreme generale privind
procesele energetice în sistemele deformabile sunt: a reciprocităţii
lucrului mecanic, a reciprocităţii deplasărilor şi a reciprocităţii
forţelor.
Principiul metodelor variaţionale de calcul constă în faptul că
soluţia problemei se caută sub forma analitică (de regulă), a unei
funcţii oarecare
78

v = f (a 1 , a 2 , a 3 , ..., x, y, z), (3.1)
în care: v este funcţia căutată (de exemplu, relaţia dintre deplasări sau
tensiuni şi variabilele independente x, y, z);
- a 1 , a 2 , a 3 , ... parametri arbitrari, care se aleg - se variază - astfel
încât funcţia v să se apropie (adică să aproximeze) cât mai “exact”
soluţia exactă (necunoscută) a problemei.
Se va prezenta numai problema variaţională unidimensională,
aplicată la calculul barelor, adică se consideră că v depinde numai de
x (variabila definită în lungul axei barei). Acest fapt simplifică
explicaţiile, dar nu diminuează generalitatea metodelor prezentate.
Probleme în două dimensiuni (adică v = v (x,y)) sunt cele plane şi ale
plăcilor subţiri.
Există o multitudine de metode variaţionale, diferenţiate de
modul în care se aleg parametrii a 1 , a 2 , a 3 , …, în funcţie de specificul
problemei care se rezolvă.
Cea mai importantă, cea mai veche şi cea mai utilizată metodă
variaţională este cea energetică (a lui Ritz) în care parametrii a 1 , a 2 ,
a 3 , ..., se determină din condiţia ca “energia potenţială totală” a
sistemului să fie minimă. Ea este relativ sigură (este o metodă
aproximativă) în ceea ce priveşte precizia rezultatului obţinut.
Metoda implică stabilirea expresiei energiei potenţiale totale a
sistemului, ceea ce nu este totdeauna uşor. Celelalte metode
aproximative (metoda Galerkin, metoda reziduului ponderat, metoda
abaterii pătratice minime, metoda elementelor finite, metoda
diferenţelor finite etc) sunt, de fapt, metode de integrare (variaţionale
sau de analiză infinitezimală) aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale.
3.2. Teorema energiei potenţiale totale minime
Pentru un sistem (corp, structură) elastic în echilibru principiul
deplasărilor virtuale se formulează astfel: condiţia necesară şi
suficientă pentru ca un sistem elastic să fie în echilibru este ca lucrul
mecanic al forţelor exterioare, P i , (sarcinilor) pe deplasările virtuale
(mici), δs i , compatibile cu legăturile, să fie egal cu variaţia energiei
interne, δW, (de deformaţie), pentru aceleaşi deplasări.
Se presupune că pentru sistemul elastic considerat există o
funcţie, U, a cărei variaţie, δU, pentru deplasările virtuale, δs i , este
egală şi opusă ca semn cu lucrul mecanic, pe aceleaşi deplasări, al
79

forţelor exterioare, P i , care îşi păstrează valoarea constantă. Funcţia
U se numeşte potenţialul forţelor exterioare. Se poate scrie
U
n
i1
P
i
s .
i
(3.2)
Se presupune că variaţia lucrului mecanic al forţelor exterioare
se transformă complet în energie de deformaţie a sistemului, adică
cele două valori sunt egale. Aceeaşi valoare o are şi lucrul mecanic
efectuat de sistemul elastic după încetarea acţiunii sarcinilor. Un
astfel de proces de deformare se numeşte reversibil şi pentru el
δW + δU = 0 sau δ (W + U) = 0. (3.3)
În concluzie, pentru un proces de deformare reversibil, variaţia
energiei de deformaţie în urma încărcării şi descărcării complete a
sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru procesele
reversibile, valoarea energiei de deformaţie nu depinde de modul în
care sunt aplicate sarcinile asupra sistemului, ci numai de valoarea
lor finală.
În relaţia (3.3) suma energiei de deformaţie W şi a lucrului
mecanic al sarcinilor U se numeşte energia potenţială totală a
sistemului şi se notează Π = W + U, iar condiţia (3.3) devine
δ Π = 0. (3.4)
Consecinţa relaţiei (3.4) este că dacă, pentru un sistem elastic
reversibil aflat în echilibru, variaţia funcţiei Π în cazul unei
modificări foarte mici a poziţiei şi / sau formei acestuia este egală cu
zero, înseamnă că funcţia Π are una din valorile extreme. Dacă Π are
valoare maximă, poziţia de echilibru este instabilă. Dacă Π are
valoare minimă, poziţia de echilibru este stabilă, aceasta fiind
teorema energiei potenţiale totale minime.
Criteriul echilibrului stabil al sistemelor elastice reversibile al
valorii minime a energiei potenţiale totale, este foarte general şi
permite rezolvarea unor vaste categorii de probleme ale rezistenţei
materialelor. Aceasta nu însemnă că soluţiile obţinute cu metode
energetice sunt totdeauna mai simple decât cele obişnuite. În
numeroase cazuri, metodele curente de rezolvare, bazate pe condiţiile
de echilibru static, duc mai repede la rezultat decât o metodă
variaţională energetică. Totuşi, pentru probleme mai complicate ale
mecanicii solidului deformabil (şi ale rezistenţei materialelor),
80

metodele energetice nu numai că sunt mai avantajoase, dar pot fi
chiar de neînlocuit.
Metodele energetice au avantaje notabile prin aceea că permit
elaborarea unor algoritmi şi metodologii aproximative, relativ simple
şi generale, pentru numeroase categorii de probleme inginereşti.
3.3. Metoda Ritz
În esenţă, metoda Ritz constă în determinarea valorii extreme a
unei funcţionale. Fie integrala definită
b
( x,v,v', v") dx.
(3.5)
a
Se cere să se găsească o funcţie v = v(x) care să satisfacă
condiţiile la limită, iar funcţionala Φ să aibă o valoare extremă. În
acest scop se alege funcţia necunoscută v(x) de forma (relaţia (3.1))
v = v (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , x). (3.6)
Această funcţie trebuie să satisfacă condiţiile la limită date,
pentru orice valori ale parametrilor arbitrari a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n şi să fie
cât mai apropiată de funcţia reală v(x), deocamdată necunoscută, însă
anticipată, într-o oarecare măsură, pe baza informaţiilor privind
esenţa fizică a problemei.
Înlocuind valoarea funcţiei v(x) alese sub forma (3.6) şi a
derivatelor sale în (3.5), se obţine
b
( a , a , a ,..., a , x) dx
(3.7)
a
1 2 3 n
,
care, după integrarea în raport cu x, devine
Φ = Φ (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ). (3.8)
Valorile constantelor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n se aleg astfel ca funcţia Φ să
aibă o valoare extremă. În acest scop trebuie ca
0;
0;
0;.....
0.
(3.10)
a1
a
2
a
3
a
n
Se obţin astfel n ecuaţii, din care necunoscutele a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ,
pot fi determinate. Funcţia aleasă, v, (3.6), va da funcţionalei Φ, cu o
oarecare aproximaţie, o valoare extremă. Gradul de aproximare este
determinat, în acest caz, de numărul de parametri a n aleşi şi de forma
aleasă pentru funcţia v(x).
81

Exemplu.
Să se determine săgeata şi tensiunea maximă pentru bara din
figura 3.1, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, încărcată cu o
sarcină uniform distribuită.
Observaţie: Bara este raportată la
sistemul uzual de coordonate oxyz, cu
axa ox în lungul barei şi cu axa oz în
jos. Ar trebui, conform uzanţei, ca
deplasarea după direcţia oz să fie notată
cu w. Dar pentru a nu se face confuzii
cu energia de deformaţie, notată cu W,
Figura 3.1
se va utiliza notaţia v pentru deplasarea
după oz.
Pentru orice bară încărcată cu sarcina uniform distribuită q,
energia potenţială totală are expresia
1
2
W U
EI
y
v" qv
dx. (3.11)
2
Funcţia v trebuie astfel aleasă încât expresia (3.11) să aibă o
valoare extremă. Se ştie din capitolele anterioare că funcţia v este, de
fapt, de gradul patru (v. cap. 4). Aşa cum s-a precizat, aici se va
utiliza metoda aproximativă Ritz. Prin urmare, se va alege, pentru o
primă aproximaţie, funcţia
v = a (1 – cos πx / 2l). (3.12)
Pentru orice valoare a parametrului a, această funcţie satisface
condiţiile geometrice la limită şi anume:pentru x = 0→v =0 şi v’ = 0.
Înlocuind în (3.11) funcţia (3.12) se obţine
1 2 2 x
EI
y a cos
dx qa
2 2 2
0
în care cele două integrale au valorile
4
0
dx ; cos
dx
2
2 2
x
1
cos
dx
,
2
2 x
x
2
cos .
0 0
Prin urmare, expresia energiei potenţiale totale este
1 2 2
EI
y
a qa1
.
2 2
2
Funcţia Π trebuie să aibă o valoare minimă, deci
4
82

2
EI
y
a
q1
0,
a
2
2
din care rezultă
4
q 32 2
a . 1 .
4
EI
y
Ecuaţia axei barei deformate este
4
32 2 q
x
v
1 1 cos .
4
EI
y 2
Valoarea săgeţii maxime este:
- calculată prin integrarea ecuaţiei obişnuite a axei barei
v max = 0.125 ql 4 /EI y ;
- calculată prin metoda Ritz v max = 0.11937 ql 4 /EI y .
Comparând cele două valori se constată o eroare de 4.5 % a
metodei Ritz faţă de soluţia „exactă”.
Observaţie: De fapt şi soluţia exactă are un anumit grad de aproximare,
deoarece ecuaţia diferenţială v” = - M iy /EI y s-a obţinut în ipoteza că v’ 2 este
neglijabil comparativ cu 1 (v. cap. 4).
Este util să se compare şi valorile tensiunilor maxime:
- pentru soluţia obişnuită ζ max = 0.5 ql 2 /W y ;
- pentru soluţia Ritz
2
M EI v" EI
iy
y
y x
a cos ,
W W W 2
2
y
pentru
y
x 0,
4
max
y
0.29454
q
2
/ W .
Comparând cele două valori eroarea este de 41%.
Generalizând rezultatele obţinute, se constată că metoda Ritz dă,
în general, o aproximare bună pentru funcţie şi una mai puţin bună
pentru derivatele ei (ζ este proporţional cu v”), deoarece, de regulă,
se caută ca funcţia aleasă să reprezinte cât mai bine curba reală nu şi
derivatele ei. Dacă se fac noi aproximaţii, se pot obţine soluţii mai
precise, atât pentru funcţie cât şi pentru derivatele ei. De exemplu,
pentru exemplul considerat, se poate alege funcţia v sub forma unei
serii, în care expresia (3.12) să fie primul termen.
y
83

3.4. Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor
diferenţiale. Metoda Galerkin
În unele cazuri este mai avantajos să nu se determine expresia
energiei potenţiale totale, Π, a sistemului, ca la metoda Ritz, ci să se
rezolve aproximativ ecuaţia diferenţială obţinută prin metodele
obişnuite (frecvent, este vorba de ecuaţii de echilibru).
Se presupune că soluţia problemei inginereşti care trebuie
rezolvată este cea a ecuaţiei diferenţiale
L(x, v, v’, v”, . . . ) = 0, (3.13)
care se consideră de forma (3.6). Aceasta trebuie să satisfacă toate
condiţiile la limită ale problemei (sau, cel puţin, cele mai importante
dintre ele), pentru orice valori ale parametrilor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .
De regulă, pentru sistemele elastice, condiţiile la limită sunt de
două tipuri:
- geometrice, care se impun deplasărilor (unghiuri şi deplasări
liniare);
- de solicitare, care privesc forţele şi momentele de la capetele
barelor sau de pe conturul plăcilor.
Observaţie: Pentru metoda Ritz, de regulă, nu este necesară satisfacerea
tuturor condiţiilor la limită, fiind suficientă doar îndeplinirea condiţiilor
geometrice. De exemplu, funcţia (3.12) de la exemplul anterior, satisface toate
condiţiile geometrice, dar numai una din cele de solicitare şi anume, pentru x = l,
M iy = 0, adică v” = 0. Cea de a doua condiţie - pentru x = l, T Z = 0, adică v”’ = 0,
nu este îndeplinită. Cu toate acestea, metoda Ritz a dus la rezultate satisfăcătoare
pentru exemplul considerat.
Pentru majoritatea metodelor aproximative de calcul se impune,
însă, îndeplinirea tuturor condiţiilor la limită, atât geometrice cât şi
de solicitare, ceea ce este de multe ori dificil de realizat, dar practic
posibil.
Alegerea formei soluţiei (3.6) trebuie să aibă în vedere aspectul
soluţiei probabile, pe baza informaţiilor privind problema care se
rezolvă. Funcţia v trebuie să fie cât mai apropiată de soluţia reală, sau
să permită o apropiere cât mai mare de soluţia reală, adică să ducă la
o cât mai bună aproximare a soluţiei reale, necunoscute, pentru
variaţia corespunzătoare a parametrilor a 1 , a 2 , a 3 , ... „Arta” alegerii
unor asemenea funcţii depinde de fantezia şi experienţa celui care
face calculele.
84

Forma cea mai simplă şi cea mai utilizată pentru funcţia v este
cea a unei serii
v = a 1 . θ 1 (x) + a 2 . θ 2 (x) + a 3 . θ 3 (x) + ... (3.14)
în care θ 1 (x), θ 2 (x), θ 3 (x) ..... sunt funcţii oarecare de x, denumite
funcţii de pondere.
După ce a fost aleasă funcţia v se determină valorile parametrilor
a 1 , a 2 , a 3 , ... astfel încât v, (3.14) să aproximeze cât mai bine soluţia
ecuaţiei (3.13).
Dacă se înlocuieşte funcţia (3.14) în ecuaţia (3.13), acesta nu va
fi egală cu zero, deoarece funcţia v nu este soluţia exactă a ecuaţiei,
adică
L(x, a 1 , a 2 , a 3 , ...) = f(x) ≠ 0,
în care f(x) este funcţia eroare, sau funcţia reziduu, care va fi mai
mult sau mai puţin diferită de zero, în măsura în care expresia v a
fost bine (sau mai puţin bine) aleasă. Dacă soluţia v este exactă,
atunci f(x) va fi zero, pentru orice valoare a variabilei x. Deci funcţia
f(x) este, într-o anumită măsură, un indice al abaterii soluţiei
aproximative faţă de cea reală. Problema constă în aceea că trebuie
variaţi parametrii a 1 , a 2 , a 3 , ... astfel ca funcţia eroare să fie cât mai
apropiată de zero. Acest demers poate fi realizat prin mai multe
metode, denumite, în general, metode ale reziduului ponderat, cea
mai utilizată fiind metoda Galerkin. Dintre numeroasele ei variante,
se prezintă doar forma „de bază”.
Metoda Galerkin.
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.13) se alege de forma seriei
(3.14), care trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită ale
problemei.
Etapele rezolvării problemei sunt:
- se înlocuieşte soluţia (3.14) în ecuaţia (3.13), care devine
L(x, a 1 , a 2 , a 3 , ...) = f(x); (3.15)
- se înmulţeşte funcţia eroare (reziduul), f(x), succesiv cu fiecare
din funcţiile de pondere θ 1 (x), θ 2 (x), θ 3 (x)... şi se integrează
produsele respective pe întreg domeniul de variaţie al variabilei x;
- se egalează cu zero integralele obţinute şi rezultă, astfel, un
sistem de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor a 1 , a 2 , a 3 , ...
85

a
b
f (x). 1 (x) 0;
f (x). 2 (x) 0
; f (x). (x) 0
...... (3.16)
a
b
a
3
;
- se rezolvă sistemul de ecuaţii (3.16) şi se obţin valorile
constantelor a 1 , a 2 , a 3 , ...;
- se înlocuiesc a 1 , a 2 , a 3 , ... în (3.14), obţinându-se astfel soluţia
aproximativă a ecuaţiei (3.13).
Concluzii şi observaţii.
1. Condiţiile (3.16) reprezintă, din punct de vedere matematic,
cerinţa ca funcţia eroare, f(x), să fie ortogonală în raport cu funcţiile
θ 1 (x), θ 2 (x), θ 3 (x).... Rezolvând problema abordată aproximativ, nu
este posibil ca funcţia eroare să fie ortogonală în raport cu toate
funcţiile θ i (x), ci numai cu unele dintre ele. În acest mod se apropie
de zero funcţia eroare nu numai pentru funcţii ortogonale, ci şi pentru
orice funcţii θ i (x).
2. Se demonstrează că metoda Galerkin este legată de metodele
energetice, fiind o variantă a acestora.
3. Spre deosebire de metoda Ritz, la metoda Galerkin nu este
necesar să se scrie expresia energiei potenţiale totale, dar funcţia de
aproximare trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită, adică nu
numai cele geometrice (ca la Ritz) ci şi cele de solicitare. În acest
sens se spune că metoda Galerkin este mai sensibilă la gradul de
aproximare al derivatelor funcţiei.
4. Ca şi metoda Ritz, metoda Galerkin dă rezultate mai puţin
precise pentru tensiuni decât pentru deplasări, aceasta fiind
consecinţa faptului că funcţia se alege astfel încât ea să aproximeze
bine problema dată, dar derivatele ei (de care depind tensiunile), de
regulă, nu.
5. În general, metodele aproximative de rezolvare a problemelor
structurilor deformabile duc la soluţii care determină mai precis
deplasările decât tensiunile. Această situaţie se datorează faptului că
deplasările unei structuri sunt, în principiu, rezultatul comportării
globale a structurii, pe când tensiunile sunt determinate de
configuraţiile locale, geometrice şi de solicitare. Deci, în principiu,
pentru determinarea exactă a tensiunilor trebuie elaborate modele şi
metode de calcul locale.
86

Exemplu.
Este profitabil, pentru a compara metodele Ritz şi Galerkin şi a
evidenţia asemănările, deosebirile, avantajele şi dezavantajele lor, să
se abordeze acelaşi exemplu, adică bara din figura 3.1 şi prin metoda
Galerkin.
Pentru început se va considera aceeaşi funcţie v ca şi la metoda
Ritz, adică (3.12). Pentru scrierea condiţiilor (3.16) trebuie avută în
vedere ecuaţia diferenţială a axei deformate a barei, care este
EI y v” – q (l -x) 2 / 2 = 0. (3.17)
Condiţiile (3.16) devin
2
x
1
2 x
EI
y
a
cos q( x)
1cos
dx
0,
2 2 2
2
0
din care rezultă v max = 0.05752 ql 4 /EI y , adică mai puţin de jumătate
din valoarea exactă, care este v max = 0.125 ql 4 /EI y .
Explicaţia pentru abaterea foarte mare a soluţiei obţinute, faţă de
soluţia exactă, este că funcţia (3.12), aleasă pentru v, reprezintă bine
ecuaţia axei deformate a barei dar mai puţin bine derivatele sale
(prima şi mai ales a doua, care reprezintă momentul încovoietor). La
rezolvarea problemei prin metoda Ritz acest fapt duce la abateri
numai ale tensiunilor (care depind de derivatele funcţiei), pe când
metoda Galerkin duce la abateri atât ale deplasărilor (funcţia) cât şi
ale tensiunilor (derivatele). De asemenea funcţia v aleasă nu satisface
condiţia de solicitare la limită v”’ (x=l) = 0, deci condiţia ca forţa
tăietoare T z să fie nulă în capătul liber al barei.
În concluzie, funcţia v trebuie aleasă altfel. Este mai avantajos,
pentru metoda Galerkin, să se aleagă expresia derivatei de ordinul cel
mai mare care intră în ecuaţia diferenţială şi apoi să se determine
funcţia. De exemplu, dacă se alege
v” = a (1 – sin πx / 2l), (3.18)
prin integrare se obţine funcţia
2
2
x 2
x
va
sin Ax
B.
2 2
Din condiţiile la limită: pentru x = 0 → v’ = 0 şi v =0,
rezultă B = 0 şi A = -2l/π şi
87

2
2
x 2
x
2
va
sin x.
(3.19)
2 2
Se înlocuieşte expresia (3.19) în ecuaţia (3.17) şi se scriu
condiţiile (3.16). După efectuarea calculelor se obţine:
2
q
1 8 64 1 1 24 6 1
a . /
;
3 5
3 2
2EI
y 60 6
6
v max = 0.11598 ql 4 /EI y ; ζ max = 0.4317 ql 2 /W y .
Rezultatele obţinute sunt de precizie satisfăcătoare. Precizii şi
mai mari se pot obţine dacă pentru (3.18) se alege o serie ca, de
exemplu, v"
a
(1 - sin nx / pentru care volumul
calculelor creşte foarte mult.
n
,
1,3,5,..
3.5. Metode pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme
dinamice. Metoda Rayleigh
Se consideră bara dreaptă din figura 3.2, de rigiditate la
încovoiere EI y , constantă şi masa m pe unitatea de lungime.
În ecuaţia diferenţială a axei
barei deformate, EI y ∂ 4 v/∂x 4 = p(x), se
consideră că p(x) este chiar forţa de
inerţie a barei, conform principiului
Figura 3.2 lui d’Alambert şi astfel se obţine
ecuaţia diferenţială a vibraţiilor libere
ale barei sub forma
EI y ∂ 4 v/∂x 4 + m ∂ 2 v/∂t 2 = 0, (3.20)
căreia i se pot asocia, de exemplu, condiţiile la limită:
pentru x = 0 şi x = l → v = 0; pentru x = l/2 → ∂v/∂x = 0. (3.21)
Metoda Rayleigh şi Rayleigh-Ritz.
Pentru a obţine pulsaţia corespunzătoare modului fundamental de
vibraţie al unei bare se egalează expresia energiei cinetice maxime cu
cea a energiei potenţiale de deformaţie maximă. Pentru bara
considerată, energia de deformaţie, W, este
88

iar energia cinetică
1
W
2
0
EI
1
EC m(x)
2
0
y
89
2
2 2
v/ x
dx,
2
v / t dx.
Presupunând că vibraţia este armonică, adică v(x, t) = V(x) cos
ωt, din condiţia (Rayleigh) (W) max = (E C ) max , rezultă expresia
pulsaţiei sub forma
2
2
2 2
2
EI
y
V / x
dx / m(x)V dx. (3.22)
0
0
Pentru a afla din (3.22) valoarea ω 2 a pulsaţiei trebuie să se
considere o anumită formă pentru funcţia V(x), care să satisfacă
condiţiile la limită (3.21) şi nu obligatoriu şi ecuaţia de mişcare
(3.20). O astfel de formă este V(x) = 1 – cos (2πx/l), care, înlocuită
în (3.22), permite obţinerea valorii aproximative a pulsaţiei
k
y
m /
fundamentale şi anume ω 1 = 22.792 k , (
2
EI
), care
diferă cu 1.87% de valoarea exactă (22.3729 k).
O variantă a acestei metode este ce cunoscută sub numele
Rayleigh-Ritz, care permite determinarea, aproximativă, a mai multor
pulsaţii proprii ale vibraţiilor unui sistem elastic (bară). În acest scop
se consideră o formă mai generală pentru funcţia V(x), ca, de
exemplu
V(x) = C 1 f 1 (x) + C 2 f 2 (x) + .... + C n f n (x), (3.23)
în care C 1 , C 2 ,...., C n sunt constante şi f 1 , f 2 ,...., f n funcţii care satisfac
condiţiile la limită ale problemei date. Dacă se înlocuieşte funcţia
(3.23) în ecuaţia pulsaţiei (3.22), se obţine ω 2 ca funcţie de
constantele C 1 , C 2 ,...., C n . Condiţia ca valorile aproximative ale
pulsaţiilor să aibă abateri cât mai mici faţă de cele exacte duce la
sistemul de ecuaţii
2
2
2
C1
C2
.....
Cn
0,
(3.24)
a cărui rezolvare permite determinarea primelor n pulsaţii ale
vibraţiilor libere.
Pentru bara considerată ca exemplu (fig. 3.2) se poate scrie
relaţia (3.23) sub forma

V(x) = C 1 [1 – cos (2πx/l)] + C 2 [1 – cos (4πx/l)], (3.25)
care se înlocuieşte în (3.22). Scriind condiţiile (3.24) se obţine
următoarea problemă de valori proprii:
4
16
EI
y 1
0 C1
3 2 C
2 1
m
,
3
0 16
C
2
2 3
C2
ale cărei soluţii sunt
1
22.35k, cu
C
C
1
2
1
0.575
C
C2
1
1.4488
1
şi
1
124k,
cu
.
3.6. Metode energetice pentru calculul deplasărilor barelor şi
structurilor din bare. Metoda Mohr-Maxwell
Energia potenţială de deformaţie a unui sistem de bare poate fi
calculată fie ca lucru mecanic al sarcinilor, fie ca lucru mecanic al
eforturilor. Această constatare a permis elaborarea unor metode
energetice foarte eficiente pentru calculul deplasărilor barelor şi
structurilor din bare.
Se consideră că este respectată ipoteza linearităţii fizice, cea a
linearităţii geometrice, că principiul suprapunerii efectelor este
aplicabil – atât pentru eforturi cât şi pentru deplasări – şi că procesul
de deformare al sistemului este reversibil, sau – altfel spus – starea
finală a sistemului nu depinde de succesiunea aplicării sarcinilor. De
asemenea, se presupune că solicitarea este statică (nu există procese
dinamice, vibraţii, fenomene de propagare etc).
Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti).
Se consideră un sistem elastic încărcat cu o forţă P 1 în punctul A
şi cu o forţă P 2 în punctul B, ca în figura 3.3.a.
90

Când se aplică forţa P 1 în punctul A, acesta produce deformarea
sistemului şi deplasarea punctului A într-o poziţie oarecare, în
cazul general. Ceea ce interesează este componenta, δ A1 , a
acestei deplasări pe direcţia forţei (fig. 3.3.b), deoarece lucrul
mecanic produs de aceasta este U 1 =P 1 δ A1 /2 (factorul ½ se datorează
faptului că solicitarea este statică, adică forţa P 1 se aplică lent,
crescător de la zero la P 1 ). În continuare, în prezenţa forţei P 1 , se
aplică forţa P 2 în punctul B, care produce deplasarea δ B2 (fig. 3.3.c) şi
lucrul mecanic U 2 =P 2 δ B2 /2, precum şi deplasarea punctului de
aplicaţie al forţei P 1 cu δ A2 , efectuând lucrul mecanic U 12 =P 1 δ A2 , la
calculul căruia nu se introduce factorul ½ deoarece forţa P 1 parcurge
cu întreaga sa valoare deplasarea δ A2 .
Lucrul mecanic total al sarcinilor este
U’ tot = U 1 + U 2 + U 12 =P 1 δ A1 /2 + P 2 δ B2 /2 + P 1 δ A2 . (3.26)
Reluând procesul, cu aplicarea mai întâi a forţei P 2 şi apoi a lui
P 1 , se obţine (fig. 3.3.d şi e)
U” tot = U 2 + U 1 + U 21 =P 2 δ B2 /2 + P 1 δ A1 /2 + P 2 δ B1 . (3.27)
Ca urmare a ipotezelor considerate, trebuie ca
U’ tot =U” tot → din care rezultă→U 12 =U 21 → sau →P 1 δ A2 =P 2 δ B1 . (3.28)
Uzual, formularea acestei teoreme se face într-o formă generală,
considerând că:
- forţele P 1 şi sunt P 2 sunt două sisteme de sarcini, denumite,
sistem primar, respectiv secundar;
- forţele pot fi forţe generalizate (forţe şi momente);
- deplasările pot fi deplasări generalizate (deplasări lineare şi
rotiri).
Teorema reciprocităţii lucrului mecanic se formulează astfel:
dacă asupra unui sistem elastic se aplică succesiv două sisteme de
sarcini, lucrul mecanic efectuat de sarcinile primului sistem pe
deplasările produse de cel de al doilea sistem, este egal cu lucrul
mecanic efectuat de sarcinile celui de al doilea sistem pe deplasările
produse de primul sistem.
Observaţie: Teorema reciprocităţii lucrului mecanic poate fi
formulată considerând, nu lucrul mecanic al sarcinilor ci energia de
deformaţie, cele două entităţi fiind egale.
91

Teorema reciprocităţii deplasărilor (Maxwell).
Dacă în ultima din relaţiile (3.28) se consideră P 1 = P 2 = P,
rezultă
δ A2 = δ B1 , (3.29)
care este expresia algebrică a teoremei
reciprocităţii deplasărilor, a cărei
formulare este (fig. 3.4): deplasarea
punctului A produsă de o forţă
Figura 3.4
aplicată în punctul B este egală cu
deplasarea punctului B produsă de
aceeaşi forţă aplicată în punctul A.
Se pot inversa rolurile deplasărilor şi forţelor în teorema
reciprocităţii deplasărilor şi se obţine teorema reciprocităţii forţelor.
Teorema reciprocităţii forţelor.
Se reia procedura anterioară: dacă în ultima din relaţiile (3.28) se
consideră δ A2 =δ B1 = δ = 1, rezultă
P 1 = P 2 , (3.30)
care este expresia algebrică a teoremei
reciprocităţii forţelor, a cărei formulare
este (fig. 3.5): forţa aplicată în punctul
A, care produce o deplasare δ = 1 în
Figura 3.5
punctul B este egală cu forţa aplicată
în punctul B pentru a produce aceeaşi
deplasare δ = 1 în punctul A.
Observaţie: Valoarea deplasării δ poate fi oarecare, dar, pentru
simplificarea calculelor, se consideră, de obicei, egală cu unitatea.
Teoremele reciprocităţii lucrului mecanic, deplasărilor şi forţelor,
ca urmare a generalităţii lor, sunt foarte utile în rezistenţa
materialelor, deoarece duc la simplificări considerabile pentru
numeroase categorii de probleme.
Metoda Mohr-Maxwell.
Această metodă de calcul a fost concepută de Mohr şi ea poate fi
înţeleasă ca un caz particular al teoremei reciprocităţii lucrului
mecanic. Se consideră primul sistem de sarcini cel al încărcării
care acţionează asupra corpului, de exemplu, forţele F 1 , F 2 , ... F n din
92

figura 3.6.a. Al doilea sistem
de sarcini se consideră
numai o forţă egală cu
unitatea, aplicată în punctul
şi pe direcţia deplasării care
trebuie calculată (punctul A
Figura 3.6
şi deplasarea δ, din fig. 3.6.b) sub acţiunea sistemului de sarcini dat.
Din relaţiile (3.28) rezultă
1. δ = U 21 → δ = U 21 (3.31)
în care U 21 este lucrul mecanic (sau energia de deformaţie) al
sistemului de sarcini al corpului pe deplasările produse de sarcina
unitate.
Se consideră o bară dreaptă, de
secţiune constantă, cu rigiditatea axială EA
şi lungimea l, solicitată cu forţele axiale F 1 ,
F 2 , F 3 , ca în figura 3.7. Să se afle
deplasarea, δ, a capătului liber al barei (se
neglijează efectul greutăţii barei).
Se calculează energia de deformaţie,
produsă de eforturile axiale. Pentru un
element de lungime dx al barei, în cazul
general, efortul este N, pentru prima stare
Figura 3.7 de încărcare şi n, pentru cea de a doua stare
(în acest caz particular n = 1).
Lungirea elementului dx pentru a doua stare de încărcare este
n dx
Nn
( dx) , iar lucrul mecanic dU 21
N. (dx)
dx .
EA
EA
Nn
Pentru întreaga bară U12 dU12
dx , sau având în vedere
EA
(3.31),
Nn
dx . (3.32)
EA
În cazul general, pe lungimea l a barei eforturile N şi n pot avea
valori sau expresii diferite, ceea ce înseamnă că forma generală a
relaţiei (3.32) este
93

Nn
EA
dx . (3.33)
Pentru celelalte solicitări, se pot stabili relaţii similare cu (3.33),
forma completă a formulei lui Mohr-Maxwell, pentru calculul
deplasărilor barelor (drepte şi curbe) şi structurilor din bare, fiind
Nn
ds
EA
Ty,z
t
y,z M M m
tmt
i y,z i y,z
k
y ,z
ds
ds
ds . (3.34)
GA GI
EI
Pentru utilizarea corectă a relaţiei (3.34) sunt necesare
următoarele precizări:
- δ este deplasarea generalizată (deplasare liniară sau rotire);
- sarcina unitate se aplică în punctul şi pe direcţia deplasării care
se calculează şi este o sarcină generalizată: forţă sau moment egal cu
1;
- N, T y,z , M t , M iy,z sunt eforturile, într-o secţiune curentă, produse
de sarcinile care încarcă structura;
- n, t y,z , m t , m iy,z sunt eforturile, în aceeaşi secţiune curentă,
produse de sarcina unitate;
- k y,z este un factor care ţine seama că tensiunile tangenţiale
datorate forfecării nu se distribuie uniform pe secţiunile barelor
(pentru dreptunghi k = 6/5; pentru cerc k = 10/9);
- sumele se efectuează pentru diverse intervale în lungul unei
bare (dacă este cazul) şi pentru toate barele structurii;
-termenii corespunzători solicitărilor de forfecare şi încovoiere se
scriu separat pentru direcţiile y şi z din planul secţiunii curente a
fiecărei bare (y şi z trebuie să fie direcţiile principale de inerţie a
secţiunii);
-în cazul cel mai general, variabila în raport cu care se calculează
integralele din relaţia (3.34) este s, definită pe o curbă; pentru o
dreaptă s → x.
Calculele cu ajutorul relaţiei (3.34) se pot efectua manual pentru
cazuri simple şi cu un program adecvat pe calculator pentru structuri
complexe. În această situaţie, deşi metoda este analitică, rezolvarea
problemei este numerică. Această „simbioză” între esenţa analitică a
unei metode şi utilizarea ei pentru rezolvări numerice pe calculator
este frecvent întâlnită pentru calculele inginereşti, fiind deosebit de
eficientă.
t
y,z
94

În practica inginerească forma generală a relaţiei (3.34) are
numeroase forme, mai simple, pentru cazuri particulare, ca de
exemplu:
- efectele solicitărilor de forfecare şi/sau axiale pot fi neglijabile
comparativ cu cele de încovoiere, când încovoierea este solicitarea
principală (sau alte variante similare);
- pentru structuri din bare drepte articulate, încărcate numai în
noduri, solicitarea este numai axială în toate barele şi relaţia (3.34)
devine
Nn
. (3.35)
EA
3.7. Structuri continue şi structuri discrete. Conceptul de
discretizare
Unele tipuri de structuri sunt alcătuite dintr-un element
constituent (modul) care se repetă de un număr mare de ori, ca, de
exemplu, structurile din bare. Astfel de structuri se numesc discrete.
Dar marea majoritate a structurilor mecanice sunt continue, ca, de
exemplu, recipientele, batiurile, carcasele, rotoarele, barajele,
fundaţiile etc. Structurile continue sunt compuse din plăci plane şi
curbe, subţiri sau groase, blocuri masive (blocurile fundaţiilor) etc,
combinate în diverse moduri spaţiale şi complexe.
Inginerii au constatat că pentru structurile discrete se pot elabora
metode şi modele de calcul relativ simple (inclusiv metode grafice) şi
eficiente. Pentru structurile continue situaţia era total diferită,
deoarece nu se puteau calcula decât structuri continue relativ simple,
pentru unele cazuri particulare, cu un volum de muncă considerabil.
Aşa a apărut ideea ca o structură continuă să se „înlocuiască”, în
vederea calculului, cu o structură discretă, un model idealizat, care să
aproximeze cât mai bine structura „originară”. Esenţa ideii este că,
din punct de vedere ingineresc, nu este necesară cunoaşterea, de
exemplu, a deplasărilor şi tensiunilor, în infinitatea de puncte a
structurii ci sunt suficiente informaţiile dintr-un număr „finit” de
puncte, acest număr putând fi mai mic sau mai mare (la nevoie, chiar
foarte mare), funcţie de scopul calculului, tipul structurii,
configuraţia ei geometrică, tipul solicitării etc.
95

Procesul prin care se obţine structura discretă, pornind de la
structura continuă, care să o aproximeze pe aceasta, se numeşte
discretizare.
Discretizarea.
Discretizarea unei structuri este un proces complex, de elaborare
a unui model discret de calcul, care trebuie să aproximeze cât mai
bine structura continuă reală, din diverse puncte de vedere, ca, de
exemplu, al geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al
maselor, al constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi
mecanice ale materialelor etc.
Figura 3.8
96
În esenţă,
discretizarea
structurii date se
realizează cu o
reţea de linii
drepte sau curbe
sau (dacă este
cazul) cu o reţea
spaţială de suprafeţe plane şi / sau curbe. Un exemplu se prezintă în
figura 3.8. Punctele de intersecţie ale liniilor sau suprafeţelor reţelei
de discretizare se numesc nodurile reţelei şi în acestea se definesc
mărimile necunoscute, deplasări sau eforturi, care urmează să se
determine prin metoda numerică de calcul respectivă. Prin această
procedură studiul mulţimii infinite de puncte a structurii continue
date se aproximează prin studiul mulţimii finite de puncte (noduri)
ale reţelei de discretizare a modelului de calcul.
În principiu, cu cât reţeaua de discretizare are un număr mai
mare de noduri, adică este mai „fină”, cu atât este mai bună
aproximarea structurii date şi rezultatele obţinute prin calcul vor fi
mai precise.
Metodele de calcul care folosesc discretizarea şi anume metoda
diferenţelor finite, metoda elementelor finite şi metoda elementelor
de frontieră, nu conţin în ele însele principii, restricţii sau „indicaţii”
cum să se facă discretizarea. Alegerea reţelei de noduri a modelului
de calcul discretizat (sau discret) trebuie să sintetizeze, într-o formă
convenabilă, toate informaţiile disponibile despre structura ce se

calculează, să aibă în vedere funcţiile pe care trebuie să le
îndeplinească aceasta, particularităţile ei şi să corespundă cât mai
bine scopului calculului.
Rezultă că discretizarea are un anumit grad de arbitrar, care
implică riscul comiterii unor erori, acesta fiind „tributul” plătit
acestor metode pentru avantajele lor. Astfel apare ca evidentă
importanţa elaborării judicioase a unui model de calcul corect, precis,
sigur şi eficient.
Nodul.
Punctele definite prin reţeaua de discretizare se numesc noduri. În
noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale căror valori
sunt rezultatele calculelor. Necunoscutele asociate nodurilor pot fi
deplasările, caz în care metoda de calcul se numeşte model
deplasare, sau eforturile, când se numeşte model echilibru. Relativ
rar se foloseşte şi modelul mixt. Pentru modelul deplasare se admite
că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări oarecare,
este definită de deplasările tuturor nodurilor în raport cu reţeaua
nodurilor înainte de deformare, fiecare nod putând avea maximum
şase componente ale deplasării, denumite deplasări nodale, în raport
cu un reper global (la care este raportată structura în ansamblu): trei
componente u, v, w ale deplasării liniare şi trei rotiri x , y , z .
Componentelor nenule ale deplasărilor pe care le poate avea un nod
al modelului structurii în procesul de deformaţie li se asociază un
versor denumit grad de libertate geometrică – DOF (Degrees Of
Freedom) al nodului, care are valoarea DOF=0, dacă pe direcţia
respectivă componenta deplasării este nulă sau cunoscută şi valoarea
DOF=1, dacă deplasarea este necunoscută. Se pot defini gradele de
libertate geometrică ale structurii în totalitate. Rezultă că numărul
total al necunoscutelor care trebuie determinate prin calcul este egal
cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt ataşate
necunoscute (care au DOF=1), pentru toate nodurile modelului
structurii.
Unele din gradele de libertate ale modelului trebuie “eliminate”
deoarece unele noduri sunt “legate”, reprezentând reazeme şi deci
deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute, impuse şi nu mai
trebuie calculate.
97

3.8. Metoda diferenţelor finite
Metoda diferenţelor finite este o metodă generală de integrare a
ecuaţiilor diferenţiale şi constă, în esenţă, în înlocuirea diferenţialelor
(care sunt infinit mici) cu diferenţe mici (sau foarte mici), finite.
Deci, pentru a putea utiliza această metodă, trebuie să se cunoască
ecuaţia diferenţială corespunzătoare problemei care se rezolvă.
Aplicarea metodei implică abordarea a două aspecte ale
calculului propriu-zis:
- aspectul matematic, care constă în transformarea (scrierea)
ecuaţiei (sau ecuaţiilor) diferenţiale respective într-un sistem de
ecuaţii cu diferenţe finite;
- aspectul fizic, care constă în înlocuirea structurii reale cu un
model discret, aproximativ, convenabil pentru calcul. De exemplu,
suprafaţa mediană a unei plăci curbe subţiri se aproximează cu o
reţea de triunghiuri, dreptunghiuri, patrulatere oarecare etc de
discretizare.
Se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniare, în care
necunoscutele sunt, de exemplu, deplasările în nodurile reţelei cu
diferenţe finite.
Avantajele metodei diferenţelor finite sunt:
- suportul matematic este bine definit şi anume ecuaţia
diferenţială sau sistemul de ecuaţii diferenţiale;
- metoda permite estimarea preciziei de aproximare a soluţiei
numerice obţinute.
Dezavantajele metodei diferenţelor finite sunt:
- generalitatea este drastic limitată de faptul că trebuie cunoscută
ecuaţia diferenţială a problemei. Ori pentru numeroase probleme
inginereşti nu a fost posibilă determinarea ecuaţiilor care guvernează,
de exemplu, comportarea structurilor spaţiale complexe la diferite
solicitări;
- supleţea metodei este redusă de faptul că este dificil de definit
diferenţe finite de valori diferite;
- elaborarea de programe generale de calcul, bazate pe această
metodă nu este posibilă, deoarece fiecare program trebuie să aibă în
vedere tipul ecuaţiei diferenţiale. S-au elaborat programe care
98

folosesc module specializate de uz general, ca, de exemplu, pentru
rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare;
- în practica inginerească nu se află în uz programe performante
care să se fi impus, bazate pe metoda diferenţelor finite.
3.9. Metoda elementelor de frontieră
Spre deosebire de majoritatea metodelor numerice de calcul al
structurilor, care se bazează pe teoreme de staţionaritate a energiei
potenţiale totale, metoda elementelor de frontieră este fundamentată
pe teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti). Această teoremă
este valabilă numai pentru structuri linear elastice (aşa cum s-a
menţionat la § 3.6) şi constă în egalitatea lucrului mecanic produs de
un sistem de sarcini pe deplasările altui sistem, cu lucrul mecanic
produs de cel de al doilea sistem de sarcini pe deplasările produse de
primul sistem. Se presupune că în cele două stări de încărcare
legăturile structurii au fost eliminate (s-au înlocuit cu sarcini sau
deplasări cunoscute), că deplasările sunt mici şi că cele două sisteme
de încărcare au fiecare torsor nul (condiţia de echilibru a structurii).
Deoarece legăturile structurii au fost eliminate, rezultă că pentru cele
două stări de încărcare structura poate avea legături diferite.
Ideea fundamentală a metodei elementelor de frontieră este că se
cunoaşte soluţia fundamentală a problemei care se rezolvă, adică
sunt cunoscute deplasările produse de o forţă concentrată unitate
aplicată în origine, pentru un spaţiu elastic de acelaşi tip cu
problema, care poate fi bară, placă plană sau curbă, volum etc (se
poate vorbi - prin extensie - şi de problema fundamentală,
„asociată” problemei date). Cu relaţiile dintre deformaţii şi deplasări
şi apoi cu cele ale lui Hooke, dintre deformaţii şi tensiuni, se
determină tensiunile corespunzătoare deplasărilor respective.
Elaborarea modelului de calcul pentru rezolvarea unei probleme
cu metoda elementelor de frontieră cere ca din spaţiul elastic al
problemei fundamentale (solicitat cu o forţă concentrată unitate în
origine) să se „decupeze” domeniul D, al corpului care se studiază.
Pe frontiera domeniului D acţionează tensiuni, care pot fi privite ca
încărcare exterioară a corpului.
Se presupune că domeniul D este închis, frontiera sa fiind Γ,
pentru care se cunosc:
99

- pe o porţiune Γ 1 a frontierei se cunosc deplasările u i ;
- pe o porţiune Γ 2 a frontierei se cunoaşte încărcarea exterioară t i .
Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) se aplică astfel:
- prima încărcare este încărcarea reală t i (necunoscută pe Γ 1 ),
care produce deplasările u i (necunoscute pe Γ 2 );
- a doua încărcare este o forţă concentrată unitate aplicată într-un
punct al frontierei, pentru care se cunosc, din soluţia fundamentală,
în toate punctele, deplasările şi tensiunile.
Frontiera Γ, a domeniului D, a corpului care se studiază, se
discretizează, adică se împarte în porţiuni, definite prin noduri. Între
două sau mai multe noduri se definesc elemente de frontieră, în
lungul cărora se consideră că deplasările şi încărcarea exterioară au
variaţii cunoscute. În acest scop se folosesc funcţii de interpolare.
Astfel se obţin elemente de frontieră de diverse tipuri, pentru
aproximarea conturului corpului în plan (elemente liniare) sau în
spaţiu (elemente de suprafaţă sau de volum).
Frecvent se folosesc aceleaşi funcţii de interpolare [N (k) i ] atât
pentru deplasările u i cât şi pentru încărcarea t i , astfel încât, pentru
elementul de frontieră k, se scriu
u i = [N (k) i ]{u (k) }, t i = [N (k) i ]{t (k) },
în care {u (k) } şi {t (k) } sunt valorile nodale (de pe frontieră) ale
deplasărilor, respectiv ale încărcărilor.
Metoda elementelor de frontieră duce la obţinerea unui sistem de
ecuaţii algebrice lineare de forma
[A] {u}=[B] {t}, (3.36)
în care: {u} şi {t} sunt vectorii deplasărilor, respectiv încărcărilor
nodale (de pe frontieră); [A] – matricea de influenţă a deplasărilor;
[B] – matricea de influenţă a încărcărilor.
Sistemul de ecuaţii (3.36) are o configuraţie oarecare, adică este
nesimetric şi „plin”, iar necunoscutele sale sunt definite în nodurile
reţelei prin care a fost discretizată frontiera: în unele noduri
deplasările u i , iar în altele încărcarea t i .
Dacă ecuaţiile se grupează convenabil, sistemul (3.36) se poate
scrie sub forma
n
c
n c
u
c n
t
A A B
B
c n ,
u
t
100

în care indicele n înseamnă necunoscut, iar c – cunoscut. Rezultă
sistemul
n
c
n n
u
c c
t
A B B
A
n
c
,
t
u
prin rezolvarea căruia se determină deplasările şi tensiunile în toate
nodurile frontierei.
Pentru calculul deplasărilor în puncte din interiorul domeniului D
al corpului, se aplică teorema reciprocităţii lucrului mecanic între
perechi de puncte, unul de pe frontieră şi unul din interiorul corpului.
Determinarea tensiunilor în anumite puncte din interiorul domeniului
D se face cu relaţiile cunoscute ale teoriei elasticităţii.
Avantajele metodei elementelor de frontieră sunt:
- comparativ cu alte metode numerice aproximative de calcul, are
o precizie mai bună, consecinţă a faptului că metoda foloseşte soluţia
fundamentală a problemei date, care este, în principiu exactă;
- relativa simplitate a modelului de calcul şi volumul redus de
informaţii necesare pentru elaborarea acestuia, deoarece trebuie
discretizată doar frontiera structurii (pentru structuri spaţiale, cu o
geometrie complexă, acest avantaj se diminuează considerabil);
- comparativ cu alte metode numerice aproximative, volumul
calculelor este mai mic, deoarece numărul necunoscutelor (de pe
frontieră) este, de regulă, mic;
- principiul metodei este raţional, deoarece după determinarea
necunoscutelor de pe frontieră, se calculează deplasările şi / sau
tensiunile din interiorul domeniului numai în punctele dorite, adică
se oferă numai informaţiile strict necesare.
Dezavantajele metodei elementelor de frontieră sunt:
- generalitatea este limitată de faptul că trebuie cunoscută soluţia
fundamentală a problemei. Pentru structuri spaţiale complexe (de
exemplu, structuri din plăci) problema fundamentală nu este
rezolvată, sau este foarte dificil de rezolvat. De asemenea, sunt
restricţii privind aplicabilitatea teoremei reciprocităţii lucrului
mecanic: structura trebuie să aibă o comportare linear elastică;
- în practica inginerească nu se află în uz curent programe
performante care să se fi impus, bazate pe metoda elementelor de
frontieră.
101

3.10. Metoda elementelor finite - MEF
În prezent, MEF este metoda numerică aproximativă de succes,
cea mai utilizată pentru calculul structurilor oricât de complexe,
solicitate static, dinamic, termic, la stabilitate, la durabilitate, în
regim linear elastic, sau în diverse condiţii nelineare. Generalitatea şi
supleţea metodei, simplitatea conceptelor de bază, stabilitatea în timp
a algoritmilor de calcul, utilizarea calculatoarelor şi existenţa a
numeroase programe performante explică extinderea şi interesul
generalizat pentru MEF.
Formularea MEF se poate face în numeroase modalităţi, mai
abstracte sau mai concrete, preponderent matematice sau
preponderent practic - inginereşti. Inginerii sunt utilizatori ai MEF (şi
ai programelor elaborate pe baza ei), aspectele teoretice şi
matematice fiind necesare pentru ei doar pentru înţelegerea
principiilor şi subtilităţilor metodei în vederea unei folosiri corecte şi
eficiente a procedurilor şi programelor respective. În programele
MEF actuale este implementat mai ales modelul deplasare, pentru
care necunoscutele sunt deplasările nodale.
O cale simplă şi intuitivă pentru a-i defini conceptele şi a
formula MEF este aceea de o privi ca o generalizare a metodei
deplasărilor pentru structuri din bare drepte, expusă în cap. 8.
Generalizarea constă în aceea că elementul de bară dreaptă din
metoda deplasărilor devine elementul finit din MEF, acest fapt
implicând şi procesul de discretizare.
Elementul finit.
Ca o structură să fie calculată cu MEF trebuie să fie discretizată
(§ 3.7). Pe reţeaua de discretizare se definesc elementele finite ale
modelului MEF. Un element finit este o componentă de mici
dimensiuni a structurii care se calculează, obţinut printr-un proces de
„decupare” realizat prin discretizare aşa cum, de exemplu, zidul
unei clădiri poate fi privit ca fiind format din cărămizile utilizate
la construcţia sa. De exemplu, un recipient executat din table
asamblate prin sudură, poate fi descompus sau discretizat într-un
număr de elemente de placă patrulatere şi triunghiulare - denumite
elemente finite, ca în figura 3.9. Elementele finite se leagă între ele
prin nodurile reţelei de discretizare.
102

Procesul de elaborare a unui
model MEF are două etape distincte:
- prin discretizare structura se
„descompune” într-un număr
oarecare de elemente finite;
- elementele finite se
„asamblează”, fiind „legate” în
nodurile reţelei de discretizare, pentru
Figura 3.9
a recompune structura dată, acesta
fiind modelul ei de calcul cu elemente finite.
Elementele finite trebuie concepute astfel încât modelul (sau
structura idealizată, discretă) să aproximeze cât mai exact structura
reală (continuă), cel puţin, din următoarele puncte de vedere: al
geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al maselor, al
constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi mecanice ale
materialelor şi al tuturor funcţiilor şi cerinţelor pe care structura
trebuie să le îndeplinească.
Este evidentă legătura dintre procesul de discretizare şi definirea
elementelor finite, în general, cele două procese fiind intim asociate.
Deci nu se poate preciza ce se face mai întâi: stabilirea parametrilor
procesului de discretizare sau definirea tipurilor de elemente finite.
Adesea este necesar ca procesul să se realizeze prin încercări
succesive, pentru a găsi varianta cea mai bună a modelului MEF.
Pentru a putea modela cât mai bine funcţiile pe care structura
dată trebuie să le realizeze, utilizatorul dispune de mai multe tipuri
fundamentale de elemente finite şi anume: definite într-un punct, pe
o linie, pe o suprafaţă sau pe un volum, fiecare dintre acestea având
numeroase variante.
Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare,
interacţionând cu celelalte elemente numai în noduri. Studiul
structurii reale se înlocuieşte cu studiul ansamblului de elemente
finite obţinut prin discretizare, care devine astfel o idealizare a
structurii originare şi este un model de calcul al structurii date.
Pentru ca rezultatele analizei să fie cât mai precise trebuie ca
procesul de idealizare al structurii date să fie cât mai “performant”,
ceea ce implică respectarea unor reguli şi exigenţe privind
discretizarea, elaborarea modelului de calcul şi - printre altele -
103

utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile
elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna să fie
finite, adică nu poate fi făcută o trecere la limită prin care
dimensiunile acestora să tindă spre zero.
Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care
să aibă o utilitate universală. Pentru a putea fi implementat într-un
program MEF şi utilizat pentru un model de calcul, elementul finit
trebuie în prealabil “proiectat” în toate detaliile, adică trebuie definit
din punct de vedere geometric, fizic, matematic etc şi stabilite, pentru
aceste condiţii, relaţiile “proprii” de calcul.
Privit din punct de vedere informaţional, un element finit este un
“dispozitiv” - sau un model - care trebuie să poată prelucra cât mai
precis un volum cât mai mare de informaţii, pentru un set de condiţii
impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă
geometrică, de exemplu triunghiulară, să aibă un număr cât mai mare
de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare de grade de
libertate geometrică, iar funcţiile de interpolare să fie cât mai
complexe, adică să aibă un număr cât mai mare de parametri.
Desigur că menţiunile anterioare sunt de principiu, deoarece cu cât
creşte “complexitatea” elementului finit cresc şi dificultăţile de
calcul, astfel încât pentru fiecare situaţie concretă în parte, când se
“concepe” un element finit de un anumit tip se caută o soluţie de
compromis. O consecinţă nefastă a acestei situaţii este că programele
MEF au biblioteci cu un număr relativ mare de tipuri de elemente
finite, pentru a satisface un număr cât mai mare de cerinţe, cât mai
diverse, ceea ce produce dificultăţi utilizatorului.
Ideea de bază a MEF este că, pentru un element de un tip
oarecare, trebuie făcută ipoteza că deplasările din interiorul
elementului variază după o lege “cunoscută”, aleasă apriori,
determinată de o funcţie de interpolare. Consecinţa acestui demers
este că, local, acolo unde se va afla plasat elementul finit, în urma
procesului de discretizare, acesta va aproxima starea de deplasări a
structurii prin legea de interpolare implementată în elementul
respectiv. În concluzie, comparativ cu alte metode aproximative de
calcul (ca, de exemplu, Ritz sau Galerkin), care utilizau ipoteze
globale privind comportarea structurii în ansamblu (se alegea un
104

anumit tip de funcţie), MEF face ipoteze locale, ceea ce îi asigură o
generalitate şi supleţe remarcabile.
Figura 3.10
Funcţiile de interpolare au frecvent forma unor polinoame,
deoarece sunt continue şi mai simple, comparativ cu alte funcţii.
Alegerea gradului polinomului şi determinarea valorilor
coeficienţilor acestora trebuie să asigure o cât mai bună aproximare a
soluţiei exacte – necunoscute – a problemei date. În figura 3.10 se
prezintă schematic modul în care polinoamele de gradul zero, unu şi
doi – respectiv cu unu, doi şi trei termeni - pot aproxima o stare de
deplasări oarecare.
Elementele care au aceleaşi tipuri de funcţii (de obicei
polinoame), atât pentru definirea geometriei elementului (de
exemplu, pentru laturile sale), cât şi pentru definirea deplasărilor în
interiorul său (funcţia de interpolare), se numesc elemente
izoparametrice şi sunt cele mai eficiente şi folosite elemente finite în
practica MEF.
Elementele finite se pot clasifica după diverse criterii, dintre care
cele mai importante sunt:
Tipul de analiză. Pe o reţea de discretizare se pot defini
elemente finite care au “incluse” diverse proceduri matematice
destinate unor analize diverse, ca, de exemplu: liniar elastică,
neliniară, transfer de căldură, mecanica fluidelor, electromagnetism,
electromagnetism de înaltă frecvenţă etc.
Rolul funcţional. Elementele finite utilizate pentru modelarea
unei structuri trebuie să poată asigura cât mai bine “rolul funcţional”
al structurii date, adică, de exemplu, o grindă cu zăbrele trebuie
modelată cu elemente de tip bară, un capac din tablă subţire trebuie
modelat prin elemente de tip placă, o fundaţie prin elemente de tip
cărămidă etc. Din aceste considerente elementele sunt de tip punct
105

(element de masă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare drepte
sau curbe, în plan sau în spaţiu) de tip suprafaţă (elemente de plăci
plane sau curbe, groase sau subţiri, în plan sau în spaţiu, elemente
axial simetrice, de membrană etc) sau de tip volum (elemente
spaţiale, - 3D - pentru structuri “solide”, compozite, cu număr
variabil de noduri, pentru fluide, piezoelectrice, magnetice etc).
Fiecare din categoriile de elemente enumerate au mai multe variante,
numărul acestora putând ajunge la câteva zeci. De asemenea,
categoriile prezentate includ şi elemente cu rol funcţional special, ca
de exemplu: rigid, de contact, de frecare, de legătură, definit prin
matricea de rigiditate etc.
Forma geometrică. Elementele finite au, în general, forme
simple ca, de exemplu, linie dreaptă sau arc de cerc, triunghi,
patrulater oarecare, tetraedru, hexaedru etc. De asemenea, unele
caracteristici geometrice pot fi constante sau variabile, ca secţiunile
barelor sau grosimile plăcilor.
Numărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o formă
geometrică dată, de exemplu un triunghi, poate avea mai multe
variante în ceea ce priveşte numărul de noduri, deoarece în afara
nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri şi pe laturi şi (sau) în
interior. De asemenea se pot utiliza noduri şi în interiorul
elementului, pentru rezultate. Se utilizează şi elemente cu număr
variabil de noduri, ca, de exemplu, pentru plăci groase elementul
poate avea între 8 şi 48 de noduri.
Numărul gradelor de libertate ale fiecărui nod. Nodurile
elementelor au ataşate, implicit, unele DOF din cele şase posibile,
deci se poate opera şi cu numărul total de DOF pentru un element,
care este numărul nodurilor înmulţit cu numărul DOF pe nod.
Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are
“implementate” polinoame de interpolare de un anumit grad,
începând cu gradul întâi. Cu cât gradul polinoamelor este mai ridicat
cu atât creşte cantitatea de informaţii cu care elementul operează şi
deci el este, în general, mai performant.
Caracteristicile materialului. În practica analizei cu elemente
finite, materialul elementului finit poate fi omogen şi izotrop sau cu o
anizotropie de un anumit tip. De asemenea, constantele elastice şi
106

fizice ale materialului pot fi dependente de temperatură sau
solicitare.
Trebuie făcută precizarea că descrierea de mai sus a elementelor
finite nu este exhaustivă, ci că ea doar semnalează unele aspecte
importante din practica MEF. În concluzie, se menţionează că fiecare
tip de element finit este un ansamblu de condiţii şi ipoteze şi el
trebuie privit ca un întreg şi folosit ca atare, numai după ce s-a
studiat temeinic documentaţia care îl însoţeşte. De exemplu, din
parametrii care definesc elementul rezultă comportarea sa la
solicitare, tipul stării de tensiuni, interacţiunea sa cu celelalte
elemente etc.
Programele MEF care se folosesc în analiza structurilor au
biblioteci cu un număr impresionant de tipuri de elemente finite, la
care se adaugă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica
dezvoltării MEF, se menţionează că în anul 1984 se identificaseră 88
de variante ale elementelor finite de placă.
Determinarea matricei de rigiditate a unui element finit.
Etapele determinării matricei de rigiditate a unui element finit
sunt, în general, următoarele:
1. Elementul finit trebuie să fie conceput sau “proiectat”, adică
să se stabilească, a priori, toţi parametrii săi şi anume: forma
geometrică, numărul de noduri, numărul de DOF/nod, tipul stării de
tensiuni, gradul polinoamelor de interpolare, caracteristicile
materialului. Pentru exemplificare se consideră un element finit
triunghiular, cu trei noduri, cu 2DOF/nod, plan, de grosime constantă
t (placă subţire), polinoame de interpolare de gradul întâi, supus unei
stări de tensiune constantă, materialul fiind izotrop.
Figura 3.11
107

Elementul este raportat la un reper local oxy şi este definit de
nodurile i, j, k (de coordonatele lor), în care acţionează forţele X şi
Y, ca în figura 3.11. Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de
elemente finite.
2. Relaţia care defineşte comportarea elastică a unui element
finit este de forma (similară cu (8.4), pentru o bară dreaptă)
{R} = [k] {u}, (3.37)
în care: {u}este vectorul deplasărilor nodale, {R} – vectorul
eforturilor nodale (sau al forţelor nodale generalizate) şi [k]–matricea
de rigiditate elementului finit.
3. Se defineşte vectorul 4. Se defineşte vectorul
deplasărilor nodale:
eforturilor nodale:
u
i
nodul i
X
i
v
nodul
i
i
Yi
u
j
X
j
u
v
nodul
j .
R
j
Y
nodul
j .
j
u
k
X
k
nodul k
v
nodul k
k
Y
k
Observaţie: Vectorii {R} şi {u} pentru un element finit sunt similari cu cei
corespunzători ai elementului de bară dreaptă (cap. 2), cu menţiunea că pentru
elementele finite vectorul {R} nu mai are o semnificaţie specială, ca pentru bare (la
bare {R} era vectorul eforturilor de la capete).
Relaţia (3.37) trebuie interpretată astfel: deplasările nodale {u} produc în mod
unic eforturile nodale {R}. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite
valori ale eforturilor {R} se pot obţine o infinitate de vectori {u} ai deplasărilor
nodale, diferiţi prin deplasările de corp rigid ale elementului. Spre deosebire de
deplasările nodale care sunt independente, eforturile trebuie să satisfacă ecuaţiile
de echilibru ale elementului finit.
5. Se scriu ecuaţiile de echilibru ale elementului finit:
- ecuaţia forţelor pe direcţia ox: X i + X j + X k = 0;
- ecuaţia forţelor pe direcţia oy: Y i + Y j + Y k = 0;
- ecuaţia momentelor în raport cu originea:
-X i * y i + -X j * y j + -X k * y k + Y i * x i + Y j * x j + Y k * x k =0.
Observaţie: Rezultă că trei forţe nodale independente nu pot determina univoc
şase deplasări nodale. În consecinţă, matricea de rigiditate, [k], a elementului finit
considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei.
108

6. Expresiile deplasărilor, u şi v, într-un punct oarecare din
interiorul elementului finit sunt:
u (x, y) = α 1 + α 2 x + α 3 y ; v (x, y) = α 4 + α 5 x + α 6 y , (3.38)
în care α i sunt parametri independenţi, ceea ce este în acord cu
considerentele de la etapa 1şi anume:
- polinoamele sunt de gradul întâi;
- deformaţiile şi tensiunile sunt constante în interiorul
elementului:
7. Se calculează, în interiorul elementului finit, deformaţiile:
ε x = ∂u/∂x= α 2 ; ε y =∂v/∂y= α 6 ; γ xy =∂u/∂y+∂v/∂x= α 3 + α 5. (3.39)
8. Se calculează, în interiorul elementului finit, tensiunile:
ζ x = E (α 2 + υ α 6 ) / (1 – υ 2 ) ; ζ y = E (α 6 + υ α 2 ) / (1 – υ 2 ) ;
η xy = E (α 3 + α 5 ) / [2*(1 + υ)]. (3.40)
9. Deplasările în noduri trebuie să fie componentele vectorului
{u}, adică
u i =α 1 +α 2 x i +α 3 y i ; u j =α 1 +α 2 x j +α 3 y j ; u k =α 1 +α 2 x k +α 3 y k ; (3.41’)
v i =α 4 +α 5 x i +α 6 y i ; v j =α 4 +α 5 x j +α 6 y j ; v k =α 4 +α 5 x k +α 6 y k . (3.41’’)
10. Relaţiile (3.41) pot fi privite ca un sistem de ecuaţii în care
necunoscutele sunt parametrii α i . În urma rezolvării sistemului
rezultă:
α 1 = (a i u i + a j u j + a k u k ) / Δ ; α 2 = (b i u i + b j u j + b k u k ) / Δ ;
α 3 = (c i u i + c j u j + c k u k ) / Δ ; (3.42’)
α 4 = (a i v i + a j v j + a k v k ) / Δ ; α 5 = (b i v i + b j v j + b k v k ) / Δ ;
α 6 = (c i v i + c j v j + c k v k ) / Δ, (3.42’’)
în care s-au notat:
a i = x j y k – x k y j ; a j = x k y i – x i y k ; a k = x i y j – x j y i ;
b i = y j - y k ; b j = y k – y i ; b k = y i – y j ; (3.42’’’)
c i = x k - x j ; c j = x i – x k ; c k = x j – x i ,
şi Δ este determinantul
1
1
1
x
x
x
i
j
k
y
y
y
i
j
k
109
, a cărui valoare absolută este
dublul ariei triunghiului ijk.
Volumul elementului finit este V = |Δ| t /2, în care t este grosimea.
11. Funcţiile de interpolare se obţin prin înlocuirea valorilor
(3.42) în expresiile (3.38):
u (x, y) = N i (x, y) u i + N j (x, y) u j + N k (x, y) u k ; (3.43’)
v (x, y) = N i (x, y) v i + N j (x, y) v j + N k (x, y) v k , (3.43’’)

în care N(x, y) sunt funcţiile de interpolare:
N i =(a i +b i x+c i y)/Δ ; N j =(a j +b j x+c j y)/Δ; N k =(a k +b k x+c k y)/Δ. (3.44)
Cu relaţiile (3.43) se pot calcula componentele deplasărilor unui
punct oarecare din interiorul elementului finit, în funcţie de
deplasările nodale.
Este remarcabil faptul că în nodurile elementului funcţiile de
interpolare au valorile:
N i (x i , y i ) = 1; N i (x j , y j ) = 0; N i (x k , y k ) = 0;
N j (x i , y i ) = 0; N j (x j , y j ) = 1; N j (x k , y k ) = 0;
N k (x i , y i ) = 0; N k (x j , y j ) = 0; N k (x k , y k ) = 1.
12. Energia de deformaţie a elementului finit este
1 2 2
2
W [
x
y
2x
y
2(1)
xy]
dV ,
2E
V
2 2
2
sau W = |Δ| t [ 2
2(1
)
] /E,
x
y
în care valorile (constante) ale tensiunilor sunt (3.40).
13. Lucrul mecanic al eforturilor nodale este:
U = - X i u i – X j u j – X k u k – Y i v i – Y j v j – Y k v k = - {u} T {R}.
14. Minimul energiei potenţiale totale Π = W + U se realizează
când sunt îndeplinite condiţiile:
∂Π/∂u i =0;∂Π/∂u j =0;∂Π/∂u k =0;∂Π/∂v i =0;∂Π/∂v j =0;∂Π/∂v k =0. (3.45)
În calculul derivatelor (3.45) se va avea în vedere că:
x
E
2
u
1
i
2
6
Ebi
;
2
ui
u
i (1
)
x
110
y
x
E
2
v
1
i
xy
2
6
Eci
; .......
2
vi
v
i (1
)
După efectuarea calculelor, condiţiile (3.45) pot fi scrise explicit
sub forma sistemului de ecuaţii
k 11 u i + k 12 v i + k 13 u j + k 14 v j + k 15 u k + k 16 v k = X i
k 21 u i + k 22 v i + k 23 u j + k 24 v j + k 25 u k + k 26 v k = Y i
k 31 u i + k 32 v i + k 33 u j + k 34 v j + k 35 u k + k 36 v k = X j
k 41 u i + k 42 v i + k 43 u j + k 44 v j + k 45 u k + k 46 v k = Y j
k 51 u i + k 52 v i + k 53 u j + k 54 v j + k 55 u k + k 56 v k = X k
k 61 u i + k 62 v i + k 63 u j + k 64 v j + k 65 u k + k 66 v k = Y k
ai cărui coeficienţi k ij (pentru i = 1, 2, ...6 şi j = 1, 2, ...6) sunt chiar
elementele matricei de rigiditate, [k], din relaţia (3.37), a
elementului.

15. Matricea de rigiditate a elementului finit de tipul
considerat este:
Nodul→ i j k
Direcţia x← ↓ →y x← ↓ →y x← ↓ →y ↓ ↓
în care s-au folosit notaţiile:
K
1
Et
2 1
2
(3.46)
X
↨ ↔ i
y
x
↨ ↔ j
y
x
↨ ↔ k
y
; β =(1- υ)/2 şi γ=(1+ υ) / 2.
Formularea matriceală a MEF.
Relaţiile de bază ale MEF pot fi scrise în formă matriceală, ceea
ce oferă metodei mai multă claritate, concizie şi generalitate.
Astfel relaţiile (3.40) se scriu
1
0 1 0 0 0 0
2
x
0 0 0 0 0 1
*
3
y
,
4
xy
0 0 1 0 1 0
5
6
sau
B1
.
De asemenea relaţiile (3.42) devin
{α} = [B 1 ] {u}, de unde {ε} = [B 1 ] [C]{u}, sau
{ε} = [B] {u}, (3.47)
în care s-a notat {ε} = [B 1 ] [C] şi
bi
0 b
j
0 bk
0
B 0 ci
0 c
j
0 ck
.
ci
bi
c
j
b
j
ck
b
k
Legea lui Hooke (3.40) capătă forma
111

x
1
0 x
E
y
1 0
y
, sau {ζ} = [D] {ε},
2
1
xy
0
0 (1)
2
xy
în care se poate înlocui relaţia (3.47) şi rezultă
{ζ} = [D] [B] {u}. (3.48)
Expresia energiei de deformaţie a elementului finit considerat
capătă forma
1 T
W
dV,
2 V
în care se înlocuiesc expresiile (3.47) şi (3.48) şi rezultă
1 T T
W u B DB dV * u
, (3.49)
2 V
deoarece ( B u)
T u
T
B T
.
Cu notaţia
T
k B D B , (3.50)
V
dV
expresia energiei potenţiale totale este
1 T
T
W U
u ku
u R
, (3.51)
2
pentru care se pune condiţia de minim ∂π/∂u = [k]{u} - {R} = 0,
din care rezultă că (3.50) este chiar expresia matricei de rigiditate a
elementului finit.
Scrise în forma matriceală, expresiile (3.49), (3.50) şi (3.51) sunt
generale, valabile pentru orice tip de element finit.
În relaţiile de mai sus trebuie remarcat că:
- matricea [B] este matricea geometrică a elementului, deoarece
defineşte legătura dintre vectorul deformaţiilor specifice {ε} şi
vectorul deplasărilor nodale, {u};
- matricea [D] este matricea de elasticitate, a materialului, care
intervine în expresia legii lui Hooke.
În cazul general, poate fi dificil calculul analitic al integralei din
expresia matricei de rigiditate (3.50), situaţii în care valorile
respective se determină prin integrare numerică.
112

Pentru tipul de element finit considerat, expresia de sub
operatorul integrală este constantă, ceea ce duce la
[k] = |Δ| t [B] T [D] [B] /2, (3.46’)
care este forma matriceală a expresiei, (3.46), a matricei de rigiditate
a elementului finit.
Celelalte aspecte ale MEF.
Următoarele concepte, definiţii şi semnificaţii ale mărimilor,
proceselor şi noţiunilor din metoda deplasărilor pentru bare drepte
rămân valabile şi în MEF, motiv pentru care nu vor mai fi reluate în
acest capitol:
- nodul şi gradele de libertate geometrică, DOF, asociate;
- matricea de rigiditate a elementului (se schimbă doar
metodologia de calcul şi ceea ce rezultă din ea, adică relaţiile de
calcul);
- transformarea matricei de rigiditate a elementului la trecerea de
la reperul local la cel global;
- procesul de asamblare a matricelor de rigiditate ale elementelor
în matricea de rigiditate a structurii;
- formarea sistemului de ecuaţii al structurii;
- scrierea condiţiilor în legături;
- etapele de rezolvare a unei probleme.
Verificarea modelelor de calcul cu elemente finite.
Modelul de calcul şi rezultatele obţinute cu ajutorul său trebuie
supuse unor teste şi verificări. Scopul acestora este de a “valida”
modelul, adică de a determina dacă acesta satisface exigenţele
impuse şi dacă rezultatele obţinute cu ajutorul lui permit formularea
unor răspunsuri neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul
analizei cu elemente finite. Unele teste şi verificări sunt calitative şi
globale, altele cantitative şi de detaliu.
Dacă testele şi verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul
trebuie îmbunătăţit şi procesul de verificare-îmbunătăţire-verificare
se continuă până când se obţine un model satisfăcător, adică valid.
În figura 3.12 este prezentată schema generală a procesului de
verificare-îmbunătăţire a modelului de calcul cu elemente finite.
113

Figura 3.12
O enumerare a celor mai importante şi utilizate metode şi
procedee de verificare a modelelor pentru calculul cu elemente finite
este următoarea:
- verificările experimentale pe structura reală. De obicei acestea
sunt ulterioare calculului (după ce structura s-a executat. Se pot face
şi verificări experimentale pe modele fizice reduse la scară;
- efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele şi
compararea rezultatelor obţinute. Modelele pot fi de acelaşi tip,
adică elaborate pe baza aceleiaşi metode de calcul (de exemplu,
MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de
calcul diferite;
- preprocesarea geometriei modelului este cea mai utilizată şi cea
mai eficientă metodă de verificare a geometriei modelului, a
corectitudinii definirii condiţiilor de rezemare şi a aplicării sarcinilor.
Se poate spune că este totdeauna obligatorie.
Figura 3.13
114

Verificarea constă în citirea fişierului cu datele de intrare pentru
programul MEF, preprocesarea informaţiilor conţinute în acest fişier
şi trasarea unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se
prezintă în figura 3.13, pentru modelul unei structuri industriale;
- verificări ale condiţiilor de simetrie sau antisimetrie geometrică
şi mecanică;
- verificări printr-un calcul simplu, aproximativ;
- verificarea greutăţii;
- verificări globale şi calitative ale modelului care să aibă în
vedere configuraţiile stărilor de tensiuni şi deplasări, semnele lor,
ordinul de mărime şi chiar valorile rezultatelor obţinute. Din practica
inginerească şi din experienţa altor analize se ştie unde sunt zonele
cu tensiuni şi deplasări mari, care este configuraţia structurii
deformate şi între ce limite trebuie să se afle valorile mărimilor
obţinute.
De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că MEF este
aproximativă, ceea ce înseamnă că nu se poate cere modelului mai
mult decât poate oferi metoda, rezultatele obţinute fiind determinate
atât de performanţele modelului cât şi de principiile, ipotezele şi
procedurile matematice de calcul incluse în metoda şi în programul
cu elemente finite.
Surse de erori în metoda elementelor finite.
Metoda elementelor finite este o metodă aproximativă de calcul.
La modelarea şi rezolvarea unei probleme date se fac o serie de
aproximări, care au drept consecinţă faptul că soluţia obţinută cu
MEF are unele abateri faţă de soluţia exactă, necunoscută. Aceste
abateri de aproximare se numesc în mod obişnuit erori ale MEF,
ceea ce nu este corect. În principiu, conceptul de eroare are sensul de
greşeală – intenţionată sau involuntară – şi ea poate fi, de obicei,
corectată sau evaluată cantitativ, ceea ce nu este valabil şi pentru
MEF. Pentru problemele care sunt abordate cu MEF nu sunt, de
obicei, cunoscute soluţii alternative, obţinute pe alte căi, cu care
acestea să se compare pentru a se determina abaterile relative.
Existenţa acestor abateri sau erori de aproximare ale MEF este
principalul său dezavantaj şi este tributul plătit pentru calităţile,
115

avantajele şi performanţele sale. În continuare se va folosi pentru
aceste abateri termenul, obişnuit, de eroare a MEF.
Sursele de erori de aproximare se află la diverse nivele şi intervin
în diverse etape ale procesului de analiză cu elemente finite (FEA).
Identificarea şi înţelegerea mecanismelor care guvernează aceste
erori face posibilă - uneori şi într-o oarecare măsură – reducerea şi
evaluarea acestora. Cele mai importante dintre sursele de erori ale
MEF sunt următoarele (nu se menţionează greşelile posibile ale
utilizatorului, provenite din neştiinţă, neatenţie sau incompetenţă):
1. Erorile conceptuale sau de principiu provin din neglijarea
satisfacerii ipotezelor şi conceptelor care definesc diversele categorii
de probleme ale structurilor mecanice, ceea ce poate duce la erori
mari ale soluţiei obţinute. De exemplu, nu sunt îndeplinite una sau
mai multe dintre ipotezele care delimitează modelul de structură
liniar elastică, definită ca mediu continuu, omogen şi izotrop, cu
liniaritate geometrică, elasticitate perfectă, liniaritate fizică şi fără
tensiuni iniţiale. De asemenea, se presupune că structura este în
echilibru (static sau dinamic) şi că este valabil principiul lui Saint
Venant, ipoteza secţiunii plane (pentru bare) şi ipoteza normalei
rectilinii (pentru plăci şi învelişuri). În aceste condiţii, ecuaţiile de
echilibru scrise pentru structura nedeformată rămân valabile şi pentru
structura deformată, funcţiile eforturilor nu depind de deplasări,
dependenţa dintre sarcini şi deplasări este liniară, ecuaţiile
diferenţiale sunt cu coeficienţi constanţi, este aplicabil principiul
suprapunerii efectelor etc.
2. Aproximarea geometriei structurii reale are loc în procesul
de elaborare a modelului de calcul. Diversele forme geometrice ale
structurii date se aproximează pentru ca modelul de calcul să fie cât
mai simplu şi pentru a se putea realiza pe el reţeaua de discretizare.
3. Aproximarea sarcinilor care se aplică modelului se referă la:
valorile acestora, modul de variaţie (pe suprafaţă, pe volum, în
funcţie de timp etc), direcţia, poziţia pe model a punctului de
aplicaţie etc. Se vor avea în vedere variantele de încărcare cerute de
beneficiar şi modalităţile de evaluare ale regimurilor de încărcare şi
anume, sarcini nominale, de avarie, de probă, maxime, accidentale
etc. De asemenea, sarcinile se pot aplica static, dinamic cu o viteză
cunoscută, (prin şoc) etc. Încărcarea poate fi staţionară sau
116

nestaţionară, variabilă după legi cunoscute sau variabilă aleator. În
procesul de deformare al structurii sarcinile îşi pot modifica direcţiile
sau punctele de aplicaţie.
4. Aproximarea condiţiilor de rezemare se referă la faptul că
acestea se definesc, de regulă, în nodurile modelului şi constau în
introducerea restricţiei ca deplasarea (componenta liniară sau cea de
rotire) să aibă valoarea zero, sau o valoare cunoscută, pe direcţia
dorită. Deplasările nodale sunt definite pe direcţiile reperului global
al modelului, şi - de obicei - şi condiţiile de rezemare. Dacă este
necesar, se poate defini un nou sistem de referinţă, pentru unele
reazeme (sau pentru toate), rotit faţă de sistemul global. În cazuri
deosebite, pentru modelarea condiţiilor de rezemare se folosesc
elemente finite speciale, de tip bound şi (sau) gap, care permit
definirea reazemelor pe orice direcţie. Se pot defini reazeme
deformabile (cu o anumită valoare a constantei elastice sau a
rigidităţii) şi se pot introduce forţe de frecare.
5. Aproximarea introdusă de elementul finit utilizat este, cea
mai importantă sursă de erori în MEF, acesta fiind inclusă în
principiile fundamentale ale metodei. În esenţă aproximarea aceasta
constă în faptul că pentru un subspaţiu al structurii reale, pentru care
deplasările (şi tensiunile) au o lege de variaţie oarecare,
necunoscută, se utilizează un element finit care are implementată o
funcţie de aproximare prestabilită, specifică tipului de element finit
utilizat. Tipurile de elemente disponibile în “bibliotecile”
programelor au fost concepute astfel încât să fie cât mai performante
şi să ofere utilizatorului posibilitatea satisfacerii unor cerinţe cât mai
diverse, acestuia revenindu-i sarcina de a le utiliza corect şi eficient,
incluzând şi cerinţa ca erorile de aproximare să fie cât mai mici. În
acest sens utilizatorul trebuie să ştie care sunt principalele cerinţe şi
proprietăţi ale funcţiilor de aproximare (denumite şi funcţii de
interpolare) ale elementelor.
Pentru MEF - modelul deplasare, funcţiile se referă la câmpul
deplasărilor. Aceste funcţii trebuie să asigure energiei potenţiale
totale a structurii deformate o valoare minimă, corespunzătoare stării
de echilibru stabil a acesteia, compatibilitatea internă şi satisfacerea
condiţiilor la limită. În acest caz, rezultatele obţinute prin FEA,
pentru modele cu discretizări tot mai fine, adică având un număr tot
117

mai mare de noduri şi de elemente, conduce la obţinerea unor
rezultate tot mai precise, adică procesul este convergent.
Pentru asigurarea convergenţei FEA, funcţiile de aproximare
trebuie să satisfacă următoarele cerinţe:
a – Continuitatea. Dacă funcţiile sunt polinoame, se asigură
cerinţa ca în interiorul elementului şi pe conturul său câmpul
deplasărilor să nu aibă discontinuităţi, salturi, goluri sau variaţii
bruşte;
b – Compatibilitatea sau conformitatea. Trebuie ca în procesul
de deformaţie elementele să rămână solidare în toate punctele
frontierei comune, adică să nu se separe, să nu ducă la goluri sau
discontinuităţi şi să nu pătrundă în domeniul elementelor vecine.
Pentru a fi compatibile, elementele adiacente trebuie ca pe linia sau
suprafaţa comună să aibă aceleaşi: coordonate pentru noduri, grade
de libertate în noduri, tip de funcţii de aproximare pentru deplasări şi
(uneori) să fie raportate la sisteme de coordonate locale. În practica
FEA, apar frecvent situaţii în care trebuie “conectate” elemente care
nu sunt compatibile. Cel puţin în zonele din imediata apropiere a
acestor linii sau suprafeţe este de aşteptat ca rezultatele obţinute să
fie afectate de erori mai mari decât cele obişnuite.
c – Complinirea. Funcţiile de aproximare trebuie să conţină
termeni care să descrie deplasările de corp rigid (adică translaţii
uniforme pe toate direcţiile şi rotaţii fără distorsiuni unghiulare) şi
stările de deformaţii constante ale elementului, adică să conţină
termeni constanţi şi termeni de gradul întâi.
Cele mai utilizate şi eficiente tipuri de elemente finite sunt cele
izoparametrice, care au polinoame (sau, mai rar, alte tipuri de
funcţii) de acelaşi tip atât pentru definirea geometriei elementului (de
exemplu laturile unui patrulater) cât şi pentru aproximarea câmpului
deplasărilor;
d – Invarianţa geometrică. Elementul finit trebuie să aibă aceeaşi
stare de deformaţie (sau de tensiune, relaţia dintre ele fiind lineară,
prin legea lui Hooke) oricare ar fi orientarea sistemului local de
coordonate (reperul local) în raport cu care aceasta este formulată.
Această cerinţă are în vedere faptul că în timp ce sistemul global de
coordonate (reperul global), al întregii structuri, are o orientare
spaţială fixă, la care sunt raportate toate mărimile nodale (deplasări,
118

sarcini, grade de libertate geometrică, condiţii de rezemare), fiecare
element are propria sa poziţie şi orientare spaţială. Cerinţa este
satisfăcută dacă expresia funcţiei de aproximare, prin termenii pe
care îi conţine, nu “favorizează” nici una dintre coordonatele locale.
La elaborarea modelului trebuie luat în considerare faptul că
procesul de convergenţă poate fi atins pe două căi şi anume:
α - utilizarea elementelor de “ordin superior”, care au polinoame
de aproximare cu grad cât mai mare. Aceasta presupune ca elementul
să aibă un număr mai mare de noduri, cu mai multe grade de libertate
geometrică şi o formă geometrică mai complicată. Privit din punct de
vedere informatic acest tip de element este mai eficient deoarece
prelucrează o cantitate mai mare de informaţii. Din păcate,
bibliotecile cu elemente finite ale programelor oferă un număr mic de
elemente de acest tip;
β - realizarea unei discretizări cât mai fine, adică modelul să aibă
un număr cât mai mare de noduri şi de elemente finite.
Practica FEA nu a confirmat superioritatea uneia sau alteia din
cele două căi, fiecare cale dovedind faţă de cealaltă o mai bună
aproximare a soluţiei pentru unele tipuri de probleme, dar inferioară
pentru altele.
Pentru ca soluţia obţinută prin “rafinarea” discretizării să fie o
mai bună aproximare a problemei date, trebuie satisfăcute
următoarele cerinţe:
- fiecare discretizare anterioară trebuie să se “regăsească” în cea
nouă;
- fiecare punct al modelului trebuie să aparţină unui element
finit;
- funcţiile de aproximare ale elementelor utilizate trebuie să
rămână aceleaşi când se trece de la o
reţea de discretizare la alta.
6. Forma distorsionată a elementelor finite obţinute prin
discretizare duce la creşterea erorilor de aproximare. Aceasta
înseamnă că, de exemplu, un element triunghiular trebuie să fie cât
mai apropiat de un triunghi echilateral, un element patrulater cât mai
aproape de un pătrat, un element hexaedric de volum de un cub etc.
Programele MEF conţin proceduri de verificare a formei elementelor
şi transmit mesaje de atenţionare pentru cele distorsionate, astfel
119

încât utilizatorul să poată interveni, prin modificarea reţelei de
discretizare, pentru a reduce cât mai mult această eroare de modelare.
7. Sensibilitatea tipurilor de elemente la sarcini concentrate,
aplicate în nodurile reţelei de discretizare, poate duce la interpretări
greşite ale rezultatelor FEA, deoarece fiecare tip de element
“răspunde” diferit sub acest aspect al modelării şi se pot considera ca
valori maxime ale tensiunilor valori “locale irelevante”. În teoria
elasticităţii, o forţă concentrată aplicată într-un punct al semispaţiului
elastic duce la o singularitate, adică în acel punct, tensiunea normală
pe direcţia forţei are valoarea infinit, adică nu poate fi determinată
(problema Boussinesq). În MEF forţa concentrată aplicată într-un
nod al reţelei de discretizare nu constituie o singularitate, dar valorile
tensiunilor şi deplasărilor din nodul respectiv şi din elementele
vecine au valori care depind de tipul elementului finit.
8. Aproximarea valorilor constantelor elastice şi fizice ale
materialului se face adesea cu erori relativ mari pentru că nu există
informaţii suficient de precise şi sigure despre structura pentru care
se face modelarea. De exemplu, nu se cunoaşte curba caracteristică
reală a materialului, sau variaţiile constantelor elastice ale unui
laminat în raport cu direcţia de laminare (mai ales pentru table),
valorile coeficienţilor de frecare în reazeme (pentru calculul forţelor
de frecare), valorile factorilor de amortizare şi dependenţa acestora
funcţie de frecvenţă, constantele de transmisie a căldurii prin
conductivitate, radiaţie sau convecţie, variaţia constantelor funcţie de
temperatura de lucru etc. În aceste condiţii trebuie remarcat faptul că
adesea este absurd să se depună eforturi pentru elaborarea unui
model sofisticat, cu un mare număr de noduri şi elemente, în speranţa
obţinerii unor rezultate precise, dacă valorile constantelor introduse
în calcul sunt incerte, deoarece acestea pot altera semnificativ
rezultatele şi deci nivelul lor de încredere să fie iluzoriu. Sunt cazuri
în care variaţii relativ mici (de câteva procente) ale valorilor
constantelor duc la variaţii relativ mari ale rezultatelor ( de zeci de
procente).
9. Aproximarea maselor şi a distribuţiei acestora apare pentru
problemele dinamice – vibraţii libere şi forţate, răspuns dinamic,
răspuns seismic etc. – şi poate duce la erori imprevizibile, greu de
evaluat. Pentru structuri complexe, volumul calculelor pentru
120

probleme de valori proprii poate deveni foarte mare şi o cale pentru
reducerea acestuia este ca modelul să aibă un număr limitat de grade
de libertate, ceea ce implică “reducerea”, sau condensarea matricei
de masă şi a celei de rigiditate.
10. Erorile de trunchiere apar în procesul de calcul ca urmare a
faptului că în calculator toate variabilele (altele decât cele întregi)
sunt reprezentate cu un număr finit de cifre. Prin aceasta apar erori
care se “cumulează” şi se “propagă” şi pot deveni importante când
volumul operaţiilor de calcul este foarte mare. Erorile de trunchiere
pot afecta în special precizia soluţiei sistemului de ecuaţii al MEF
precum şi celelalte etape de calcul ale unei FEA. În consecinţă, sunt
programe care au implementate module de calcul pentru rezolvarea
iterativă a sistemului de ecuaţii, prin aceasta putându-se “corecta”
soluţia iniţială până când corecţia devine mai mică decât un prag
prestabilit.
11. Calculul tensiunilor şi ale altor mărimi “derivate” introduce
erori suplimentare de aproximare. Trebuie avut în vedere faptul că,
pentru modelul deplasare, deplasările nodale sunt necunoscutele
“primare”, deci primele valori care se obţin în urma FEA, celelalte
fiind mărimi “derivate” din valorile acestora, ceea ce implică operaţii
de calcul suplimentare şi deci şi erori suplimentare de aproximare.
Pentru fiecare tip de element tensiunile se determină altfel, în
anumite puncte şi pe anumite direcţii, acestea fiind opţiuni ale postprocesării,
sau ale “retro-calculului”. Tensiunile în noduri, se
calculează ca medii aritmetice ale tensiunilor nodale pentru
elementele care se conectează în fiecare nod. Acest fapt trebuie avut
în vedere când se fac interpretări ale rezultatelor obţinute prin FEA:
care sunt tensiunile care trebuie luate în considerare, cele din noduri
sau cele din elemente.
Concluzii. Din cele prezentate se poate constata că problema
erorilor de aproximare ale modelării şi analizei cu elemente finite
este foarte complexă, ceea ce face aproape imposibil controlul şi
evaluarea acestora. O modalitate de evalua erorile de aproximare
constă în calculul factorului de estimare a erorii, procedură pe care
o au implementată programele actuale pentru analiza cu elemente
finite.
121

Pentru reducerea efectelor erorilor de aproximare nu se pot emite
recomandări cu aplicabilitate generală ci fiecare utilizator, de la caz
la caz, trebuie să se orienteze singur, pentru a obţine o soluţie
acceptabilă a modelării şi analizei cu elemente finite. Cunoaşterea
surselor de erori şi înţelegerea mecanismelor lor de “acţiune” pot fi
ajutoare preţioase în demersurile pentru o modelare şi analiză de
succes.
Avantajele, dezavantajele şi limitele metodei elementelor
finite.
În prezent metoda elementelor finite este aproape generalizată în
proiectarea inginerească asistată şi are aplicabilitate masivă în
cercetarea mecanică, transmisia căldurii, electricitate, hidraulică,
biomecanică etc.
Avantajele MEF. Propagarea “masivă”, într-un interval de timp
relativ scurt, a MEF se explică în primul rând prin avantajele sale,
dintre care cele mai importante sunt:
1. Generalitatea. MEF este o metodă numerică aproximativă de
calcul care se poate utiliza pentru rezolvarea problemelor de
mecanica structurilor deformabile, mecanica fluidelor, transmisia
căldurii, electromagnetism, electrostatică, biomecanică etc.
Solicitările pot fi statice, dinamice, periodice, staţionare,
nestaţionare, tranzitorii etc. Problemele pot fi liniare, neliniare (cu
diverse tipuri de nelinearităţi), dependente de timp, probleme de
stabilitate, de vibraţii, de interacţiune etc. În prezent utilizarea MEF
este limitată doar de lipsa de imaginaţie şi de ingeniozitate a
potenţialilor beneficiari.
2. Supleţea. Pentru abordarea unei anumite probleme concrete cu
MEF, nu există nici un fel de restricţii care să decurgă din metodă,
adică elaborarea modelului de calcul al problemei date se poate face
cu o libertate deplină, în care esenţiale sunt fantezia, ingeniozitatea şi
experienţa utilizatorului. Supleţea MEF asigură elaborarea cu foarte
mare uşurinţă a modelului de calcul şi permite automatizarea acestui
proces într-o foarte mare măsură.
După ce s-a realizat modelul şi s-au făcut diverse calcule cu el,
într-un număr de variante privind solicitările, condiţiile de rezemare,
opţiunile de analiză etc, se pot obţine variante noi, îmbunătăţite, ale
122

modelului iniţial, astfel încât să fie satisfăcute cât mai deplin
diversele exigenţe ale utilizatorului.
3. Simplitatea conceptelor de bază. Pentru utilizarea MEF nu
este necesar ca utilizatorul să aibă cunoştinţe speciale de
matematică sau informatică, ci este suficient ca el să aibă cunoştinţe
inginereşti de bază. Se pot înţelege şi asimila, cu un efort minim,
conceptele de bază ale MEF şi anume: nod, element finit, reţea de
discretizare, structură, model de calcul.
4. Utilizarea calculatoarelor. Din chiar principiile de bază ale
MEF, rezultă necesitatea efectuării unui volum foarte mare (uneori
chiar uriaş) de calcule numerice, ceea ce impune implementarea
metodei pe calculator. Dezvoltarea MEF şi a programelor care
folosesc metoda s-au realizat în strânsă concordanţă cu creşterea
performanţelor sistemelor de calcul.
5. Existenţa programelor de calcul cu MEF. În prezent se
comercializează şi sunt accesibile numeroase programe de calcul cu
MEF, deosebit de performante. Aceste programe permit analiza
oricărei structuri mecanice, cu o complexitate practic nelimitată în
ceea ce priveşte forma geometrică, dimensiunile, solicitările,
variantele de analiză etc. Se poate afirma că, în prezent, se poate
calcula orice structură mecanică cu MEF.
6. Facilităţi de pre şi postprocesare. MEF permite ca relativ
simplu să se realizeze o mare diversitate de proceduri eficiente de
preprocesare a modelului de calcul în vederea reducerii volumului de
muncă, în special a discretizării automate şi a verificării acestuia.
Rezultatele obţinute în urma procesării modelului - care au de obicei
un volum uriaş - pot fi prezentate sub formă de tabele, listinguri,
desene, diagrame, animaţii, alb-negru sau color etc, astfel încât
informaţiile oferite beneficiarului să fie cât mai accesibile, sugestive,
atractive, complete, precise etc.
7. Stabilitatea algoritmilor de calcul. Eforturile a numeroşi
cercetători (matematicieni şi ingineri) s-au concretizat prin
elaborarea unor algoritmi şi proceduri eficiente şi sigure, informatice
şi matematice de calcul, destinate MEF şi FEA, care s-au verificat, s-
au impus şi au fost unanim acceptate. În aceste condiţii, MEF şi
programele corespunzătoare elaborate oferă stabilitate şi siguranţă
utilizatorilor. Variante noi ale programelor includ fie extinderi ale
123

ibliotecilor de elemente finite sau ale opţiunilor de calcul
implementate, fie noi facilităţi de pre şi postprocesare.
Dezavantajele MEF. Prin extinderea până aproape de
generalizare a MEF şi FEA, precum şi prin numărul uriaş de
utilizatori entuziaşti ai acestora, nu înseamnă că MEF a ajuns
panaceu universal în calculele efectuate în inginerie şi în cercetare.
Metoda are dezavantaje şi limite. Cele mai importante dezavantaje
ale MEF sunt:
1. Metoda este aproximativă. Analiza cu MEF nu se face pentru
structura reală ci pentru un model (de calcul) al acesteia şi rezultatele
obţinute reprezintă o aproximare a stărilor de deplasări, tensiuni,
temperaturi etc din structura reală care se analizează. Dezavantajul
MEF constă în aceea că nu se poate estima - în marea majoritate a
situaţiilor reale - cu un nivel de încredere cuantificabil, cât de bine
aproximează FEA soluţia exactă (necunoscută) a problemei care se
analizează. Altfel spus, este foarte dificil - uneori chiar imposibil – să
se estimeze care sunt abaterile valorilor mărimilor (deplasări,
tensiuni, eforturi, frecvenţe etc.) calculate cu MEF faţă de cele reale,
necunoscute.
2. Modelul de calcul este, într-o mare măsură, subiectiv şi
arbitrar. Utilizatorul are libertate deplină în elaborarea modelului,
MEF neavând restricţii în acest sens. Supleţea metodei duce la
suspiciuni în legătură cu corectitudinea modelului şi a eficienţei
analizei realizate cu el. În aceste condiţii hotărâtoare sunt curajul,
ingeniozitatea şi experienţa utilizatorului în domeniul MEF şi FEA,
atribute subiective şi greu de evaluat cantitativ. Elaborarea unui
model de calcul performant devine astfel o artă. Din acest motiv,
diverse institute de proiectare sau firme, au emis norme şi reguli de
elaborare a modelelor pentru unele categorii de structuri, unele dintre
acestea fiind validate în practică.
3. Elaborarea modelului de calcul este laborioasă. Pentru
realizarea modelului cu elemente finite al unei structuri este necesar
din partea utilizatorului un efort considerabil şi o foarte bună
cunoaştere a modului de preprocesare al programului cu elemente
finite sau a interfeţei CAD – MEF.
4. Programele MEF sunt complexe şi scumpe. În dorinţa de a
satisface cât mai bine exigenţele utilizatorilor şi de a face faţă
124

concurenţei, firmele care elaborează programe performante pentru
analize cu elemente finite au realizat produse de o foarte mare
complexitate. Pentru utilizarea corectă şi eficientă a acestora li se cer
utilizatorilor eforturi deosebite, pentru lungi perioade de timp.
Preţurile programelor sunt relativ mari, uneori chiar prohibitive.
Limitele MEF şi FEA. Cele mai importante limite ale metodei
şi analizelor cu elemente finite sunt următoarele:
1. Precizia rezultatelor. În principiu MEF este convergentă şi
soluţia unei probleme se poate apropia oricât de mult de soluţia
exactă (necunoscută), dar nu o poate atinge (decât rareori şi numai
pentru structuri foarte simple) şi nici nu se pot preciza abaterile
dintre cele două soluţii. Altfel spus, precizia soluţiei FEA este
limitată.
2. Ineficienţa MEF pentru unele tipuri de analize. Pentru analiza
unor probleme locale, ca de exemplu, pentru unele tipuri de
concentratori, posibilităţile MEF sunt limitate în ceea ce priveşte
performanţele de eficienţă şi precizie ale rezultatelor obţinute prin
FEA.
3. Limitările programului MEF. Oricât de general şi de
performant ar fi un program, el are implementate doar anumite tipuri
de elemente finite şi de proceduri pentru analize, preprocesări şi
postprocesări, ceea ce limitează performanţele şi posibilităţile de
utilizare ale acestuia.
4. Resursele sistemului de calcul. În prezent performanţele
calculatoarelor au atins nivele extrem de ridicate şi practic nu se
ivesc, în general, dificultăţi în a realiza FEA pentru modele oricât de
complexe. Atingerea limitelor resurselor sistemului de calcul se
poate produce în cazuri particulare, pentru analize neliniare,
dinamice, procese iterative, etc pentru numere foarte mari ale
nodurilor şi elementelor modelului, dacă parametrii calculatorului au
valori relativ modeste.
3.11. Concluzii
Simplul fapt că se utilizează în paralel mai multe metode de
calcul demonstrează că nici una dintre acestea nu poate acoperi
marea diversitate a cerinţelor calculului ingineresc al structurilor. De
asemenea, nu există o metodă de calcul care să aibă avantaje majore,
125

pe multiple planuri, care să le pună într-o inferioritate categorică pe
celelalte; fiecare din metodele utilizate, are avantaje, delimitări şi
dezavantaje, care le asigură eficienţa pentru o anumită categorie,
limitată, de probleme.
Probabil că în viitor programele de calcul vor avea implementate
proceduri şi module elaborate pe baza unor metode diferite, astfel
încât să se valorifice la maximum avantajele fiecărei metode,
selectarea uneia sau a alteia dintre metode făcând-o programul.
În prezent metoda elementelor finite este cea mai utilizată şi
eficientă, în general.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
2. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
126