4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

în care N(x, y) sunt funcţiile de interpolare:
N i =(a i +b i x+c i y)/Δ ; N j =(a j +b j x+c j y)/Δ; N k =(a k +b k x+c k y)/Δ. (3.44)
Cu relaţiile (3.43) se pot calcula componentele deplasărilor unui
punct oarecare din interiorul elementului finit, în funcţie de
deplasările nodale.
Este remarcabil faptul că în nodurile elementului funcţiile de
interpolare au valorile:
N i (x i , y i ) = 1; N i (x j , y j ) = 0; N i (x k , y k ) = 0;
N j (x i , y i ) = 0; N j (x j , y j ) = 1; N j (x k , y k ) = 0;
N k (x i , y i ) = 0; N k (x j , y j ) = 0; N k (x k , y k ) = 1.
12. Energia de deformaţie a elementului finit este
1 2 2
2
W [
x
y
2x
y
2(1)
xy]
dV ,
2E
V
2 2
2
sau W = |Δ| t [ 2
2(1
)
] /E,
x
y
în care valorile (constante) ale tensiunilor sunt (3.40).
13. Lucrul mecanic al eforturilor nodale este:
U = - X i u i – X j u j – X k u k – Y i v i – Y j v j – Y k v k = - {u} T {R}.
14. Minimul energiei potenţiale totale Π = W + U se realizează
când sunt îndeplinite condiţiile:
∂Π/∂u i =0;∂Π/∂u j =0;∂Π/∂u k =0;∂Π/∂v i =0;∂Π/∂v j =0;∂Π/∂v k =0. (3.45)
În calculul derivatelor (3.45) se va avea în vedere că:
x
E
2
u
1
i
2
6
Ebi
;
2
ui
u
i (1
)
x
110
y
x
E
2
v
1
i
xy
2
6
Eci
; .......
2
vi
v
i (1
)
După efectuarea calculelor, condiţiile (3.45) pot fi scrise explicit
sub forma sistemului de ecuaţii
k 11 u i + k 12 v i + k 13 u j + k 14 v j + k 15 u k + k 16 v k = X i
k 21 u i + k 22 v i + k 23 u j + k 24 v j + k 25 u k + k 26 v k = Y i
k 31 u i + k 32 v i + k 33 u j + k 34 v j + k 35 u k + k 36 v k = X j
k 41 u i + k 42 v i + k 43 u j + k 44 v j + k 45 u k + k 46 v k = Y j
k 51 u i + k 52 v i + k 53 u j + k 54 v j + k 55 u k + k 56 v k = X k
k 61 u i + k 62 v i + k 63 u j + k 64 v j + k 65 u k + k 66 v k = Y k
ai cărui coeficienţi k ij (pentru i = 1, 2, ...6 şi j = 1, 2, ...6) sunt chiar
elementele matricei de rigiditate, [k], din relaţia (3.37), a
elementului.