4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

Elementul este raportat la un reper local oxy şi este definit de
nodurile i, j, k (de coordonatele lor), în care acţionează forţele X şi
Y, ca în figura 3.11. Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de
elemente finite.
2. Relaţia care defineşte comportarea elastică a unui element
finit este de forma (similară cu (8.4), pentru o bară dreaptă)
{R} = [k] {u}, (3.37)
în care: {u}este vectorul deplasărilor nodale, {R} – vectorul
eforturilor nodale (sau al forţelor nodale generalizate) şi [k]–matricea
de rigiditate elementului finit.
3. Se defineşte vectorul 4. Se defineşte vectorul
deplasărilor nodale:
eforturilor nodale:
u
i
nodul i
X
i
v
nodul
i
i
Yi
u
j
X
j
u
v
nodul
j .
R
j
Y
nodul
j .
j
u
k
X
k
nodul k
v
nodul k
k
Y
k
Observaţie: Vectorii {R} şi {u} pentru un element finit sunt similari cu cei
corespunzători ai elementului de bară dreaptă (cap. 2), cu menţiunea că pentru
elementele finite vectorul {R} nu mai are o semnificaţie specială, ca pentru bare (la
bare {R} era vectorul eforturilor de la capete).
Relaţia (3.37) trebuie interpretată astfel: deplasările nodale {u} produc în mod
unic eforturile nodale {R}. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite
valori ale eforturilor {R} se pot obţine o infinitate de vectori {u} ai deplasărilor
nodale, diferiţi prin deplasările de corp rigid ale elementului. Spre deosebire de
deplasările nodale care sunt independente, eforturile trebuie să satisfacă ecuaţiile
de echilibru ale elementului finit.
5. Se scriu ecuaţiile de echilibru ale elementului finit:
- ecuaţia forţelor pe direcţia ox: X i + X j + X k = 0;
- ecuaţia forţelor pe direcţia oy: Y i + Y j + Y k = 0;
- ecuaţia momentelor în raport cu originea:
-X i * y i + -X j * y j + -X k * y k + Y i * x i + Y j * x j + Y k * x k =0.
Observaţie: Rezultă că trei forţe nodale independente nu pot determina univoc
şase deplasări nodale. În consecinţă, matricea de rigiditate, [k], a elementului finit
considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei.
108