4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

2
2
x 2
x
2
va
sin x.
(3.19)
2 2
Se înlocuieşte expresia (3.19) în ecuaţia (3.17) şi se scriu
condiţiile (3.16). După efectuarea calculelor se obţine:
2
q
1 8 64 1 1 24 6 1
a . /
;
3 5
3 2
2EI
y 60 6
6
v max = 0.11598 ql 4 /EI y ; ζ max = 0.4317 ql 2 /W y .
Rezultatele obţinute sunt de precizie satisfăcătoare. Precizii şi
mai mari se pot obţine dacă pentru (3.18) se alege o serie ca, de
exemplu, v"
a
(1 - sin nx / pentru care volumul
calculelor creşte foarte mult.
n
,
1,3,5,..
3.5. Metode pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme
dinamice. Metoda Rayleigh
Se consideră bara dreaptă din figura 3.2, de rigiditate la
încovoiere EI y , constantă şi masa m pe unitatea de lungime.
În ecuaţia diferenţială a axei
barei deformate, EI y ∂ 4 v/∂x 4 = p(x), se
consideră că p(x) este chiar forţa de
inerţie a barei, conform principiului
Figura 3.2 lui d’Alambert şi astfel se obţine
ecuaţia diferenţială a vibraţiilor libere
ale barei sub forma
EI y ∂ 4 v/∂x 4 + m ∂ 2 v/∂t 2 = 0, (3.20)
căreia i se pot asocia, de exemplu, condiţiile la limită:
pentru x = 0 şi x = l → v = 0; pentru x = l/2 → ∂v/∂x = 0. (3.21)
Metoda Rayleigh şi Rayleigh-Ritz.
Pentru a obţine pulsaţia corespunzătoare modului fundamental de
vibraţie al unei bare se egalează expresia energiei cinetice maxime cu
cea a energiei potenţiale de deformaţie maximă. Pentru bara
considerată, energia de deformaţie, W, este
88