4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

3.4. Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor
diferenţiale. Metoda Galerkin
În unele cazuri este mai avantajos să nu se determine expresia
energiei potenţiale totale, Π, a sistemului, ca la metoda Ritz, ci să se
rezolve aproximativ ecuaţia diferenţială obţinută prin metodele
obişnuite (frecvent, este vorba de ecuaţii de echilibru).
Se presupune că soluţia problemei inginereşti care trebuie
rezolvată este cea a ecuaţiei diferenţiale
L(x, v, v’, v”, . . . ) = 0, (3.13)
care se consideră de forma (3.6). Aceasta trebuie să satisfacă toate
condiţiile la limită ale problemei (sau, cel puţin, cele mai importante
dintre ele), pentru orice valori ale parametrilor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .
De regulă, pentru sistemele elastice, condiţiile la limită sunt de
două tipuri:
- geometrice, care se impun deplasărilor (unghiuri şi deplasări
liniare);
- de solicitare, care privesc forţele şi momentele de la capetele
barelor sau de pe conturul plăcilor.
Observaţie: Pentru metoda Ritz, de regulă, nu este necesară satisfacerea
tuturor condiţiilor la limită, fiind suficientă doar îndeplinirea condiţiilor
geometrice. De exemplu, funcţia (3.12) de la exemplul anterior, satisface toate
condiţiile geometrice, dar numai una din cele de solicitare şi anume, pentru x = l,
M iy = 0, adică v” = 0. Cea de a doua condiţie - pentru x = l, T Z = 0, adică v”’ = 0,
nu este îndeplinită. Cu toate acestea, metoda Ritz a dus la rezultate satisfăcătoare
pentru exemplul considerat.
Pentru majoritatea metodelor aproximative de calcul se impune,
însă, îndeplinirea tuturor condiţiilor la limită, atât geometrice cât şi
de solicitare, ceea ce este de multe ori dificil de realizat, dar practic
posibil.
Alegerea formei soluţiei (3.6) trebuie să aibă în vedere aspectul
soluţiei probabile, pe baza informaţiilor privind problema care se
rezolvă. Funcţia v trebuie să fie cât mai apropiată de soluţia reală, sau
să permită o apropiere cât mai mare de soluţia reală, adică să ducă la
o cât mai bună aproximare a soluţiei reale, necunoscute, pentru
variaţia corespunzătoare a parametrilor a 1 , a 2 , a 3 , ... „Arta” alegerii
unor asemenea funcţii depinde de fantezia şi experienţa celui care
face calculele.
84