4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

x
1
0 x
E
y
1 0
y
, sau {ζ} = [D] {ε},
2
1
xy
0
0 (1)
2
xy
în care se poate înlocui relaţia (3.47) şi rezultă
{ζ} = [D] [B] {u}. (3.48)
Expresia energiei de deformaţie a elementului finit considerat
capătă forma
1 T
W
dV,
2 V
în care se înlocuiesc expresiile (3.47) şi (3.48) şi rezultă
1 T T
W u B DB dV * u
, (3.49)
2 V
deoarece ( B u)
T u
T
B T
.
Cu notaţia
T
k B D B , (3.50)
V
dV
expresia energiei potenţiale totale este
1 T
T
W U
u ku
u R
, (3.51)
2
pentru care se pune condiţia de minim ∂π/∂u = [k]{u} - {R} = 0,
din care rezultă că (3.50) este chiar expresia matricei de rigiditate a
elementului finit.
Scrise în forma matriceală, expresiile (3.49), (3.50) şi (3.51) sunt
generale, valabile pentru orice tip de element finit.
În relaţiile de mai sus trebuie remarcat că:
- matricea [B] este matricea geometrică a elementului, deoarece
defineşte legătura dintre vectorul deformaţiilor specifice {ε} şi
vectorul deplasărilor nodale, {u};
- matricea [D] este matricea de elasticitate, a materialului, care
intervine în expresia legii lui Hooke.
În cazul general, poate fi dificil calculul analitic al integralei din
expresia matricei de rigiditate (3.50), situaţii în care valorile
respective se determină prin integrare numerică.
112