12. Calculul pieselor şi structurilor din materiale compozite

11.
CALCULUL PIESELOR ŞI STRUCTURILOR
DIN
MATERIALE COMPOZITE
11.1. Generalităţi
Materialele compozite sunt amestecuri de două sau mai multe
componente, în anumite proporţii şi condiţii, ale căror proprietăţi se
completează reciproc, rezultând un material cu proprietăţi superioare
celor proprii fiecărei componente considerată separat. Ele se folosesc
cu mult succes în industriile: aerospaţială, a vehiculelor de toate
categoriile, chimică, a bunurilor de consum etc. Într-un sens general
toate materialele sunt, mai mult sau mai puţin, compozite deoarece
toate au impurităţi, defecte, elemente de aliere etc.
Marea varietate de materiale compozite le face dificil de definit
şi clasificat, curent fiind acceptată delimitarea care are în vedere
următoarele caracteristici ale acestora:
- sunt create artificial, prin combinarea voită şi raţională a
diferitelor componente; în acest fel sunt excluse compozitele naturale
(lemnul) sau cele produse fără intenţia de a crea un material
compozit (fontele cenuşii, betonul). Având în vedere importanţa
practică deosebită a betonului, a betonului armat şi a celui
precomprimat, s-au elaborat metodologii, modele, metode de calcul
şi programe dedicate analizei structurilor construite din această
categorie de materiale;
- sunt amestecuri a cel puţin două materiale distincte din punct
de vedere chimic, între care există o suprafaţă de separaţie bine
definită;
- au proprietăţi pe care nici una dintre componente, luată separat,
nu le are.
Principalele avantaje ale materialelor compozite sunt:
247

- posibilitatea „modularizării” proprietăţilor şi obţinerea, astfel, a
unor materiale cu proprietăţi foarte diferite;
- au o valoare foarte bună, comparativ cu materialele „clasice”, a
raportului rezistenţă la rupere / greutate specifică;
- prezintă o bună rezistenţă la uzură (duritate superficială), la
oxidare şi la coroziune;
- au o bună stabilitate în timp a dimensiunilor şi a formei;
- au o bună capacitate de amortizare a şocurilor, vibraţiilor şi
zgomotelor;
- materialele compozite carbon - carbon sau cele ceramice pot fi
folosite la temperaturi mari, de până la 2200 0 C.
Principalele dezavantaje ale materialelor compozite sunt:
- sensibilitatea la variaţiile parametrilor tehnologici de fabricaţie,
adică variaţii relativ mici ale condiţiilor de fabricaţie, ca, de exemplu,
temperatura şi presiunea în timpul procesării, proporţiile
componentelor etc, pot duce la variaţii importante ale caracteristicilor
produsului;
- unele compozite, de exemplu, cele stratificate, sunt
higroscopice şi / sau termo-higroscopice, absorbţia apei ducând la
modificarea dimensiunilor şi proprietăţilor;
- majoritatea compozitelor, dar mai ales cele cu fibre lungi, sunt
improprii pentru realizarea unor structuri cu forme spaţiale
complicate, deoarece în zonele de discontinuităţi geometrice se
pierde continuitatea fibrelor;
- compozitele ceramice, pot fi folosite numai pentru structuri de
dimensiuni relativ mici, având forme relativ simple, ca urmare a
limitărilor impuse de tehnologiile de fabricaţie.
Deosebita diversitate (din diferite puncte de vedere) a
componentelor care pot fi utilizate la fabricarea unui material
compozit, precum şi nenumăratele combinaţii posibile ale acestora în
condiţiile în care şi tehnologiile de fabricaţie sunt numeroase, explică
gama foarte largă a materialelor compozite utilizate în prezent, având
proprietăţi care variază între limite apreciabile în ceea ce priveşte
caracteristicile fizice, mecanice, termice precum şi costurile.
Materialul compozit este format, de regulă, dintr-o componentă
de bază – matricea – în care se „încorporează” materialul
complementar, sub formă de fibre sau particule.
248

Materialele matricelor sunt, de regulă:
a. Metalice:
- metale: aluminiu, cupru, niobiu, oţel inoxidabil;
- aliaje de: aluminiu, cupru, magneziu, titan etc.
b. Materiale organice:
- termoplastice: răşini poliesterice, polietilenă densă, polistiren,
polipropilenă, policlorură de vinil, poliamide, polisulfone etc;
- termorigide: poliimide şi răşini epoxidice, fenolice şi
poliesterice nesaturate.
c. Materiale ceramice, care pot include în compoziţia lor
alumină, oxid de zirconiu, carbură de siliciu şi alţi compuşi, precum
şi amestecuri ale acestora.
Materialele complementare pot fi de următoarele tipuri:
a. Fibre, care pot fi:
- după material: ceramice, din bor, carbon, sticlă, cuarţ, carbură
de siliciu, alumină, alumină-silice, aliaje metalice, oţel inoxidabil,
nylon;
- după structură: policristaline, monocristaline sau amorfe;
- după raportul dintre lungimea l şi diametrul d, fibrele pot fi
continue (l/d > 1000) sau discontinue (l/d < 1000), care la rândul lor
pot fi lungi (l/d = 300...1000), scurte (l/d ≈100) sau foarte scurte
(monocristale filiforme);
- fibre care se „generează” în interiorul matricei, prin unul din
următoarele procedee: solidificarea dirijată a eutecticelor, deformarea
plastică sau cristalizarea într-o matrice solidă.
Fibrele continue se încorporează în matrice ca fire simple sau
răsucite, care se pot aranja: unidirecţional, bidirecţional sau sub
formă de ţesătură plană sau spaţială.
b. Particule, care pot fi:
- după material: carbură de siliciu, grafit, alumină, mică,
zirconiu, nitrură de bor, sticlă, oţel, fontă, oxid de titan, etc;
- după dimensiuni: de la 10 nm (nanoparticule), la 1 μm (microcristale)
la 500 μm, sau mai mari;
- după formă: sferică, discoidală sau alte configuraţii.
249

Condiţii impuse materialelor compozite. În principiu, se pot
obţine diverse materiale compozite prin orice fel de combinaţii ale
componentelor enumerate mai sus. Practica însă a demonstrat că apar
unele restricţii, impuse de compatibilităţile care trebuie să existe între
matrice şi materialul complementar. Aceste compatibilităţi sunt de
natură fizică (valorile coeficienţilor de dilatare termică liniară şi
temperaturile de topire trebuie să fie apropiate) şi chimică
(inexistenţa reacţiilor chimice între componente, difuzia unui
component în celălalt să fie limitată).
De asemenea, caracteristicile materialelor compozite sunt
determinate într-o mare măsură de fenomenele fizice şi chimice
complexe care au loc între matrice şi materialul complementar, în
zonele de contact dintre acestea, adică la „interfaţa” matrice-material
complementar. Interfaţa poate „acţiona” atât în sens pozitiv cât şi
negativ asupra caracteristicilor compozitului, ceea ce necesită
cunoaşterea şi dirijarea fenomenelor care au loc în zonele de contact
dintre componentele materialului compozit.
Clasificări ale materialelor compozite. Se folosesc numeroase
clasificări, dintre care, pentru scopul urmărit în această lucrare, sunt
utile următoarele:
a. După modul de distribuţie al materialului complementar:
- izotrope, care conţin fibre scurte sau particule uniform
distribuite;
- anizotrope, care au fibre continue (inserţii sau împletituri) sau
fibre scurte, orientate unidirecţional, în plan sau în spaţiu;
- cu distribuţie dirijată a materialului complementar, obţinută
prin solidificare unidirecţională sau prin deformare plastică la rece;
- stratificate, formate din mai multe lamine sau straturi. Fiecare
lamină este relativ subţire, are fibrele situate într-un singur plan şi
sunt orientate după o singură direcţie sau bidirecţional, deci fiecare
lamină este anizotropă. Orientarea fibrelor din straturile succesive
este, de regulă, diferită. Materialul obţinut se numeşte compozit
laminat.
- sandwich, material compozit realizat din două straturi de
material laminat, între care se află un „miez” dintr-o răşină, o
250

ceramică, sau dintr-o folie de material metalic uşor, dispusă sub
formă de fagure.
b. După dimensiunile materialului complementar:
- nanocompozitele, în care materialul complementar este sub
formă de particule, lamele sau fibre (de exemplu, nanotuburi), având
cel puţin una dintre dimensiuni mai mică de 100 nm;
- microcompozite, la care materialul complementar este dispersat
în matrice la scară microscopică, sub formă de fibre, particule,
lamele etc;
- macrocompozite, la care materialul complementar se află la
scară macro în compozitul respectiv.
11.2. Modelarea şi analiza pieselor şi structurilor din
materiale compozite
Pentru modelarea şi analiza corectă şi eficientă a unei structuri
sau piese realizată din materiale compozite trebuie avute în vedere,
cel puţin, următoarele aspecte specifice:
- alegerea metodei de calcul corespunzătoare, în concordanţă cu
tipul materialului compozit, cu geometria structurii şi cu scopul avut
în vedere pentru analiza care se face. Metoda elementelor finite este
cea mai eficientă pentru astfel de analize, programele MEF având
implementate proceduri şi tipuri de elemente finite speciale pentru
materiale compozite;
- considerarea, pentru modelul elaborat, a valorilor constantelor
fizice şi elastice, corespunzătoare materialului compozit respectiv;
- trebuie acordată o atenţie deosebită „joncţiunilor” structurilor
realizate din materiale compozite, deoarece în zonele respective, de
regulă, nu se poate păstra continuitatea straturilor (de exemplu, a
fibrelor laminelor) şi apare un factor suplimentar care trebuie avut în
vedere şi anume adezivul.
În figura 11.1 sunt reprezentate schematic, ca exemplu, şase
variante constructive ale unei joncţiuni flanşă-tub din compozit
stratificat, din care se poate înţelege varietatea soluţiilor posibile. Se
constată că varianta a. este cea mai puţin aptă pentru preluarea
solicitărilor, deoarece este posibilă desprinderea laminei exterioare a
tubului. Dacă zona joncţiunii prezintă un interes deosebit, este
251

necesară modelarea şi analiza acesteia, printr-o procedură de
submodelare, de exemplu;
Figura 11.1
- modelarea şi analiza structurii în ansamblu, se face cu
procedurile „clasice”, ca pentru situaţiile obişnuite, pentru solicitări
liniar elastice sau neliniare, în regim static sau dinamic, la flambaj
etc.
În concluzie, specificul modelării şi analizei structurilor realizate
din materiale compozite, se reduce, de regulă, la alegerea unei
metode de calcul care poate fi aplicată acestor materiale şi la
definirea valorilor corespunzătoare ale constantelor fizice şi elastice,
celelalte aspecte ale modelării şi analizei rămânând neschimbate.
Modelele de calcul pentru materialele compozite sunt foarte
„elaborate” şi sofisticate şi au implementate toate posibilităţile oferite
de teoria elasticităţii, teoria plasticităţii, mecanica ruperilor,
rezistenţa materialelor etc, în formulările teoretice cele mai generale,
pentru materiale neomogene, cu anizotropie spaţială, cu neliniaritate
fizică etc. Relaţiile de calcul obţinute astfel, se folosesc pentru
determinarea energiei de deformaţie, a deplasărilor, deformaţiilor şi
tensiunilor. De asemenea, relaţiile analitice de calcul stabilite pentru
diverse tipuri de compozite stau la baza unor programe de calcul
specializate.
Criteriile de cedare sau rupere ale materialelor compozite
reprezintă condiţiile în care apar diferite fenomene care pun în
252

pericol integritatea structurii şi siguranţa ei în exploatare ca: ruperi
ale materialului complementar (de exemplu, ale fibrelor), fisurări şi /
sau ruperi ale matricei, desprinderi ale matricei de materialul
complementar etc. Pentru a ilustra complexitatea acestei probleme, se
menţionează faptul că în prezent nu este unanim acceptat un criteriu
de cedare, ci se folosesc numeroase formulări ale acestora, dintre
care cele mai cunoscute şi utilizate sunt:
- criterii limită, care consideră că cedarea (ruperea) se produce
când un parametru al stării de tensiuni sau deformaţii atinge valoarea
corespunzătoare stării limită şi anume criteriul: tensiunilor maxime,
deformaţiei specifice maxime, al lui Stowell-Liu, al lui Prager etc;
- criterii „interactive”, care sunt generalizări ale teoriei von
Mises pentru materiale izotrope şi care consideră că cedarea
(ruperea) se produce când valoarea unei expresii care conţine valorile
tensiunilor, atinge valoarea corespunzătoare stării limită şi anume,
criteriul lui: Tsai-Hill, Marin, Azzi-Tsai, Hoffman, Franklin, Tsai-
Wu, Goldenblat-Kopnov etc.
Unele dintre aceste criterii de cedare sunt incluse în programele
de calcul pentru materiale compozite, ele fiind „ataşate” diverselor
tipuri de compozite.
Valorile constantelor fizice şi elastice ale materialelor
compozite, precum şi ale altor caracteristici ale acestora (de exemplu,
caracteristici mecanice), pot avea variaţii între limite foarte largi,
ceea ce impune ca valorile respective să fie luate din documentaţia
elaborată de fabricantul materialului şi care însoţeşte livrarea:
certificate de calitate, rezultate ale încercărilor de laborator în diverse
condiţii (tip de solicitare, temperatură, umiditate etc).
Metodele de calcul de uz general pot fi folosite, în principiu,
pentru modelarea şi analiza unor structuri din materiale compozite,
dacă se definesc constantele fizice şi elastice corespunzătoare. Se vor
considera, de la caz la caz, materiale liniar - elastice sau neliniare,
izotrope, ortotrope sau anizotrope, conform tipului de model de
calcul „clasic” utilizat. În acest caz se pot avea în vedere trei
categorii de aspecte ale compozitului:
a. Comportarea „globală” a materialului compozit sub sarcină.
Prin aceasta se urmăreşte determinarea caracteristicilor globale
253

echivalente ale compozitului, în vederea înlocuirii acestuia cu un
„material echivalent”, a cărui comportare globală este aceeaşi.
Calculul se face pentru o „mostră” de compozit, adică pe o piesă cu o
formă relativ simplă, supusă unei stări de solicitare simple sau
similară celei din structură. Se pot face şi determinări experimentale
(prin încercări de laborator) rezultatele obţinute comparându-se cu
cele obţinute prin calcul. În acest mod problema modelării şi analizei
structurilor din materiale compozite se „reduce” la problema clasică,
adică a materialelor obişnuite.
Rezultatele obţinute astfel oferă informaţii globale satisfăcătoare
privind structura: deplasări, reacţiuni în rezeme, configuraţia stării de
tensiuni, coeficienţi de flambaj, frecvenţe şi moduri proprii de
vibraţii etc. Nu vor fi obţinute, eventual, suficiente informaţii pentru
unele solicitări locale. O altă deficienţă a folosirii acestei metode
constă în faptul că proprietăţile globale ale compozitului sunt relativ
dificil de determinat experimental, pentru a putea fi introduse în
modelul de calcul al structurii.
b. Dacă este necesar, se poate extinde modelarea şi analiza
structurii din compozite utilizând tehnici de modelare şi / sau
submodelare locală, de exemplu. În acest mod se pot obţine
informaţii privind configuraţiile stărilor de tensiuni şi deformaţii,
„vârfuri” ale acestora şi alte informaţii care pot fi utile pentru
determinarea apariţiei eventualelor cedări ale compozitului: fisuri,
desprinderi, ruperi.
c. Cu metode de calcul de uz general se pot face studii asupra
unor materiale compozite deosebite, ca, de exemplu, pentru materiale
sandwich, care, uneori, au un miez (core) cu o configuraţie
geometrică complexă. Se defineşte o substructură pentru o „celulă” a
compozitului, care se multiplică formând un grup multi - celular cu
care, folosind proceduri de substructurare, se poate modela şi analiza
un ansamblu oarecare. Pentru discretizări suficient de fine, se pot
obţine atât informaţii locale asupra stării de tensiuni la nivelul
microstructurii, cât şi globale, privind deformarea structurii în
ansamblu. O astfel de metodă de modelare este foarte laborioasă şi
costisitoare.
254

Metoda elementelor finite este foarte eficientă în modelarea şi
analiza structurilor din materiale compozite, în special pentru cele
stratificate (multi – layer) şi se utilizează aproape exclusiv în prezent.
Elementele finite de tip multi – strat sunt cele mai răspândite şi
utilizate, implementate în majoritatea programelor cu elemente finite.
Aceste elemente sunt, de regulă, de tip solid cu opt noduri (brick) şi
de placă (shell) cu 3, 4, 6, 8 sau 9 noduri şi au fost concepute astfel
încât să poată fi definite şi utilizate similar cu elementele
corespunzătore, obişnuite, pentru a facilita munca utilizatorului şi
pentru a putea fi cuplate, fără dificultăţi, cu celelalte tipuri de
elemente finite, adică cu cele de tip clasic.
Elementele finite de tip compozit au unele particularităţi pentru
fiecare program, dar unele aspecte generale, care facilitează munca
utilizatorului, se regăsesc în majoritatea acestora şi anume:
a. Se foloseşte o secvenţă cu informaţii generale, pentru fiecare
grup de elemente finite de tip compozit: numărul grupului, tipul
elementelor, numărul straturilor, alegerea criteriului de cedare, unele
constante de material (densitatea, coeficientul de dilatare termică
liniară, conductivitatea termică etc), opţiuni de scriere a rezultatelor
etc.
b. Proprietăţile materialului (modulele de elasticitate
longitudinale şi transversale, coeficientul contracţiei transversale,
limite de curgere la întindere, compresiune, forfecare etc) se definesc
în cadrul mai multor seturi, care se numerotează succesiv, pentru
fiecare precizându-se valorile, pentru materialul anizotrop, pe trei
direcţii perpendiculare.
c. Sistemul de
coordonate. Se
folosesc trei sisteme
255
diferite de
coordonate, ca în
figura 11.2: global -
al structurii (X, Y,
Z), local - al
elementului finit (x*,
Figura 11.2
y*, z*) şi local - al materialului (α, β, γ), pe care utilizatorul le poate
utiliza după dorinţă.

d. Definirea straturilor materialului. Se atribuie fiecărui strat un
indice, de regulă un număr, numerotarea făcându-se pentru toate
straturile, sau numai pentru jumătate dintre ele, cu opţiunea
„simetric” sau „antisimetric”, ca în figura 11.3.
e. Succesiv, pentru
fiecare strat, se definesc:
grosimea (care poate fi
variabilă), unghiul (ω) al
direcţiei de referinţă, în
raport cu care se definesc
256
caracteristicile (elastice şi
fizice) ale materialului,
numărul setului de
proprietăţi de material ataşat stratului.
f. Definirea topologiei elementelor şi generarea lor se face prin
procedurile obişnuite, implementate în programele cu elemente
finite.
11.3. Exemple
Bare executate din mai multe materiale. Cele mai utilizate bare
din materiale compozite sunt cele din beton armat. Pentru solicitarea
la încovoiere, calculul se face după cum urmează, pentru o secţiune
a barei formată din n arii ale
materialelor care compun bara.
Se presupune că secţiunea barei
este simetrică în raport cu axa z,
ca în figura 11.4.a. Sistemul de
coordonate xyzG are originea în
centrul de greutate, G, al întregii
a
b secţiuni. Un moment încovoietor
Figura 11.4
M y produce tensiunile normale
în care:
1
(x)
Figura 11.3
(x,y,z) = E(y,z)[z –z 0 (x)] / [(x)],
M
y(x)
EiAi
, z0(x)
2
EiIyi
EiAi
EiAizsi
E A z
i
i
i
E A
i
si

-E(y,z) este modulul de elasticitate al materialului cu aria A i ;
-E i , A i , I yi , z si sunt modulul de elasticitate, aria, momentul de
inerţie axial faţă de axa y şi ordonata z a centrului de greutate pentru
aria parţială A i .
Toate sumele se calculează pentru ansamblul i = 1, 2, ... n.
Axa neutră nu mai trece prin centrul de greutate, ca la barele
omogene, ci are o excentricitate z 0 şi are curbura 1 / (x).
În figura 11.4.b s-au reprezentat variaţiile tensiunilor normale, ,
pe secţiune, cu salturi în dreptul graniţelor materialelor componente.
Ecuaţia diferenţială a axei barei drepte deformate, care are
secţiunea ca cea din figura 11.4, este
My(x)
EiAi
w"(x)
2
E I E A E A z
.
i yi i i i i si
Compozit stratificat, simetric faţă de planul median
Lamina ortotropă. Se consideră o lamină cu fibre
unidirecţionale, cu o solicitare de tip stare plană de tensiuni, raportată
la două sisteme de coordonate:
- un sistem local - ataşat laminei, cu axa Ox în lungul fibrelor şi
axa oy în planul laminei, perpendiculară pe direcţia fibrelor;
- un sistem global – ataşat compozitului, cu axele OX şi OY în
planul median al stratificatului, care este plan de simetrie.
Pentru un material cu anizotropie generală, cu o stare triaxială de
tensiuni, relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice conţin 21
de constante elastice independente, pentru un material ortotrop
solicitat triaxial sunt necesare 9
constante, iar pentru un
material ortotrop solicitat cu o
stare plană de tensiuni, numărul
constantelor este 4.
Pentru lamina cu fibrele în
direcţia globală OX, ca în
figura 11.5, relaţiile dintre
Figura 11.5
tensiuni şi deformaţii specifice
(legea lui Hooke) au forma
257

X
Y
Y
X
XY
X
yx
; Y
xy
; XY
, (11.1)
Ex
Ey
Ey
Ey
Gxy
unde E x şi E y sunt modulele de elasticitate longitudinale după
direcţiile x şi y; G xy – modulul de elasticitate transversal în planul
xOy; xy şi yx - coeficienţii de contracţie transversală.
Relaţiile (11.1) au forma matriceală
X
1 Ex
yx
Ey
0 X
Y
xy
Ex
1 Ey
0 Y
, (11.2)
XY
0 0 1 G
xyXY
sau
{} = [S]{}, (11.3)
în care [S] se numeşte matrice de flexibilitate a laminei sau matricea
complianţelor, care poate fi scrisă şi sub forma
S11
S12
S16
S
S21
S22
S26
, (11.4)
S
61
S62
S66
ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din
ecuaţia (11.2).
Observaţie. Elementele de pe ultima coloană şi de pe ultima linie ale matricei
[S] din relaţia (11.4), s-au notat cu indicele 6, pentru a pune în evidenţă faptul că
relaţiile utilizate sunt particularizări ale celor pentru starea spaţială de tensiuni, caz
în care matricea [S] are dimensiunile 6x6. Această convenţie se va păstra şi în cele
ce urmează.
Ecuaţiile (11.2) rescrise ca expresii ale tensiunilor în funcţie de
deformaţiile specifice sunt
E
E
x
x
( ); ( );
X
X yx Y X
X yx Y
1
1
xy yx
xy yx
, (11.5)
G
XY xy
care pot scrise în forma matriceală
E
yxE
x
x
1
xy yx
1
xy
X
xyE
y
E
y
Y
1 xy
yx
1 xy
XY
0 0
XY
yx
yx
258
0
0
G
xy
X
Y
XY
, (11.6)

sau
{} = [C]{}, (11.7)
unde [C] este matricea de rigiditate a laminei, care poate fi scrisă şi
sub forma
C11
C12
C16
C
C21
C22
C26
, (11.8)
C
61
C62
C66
ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din
ecuaţia (11.6).
Matricea de rigiditate este inversa matricei de flexibilitate
[C] = [S] -1 . (11.9)
Pentru o lamină cu fibrele orientate după o direcţie care face
unghiul cu direcţia globală OX, ca în figura 11.6, tensiunile şi
deformaţiile specifice definite în
sistemul de coordonate al
stratificatului, trebuie exprimate în
funcţie de tensiunile şi deformaţiile
specifice în sistemul de coordonate al
laminei, faţă de care se definesc
Figura 11.6
caracteristicile elastice. În acest scop se
utilizează relaţiile de transformare a
tensiunilor (5.37), scrise pentru planul xOy şi relaţiile de
transformare a deformaţiilor specifice, analoage acestora.
Pentru calculul matricei de rigiditate a laminei în raport cu
sistemul de coordonate global XOY se procedează astfel:
1. Se determină deformaţiile specifice după direcţiile locale, în
funcţie de deformaţiile specifice în direcţiile globale
2 2
x
c s sc X
2 2
y
s c sc
Y
, (11.10)
2 2
xy
2sc 2sc c s XY
în care s-au notat c = cos şi s = sin .
2. Se calculează tensiunile după direcţiile locale, în funcţie de
deformaţiile specifice în direcţiile locale, cu relaţiile (11.6) în care se
înlocuiesc indicii cu litere mari cu indici cu litere mici
259

x
C11
C12
0
X
y
C21
C22
0
Y
. (11.11)
xy
0 0 C66
XY
3. Se determină tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de
tensiunile în direcţiile locale, cu relaţiile cu relaţiile (5.37) scrise
pentru planul xOy în care se înlocuieşte = - (rotire în sens
negativ)
2 2
X c s 2sc x
2 2
Y
s
c 2sc y
. (11.12)
2 2
XY
sc
sc c s xy
4. Tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de deformaţiile
specifice globale se obţin înlocuind (11.10) în (11.11) şi (11.11) în
(11.12), prin care se obţine
X C11
C12
C16
X
Y
C21
C22
C26
Y
, (11.13)
XY
C61
C62
C66XY
în care apare matricea de rigiditate a laminei în raport cu sistemul
global de coordonate, ale cărei elemente au expresiile (v. şi relaţiile
(11.6), (11.7), (11.8))
4
2 2
4
C C cos 2(C 2C )sin cos C sin ;
11 11
12 66
22
4
2 2
4
C22 C11sin
2(C12
2C66)sin
cos C22sin
;
2 2
4 4
C12 (C11
C22
4C66)sin
cos C12(sin
cos );
2 2
4 4
C66 (C11
C22
2C12
2C66)sin
cos C66(sin
cos );
3
3
C16 (C11
C12
2C66)sin
cos (C12
C22
2C66)sin
cos
);
3
3
C26 (C11
C12
2C66)sin
cos (C12
C22
2C66)sin
cos
).
Stratificat simetric. Un stratificat simetric se comportă ca o placă
anizotropă omogenă. Pentru solicitări în planul stratificatului,
valorile modulelor de elasticitate efective sunt egale cu mediile
aritmetice ale valorilor modulelor de elasticitate ale laminelor
260

constituente. Eforturile de membrană sunt decuplate de cele de
încovoiere.
Laminele fiind lipite între
ele, când sunt solicitate au
aceleaşi deplasări şi
deformaţii specifice, dar
având rigidităţi diferite,
tensiunile sunt diferite, ca în
Figura 11.7
figura 11.7.
Pentru determinarea stării
de tensiuni într-un stratificat simetric, de grosime h, solicitat în
planul său, se definesc tensiuni medii, prin relaţii de tipul
h 2
h 2
h 2
1
1
1
X XdZ;
Y
YdZ;
XY
XYdZ.
h
h
h
(11.14)
h
2
h
2
h
2
Tensiunile se pot determina şi prin relaţiile matriceale
X
1 h 2 X
C
h 2 11
C12
C16
X
X
1
Y Y
dZ
C21
C22
C26
dZ
Y
[A]
Y
,(11.15)
h h
2 h h
2
XY
XY
C61
C62
C66
XY
XY
unde [A] este matricea de rigiditate a stratificatului.
Primul element al matricei de rigiditate are expresia
h 2
h 2
1 2
A
11
C11dZ
C11dZ. (11.16.a)
h h
h
2
Deoarece pentru o lamină coeficienţii Cij
sunt constanţi, integrala
(11.16.a) poate fi calculată printr-o sumă
2 i 2 i 2hi
A
11
C11h
i
C11
. (11.16.b)
h i h i h
Matricea de rigiditate a unui stratificat simetric se poate calcula
adunând termenii corespunzători ai matricei de rigiditate pentru
fiecare lamină, înmulţiţi cu procentul volumic v i = 2h i /h, adică
i
[ A] v i
[C ] . (11.17)
i
După ce s-a determinat matricea [A], ea poate fi inversată,
obţinând astfel matricea de flexibilitate a stratificatului [S] = [A] -1 .
0
261

Valorile modulelor de elasticitate pentru stratificat se pot calcula
cu relaţiile
2
2
A A A A A A
11 22 12
11 22 12
E
; E
;
X
Y
A
A
22
11
. (11.18)
A A
21
12
G A ; ;
XY 66 XY
YX
A A
22
11
Pentru un calcul aproximativ, elementul A 11 al matricei de
rigiditate se poate scrie
4
A
11
Ex
vi
cos i
, (11.19)
i
unde v i este procentul volumic al laminei cu fibrele înclinate cu
unghiul θ i în stratificat.
Modulul de elasticitate longitudinal al stratificatului poate fi
aproximat cu relaţia
4
E v E cos , (11.20)
X
i
i
în care E xi este modulul de elasticitate al v i al laminei cu fibrele
înclinate cu unghiul θ i în stratificat şi v i este procentul volumic al
laminei respective.
Dacă un stratificat simetric este solicitat la încovoiere,
deformaţiile specifice au o distribuţie lineară, iar tensiunile au o
variaţie nelineară cu salturi, datorită rigidităţilor diferite ale laminelor
componente, ca în figura 11.8.
Procedând similar ca
pentru solicitarea axială, se
determină termenii matricei de
rigiditate a stratificatului
pentru solicitarea de
încovoiere, care au forma
Figura 11.8
i I
i
D
11
C11
, (11.21)
i Itot
în care I i şi I tot sunt momentele de inerţie axiale ale laminei i,
respectiv ale stratificatului. Prin inversarea matricei [D] se obţine
xi
i
262

matricea de flexibilitate a stratificatului şi apoi constantele elastice
echivalente ale stratificatului.
Concluzii
În prezent materialele compozite au largi utilizări în inginerie şi
interesul pentru folosirea lor este în expansiune. Din succinta
prezentare a acestei categorii de materiale rezultă că şi pentru
probleme relativ simple dificultăţile de calcul sunt considerabile,
acestea depăşind cadrul unui curs de rezistenţa materialelor.
Cadrul general al problematicii a fost prezentat mai sus,
dezvoltări de nivel superior urmează să fie abordate la cursuri de
specialitate sau prin cercetări independente.
Bibliografie
1. Gibson, R.F., Principles of Composite Material Mechanics,
McGraw-Hill Inc., New York, 1994.
2. Hinton, E., Owen, D.R.J., Finite Element Software for Plates
and Shells, Pineridge Press, Swansea, 1984.
3. Radeş, M., Rezistenţa meterialelor, vol I, Editura Printech,
Bucureşti, 2004.
4. Ştefănescu, F., Neagu, G., Mihai, Al., Materialele viitorului se
fabrică azi. Materiale compozite, Editura Didactică şi Pedagogică
R.A., Bucureşti, 1996.
5. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
6. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
263