4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

3.8. Metoda diferenţelor finite
Metoda diferenţelor finite este o metodă generală de integrare a
ecuaţiilor diferenţiale şi constă, în esenţă, în înlocuirea diferenţialelor
(care sunt infinit mici) cu diferenţe mici (sau foarte mici), finite.
Deci, pentru a putea utiliza această metodă, trebuie să se cunoască
ecuaţia diferenţială corespunzătoare problemei care se rezolvă.
Aplicarea metodei implică abordarea a două aspecte ale
calculului propriu-zis:
- aspectul matematic, care constă în transformarea (scrierea)
ecuaţiei (sau ecuaţiilor) diferenţiale respective într-un sistem de
ecuaţii cu diferenţe finite;
- aspectul fizic, care constă în înlocuirea structurii reale cu un
model discret, aproximativ, convenabil pentru calcul. De exemplu,
suprafaţa mediană a unei plăci curbe subţiri se aproximează cu o
reţea de triunghiuri, dreptunghiuri, patrulatere oarecare etc de
discretizare.
Se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniare, în care
necunoscutele sunt, de exemplu, deplasările în nodurile reţelei cu
diferenţe finite.
Avantajele metodei diferenţelor finite sunt:
- suportul matematic este bine definit şi anume ecuaţia
diferenţială sau sistemul de ecuaţii diferenţiale;
- metoda permite estimarea preciziei de aproximare a soluţiei
numerice obţinute.
Dezavantajele metodei diferenţelor finite sunt:
- generalitatea este drastic limitată de faptul că trebuie cunoscută
ecuaţia diferenţială a problemei. Ori pentru numeroase probleme
inginereşti nu a fost posibilă determinarea ecuaţiilor care guvernează,
de exemplu, comportarea structurilor spaţiale complexe la diferite
solicitări;
- supleţea metodei este redusă de faptul că este dificil de definit
diferenţe finite de valori diferite;
- elaborarea de programe generale de calcul, bazate pe această
metodă nu este posibilă, deoarece fiecare program trebuie să aibă în
vedere tipul ecuaţiei diferenţiale. S-au elaborat programe care
98