4. Metode de calcul energetice şi aproximative în rezistenţa ...

Exemplu.
Să se determine săgeata şi tensiunea maximă pentru bara din
figura 3.1, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, încărcată cu o
sarcină uniform distribuită.
Observaţie: Bara este raportată la
sistemul uzual de coordonate oxyz, cu
axa ox în lungul barei şi cu axa oz în
jos. Ar trebui, conform uzanţei, ca
deplasarea după direcţia oz să fie notată
cu w. Dar pentru a nu se face confuzii
cu energia de deformaţie, notată cu W,
Figura 3.1
se va utiliza notaţia v pentru deplasarea
după oz.
Pentru orice bară încărcată cu sarcina uniform distribuită q,
energia potenţială totală are expresia
1
2
W U
EI
y
v" qv
dx. (3.11)
2
Funcţia v trebuie astfel aleasă încât expresia (3.11) să aibă o
valoare extremă. Se ştie din capitolele anterioare că funcţia v este, de
fapt, de gradul patru (v. cap. 4). Aşa cum s-a precizat, aici se va
utiliza metoda aproximativă Ritz. Prin urmare, se va alege, pentru o
primă aproximaţie, funcţia
v = a (1 – cos πx / 2l). (3.12)
Pentru orice valoare a parametrului a, această funcţie satisface
condiţiile geometrice la limită şi anume:pentru x = 0→v =0 şi v’ = 0.
Înlocuind în (3.11) funcţia (3.12) se obţine
1 2 2 x
EI
y a cos
dx qa
2 2 2
0
în care cele două integrale au valorile
4
0
dx ; cos
dx
2
2 2
x
1
cos
dx
,
2
2 x
x
2
cos .
0 0
Prin urmare, expresia energiei potenţiale totale este
1 2 2
EI
y
a qa1
.
2 2
2
Funcţia Π trebuie să aibă o valoare minimă, deci
4
82